Appendice 1. Le previsioni economiche

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1 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl Appedice. Le previsioi ecoomiche A. Iroduzioe La previsioe del fuuro da sempre cosiuisce maeria di grade fascio e ieresse. Nel momeo i cui deve predere decisioi che codizioerao la propria orgaizzazioe el fuuro, ogi operaore ecoomico foda le proprie scele su ua serie di previsioi, spesso fae iuiivamee e, a vole, ache icosciamee. Soprauo i periodi o i coesi di grade icerezza, causaa ache da ua sempre maggiore aperura e compeiivià ei mercai, dall adeguaezza delle previsioi fae dipede i buoa misura la prosperià, e alvola la sessa sopravviveza, dell orgaizzazioe o dell azieda. Si pesi, ad esempio, alla previsioe per i mesi o gli ai fuuri di variabili come il volume delle vedie di u azieda o la domada aggregaa di u prodoo o servizio, che soo variabili deermiai ai fii della programmazioe della produzioe. Oppure alla previsioe del prezzo di ua maeria prima che era come ipu ei prodoi dell azieda, ecessaria per defiire ua adeguaa poliica degli approvvigioamei e degli soccaggi. I quesa appedice viee preseaa ua rassega delle pricipali eciche saisiche di previsioe uilizzae per fare previsioi per il fuuro araverso la coosceza degli adamei passai. Esse, va subio chiario, soo da cosiderare come iegraive, e o cero aleraive o peggio i corapposizioe, rispeo alle previsioi che gli operaori ecoomici geeralmee fao i modo iuiivo, o formalizzao ecicamee, sulla base della coosceza profoda del coeso di riferimeo e i defiiiva del loro fiuo. Erambi gli approcci alla previsioe quello fodao sulle eciche saisiche e quello basao sulle capacià iuiive e la coosceza del coeso da pare dell operaore preseao vaaggi e limii. Il secodo ha l evidee limie di o riuscire é a eer coo cogiuamee dell eorme mole di dai dispoibili, é a realizzare le previsioi co la ecessaria imparzialià. Il primo scoa ivece il limie di o riuscire ad iglobare ei modelli di previsioe gradezze difficilmee quaificabili o di cui o soo dispoibili misurazioi co la ecessaria coiuià. Il capiolo si aricola el modo seguee. Vegoo iizialmee descrie le compoei di ua serie emporale (paragrafo A.) e i pricipali idicaori per la quaificazioe degli errori di previsioe (paragrafo A.3); vegoo successivamee preseae le eciche di previsioe basae sulle medie mobili (paragrafo A.4) e sul livellameo espoeziale (paragrafo A.5); ifie viee richiamaa la previsioe mediae modelli di regressioe, sviluppaa el Capiolo 4 del volume. A. Le compoei di ua serie emporale e la fuzioe di auocorrelazioe Ua serie di dai può essere di ipo spaziale (cross-secioal), quado i sigoli valori cosiuiscoo osservazioi raccole ello sesso isae o relaive allo sesso periodo di empo, o di ipo emporale, quado cocere osservazioi relaive a successivi periodi di empo. I queso secodo caso la serie di dai si defiisce serie sorica o serie emporale (ime series). Quado la previsioe è basaa sulle osservazioi relaive al passao, e si basa quidi su serie soriche di dai quaiaivi, uo degli elemei più imporai per la scela della ecica di previsioe è la preseza o meo delle diverse compoei che defiiscoo ua serie emporale. Quese compoei soo il red, il ciclo e, el caso di dai ifra-auali (ad esempio mesili o rimesrali), la sagioalià. Il red è l adameo di lugo periodo della serie, idica cioè la sua edeza alla crescia o alla decrescia i u lugo periodo di empo. Quado le osservazioi della serie oscillao ioro ad u livello cosae si dice che siamo i asseza di u red e la serie viee defiia sazioaria i

