LEZIONI DI ANALISI ECONOMETRICA

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1 LEZIONI DI ANALISI ECONOMETRICA Idice Lisa degli esempi applicaivi Iroduzioe Il modello lieare. Aalisi ecoomica ed aalisi ecoomerica Primi obieivi dell Ecoomeria. I modelli e il lugo periodo Modelli saici e diamici Il seiero di equilibrio di lugo periodo La edeza di lugo periodo come modello semilogariimico Approssimazioe del saggio di crescia Primi caraeri delle serie soriche: edeza, sagioalià e ciclo.3 La sima dei miimi quadrai (OLS) della edeza lieare.4 I residui.5 Il breve e il lugo periodo.6 Le sime dei miimi quadrai (OLS) el modello lieare semplice.7 L ierpreazioe saisica.8 La scomposizioe della deviaza e il coefficiee di deermiazioe Il coefficiee di deermiazioe o cerao Cauela ell uso del coefficiee di deermiazioe Elimiazioe della edeza lieare co ua differeza prima.9 Sima di ua fuzioe del cosumo Coefficiee di deermiazioe e scela del modello Omogeeià dei dai No liearià rispeo alle variabili. Propesioe media ed elasicià

2 L elasicià. Alri esempi La legge di Oku Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Appedice. Serie soriche, dai sezioali e logiudiali Dai logiudiali Appedice. Complemei aaliici Appedice.3 Appedice.4 Differeza prima logarimica Le codizioi sufficiei per la sima dei miimi quadrai Nullià del ermie miso ella scomposizioe della deviaza oale 3 L ambiee socasico 3. I residui come ei aleaori: le ipoesi deboli 3. Defiizioi e risulai ell approccio socasico Sime e simaori dei miimi quadrai Il eorema di Gauss-Markov 3.3 La correlazioe ra le variabili e ra gli simaori dei parameri La correlazioe ra gli simaori dei parameri 3.4 Le ipoesi fori sui residui Iervalli di cofideza Sima iervallare Verifiche (o es) di ipoesi Residui ormali Idipedeza i probabilià 3.5 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice Verifica di ipoesi 3.6 Ifereza saisica per la variaza dei residui Sima iervallare per σ Verifica di ipoesi lieari semplici per 3.7 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice co Errori sadard delle sime Verifica di ipoesi 3.8 Tre esempi σ Rea ierpolae il logarimo dei cosumi σ igoo

3 Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Appedice 3. Complemei aaliici La variaza di ua somma di variabili aleaorie La sruura di variaza covariaza ivariae rispeo ad ua cosae addiiva Gli simaori dei miimi quadrai Le variaze degli simaori dei miimi quadrai La covariaza ra gli simaori dei miimi quadrai Campo di variazioe del coefficiee di correlazioe Idipedeza socasica del umeraore e del deomiaore elle di Sude Appedice 3. Disribuzioi di probabilià rilevai Disribuzioe ormale Disribuzioe del chi quadrao Disribuzioe della di Sude Disribuzioe della F di Fisher 4 La proiezioe 4. Proiezioe e proieore ei modelli lieari 4. La proiezioe co il crierio dei miimi quadrai L errore di proiezioe Proiezioi ex pos ed ex ae L errore quadraico medio di proiezioe 4.3 Iervalli di cofideza per le proiezioi 4.4 Tre esempi Rea ierpolae il logarimo dei cosumi Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi 4.5 Idicaori dell accuraezza delle proiezioi Appedice 4. Complemei aaliici La variaza dell errore di proiezioe 5 La malaspecificazioe 5. Aspei variegai della malaspecificazioe 5. Eeroschedasicià dei residui La sima dei miimi quadrai poderai (WLS) 5.3 Tes di omoschedasicià 3

4 Il es di Breusch e Paga Il es del chi quadrao La formulazioe di Koeker 5.4 La correzioe per l eeroschedasicià di Whie 5.5 Foi e cosegueze dell auocorrelazioe 5.6 Tes di auocorrelazioe dei residui Il es di Durbi e Waso Tre esempi 5.7 Il raameo dell auocorrelazioe di ordie uo ϕ deermiao dalla saisica di Durbi e Waso Il meodo di Cochrae e Orcu 5.8 Tes di cambiameo sruurale per il modello semplice (Tes del Chow) Il caso k, > > k Il es della F di Fisher Il caso k, > k 5.9 Il es di ormalià di Jarque Bera Appedice 5. Complemei aaliici Uguagliaza ra coefficiee di auoregressioe del primo ordie e ρ 6 Il modello lieare muliplo 6. I veori e la moliplicazioe righe per coloe 6. Il modello lieare muliplo 6.3 I miimi quadrai el modello lieare muliplo 6.4 Veori e marici Veori Operazioi ra veori Marici 6.5 Operazioi ra marici La marice iversa Il deermiae 6.6 Le sime dei miimi quadrai Le sime dei residui 6.7 Il coefficiee di deermiazioe correo 4

5 Appedice 6. Complemei aaliici Codizioi per la miimizzazioe della deviaza residuale Orogoalià dei residui simai rispeo alle variabili esplicaive Appedice 6. L iversa di ua marice Il deermiae di ua marice quadraa L aggiua di ua marice quadraa Il modello lieare semplice i ermii mariciali Lisa degli esempi applicaivi. (Esempio.) Tedeza lieare del logarimo dei cosumi privai omiali i Ialia. (Esempio.) Tedeza espoeziale dei cosumi privai omiali i Ialia 3. (Esempio.) Tedeza lieare dei cosumi privai omiali i Ialia 4. (Esempio.3) PIL e propesioe media al cosumo (ipoesi del Dueseberry) 5. Fuzioe del cosumo (rispeo al reddio corree) i Ialia 6. (Esempio.) Elasicià del cosumo privao rispeo al reddio e al reddio dispoibile i Ialia 7. Legge di Oku per gli USA e per l Ialia 8. Relazioe ra asso di cambio omiale (valua ialiaa/$) e prezzi relaivi 5

6 CAPITOLO I INTRODUZIONE Per olre cique lusri i miei sudei del corso quadrieale di Ecoomeria ella Facolà di Ecoomia de La Sapieza si soo preparai essezialmee sulla Traccia, dispese dispoibili sia sulla ree che i forma caracea, foocopiabile. Ao dopo ao queso eso si è igradio, fio a raggiugere u migliaio di pagie, comprededo ache emi o raai el corso ma dichiaraamee uili agli sudei più avazai, come i modelli di serie soriche, lieari e o, quelli auoregressivi veoriali, o l aalisi sperale. Passado dal vecchio al uovo ordiameo, la didaica ha dovuo essere cambiaa, el seso di dover essere basaa su emi più circoscrii, direamee operaivi, fruibili da sudei ieressai a seori variegai dell Ecoomia, da quella macro all aziedale, dalle ricerche di mercao alla fiaza. Così è aa l esigeza di forire agli sudei del corso semesrale di base di Ecoomeria u eso che assemblasse gli elemei iroduivi della Traccia, curadoe i paricolare gli aspei ierpreaivi e quelli empirici, e relegado i appedice la maeria aaliicamee più avazaa. Quese Lezioi cosiuiscoo ale eso. La Traccia, uora dispoibile i ree, raccoglie emi di Ecoomeria esposi i forma a vole edezialmee meodologica e alre vole più orieaa alle applicazioi; quese Lezioi soo viceversa più omogeee e fializzae a redere semplice e appeibile l appredimeo di ua maeria che di per sé è complessa. La didaica, duque, e cosiuisce uo degli aspei domiai; co re caraerisiche che mi preme rimarcare. Prima: le ozioi che vegoo espose iizialmee lo soo i ermii più elemeari e disesi; ma mao che il eso procede, l esposizioe è faa i forma più compaa e immediaa. Queso affiché lo sudee sia faciliao ell impao iiziale dello sudio di ua maeria o semplice; assuefao al meodo e agli srumei, può appredere uleriori ozioi i modo più direo. Secoda: geeralmee, ei libri di eso di caraere aaliico l esposizioe di u argomeo è accompagaa da u ampia e il più possibile esausiva sequela 6

