Lezione 7. Il Metodo GLS (Minimi Quadrati Generalizzati) e FGLS

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1 Lezioe 7 Il Meodo (Miimi Quadrai Geeralizzai) e F Nei meodi di sima OLS e NLS, reseai ei recedei caioli, l eveuale reseza di eeroschedasicià egli errori (ed ache la reseza di auocorrelazioe) iflueza solao la variaza asioica degli simaori; dei simaori soo asioicamee efficiei i ua oorua classe di simaori solao se gli errori soo omoschedasici e aruralmee se le variabili diedei soo esogee o redeermiae; vedi eorema a ag 4 di Lezioe 5 I queso caiolo si descrivoo rocedure che coseoo, i aricolari coesi e i reseza di eeroschedasicià (e/o correlazioe), di cosruire simaori asioicamee iù efficiei Per semlicià si farà riferimeo ai soli modelli lieari e iizialmee, come d alrode è sao fao quado è sao reseao il meodo OLS, si farà ua veloce carrellaa su quao oo el caso di camioi fiii E assegao il modello lieare co le seguei ioesi sugli errori: u Il meodo er camioi fiii x er,, (o i forma mariciale X u ) i) Srea esogeeià delle variabili x (cioè E( u X ) 0 er ogi,, ); ii) Errori eeroschedasici ed eveualmee correlai (cioè E( uu X) ( ) e I ; se gli errori soo o correlai allora la marice è diagoale) iii) La marice è comleamee oa (duque l uico aramero o oo ella variaza degli errori è ) Cosruzioe dello simaore : Si cosidera ua marice (quadraa di ordie ) ale che quao la marice, che a meo di ua cosae e` la marice di covariaza di defiia osiiva) e il modello lieare (*) X v, v u, (esise e o è uica, i u, e` simmerica e che, daa l`iveribilià di, è equivalee al modello origiario I esso le variabili soo sreamee esogee e gli errori soo omoschedasici, i quao si ha E( v X) E( u X) E( u X) 0, E( vv X) E( uu X) E( uu X) I * OLS OLS * Defiizioe: Poso (essedo lo simaore OLS di er il modello (*)), dicesi

2 simaore (dei miimi quadrai geeralizzai) di er il modello origiario Prorieà dello simaore (seguoo facilmee dalle rorieà di arziale): ha la seguee rareseazioe * OLS è simaore correo di ; L eleco è comuque X X X X X X u è efficiee (el seso che ha la miima variaza ra gli simaori correi e lieari i ); var( X) XX XX ; Se u X N( 0, ) u e X soo idiedei e u N( 0, ) allora si ha s X N(,var( X)) ( I ( ) ) ( ) k XX X X k XX X X è uo simaore correo di ; iolre se gli errori hao disribuzioe ormale allora e s soo idiedei e s ( k) k Osservazioe: a) La marice X k k k X X ( ) ( ) X X X X è la marice (di ordie k ) delle osservazioi delle variabili idiedei del modello (*) Se ali uove variabili soo deoae co il simbolo x,, x k, la esima osservazioe di x j è combiazioe lieare delle osservazioi della corrisodee variabile (origiaria) elemei della e sima riga di Da ciò segue esogee); x j, i cui coefficiei soo gli ) (le variabili x soo sreamee esogee) (le variabili x soo sreamee ) le variabili x e x o ossoo essere coemoraeamee (solao) esogee a meo che la marice o sia diagoale b) miimizza la fuzioe obieivo X X ) ; (la verifica è Q( ) ( ) ( immediaa) Duque miimizza la disaza di da X, disaza defiia dalla marice simmerica e defiia osiiva (è a meo di u faore molilicaivo l iversa della variaza