2 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl media. Al corario, quado le osservazioi edoo a crescere o a decrescere el lugo periodo siamo i preseza di u red posiivo o egaivo. Quado le osservazioi edoo a crescere o a decrescere rispeo al red co periodicià variabili siamo ivece i preseza ache di ua compoee ciclica, che si aggiuge al red. La compoee ciclica i ua serie è daa dalle oscillazioi ioro al red ed è spesso deermiaa dai cicli di espasioe e di corazioe ecoomica. Nel caso di dai ifra-auali, quado le osservazioi preseao oscillazioi caraerizzae da ua cera regolarià, ao dopo ao ad esempio picchi e avvallamei i corrispodeza dei medesimi mesi o rimesri siamo i preseza di ua compoee sagioale. La compoee sagioale è quidi deermiaa da u percorso di cambiameo ella serie che ede a ripeersi, più o meo cosaemee, ao dopo ao. U primo srumeo saisico per esplorare l adameo di ua serie emporale è l auocorrelazioe, defiia come la correlazioe ra ua variabile e se sessa riardaa di uo o più periodi di empo. L auocorrelazioe viee misuraa mediae il coefficiee di correlazioe lieare di Bravais- Pearso (si veda il Capiolo 3, paragrafo 3.3.3), che assume la seguee espressioe: ( = k + k = r = )( ( k ) ) dove rk è il coefficiee di auocorrelazioe relaivo ad u riardo di k periodi è l osservazioe della serie al periodo k è l osservazioe della serie al periodo -k è la media arimeica dei valori della serie. All aumeare del umero di periodi di riardo il calcolo del umeraore avviee su u umero sempre più ridoo di osservazioi. E iolre facile verificare che si ha r = 0. L auocorrelazioe può quidi essere defiia come ua fuzioe discoiua r(k), chiamaa fuzioe di auocorrelazioe, che assume valori diversi al variare del umero di periodi di riardo. Tale fuzioe può essere rappreseaa graficamee mediae il correlogramma. Araverso l aalisi della fuzioe di auocorrelazioe, ovvero del correlogramma, è possibile dare risposa ad alcue domade che ci si deve porre quado si effeua l aalisi di ua serie emporale. I paricolare, se la serie può essere cosideraa sazioaria i media o se, al corario, la serie presea u red, oppure se esise ua sigificaiva compoee sagioale. Se la serie presea u red, si osserva u valore molo elevao sia del coefficiee di auocorrelazioe r(), sia di quelli relaivi a u cero umero di riardi successivi, sebbee decrescei, prima di edere gradualmee a zero. I ua serie sazioaria, al corario, i coefficiei di auocorrelazioe edoo a zero piuoso rapidamee, geeralmee dopo il secodo o erzo riardo. Se ua serie presea ua compoee sagioale i coefficiei di auocorrelazioe risulerao sigificaivi per i riardi pari alla frequeza di periodi ell ao e a mulipli di essa. Ad esempio, per dai quadrimesrali risulerao sigificaivi i coefficiei ai riardi 3, 6, 9 e cosi via; per dai rimesrali risulerao sigificaivi i coefficiei di auocorrelazioe ai riardi 4, 8, e cosi via; per dai mesili risulerao elevai r(), r(4), r(36) e cosi via.

3 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl Meerei qui qualche esempio di serie sorica e di relaivo correlogramma (co e seza red, co e seza sagioalià) A.3 Gli errori di previsioe La precisioe di ua previsioe è misurabile a parire dai cofroi ra i valori previsi e i valori che si soo effeivamee realizzai per diversi periodi di empo. Idicado co il valore di ua serie emporale al empo e co il corrispodee valore della serie al empo previso i precedeza (ad esempio, uo o più periodi precedei), l errore di previsioe per il empo è dao da e = U primo modo di sieizzare ali errori di previsioe, per defiire ua misura sieica della boà di u meodo di previsioe, cosise el calcolare la media arimeica dei loro valori assolui (MAD), el modo seguee: = MAD = Il MAD ha il vaaggio di essere facilmee ierpreabile, essedo espresso ella sessa uià di misura dei ermii della serie. U alro meodo frequeemee uilizzao è quello basao sull errore quadraico medio (MSE) cioè sulla media arimeica dei quadrai dei sigoli errori di previsioe: MSE = = ( ) L errore quadraico medio, efaizzado il peso degli errori molo elevai, è preferibile, come misura della boà di ua ecica di previsioe, quado ad essa è richiesa ua cera cosaza el empo degli errori di previsioe, piuoso che, a parià di deviazioe assolua media, errori di eià roppo variabile (ad esempio, geeralmee prossimi a zero, ma occasioalmee molo elevai). A vole, i paricolare quado si raa di cofroare ua o più eciche di previsioe su diverse serie emporali, è opporuo ricorrere a misure di errore espresse i ermii relaivi o perceuali aziché assolui. Ua di quese misure è l errore medio assoluo perceuale (MAPE), oeuo come media degli errori relaivi, dai dal rapporo ra gli errori i valore assoluo e i corrispodei valori osservai, moliplicaa per ceo: MAPE = = 00 Per valuare se ua deermiaa ecica di previsioe forisce previsioi sisemaicamee disore o se, al corario, fuzioa i media, si può ricorrere all errore perceuale medio (MPE), defiio aalogamee al MAPE, ma co gli scari ra valori osservai e previsi o i valore assoluo:

4 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl MPE = ( ) = 00 Se l MPE risulerà prossimo a zero si porà cocludere che la ecica forisce previsioi o disore. Al corario, qualora la ecica coduca a sovrasime o soosime sisemaiche del valore vero l MPE risulerà, rispeivamee, largamee egaivo o posiivo. A.4 Medie mobili Ua ecica di previsioe molo semplice è quella basaa sulle medie arimeiche dei valori del passao. L ipoesi che si accea è che le fluuazioi della serie ei periodi passai soo dovue ad effei casuali. Ua prima possibilià cosise el prevedere il valore fuuro co la media arimeica semplice di ui i valori dispoibili el passao. Dispoedo dei valori osservai fio al periodo, la previsioe per il periodo + sarà: + = i=. Ua vola che ua uova osservazioe diviee dispoibile si porà fare ua uova previsioe sul periodo fuuro uilizzado ua osservazioe i più. Ua obiezioe all uilizzo di ale ecica cosise el fao che le osservazioi molo loae el empo porebbero o avere più imporaza per la osra previsioe. Si può allora decidere di uilizzare sempre u umero cosae di osservazioi passae: ogi vola che ua uova osservazioe diviee dispoibile, la previsioe viee faa aggiugedo la uova osservazioe ma elimiado dalla media la più daaa. Queso approccio prede il ome di medie mobili. La previsioe per il periodo fuuro co ua media mobile di ordie k è daa dalla seguee espressioe: + + k k + + = Le previsioi basae sulle medie mobili o soo uavia appropriae ei casi di serie emporali che preseao ua sigificaiva compoee di red o di sagioalià. Nel primo caso, ifai, mediado le osservazioi passae si iroduce ua soosima sisemaica i preseza di red posiivo e ua sovrasima i preseza di red egaivo. Nel secodo caso, specialmee se si fa coicidere k co il umero di periodi (e di osservazioi) presei i u ao, la previsioe viee faa elimiado o mediado gli effei sagioali. U modo per poer effeuare previsioi su serie emporali che preseao u red lieare è quello di uilizzare il meodo delle doppie medie mobili. Tale meodo cosise el calcolare prima le medie mobili sui dai origiari: M = k + k e poi ua secoda serie di medie mobili sulle prime:

5 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl M = M + M + M +... M k + k + Successivamee, vegoo calcolai due coefficiei a e b che defiiscoo, rispeivamee, il puo di pareza per le previsioi e la pedeza del red lieare: a b = M + ( M = ( M k M ) = M M ) M La previsioe effeuaa al empo valida per il p-esimo periodo fuuro è ifie daa da: ˆ = a + b + p p Uilizzado la ecica delle doppie medie mobili risula ache possibile spigere la previsioe olre il primo periodo e prevedere il valore della serie ache per diversi periodi i avai. A.5 Livellameo espoeziale La criica pricipale che può essere faa ai meodi di previsioe basai sulle medie è che alle osservazioi passae uilizzae per il calcole della media siao esse ue quelle dispoibili come el caso della media semplice o, più frequeemee, solo le ulime k, come el caso delle medie mobili viee daa la sessa imporaza. Al corario, sembra ragioevole assegare maggiore imporaza alle osservazioi più recei e ua imporaza via via decrescee ma mao che si uilizzao osservazioi più loae el empo. Quesa assuzioe coduce ai meodi di livellameo espoeziale, che soo pricipalmee di due ipi: il livellameo espoeziale semplice e i meodi di Hol e Wiers. Livellameo espoeziale semplice Il meodo del livellameo espoeziale semplice forisce ua previsioe basaa su ua media di ue le osservazioi passae poderae assegado pesi maggiori alle osservazioi più recei e miori a quelle meo recei, co pesi decrescei i modo espoeziale. All osservazioe più recee si assega il peso α compreso ra 0 e, a quella precedee il peso α(-α), alla erzulima il peso α(-α) e cosi via. I simboli: = α + α( α) + α( α) + α( α) Poiché per la medesima formula è = α + α( α) + α( α) la previsioe per il periodo + può ache essere scria el modo seguee (formulazioe ricorsiva): ( ) + = α + α (A)