7 di specificazioi, complemei, corollari; i quese Lezioi si segue, viceversa, il crierio di esporre i cocei accompagai solao dalle caraerizzazioi che servoo al momeo. Si riuzia alla compleezza scieifica a favore dell efficacia didaica: prima di imparare le specificazioi, i complemei, i corollari di u argomeo, sia esso u coceo o u crierio o u eorema, lo sudee deve avere be chiari la moivazioe, l ierpreazioe, il domiio di applicabilià. Terza: l Ecoomeria è ua braca dell Ecoomia spiccaamee ierdiscipliare; comprede pari rilevai ache della Teoria delle probabilià, dell Ifereza saisica, dell Aalisi maemaica (oimizzazioe e algebra mariciale) e della Saisica ecoomica, che spesso soo sieizzae i capioli o i appedici specifici. I quese Lezioi, al corario, le ozioi (quelle sreamee ecessarie) di quese brache soo dissemiae el eso là dove servoo, co l idea di o cosiderare l Ecoomeria come somma di pezzi di disciplie disie, ma come iegrazioe aurale di cocei che solao per covezioe o coveieza soo aribuii a seori discipliari diversi. E così, e quesa porebbe essere cosideraa come ua quara caraerisica didaica, soo ache aggiue, spesso i specifici Box, ozioi probabilisiche, di Ifereza saisica, di Algebra delle marici, i forma o sempre complea ma immediaamee compresibile, iadaa forse a probabilisi, saisici e maemaici ma apposiamee elaboraa per chi deve occuparsi di Scieze umae. Curiosamee, oggi l Ecoomeria è rieua ua raccola di meodi; operaivamee poi, divea u alra cosa, l Ecoomeria applicaa. Esisoo moli buoi esi, i iglese e ache i ialiao, scrii da ialiai, di Ecoomeria meodologica; alcui soo di ipo eciclopedico, alri moografici, alri acora privilegiai l aspeo probabilisico o il rigore maemaico. Esisoo alri oimi esi, geeralmee i iglese, di applicazioi. Quese Lezioi, al corario, si pogoo u obieivo molo più limiao: isegare l Ecoomeria. No i suoi meodi, ma come l iese il suo fodaore, Ragar Frisch, ua seaia d ai fa. 7

8 Nello scrivere quese Lezioi soo sao esesamee aiuao dalla do.ssa Agieszka Niewiska. A lei va il mio più cordiale rigraziameo. 8

9 CAPITOLO II IL MODELLO LINEARE 9

10 . Aalisi ecoomica e aalisi ecoomerica Per illusrare co chiarezza il sigificao e gli obieivi dell Ecoomeria è opporuo parire da alcui coeui dell aalisi ecoomica ed effeuare poi u esesioe i ermii di elaborazioe ecoomerica; si riesce così più facilmee a meere i risalo le caraerisiche specifiche e ad evideziare le poezialià. U aalisi ecoomica di grade rilevaza fu faa da J.M. Keyes (936) quado formulò la relazioe ra il cosumo c e il reddio c y rappreseabile ella forma = µ + β y (..) dove c ed y soo variabili mere µ e β soo parameri, e la caraerizzò mediae le proposizioi seguei: - la fuzioe (..), che possiamo scrivere ella forma geerale c = f( y), la fuzioe del cosumo, è sabile el empo; - l iercea µ è posiiva e la propesioe margiale al cosumo β è posiiva e iferiore all uià µ >, < β < (..) - la propesioe β è iferiore alla propesioe media c y. Osservazioe. La sabilià della (..) idica che la fuzioe può essere cosideraa valida per periodi di empo relaivamee lughi, ad esempio per alcui decei. Queso, ovviamee, i media, perché da u empo all alro, ad esempio da u ao all alro, ci possoo essere leggere discrepaze ra il membro a siisra e quello a desra. Osservazioe. Maemaicamee parlado, µ è il ermie oo e β è il coefficiee agolare della rea (..). I alre parole, µ rappresea l iercea di β > e decresce se β <. c co l asse y =, e β la pedeza della rea, che cresce se Osservazioe.3 Sempre maemaicamee, la propesioe margiale al cosumo è β = ( y) d f d y

11 mere la propesioe media è daa dal rapporo c y. Osservazioe.4 La forma (..) è lieare rispeo sia ai parameri che alle variabili. Per ipoizzare le relazioi (..)-(..) il Keyes si basò essezialmee su cosiderazioi eoriche ed il fuzioameo reale del sisema ecoomico fu da lui esamiao, a queso proposio, solao i maiera descriiva. Sempre ell ambio dell aalisi ecoomica è possibile supporre che la fuzioe del cosumo offra ua descrizioe migliore della realà ecoomica se y viee sosiuio dal reddio dispoibile che defiiamo ella semplice forma y d = y v (..3) dove v è l imposa complessiva sul reddio ( y ) c= µ + β v (..4) i quao u esame ache semplificao del comporameo dei cosumaori può codurre a rieere che essi basio le decisioi di spesa sulla quaià di reddio che hao effeivamee a disposizioe ua vola che siao derae le impose. Le relazioi maemaiche (..) e (..4) soo modelli, molo semplici, rappreseaivi del modo di cosumare di ua famiglia, o di u gruppo di persoe o di ua popolazioe. Soo saiche, i quao legao le variabili c, y e v allo sesso empo; ma si può presumere, sempre cogeurado i ermii di eoria ecoomica, che il cosumo c al empo sia piuoso fuzioe del reddio goduo ei periodi precedei come ella relazioe seguee c = µ + β y µ >, < β < (..5) dove le variabili soo associae ad u idice (o pedice) emporale e c è fuzioe lieare del reddio riardao di u uià emporale, oppure ell alra c µ βy βy βy = (..6) dove la variabile y sussise sia al empo corree che a quello riardao di ua e due uià. La relazioe (..6) può essere uleriormee geeralizzaa fio a cosiderare ifiii riardi del reddio c = µ + βy + βy + + βky k