6 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl Sviluppado la (A) si oiee: + = α + α ( + = + α ). La uova previsioe può duque essere visa ache come la vecchia previsioe ( ) più alfa vole l errore che si è verificao ella vecchia previsioe. Come deo, α è u coefficiee compreso ra zero e uo e deermia il rimo di decremeo dei pesi. Più precisamee se si fissa u valore di α prossimo a zero si assega u peso modeso alle osservazioi recei ma si adoa u rimo di decremeo degli sessi molo basso, il che i sosaza sigifica correggere di poco le previsioi basae sulle medie semplici. Al corario, se si adoao valori di α più elevai si assega u peso più elevao all ulima osservazioe e a quelle immediaamee precedei, ma si adoa u rimo di decremeo ach esso elevao, co la cosegueza che le osservazioi loae ache solo di pochi periodi avrao assegao u peso prossimo a zero. Nella abella che segue vegoo riporai alcui esempi di calcolo dei pesi per diversi valori di α : α=0, α=0,5 α=0,8 Periodo calcolo peso calcolo peso calcolo peso 0,00 0,500 0,8000-0,90, 0,090 0,50,5 0,50 0,80, 0,600-0,90,90, 0,08 0,50,50,5 0,5 0,80,80, 0, ,90,90,90, 0,079 0,50,50,50,5 0,065 0,80,80,80, 0, ,90,90,90,90, 0,0656 0,50,50,50,50,5 0,033 0,80,80,80,80, 0,003 Alri 0,5900 0,033 0,0003 La scela del valore di α è duque il problema pricipale che si poe quado si adoao quesi meodi di previsioe. U modo per deermiare il miglior valore del paramero α cosise ell adoare ua procedura ieraiva che miimizza l errore quadraico medio (MSE) delle previsioi fae per i periodi precedei, per i quali si cooscoo ache i valori veri. Si raa cioè di calcolare le previsioi per i periodi passai adoado diversi valori di α (0, 0, 0,3 0,9) e poi l errore quadraico medio ra valori predei e valori reali per ciascu valore di α. Il valore di α che deermia il mior errore quadraico medio sulle previsioi fae per i periodi precedei viee scelo per effeuare le previsioi per i periodi fuuri. Per uilizzare queso meodo resa il problema di deermiare il primo valore predeo, che i geere viee poso uguale al primo valore reale o alla media ra i primi re o quaro valori reali della serie. I meodi di Hol e Wiers Il meodo del livellameo espoeziale semplice presuppoe che il livello della serie possa cambiare i modo occasioale e mal si adaa ad effeuare previsioi i preseza di u red, sia esso posiivo o egaivo. Il problema è aalogo a quello evideziao per le medie semplici e le medie mobili: basado la previsioe su ua media, sia pure poderaa, di osservazioi passae, i preseza di u red crescee o decrescee si oegoo, rispeivamee, sisemaiche soosime o sovrasime. I quesi casi, per ovviare al problema, si può uilizzare il meodo di livellameo espoeziale proposo da Hol (957) che prevede due parameri. Le re equazioi che compogoo la formulazioe maemaica del meodo di Hol soo:

7 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl. le sime, livellae espoezialmee, dei valori della serie L = α + ( α)( L + T ) ; A. le sime, livellae espoezialmee, dei valori del red T = ( L L ) + ( β ) T β ; A3 3. la previsioe, faa al empo, per il p-esimo periodo fuuro ˆ = L + pt. A4 + p Nelle re equazioi precedei soo deoai co: L il livello, appiaio espoezialmee, della serie al empo α u paramero che deermia il rimo di decremeo dei pesi per la sima dei livelli (0 α ) il valore effeivo della serie al empo β u paramero che deermia il rimo di decremeo dei pesi per la sima del red (0 β ) T la sima del red al empo la previsioe faa al empo e valida per il p-esimo periodo fuuro + p Il secodo paramero irodoo, β, deermia il rimo di appiaimeo per simare il valore del red da applicare alla previsioe, ieso come differeza ra u livello e quello al periodo precedee. Ache il red, ifai, risula calcolao come ua media poderaa del diversi valori di red evideziai ei periodi passai. L equazioe A3 è simile alla A co la differeza che il livellameo espoeziale viee effeuao sul red piuoso che sul livello della serie. Adoare valori di β prossimi allo zero sigifica assegare u peso basso al red dell ulimo periodo oo ma u peso che decresce molo leamee ma mao che si cosiderao i red più loai el empo. Adoare valori di β più elevai sigifica assegare pesi più elevai ai