12 ma sorge i al caso u dissidio fra gli aspei eorici e quelli empirici dell aalisi, dovuo al fao che il umero di riardi k, pur essedo relaivamee semplice da deermiare i ermii empirici, è difficile da giusificare i ermii eorici (perché k e o k + o k -?). Quesa uleriore esesioe ha quidi u aspeo di arbirarieà (il umero di riardi k) che risula difficilmee cociliabile co le esigeze di geeralià dell aalisi eorica. Queso dissidio può essere i pare ricomposo se si geeralizza la (..6) fio a cosiderare ifiii riardi emporali, oeedosi lo schema a riardi disribuii ifiii c µ β y β y β y... µ β y (..7) = = + j j el quale la moivazioe ecoomica cosise el rieere che il cosumo sia fuzioe di ua la soria passaa ieree il reddio, co faori di proporzioalià all aumeare della loaaza del empo. j= β j decrescei I realà la giusificazioe della (..7) o è uicamee ecoomica, i quao è difficile poer supporre che esisao iflueze sigificaive dalle y j sulla per riardi c j molo gradi; ua pare rilevae di ale moivazioe cosise, i effei, ella facilià co cui lo schema a riardi disribuii può essere rasformao, maemaicamee, i modo da ridurre il umero, ifiio, di parameri β j presei ed oeere ua relazioe molo parsimoiosa. Ifai, se si fao le ipoesi j β = β ρ, < ρ < (..8) j che soo foremee vicolai dal puo di visa ecoomico, sosiuedo ella (..7) si oiee c = + y + y + y + (..9) µ β βρ βρ... che, riardaa di u uià emporale, divea c y y y = µ + β + βρ + βρ +... Soraedo, ifie, dalla (..9) la (..) moliplicaa per ρ si oiee cioè, poedo ( ρ ) µ = µ, ( ) c ρ c ρ µ βy 3 (..) = + (..) c µ ' ρc βy che mosra come lo schema (..7) co ifiii parameri u alro coeee solao µ, β e ρ. = + + (..) β j possa essere rasformao i

13 Duque, soo le ipoesi (..8) i due modelli (..7) e (..) soo equivalei, sebbee il secodo sia be più parsimoioso del primo. Dal puo di visa ecoomico, uavia, ribadiamo che o è affao deo che le (..8) siao aderei alla realà. Primi obieivi dell Ecoomeria All iero della eoria, a queso puo, è difficile, per o dire impossibile, deermiare quale sia la relazioe migliore, ra quelle espose, i ermii di adeguaezza alla rappreseazioe del fuzioameo reale del sisema ecoomico; i paricolare, la speculazioe eorica o è idoea a defiire compiuamee la diamica ecoomica e quidi a discrimiare ra le fuzioi (..5), (..6) e (..), che preseao il reddio ed il cosumo associai ad idici emporali diversi. Per effeuare ua scela razioale, allora, è ecessario esamiare la realà empirica o più solao i forma meramee descriiva, ma co u idagie più avazaa, che uilizzi coveieemee i meodi della Saisica. Quesi soo adoperai per simare (deermiare i valori sfruado dei dai campioari) i parameri µ, β, µ, ρ dei re modelli e per valuarli secodo u crierio di oimo presabilio. Dall aalisi ecoomica si passa, i al guisa, all aalisi ecoomerica. Durae le idagii empiriche accade sovee che si abbiao dei suggerimei o delle idicazioi sul come modificare le ipoesi ecoomiche di pareza, che quidi soo soggee ad essere uovamee deagliae ed aalizzae co la meodologia saisica, oppure, acora, daa ua formulazioe eorica di pareza, avviee frequeemee che l uso del procedimeo ecoomerico per covalidarla o per cofroarla co alre ipoesi o ao coduca ad ua sua coferma o egazioe ma piuoso possa suggerire, i virù dei rirovai empirici, modificazioi o ampliamei di caraere eorico che auralmee solao il ricercaore co adeguaa preparazioe ecoomica può sfruare iegralmee. La cosegueza di quese argomeazioi è che si sviluppa u aalisi ecoomerica composa da fasi di speculazioe ecoomica eorica e da fasi di idagie empirica o separabili besì foremee iegrae ra di loro. Duque o è sufficiee l uso dei dai osservai, come ad esempio l asserio da Spaos (986, p.3), a disiguere l ecoomeria dalle alre forme di sudio dei feomei ecoomici. L aalisi descriiva di quesi può esser effeuaa all iero di ua speculazioe ecoomica ma o è codizioe sufficiee a farla deomiare ecoomerica. No ha ragio d essere, quidi, idea, purroppo molo diffusa, secodo la quale la disamia ecoomerica è solao srumeale rispeo a quella ecoomica. 3

14 . I modelli e il lugo periodo Modelli saici e diamici Le relazioi (..) e (..4) ra le variabili c ed y cosiuiscoo, come si è deo, dei modelli rappreseaivi 3 di ipoesi ecoomiche, e le disuguagliaze (..) cui soo soggei loro parameri µ e β e cosiuiscoo pare iegrae. Quesi modelli soo rappreseazioi formali ed idealizzae delle caraerisiche osservae di regolarià e di sabilià dei feomei ecoomici soo sudio e vegoo specificai i base al processo ieraivo di speculazioe eorica ed idagie empirica descrio el paragrafo precedee. Tali caraerisiche soo ache chiamae fai silizzai (si veda più avai la figura.). I modelli (..) ed (..4) soo dei saici poiché vi iervegoo solo variabili correi, cioè associae allo sesso empo ; i modelli (..5) (..6) (..7) e (..) soo dei diamici i quao coegoo variabili sia correi che riardae di ua o più uià emporali. Il seiero di equilibrio di lugo periodo Poiché i feomei ecoomici evolvoo el empo, i modelli diamici hao ua rilevaza be più grade degli saici, ma occorre eer presee che quesi ulimi possoo sovee essere cosiderai come rappreseaivi dei seieri di equilibrio di lugo periodo dei modelli diamici. Se, ad esempio, si cosidera la relazioe diamica (..) e si suppoe che il cosumo cresca al saggio cosae di γ per uià di empo, cosicché sia c ( γ ) c = + (..) sosiuedo, la (..) divea ( + γ ) ( + γ ) c = µ + β y + γ ρ + γ ρ (..) che è aaloga al modello saico (..); ques ulimo, duque, può essere viso come la relazioe di equilibrio di lugo periodo ra il cosumo ed il reddio el caso i cui il modello di breve periodo sia quello diamico (..) e il comporameo di lugo periodo del cosumo sia defiio dalla (..). 3 Il coceo modero di modello può essere fao risalire i lavori di R. Frisch [935-36] e J. Tiberge [939]. 4

15 La (..) può essere scria ella forma c c = γ c (..3) o acora, più cocisamee, ell alra dove l operaore opera su c = γ c (..4) c rasformadola ella differeza c c. Duque, se vale la (..) i u cero iervallo di empo, il cosumo aumea (se γ > ) o dimiuisce (se γ < ) di ua porzioe di c i ogi uià emporale, ad esempio i ogi ao se misuriamo il empo i ai. La porzioe di c è daa appuo dal saggio γ. La edeza di lugo periodo come modello semilogarimico Soffermiamoci uovamee sulla (..) che rappresea u modo molo frequee di evolvere el empo del cosumo c. Se γ > ( γ < ), il seiero di evoluzioe di lugo periodo per il reddio è di crescia (di decrescia), come spesso si ha i ecoomia. Iseredo ella (..) =, poi =, = 3,..., si oiee c = ( + γ ) c c e quidi, sosiuedo ieraivamee, = ( + γ) = ( + γ)... c c c = ( + γ ) c (..5) dove c è ua cosae, corrispodee al valore che c assume all origie dei empi ( = c ). La è dea rappreseare ua codizioe iiziale, al di fuori della serie sorica { c} { c, c,..., c } cosiuia dalle osservazioi dispoibili. = (..6) La fuzioe (..5) può essere coveieemee scria i u alro modo. Se prediamo il logarimo 4 dei due membri oeiamo l c = l c + l( + γ ) cioè l c = µ + β (..7) 4 I ecoomeria si usao solao i logarimi (aurali) i base e, idicai co l ; log idica il logarimo i base. 5

16 se chiamiamo le cosai l c = µ e l( + γ ) = β. Il modello (..7), deo semilogarimico perché esprime ua variabile logarimizzaa (la c ) i fuzioe di ua o rasformaa (il empo ), corrispode esaamee al (..5) e cosiuisce u esempio di forma o lieare elle variabili. Il saggio di crescia γ ra il empo e il è facilmee oeuo: ifai, se l( + γ ) = β, segue che γ = exp( β ) (..8) La forma (..7) esprime duque come l evolve i fuzioe del empo; e deoa, cioè, la sua edeza di lugo periodo. Approssimazioe del saggio di crescia Il saggio di crescia γ ell uià di empo di ua variabile x. c ( x x ) x γ (..9) = può essere coveieemee approssimao da ua differeza prima logarimica l x = l x l x (..) dove il simbolo deoa appuo ua differeza prima. La differeza prima logarimica di x è alvola idicaa co la x sormoaa da u puo: x. L approssimazioe di γ co la (..) è dimosraa aaliicamee ell appedice.. Quesa è molo buoa per valori piccoli di γ, diciamo ra e.6; per valori superiori a.6 lo è meo, come si può vedere dalla avola.: 7% è approssimao co 6.77%, 8% co 7.69% e così via. γ l x Tavola. Approssimazioe del saggio di crescia γ co la differeza prima logarimica. Primi caraeri delle serie soriche: edeza, sagioalià e ciclo La (..7) rappresea il modo di evolvere lieare della serie sorica { l c } ; e cosiuisce, cioè, la edeza lieare. La edeza, che può essere ache espoeziale, quadraica, cubica,, a secoda del ipo di fuzioe che la rappresea, forma ua prima coformazioe silizzaa delle serie soriche ecoomiche, ed è ad esempio visibile elle figure. (lieare) e.3 (espoeziale). 6

17 Ua secoda coformazioe silizzaa molo imporae è cosiuia, elle serie soriche ecoomiche deermiae co ua cadeza ifraauale, ad esempio mesile o rimesrale, dal fao che esisoo adamei ifraauali che si ripeoo similmee, ei empi così come elle dimesioi, ao dopo ao: le cosiddee sagioalià. Nella figura 3. si oa chiaramee il profilo sagioale che si ripee ogi ao (prescidedo dalle ampiezze delle oscillazioi che aumeao cosaemee all aumeare del empo) ella serie rimesrale. La erza coformazioe silizzaa che per il momeo viee cosideraa elle serie soriche ecoomiche è cosiuia dall alerarsi di fasi di espasioe dell aivià co fasi di recessioe, feomeo che viee idicao co il ome di ciclo ecoomico. La serie sorica del PIL ialiao depuraa della edeza lieare ella figura.8 mee be i rilievo il ciclo el periodo 97, co le recessioi (aree i grigio) egli ai 975 e (dovue alle crisi perolifere), e degli alri (dovua alla poliica moearia della Germaia a seguio della riuificazioe). Si può oare che i ui e re i casi la recessioe sia avveua repeiamee ( 3 ai), mere le fasi di ripresa 5 più espasioe si siao svole molo più leamee (i 5 7 ai). Ques alro fao silizzao cosiuisce l asimmeria del ciclo ecoomico. 5 I iglese: recovery. 7

18 .3 La sima dei miimi quadrai (OLS) della edeza lieare Affroiamo ora il problema di simare (deermiare i valori de) i parameri µ e β della (..7) a parire da u campioe di dai cosiuia dalla serie sorica (..6) e uilizzado il crierio di sima dei miimi quadrai. Queso è facilmee illusrabile se i parameri da simare apparegoo ad u equazioe lieare o solo ei parameri ma ache elle variabili. Liearizziamo perao la (..7) poedo l c = z, =,, 3,..., ; si oiee il modello lieare semplice z = µ + β =,,..., (.3.) valido ei empi da fio al geerico. I dai z possoo essere disegai i u diagramma caresiao che ha i empi sull asse delle ascisse, come ella figura.; essi cosiuiscoo ua uvola di pui araverso la quale passa la rea (.3.). Quesa, auralmee, o può occare ui i pui (che ella figura. soo, a iolo di esempio, quaro), che quidi rimagoo ad ua disaza (misuraa lugo l asse delle ordiae) geeralmee oulla u dalla rea sessa. A secoda del crierio che vicola quese disaze u si oiee ua rea (.3.) diversa, coeee cioè valori differei per i parameri µ e β. Ovviamee, si ea di deermiare quella rea per la quale le disaze u siao globalmee le più piccole secodo u dao crierio. Ad esempio, si può pesare di usare il crierio di miimizzare la somma delle u 4 mi u (.3.) = ma queso o è buoo perché le u soo la rea (egaive) si possoo compesare co le u sopra la rea (posiive), e la somma (.3.) può essere molo piccola pur i preseza di disaze u molo gradi i valore assoluo. La miimizzazioe della (.3.) cosiuisce quidi u crierio che ha poco seso. Si porebbe pesare al crierio di miimizzare la somma delle u prese i valore assoluo 4 mi u (.3.3) = 8

19 eviado quidi il difeo di cui sopra. Queso crierio porebbe essere valido se o accadesse che la miimizzazioe (.3.3) o è facilmee eseguibile i maemaica. Allora si usa il crierio di miimizzare i quadrai delle mi 4 = u u (.3.4) che è maemaicamee raabile i forma semplice e o presea il difeo della compesazioe descrio sopra. È il crierio dei miimi quadrai e deermia ua rea i cui parameri soo dei sime dei miimi quadrai (OLS) 6. z z 4 u 4 z z 3 u u 3 z = µ + β z u Figura. Nuvola di pui rea z = µ + β. 3 4 z disai (lugo l asse delle ordiae) u da ua geerica Esempio. Esraiamo dal CD dell OECD (Saisical Compedium, Versioe 4 -) 7 la serie sorica { c } dei cosumi privai reali oali8 dell Ialia ITACPV, espressi i milioi di euro. Moliplicado la serie per il deflaore dei cosumi privai ITAPCP oeiamo la serie dei cosumi privai i ermii omiali, e prediamo il logarimo e 6 Quesi miimi quadrai soo dei ordiari (i iglese Ordiary Leas Squares; OLS) per disiguerli da alri meo semplici, ad esempio i o lieari (i iglese No Liear Leas Squares; NLLS) oppure i geeralizzai, (i iglese Geeralized Leas Squares; GLS) che vedremo i seguio. 7 Alcui cei sull uso di quesa base di dai soo esposi ell Appedice.3 di queso capiolo 8 I base 995, quidi reali. 9

20 e cosruiamo il modello (..7); se simiamo 9 i parameri del modello (più semplicemee si dice: simiamo il modello) co gli OLS oeiamo l c = (.3.5) curva disegaa ella figura. isieme ai pui che defiiscoo la serie sorica { l c }. 7 l(c ) l(cosumi) Lieare (l(cosumi)) Figura. Serie sorica dei logarimi dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co la rea (.3.5); ai Poiché la sima ˆ β =.9, il suo ailogarimo (cioè il valore della fuzioe iversa del logarimo, che è l espoeziale) è.38 e quidi il saggio di crescia auale è, per la (..8), ˆ γ =.38 =.38 cioè il 3.8% (il saggio sembra alo, ma si ricordi che i cosumi soo omiali). Nella figura.3 soo esposi i pui c (quidi gli ailogarimi dei pui della figura.) e la curva ierpolae, che ora o è più ua rea ma l espoeziale che deriva dalla (.3.5) c { } = exp (.3.6) 9 La sima è calcolaa co il sofware EasyReg versioe.3, scria da H.J.Bieres, che uilizzeremo i uo il eso. Esisoo moli oimi programmi di ecoomeria el mercao ma si è scelo EasyReg perché è grauio e facilmee scaricabile da Iere. Cei sul suo uso soo esposi ell Appedice.4.