valori del red dell ulimo periodo ma molo decrescei per valori del red più loai. I modo aalogo al meodo del livellameo espoeziale semplice il vero problema sa ella scela dei valori da adoare per i parameri α e β. Se si vuole eviare ua scela soggeiva, u crierio aaliico di scela di α e β può essere quello di idividuare, per mezzo di ua procedura ieraiva, i valori dei due parameri che coseoo di miimizzare l errore quadraico medio delle previsioi fae per i periodi passai. Per avviare quese procedure di oimizzazioe è uavia ecessario imposare u valore iiziale sia per il livello che per il red. Si può porre la sima iiziale del livello pari al valore della prima osservazioe della serie e la sima iiziale del red pari a zero. Aleraivamee si può cosiderare la media delle prime re o quaro osservazioi come sima iiziale del livello e la pedeza della rea ierpolae quese prime osservazioi come sima iiziale del red. Nel caso di ua serie che presea ua evidee compoee sagioale il modello di Hol o appare paricolarmee idicao per effeuare delle buoe previsioi. Ifai, icorporado ella previsioe solo ua compoee di red lieare, ede a forire previsioi co delle soosime o sovrasime sisemaiche per i periodi fuuri, rispeivamee, ad ala o bassa sagioalià. I preseza di compoee sagioale può essere uilizzao u modello di previsioe proposo da Wiers (960). Queso cosise i ua esesioe del modello di Hol mediae l iroduzioe di ua equazioe uilizzaa per simare la sagioalià, sempre come media poderaa co pesi

8 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl decrescei el empo delle sagioalià osservae ei periodi passai. Nel modello di Wiers viee duque irodoo u erzo paramero, γ, che deermia il rimo di decremeo dei pesi ella sima della compoee sagioale. Le quaro equazioi del modello di Wiers soo le seguei:. le sime, livellae espoezialmee, dei valori della serie L = α + S s + ( α)( L T ) A5. le sime, livellae espoezialmee, dei valori del red T = β ( L L ) + ( β ) T A6 3. le sime, livellae espoezialmee, della compoee sagioale S = γ + ( γ ) L S s A7 4. la previsioe, faa al empo, per il p-esimo periodo fuuro ˆ = ( L + pt ) S A8 + p s+ p Olre alla oazioe precedee, i quese equazioi si ha: γ il paramero che deermia il rimo di decremeo dei pesi per la sima della sagioalià (0 γ ) S la sima della compoee sagioale al empo s il umero di periodi della sagioalià (ad esempio s= per dai mesili, s=4 per dai rimesrali, s=3 per dai quadrimesrali) Come si vede, ella A5, che aggiora i livelli appiaii della serie, il valore osservao viee diviso per S -s, che è il faore correivo per la sagioalià, rimuovedo i al modo ale compoee dalla serie. La sagioalià viee reirodoa ella equazioe A8 relaiva alla previsioe, dove al livello auale (del empo ) viee applicao il red lieare e il uo viee poi correo i modo moliplicaivo per la compoee sagioale simaa per il p-esimo periodo fuuro. S sarà duque u faore moliplicaivo maggiore di uo ei periodi ideificai come ad ala sagioalià, mere risulerà miore di uo ei periodi a bassa sagioalià. Aalogamee a quao deo per il modello di Hol, i parameri α, β e γ possoo essere sceli i modo soggeivo, magari desui da alre serie ad adameo simile, o i modo aaliico scegliedo i re parameri i modo che miimizzio l errore quadraico medio per le previsioi fae per i periodi passai. Ache per il modello di Wier, per avviare il calcolo dei valori livellai L secodo la A5, dispoedo del primo valore osservao, devoo essere imposai i valori di L, T e S. Ua prima possibilià cosise ell ipoizzare L =, T = 0 e S =. Ua secoda possibilià cosise el porre