21 c cos om Espo. (cos om) Figura.3 Serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co l espoeziale (.3.6); ai 96-98; dai i miliardi di euro. Osservazioe.5 Poiché la variabile cosumo omiale c è pari al prodoo del cosumo reale c per il prezzo p il suo saggio di crescia è approssimaivamee uguale alla somma dei saggi di crescia di c e. p Ifai c = c p da cui logarimizzado l c = lc + l p (.3.7) ed acora, riardado di u uià emporale l c = lc + l p (.3.8) per cui, facedo la differeza ra la (.3.7) e la (.3.8), si oiee lc = lc + l p che dimosra, cosiderado la (..), l affermazioe precedee. Si lascia al leore rovare che il saggio di crescia dei cosumi privai oali reali i Ialia el periodo è pari a.49 e quello del deflaore relaivo è pari a.85, per cui la loro somma è uguale a.34 approssimaivamee pari proprio a.38 (il saggio di crescia dei cosumi privai oali omiali).

22 L approssimazioe (e la o perfea uguagliaza) deriva dal fao che le re quaià, cosumo omiale, cosumo reale e deflaore, soo ciascua ua media (calcolaa separaamee dalle alre) el periodo campioario. Ovviamee queso risulao è del uo geerale: il saggio di crescia del prodoo di più faori è approssimaivamee pari alla somma dei loro saggi di crescia. Esempio. E isruivo cosruire il modello (.3.) seza logarimizzare preveivamee i cosumi c, e poedo quidi direamee z = c ella (.3.). Nella figura.4 soo esposi i risulai: i dai soo gli sessi della figura.3 ma la curva ierpolae è ua rea e o più u espoeziale. Il modello è sao simao co i miimi quadrai ma la somma dei quadrai delle disaze = u u, che è essedo =, il umero delle osservazioi dispoibili, è molo maggiore: 43686, ivece che 6787 (caso dell ierpolae (.3.6)). c cos om Lieare (cos om) Figura.4 Serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co la fuzioe lieare; ai 96-98, dai i miliardi di euro. Osservazioe.6 Coviee sempre presare aezioe al umero di cifre sigificaive (diverse dallo zero) che maeiamo ei calcoli. U umero roppo grade rede farragiosa la scriura ed è foriero di errori di

23 impuazioe dei dai (ad esempio ei compuer); u umero roppo piccolo può codurre ad approssimazioi imprecise. Dal puo di visa saisico della sigificaivià dei dai è difficile che possao servire più di quaro cifre sigificaive (ad esempio 53 oppure 5.3 o ache.53) perché già co esse si oiee u approssimazioe iferiore al millesimo. Da quello ecoomico, poi, già re cifre sigificaive dao u approssimazioe iferiore al ceesimo, più che sufficiee per ogi ipo di aalisi. I logarimi, uavia, soo molo sesibili ai decimali ed è quidi cosigliabile calcolarli co almeo cique cifre decimali. Ua sima precisa della (.3.5) forisce, ad esempio l c = che può essere coveieemee cosideraa migliore. Si ricordi, ad ogi modo, di approssimare alla cifra superiore o iferiore a secoda dei casi (el caso della (.3.5) è approssimao a e.9479 a.948). 3

24 .4 I residui Le disaze u ra i dai osservai z e quelli co la sessa ascissa sulla rea ella figura., dei eorici, soo chiamae i vario modo, il più frequee dei quali è errori, iededosi per errore il fao di aver sosiuio ai dai osservai alri valori da essi geeralmee (ed erroeamee, secodo quesa imposazioe) diversi. I realà di sbaglio o si raa, ma della osra voloà (perché ciò ci fa comodo) di ridurre la uvola dei pui ad ua rea; chiamiamo allora meglio le disaze dall aver voluo approssimare i pui della uvola co quelli della rea. u residui, derivai Se la realà è defiia, ad esempio miimizzado la somma dei quadrai dei residui (.3.4) (cioè co il crierio dei miimi quadrai), soo ache idividuae le sime ˆµ e ˆ β dei parameri della rea (.3.), che scriviamo ella forma zˆ = ˆ µ + ˆ β =,,..., (.4.) Ache i residui soo allora deermiai e li idichiamo co uˆ per cui diveao uˆ = z zˆ = z ˆ µ ˆ β =,,..., (.4.) disaze ra i valori osservai e quelli eorici dai dalla rea (.4.). Dalla (.4.) si rae che uˆ è deermiao ua vola che siao deermiae ˆµ e ˆ β. Se quese acora o lo soo, ache uˆ o lo è, per cui possiamo scrivere u = z µ β =,,..., (.4.3) oppure z µ β u = + + =,,..., (.4.4) voledosi iedere il residuo u come quel ermie da aggiugere (o sorarre, se egaivo) al valore eorico ( µ + β) per aversi il dao osservao z. Le u, deermiae umericamee come differeze ra i valori osservai z e quelli ˆ eorici z, possoo essere cosiderae come sime delle u e quidi residui simai. ˆ E i geere molo uile rappreseare graficamee i residui, al fie di verificare più i deaglio, sia pure visivo, l adeguaezza dell ierpolazioe. Nelle figure.5,.6 e.7 soo esposi i residui (simai) delle re ierpolazioi l c = µ + β + u (.4.5) 4

25 { } c = exp µ + β + u (.4.6) c µ β u = + + (.4.7) che ora scriviamo co i residui espliciai, rappreseae elle figure.,.3 e.4, rispeivamee. residui u Figura.5 Serie sorica dei residui simai { uˆ } relaivi al modello (.4.5) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai u Figura.6 Serie sorica dei residui simai { uˆ } relaivi al modello (.4.6) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai 96 98; dai espressi i miliardi di euro. 5

26 4 u residui Figura.7 Serie sorica dei residui simai { uˆ } relaivi al modello (.4.7) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai 96 98; dai espressi i miliardi di euro. Box Dai osservai { zz... z } I residui Rea geerica ierpolae (edeza lieare) i dai osservai z = µ + β Rea ierpolae simaa (co u cero crierio) zˆ = ˆ µ + ˆ β da cui i dai eorici { zˆ zˆ... z ˆ } Residui simai uˆ = z zˆ = z ˆ µ ˆ β 6

27 .5 Il breve e il lugo periodo La differeziazioe ra il breve e il lugo periodo assume imporaza basilare o solao quado si raa la eoria ecoomica ma ache quado si cosruisce u modello ecoomerico. Si ebbe u esempio di queso coceo quado fu osservao che egli ai compresi ra le due guerre modiali egli USA la relazioe ra il cosumo e il reddio, piuoso che essere del ipo (..), risulava ale che: - el lugo periodo la propesioe media al cosumo c y era cosae; - el breve periodo ale rapporo oscillava, aumeado elle fasi di recessioe e dimiuedo i quelle di espasioe. Iolre fu oao che per ogi dao idividuo ale rapporo dimiuiva all aumeare del reddio, fao queso che J.S. Dueseberry [949] spiegò co la ipoesi del reddio relaivo, secodo la quale la perceuale di reddio cosumao da ogi idividuo o dipedeva direamee dal suo reddio assoluo, ma dalla sua posizioe, i ermii di perceili (si veda il Box ), ella sua disribuzioe; i alre parole, dal suo reddio relaivo. Aaliicamee quesa ipoesi può essere scria, prescidedo da ua eveuale edeza, ella forma c y = µ + β y, µ >, < y β ; y = max ( y s ; s < ) (.5.) dove y è il reddio massimo goduo dall idividuo el passao; el lugo periodo si può rieere che il reddio cresca ad u saggio cosae γ > per uià di empo ( + γ) y y (.5.) = aalogamee a quao ipoizzao ella (..) per il cosumo, per cui è y = y, e la (.5.) diviee c y ( ) = µ + β + γ (.5.3) co rapporo c / y cosae. Nel breve periodo, d alro cao, si ha che durae le fasi di recessioe è y < y e quidi c / y aumea, mere i quelle di espasioe è y > y ed il rapporo cosumo su reddio dimiuisce.. 7

28 Box I quaili Per chiarire il sigificao di perceile (di ua disribuzioe, che el caso specifico riguarda i reddii) si pesi di ordiare i seso crescee i reddii, suddivisi i classi, e di associare a ciascua classe il umero degli idividui che lo oegoo. Il dispiegarsi di queso umero i fuzioe delle classi cosiuisce la disribuzioe dei reddii di quesi idividui. Il perceile -esimo di quesa disribuzioe idica il reddio oeuo da quell idividuo al di soo del quale si siua l per ceo degli idividui. Ovviamee può variare da a 99. Il coceo di perceile può essere eseso a quello di quarile, i cui il reddio è diviso i quaro pari, e i quello di decile, i cui la divisioe è i dieci. I quarili soo re e i decili ove. Il 5 perceile, uguale al quarile e al 5 decile, corrispode alla mediaa della disribuzioe. I perceili, i quarili, i decili, e gli alri valori oeui dividedo i classi uguali i dai di ua disribuzioe (qualsiasi, che o ecessariamee riguarda i reddii) soo geericamee chiamai quaili. Il secodo decile (corrispodee al perceile) della disribuzioe dei reddii può essere preso come idicaore della poverà (o della ricchezza) ecoomica i ua popolazioe: più è basso (alo) più poveri (ricchi) vi soo. Esempio.3 Verifichiamo l ipoesi del Dueseberry per l Ialia egli ai 97 co l aiuo della figura.8. I quesa soo raffigurae la serie { y } del reddio oale ialiao (scala a siisra) che permee di idividuare gli ai di recessioe (aree i grigio) e la serie { } c y della propesioe media al cosumo (scala a desra). Alla serie del reddio è saa soraa ua edeza espoeziale, deermiaa come ell esempio., mere al rapporo c y è saa soraa ua edeza lieare. I periodi di recessioe segai i grigio soo cosegueze dei due shock peroliferi degli ai seaa (974 e 979) e mosrao ua chiara edeza al rialzo della propesioe media al cosumo, come previso dall ipoesi del Dueseberry. Negli ai di recessioe l ipoesi è acora covalidaa per il 99 e il 99; o lo è per il

29 Figura.8 Adameo del PIL (scala a siisra) e della propesioe media al cosumo (scala a desra) i Ialia egli ai 97 ; ambedue le serie soo sae depurae della edeza co fuzioi lieari. Le aree raeggiae idicao i periodi di recessioe degli ai seaa iescai dalle crisi perolifere; i quesi periodi la propesioe media aumea, come previso dall ipoesi del Dueseberry. 9

30 .6 Le sime dei miimi quadrai (OLS) el modello lieare semplice Vediamo ora come si oegoo le sime dei miimi quadrai el modello lieare (.4.4) che scriviamo i ua forma più geerale y µ β x u = + + =,,..., (.6.) poedo al poso di z ua geerica variabile edogea y e al poso di ua geerica esplicaiva x. Quesi due aggeivi derivao dal fao che el modello (.6.) la spiega la y, che è deermiaa edogeamee (all iero) al modello. Talvola la x è ache dea variabile esogea, i quao deermiaa esogeamee (all esero) al modello. Il modello lieare (.6.) è deo semplice perché coiee ua sola variabile esplicaiva olre l iercea. Se e coeesse di più sarebbe muliplo, caso che esamieremo i seguio. Ovviamee è ache yˆ = ˆ µ + ˆ β x e uˆ = y yˆ (.6.) x Il crierio di sima dei miimi quadrai cosise el rovare i valori di µ e di β che redoo miima la somma dei quadrai dei residui (.3.4), cosa che el caso di dai si scrive mi u = mi ( y µ β x ) µβ, µβ, = = (.6.3) iededosi co quesa scriura che la miimizzazioe avviee al variare di α e di β. La somma dei quadrai ella (.6.3) è ua fuzioe di µ e β che idichiamo co S( µ,β ) e la maemaica ci forisce le codizioi ecessarie (ma o sufficiei) per oeere il miimo (.6.3): occorre che siao uguali a zero le derivae parziali prime di S rispeo sia ad µ che a β S = ( y µ βx)( ) = µ = S = ( y µ βx)( x) = β = cioè che sia 3

31 y = µ + β x = = = + xy µ x β x = = = (.6.4) che vegoo chiamae equazioi ormali. Se si poe x = x =, y = y =, m = xx x, mxy = x y = = (.6.5) dalla prima delle (.6.4) si ricava, dividedo per, e dalla secoda, sosiuedo il valore di µ dao dalla (.6.6), y = µ + β x (.6.6) cioè = x y m xy = ( y β x) x + β = yx + β = ( m x ) xx = x dalle quali si oiee la sima dei miimi quadrai (ordiari) di β ˆ m β = m xy xx yx x m xx x (.6.7) e, sosiuedo ella (.6.6), quella di µ ˆ µ = y ˆ β x (.6.8) Le codizioi sufficiei affiché ˆµ e βˆ cosiuiscao il miimo (.6.3) soo espose ell Appedice.. I due valori ˆµ e βˆ cosiuiscoo il puo di oimo ( ˆµ βˆ ) ella miimizzazioe (.6.3) e ad essi, ramie la (.6.), corrispodoo i valori dei residui simai. uˆ ˆ ˆ ˆ = y y = y µ β x =,,..., (.6.9) 3