9 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl L uguale alla media delle prime s osservazioi, T uguale alla pedeza della rea ierpolae le medesime prime s osservazioi e S pari al rapporo ra e L s. A.6 La previsioe mediae modelli di regressioe Queso paragrafo o va soppresso, perché l argomeo è già raao el capiolo 4, oppure va riformulao per spiegare (meglio) solo la prima pare: perché l auocorrelazioe è buoa per la previsioe. L uilizzo di modelli di regressioe rappresea u'alra ecica molo uilizzaa per fii previsivi. Rimadado al capiolo 4 del volume per ui gli aspei eorici relaivi alla regressioe, i quesa sede si iede solo richiamare i pricipali problemi che possoo isorgere uilizzado il meodo dei miimi quadrai per simare modelli di regressioe co dai emporali a fii previsioali. Il problema pricipale è seza dubbio quello della auocorrelazioe esisee ormalmee elle serie emporali, ovvero la correlazioe ra successive osservazioi el empo dello sesso feomeo. A queso riguardo si deve osservare che se l auocorrelazioe rappresea u problema quado si deve simare u modello di regressioe, poiché ede a falsare i es di sigificaivià dei parameri del modello, la sua preseza o è così daosa ai fii della precisioe della previsioe. Si pesi, ad esempio, di dover prevedere il prezzo di u bee i u periodo fuuro; la preseza di auocorrelazioe suggerisce la possibilià di uilizzare i valori osservai el passao per prevedere il fuuro. Quado ivece ci si accige a simare u modello di regressioe la preseza di auocorrelazioe, violado ua delle ipoesi del meodo dei miimi quadrai, crea i seguei problemi: l errore sadard delle sime i geere soosima la variabilià del ermie di errore; l ifereza basaa sui es T e F o risula formalmee applicabile; gli errori sadard dei coefficiei di regressioe soosimao la variabilià dei parameri del modello e può essere rilevaa ua regressioe spuria. La preseza di quesi problemi può facilmee essere rilevaa mediae il es Durbi-Waso sui residui del modello. Ua vola rilevai problemi ella disribuzioe dei residui, la prima cosa da fare è cercare di capire la causa che può averli geerai. Molo frequeemee le cause sao i ua erraa specificazioe del modello come aver omesso ua variabile o aver ipoizzao ua erraa forma fuzioale. U primo approccio cosise duque el provare ad iserire el modello ua o più uove variabili. U approccio aleraivo per rimuovere quesi problemi cosise el differeziare le variabili, cioè el provare a modellare i cambiamei piuoso che i livelli. U uleriore approccio meodologico cosise o el rimuovere il problema dell auocorrelazioe, besì el cercare di modellarlo cioè di icluderlo el modello. I modelli auoregressivi cosisoo appuo ell iserire ra le variabili idipedei la variabile dipedee riardaa di uo o più periodi. U alro problema che spesso si deve affroare quado ci si accige a simare u modello di regressioe su dai emporali è quello della variabilià che ede a crescere co il passare del empo, specie quado si è i preseza di u red crescee. La preseza di queso problema, cioè di ua variabilià o cosae el empo, viee defiio co il ermie eeroschedasicià. Quado si effeua la sima di u modello di regressioe la preseza di queso problema si scarica sui residui del modello. Se la variabilià dei residui del modello ei periodi più recei risula superiore rispeo a quella osservaa per i periodi più loai e la deviazioe sadard delle sime viee uilizzaa per defiire le bade di cofideza delle previsioi per i periodi fuuri, quese bade risulerao roppo sree rispeo al livello di cofideza prefissao. A vole il problema della eeroschedasicià può essere elimiao effeuado delle semplici rasformazioi di variabili come la rasformazioe doppio logarimica ricorredo ai cosiddei modelli log-lieari. I alri casi cercado di elimiare il

10 Saisica aziedale Bruo Bracalee, Massimo Cossigai, Aa Mulas Copyrigh 009 The McGraw-Hill Compaies srl red dalle serie si riesce ache ad oeere serie emporali co variaza cosae; ad esempio el caso di serie espresse i valori moeari a prezzi correi, deflazioado la serie, cioè esprimedo i ermii della serie a prezzi cosai si riesce spesso a ridurre o elimiare il problema della variaza crescee. Quado si è i preseza di serie emporali che preseao ache ua compoee sagioale ua possibile soluzioe per eer coo ache della sagioalià cosise ell iserire ra le variabili idipedei del modello ache delle dummy sagioali, pari al umero delle periodi sagioali meo uo (quidi due dummy per dai quadrimesrali, re per dai rimesrali, udici per dai mesili e cosi via). Le sime dei parameri corrispodei sarao appuo le sime dell effeo della sagioe corrispodee rispeo al periodo sagioale o iserio el modello. Evideemee, per o perdere roppi gradi di liberà, occorre disporre di u umero sufficiee di osservazioi per modellare ache la sagioalià.