32 Si ega be i mee che ˆµ e βˆ possoo essere deermiae solao se m xx x come risula dalla (.6.7). Osservazioe.7 Dalla (.6.6) segue che la rea y = µ + β x passa sempre el puo ( x) y, quali che siao i valori di µ e β che soddisfao alle equazioi ormali (.6.4). Osservazioe.8 Si oi che i corrispodeza del puo di oimo le equazioi ormali possoo essere scrie come segue ( µ ˆ β ) y ˆ ˆ x = u = = = ( y ˆ ˆ ) ˆ µ β x x = ux = = = (.6.) La prima di quese mosra che la somma dei residui simai è ulla; la secoda deoa ua proprieà dei residui simai: la loro orogoalià ei cofroi della variabile esplicaiva. Osservazioe.9 Uilizzeremo el seguio il risulao che cosegue dalla caea di uguagliaze ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ = µ + β x = µ β x ˆ µ x = = + = + = β che per l osservazioe.7 è pari a y. Quidi si ha yˆ = y = = = y (.6.) 3

33 .7 L ierpreazioe saisica Il crierio dei miimi quadrai illusrao ei paragrafi precedei, che fu sviluppao idipedeemee da K. F. Gauss e A. M. Legedre ra la fie del dicioesimo e gli iizi del diciaovesimo secolo, uilizza cocei puramee maemaici (deermiisici e o probabilisici). Ad esso, uavia, possiamo dare ache u ierpreazioe saisica, che riguarda, quidi, solamee i omi. Il modello (.6.) viee deo di regressioe, la somma dei quadrai u = S ( µ, β ) è la deviaza (dei residui o residuale), le serie soriche { x } e { } = y cosiuiscoo il campioe di dai, i valori x e y soo le medie arimeiche delle due variabili x ed y, mxx è il momeo secodo di momeo secodo miso. I valori x ed ˆµ e βˆ soo acora delle sime, ma i seso saisico. m xy il Voledo uilizzare quesa ierpreazioe, allora, la (.6.7) idica che la sima daa dal rapporo (covariaza ra x e y ) / (variaza di x ). βˆ è I queso modo la (.6.) dell osservazioe precedee può essere lea el seso: la media arimeica della variabile osservaa y è uguale a quella della variabile eorica y. D ora i poi uilizzeremo ormalmee quesa omeclaura. ˆ 33

34 .8 La scomposizioe della deviaza e il coefficiee di deermiazioe Si è viso el paragrafo.3 che la serie del cosumo { c } può essere ierpolaa sia co u espoeziale (figura.3) sia co ua rea (figura.4), dado luogo a sime delle deviaze dei residui foremee diverse, 6787 el primo caso e el secodo. Ci domadiamo allora se sia possibile cosruire u idicaore basao sulle deviaze che permea di misurare il grado di adaameo (o di accosameo) di u modello al campioe di dai. La risposa è posiiva e passiamo alla deermiazioe di uo di ali idicaori, il più imporae, chiamao coefficiee di deermiazioe. Per defiirlo suppoiamo, ovviamee seza perdere i geeralià, che il modello coega l iercea (che, simaa, può ache valere zero) e scompoiamo la deviaza (la somma dei quadrai degli scari dalla media) delle y el seguee modo = = ( y = ( y y) = yˆ ) = + ( y = yˆ ( yˆ + yˆ y) y) + = = ( y yˆ )( yˆ y) (.8.) dove y = y = come elle (.6.5) e si è ola e aggiua la sessa quaià ŷ. Il ermie miso è ullo, come dimosrao ell appedice. per cui vale la scomposizioe della deviaza (oale) TSS di y ella deviaza di regressioe ESS ed i quella residuale RSS, essedo y per la (.6.) la media sia delle y che delle ŷ, ˆ ( y y) = ( y y) + ( y y) Dev. oale Dev. di regress. Dev. residuale ˆ (.8.) Se dividiamo i due membri della (.8.) per la deviaza oale oeiamo = (Dev. di regressioe)/(dev. oale) + (Dev. residuale)/(dev. oale) per mezzo della quale defiiamo il coefficiee di deermiazioe R = Dev. di regressioe Dev. residuale Dev. oale = Dev. oale (.8.3) I ligua iglese: Dev. oale = Toal Sum of Squares (TSS); Dev. di regressioe = Explaied Sum of Squares (ESS); Dev. residuale = Residual Sum of Squares (RSS). 34

35 pari al quadrao del coefficiee di correlazioe mulipla ra esplicaive. y e l isieme delle variabili Quado ua la variabilià della y (cioè l isieme di ue le sue deviazioi dalla media) è spiegaa da quella di regressioe (cioè dall isieme di ue le deviazioi della variabile eorica yˆ dalla media) si ha che l adameo del modello è perfeo, la deviaza residua è ulla ed R = ; el caso opposo la pare sisemaica del modello o spiega iee e la variabilià oale coicide co quella residua, per cui R =. I geerale duque, si ha R (.8.4) Il coefficiee di deermiazioe o cerao La deviaza oale (.8.) può essere scria ella forma = ( y y) = y + y y y = y y per cui il coefficiee di deermiazioe (.8.3) diviee = = = = R = = y uˆ y (.8.5) ed è deo cerao. Se si elimia cerao y si oiee il coefficiee di deermiazioe o R = = u uˆ y (.8.6) dove il pedice u idica l aggeivo iglese uceered, che sigifica, appuo, o cerao. Geeralmee i programmi di calcolo ecoomerico foriscoo ambedue i coefficiei (.8.5) e (.8.6) ma mere il secodo è uile ell effeuare paricolari diagosi sul modello, come vedremo i seguio, il primo è direamee uilizzabile per valuare la boà di adaameo del modello ai dai, cioè per scegliere le variabili da eere i cosiderazioe. I iglese: goodess of fi. 35

36 Esempio.4 I coefficiei di deermiazioe o cerai per i re modelli della edeza ella serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia soo esposi ella avola.. Tra di essi il più grade è il primo e quidi si può asserire che il modello co migliore boà di adaameo sia il (.4.5). Modello Equazioe R c l c = α + β+ u (.4.5).968 = exp{ α + β} + u (.4.6).93 c = α + β+ u (.4.7).75 Tavola. Coefficiee di deermiazioe o cerao per i re modelli della edeza ella serie dei cosumi privai oali omiali i Ialia. Cauela ell uso del coefficiee di deermiazioe L ierpreazioe dell R (o dell R ) richiede ua paricolare aezioe, u specialmee se il modello coiee più di due variabili esplicaive. Ma ache el caso del modello semplice (.6.) può accadere che u valore molo alo (prossimo ad ) di dovuo ad µ e che ivece β sia poco sigificaivo, di fao che sia R sia che sa ad idicare come y y = µ + u sia sosazialmee pari ad ua cosae e che la variabile x (il empo o ua qualsiasi alra variabile esplicaiva) sia del uo iifluee. I queso modo il modello lieare semplice (.6.) o forisce alcua iformazioe uile all aalisi ecoomica pur essedo R alo. Queso problema assume ua paricolare rilevaza ache quado l y e l esplicaiva x coegoo ambedue ua edeza: può accadere che u eveuale R alo sia la cosegueza di quesa e o di ua effeiva relazioe ecoomica ra le due variabili. Ua semplice verifica di queso fao può essere realizzaa simado la (.6.) elle differeze ed elimiado quidi, come mosreremo ra poco, u eveuale edeza lieare. Riardado, ifai, la (.6.) di ua uià emporale si oiee y µ β x u = + + (.8.7) 36

37 e facedo la differeza ra la (.6.) e la (.8.7) si ha = + ε (.8.8) y β x co il residuo rappreseao ora da ε = u u. Simado la (.8.8) si oiee u R o ifluezao dalla edeza; se è alo si può dire che sussise effeivamee ua relazioe ra x e y. Elimiazioe della edeza lieare co ua differeza prima E semplice verificare che ua differeza prima elimia u eveuale edeza lieare. Ifai quesa eveualià è rappreseabile ella forma e prededo la differeza prima si ha y = µ + β+ u ( ) ( ) y = y y = µ + β + u µ + β + u = β + ε (.8.9) co ε = u u. La (.8.9) o coiee più la edeza lieare ma iclude il coefficiee agolare β che ora è diveao il ermie oo. Qualora la y o coeesse ua edeza lieare, il paramero β sarebbe ullo e ella (.8.9) semplicemee macherebbe. Si lascia al leore mosrare che ua differeza secoda elimia u eveuale edeza parabolica (u poliomio di secodo grado i ) e che i geerale ua differeza d esima elimia u eveuale edeza rappreseabile mediae u poliomio di grado d el empo. = 37

38 .9 Sima di ua fuzioe del cosumo E uile applicare i cocei esposi i precedeza i relazioe o più ad u equazioe del ipo (.4.4) che esprime il cosumo i fuzioe del empo (e rappresea la edeza ierpolae lieare), besì alla seguee z µ β y u = + + (.9.) che esprime il cosumo reale z i fuzioe del reddio reale (come ella (..)). Al poso della figura. si ha la.6 che ripora il grafico, deo diagramma di dispersioe,, delle coppie di valori ( z y ) rai da u campioe di osservazioi formao dalle due serie soriche dei cosumi { z z... } e dei corrispodei reddii { y y... y }, i quali z ulimi predoo il poso dei empi coeui ella serie sorica {... }. I cosumi { z } soo cosiuii dalla serie ITACPV e il reddio { y } dall alra ITAGDPV della base di dai OCSE, presi per gli ai 98. Le sime dei due parameri ella (.9.) deermiao la corrispodee della (.4.) zˆ = y =,,..., (.9.) che è cosiuia da ua rea che araversa la uvola di pui della figura.6 e per mezzo della quale si simao i residui (.4.), rappreseai graficamee ella figura.7. Si oi che l iercea è egaiva, corariamee a quao ipoizzao dal Keyes; è queso uo dei ai casi i cui le ipoesi eoriche o rovao coferma ell aalisi empirica. La deviaza residuale (espressa i miliardi di euro) vale 3 3 ( ) z ˆ z u = = ˆ = = e il coefficiee di deermiazioe cerao è R =.993 (.9.3) Queso coefficiee è molo alo e può veire il dubbio che, come esposo el paragrafo precedee, sia derivao essezialmee dalla preseza della edeza, be chiara per i cosumi ella figura.3, elle serie delle due variabili. Allora calcoliamo le due serie delle differeze e simiamo l equazioe (.8.8); oeiamo 38

39 co zˆ =.674 y (.9.4) R =.69, ma ache queso coefficiee di deermiazioe è relaivamee alo e si può cocludere che effeivamee sussise ua relazioe ecoomica ra il reddio e cosumi ell Ialia degli ai 8 e 9. fuzioe del cosumo z y Foe: OECD (4) Figura.6 Diagramma di dispersioe che rappresea il cosumo reddio y i fuzioe del ; dai auali reali per l Ialia 98 espressi i miliardi di euro. z u Figura.7 Serie sorica dei residui reddio reali (auali) i Ialia, ai 98. uˆ = z zˆ della relazioe lieare ra il cosumo e il 39

40 Si osservi che l R è più basso quado si usao le differeze delle variabili al poso dei loro livelli. Queso fao è abbasaza geerale e quado ad u dei livelli superiore all 8% corrispode u rieere soddisfai. Coefficiee di deermiazioe e scela del modello R per u equazioe R elle differeze superiore al 6% ci si può Si è deo el paragrafo. che ua fuzioe del cosumo diversa dalla (.9.) porebbe essere oeua sosiuedo ad il reddio dispoibile. Facciamolo, co l aiuo della serie ITAYDRH raa ache quesa dalla base di dai dell OCSE. Simiamo duque la (.9.) co i uovi dai e oeiamo y zˆ = y d =,,..., (.9.5) co u coefficiee di deermiazioe cerao pari a R =.837 (.9.6) più basso del (.9.3) per cui è saisicamee preferibile scegliere il (.9.) come modello rappreseaivo della fuzioe del cosumo. E queso u semplice esempio di uso del coefficiee di deermiazioe per la scela del modello. Omogeeià dei dai La sima della fuzioe del cosumo ci permee di fare ua cosiderazioe rilevae ell aalisi ecoomica. Abbiamo simao la (.9.) suppoedo che essa sia valida, come forma, ell iero orizzoe campioario 98 e che i parameri µ e β o vario roppo i ale periodo; i paricolare che la propesioe margiale al cosumo sia approssimaivamee cosae. Abbiamo, i ulima aalisi, cogeurao che il campioe sia omogeeo i ale periodo: è u ipoesi che può valere ma che ache può o valere. Ifai proviamo a dividere il campioe i due pari, dal 98 al 994, e dal 99 al e simiamo la (.9.) co quesi due soocampioi (che i pare si sovrappogoo). Oeiamo per gli ai , e zˆ = y (.9.7) d y zˆ = y (.9.8) per gli ai 99. Quese equazioi soo be diverse dalla (.9.) e allora si deve dire che il modello (.9.) è sbagliao e deve essere sosiuio dalla coppia (.9.7), (.9.8)? No ecessariamee. 4

41 La scela dipede ifai dagli obieivi che l aalisa si poe. Se ha la ecessià di cosiderare il periodo 98 come u u uo e di oeere u dao medio (ad esempio la propesioe margiale media el periodo), deve preferire la (.9.) alla coppia (.9.7), (.9.8). Ma la scela può ache dipedere dalla umerosià del campioe: vedremo i seguio che più il campioe è umeroso e più precise soo le sime e porebbe accadere che la suddivisioe del campioe produca sime diverse sì, ma o affidabili. Ache la specificazioe dell equazioe da simare dipede dagli obieivi che ci si propoe di coseguire, dal grado di approssimazioe che si vuole oeere, e dal campioe di dai dispoibili. No liearià rispeo alle variabili U alra osservazioe è periee. Si è viso che la propesioe margiale al cosumo sembra i Ialia essere decrescee; allora, voledo essere molo precisi, poremo ierpolarla co ua rea β = γ + δ (.9.9) per cui la fuzioe del cosumo (.9.) verrebbe ad essere scria ella forma ( ) z = µ + γ + δ y = µ + γ y + δ y o lieare rispeo alle variabili (a causa del prodoo y ). Ma poremo porre w = y oeedosi la forma z = µ + γ y + δ w che è lieare ache rispeo alle variabili (e quidi facilmee simabile) ma coeee re parameri.. Propesioe media ed elasicià Simiamo ora l equazioe z β y u = + (..) dove β rappresea ua sora di propesioe media al cosumo e ci propoiamo di deermiare come quesa sia variaa i Ialia egli ulimi quaraa ai. Prediamo dalla base di dai dell OCSE acora i cosumi ITACPV e il reddio GDPV, ma quesa vola rimesrali, el e el 4 rimesre di ogi ao dal 965 al, e dividiamo il campioe i cique soocampioi formai da 6 elemei ciascuo. Simiamo ed oeiamo 4