3 degli errori) c) e` lo simaore di (el modello (*)) co il meodo dei momei riseo al veore (di dimesioe k ) di variabili sreamee esogee w la cui marice delle osservazioi e` W X (er la defiizioe vedi ag 3 del caiolo 5) ( k) Ifai si ha w wx w WX W X X X d) Per lo simaore OLS di (che e` lo simaore co il meodo dei momei co W X), si ha var( ) ( ) ( ) OLS X XX XX XX e OLS var( X) var( X) e) Se è diagoale, co l elemeo diagoale di idice, la sima di del modello x è la sima OLS del modello u x v Si oi che ques`ulimo modello o ha l`iercea e quidi dai R c o è uilizzabile er misurare la boà dell adaameo del modello ai Il Meodo (asioico) F (Feasible Geeralized Leas Square) Fiora si è assuo che la marice, ella rareseazioe della variaza degli errori, è oa; quesa ioesi o e` (affao) lausibile i ecoomeria I queso ambio frequeemee si uilizza lo simaore OLS e la sua variaza asioica e` simaa co lo simaore di Whie (HC) i reseza di eeroschedasicia` o co quello di Newe-Wes (HAC) se e` resee ache l`auocorrelazioe Il meodo F uilizza eveuali iformazioi disoibili sulla marice e il meodo, er cosruire simaori di asioicamee iu` efficiei di quelli OLS E` assegao il modello lieare x u co E( u ) 0 e x, er, Osservazioe: Si sa assumedo (come soliamee accade) che le variabili idiedei del modello soo esogee, erao le due (eveuali) uleriori ioesi reseza di riardi di el modello e reseza di correlazioe egli errori ossoo sussisere solao searaamee Per eviare di aesaire l`esosizioe o sarao idicae esliciamee, ma si rierrao valide, le ioesi che coseoo di uilizzare, quado se e resea la ecessià, qualche versioe 3

4 della legge dei gradi umeri e del eorema del limie cerale E` ooruo ricordare che il meodo richiede che il modello abbia errori sreamee esogei oure errori esogei ma seza correlazioe egli errori (vedi il uo (a) della recedee osservazioe) Il meodo F er dai cross-secio I queso caso, er ogi ( ), la marice di covariaza del veore degli errori è diagoale; siao (er,, ) gli elemei diagoali di Si suoe uleriormee che er gli errori sussisa ua relazioe del seguee io: l E( u ) ex( z ) co z er ogi, (co R o oo) Osservazioe: Quesa ioesi o è molo resriiva er dai del io cross-secio Essa esrime solao la diedeza della variaza codizioaa degli errori da alue variabili esogee (o ecessariamee quelle resei el modello) Tale circosaza uo` essere evideziaa, disegado il lo dei residui ella sima OLS verso la variabile diedee o (alvola) verso qualche variabile idiedee No c`e` alcua ragioe aricolare che giusifichi l`uso della fuzioe esoeziale se o quello di essere a valori osiivi e di forire ua classe abbasaza amia di modelli er la variaza Nel file Modello di Nerlove al uo 3 di ag7, e` sao rooso u alro modello er la variaza codizioaa suggerio dal lo dei residui verso ua variabile idiedee Per cocludere si segala che i leeraura soo disoibili vari es er la verifica dell`ioesi di omoschedasicia`; essi soo coceualmee molo semlici, aualmee oco uilizzai e qui o sarao reseai La rocedura er la cosruzioe dello simaore F: i) Si sima il modello origiario co il meodo OLS (il quale forisce ua sima cosisee di ) e si cosidera il rocesso dei residui u ; ( ) OLS ii) Si sima il aramero uilizzado il modello di regressioe lieare ausiliario log( u ) e siao z, er,,, i valori revisi z resid Si oi che dalla cosiseza di ) segue ( OLS u u X( ) max x j,, j,, k 0 (er ) e ciò giusifica i assi successivi, i cui si sosiuiscoo gli errori er i quali o soo disoibili le osservazioi co i residui, oerazioe già effeuaa recedeemee ma giusificaa i modo differee 4

5 / iii) Si oe ex( z ) e si cosidera il modello x resid Defiizioe: La simaore OLS di oeuo dal modello i iii) (che si rova essere cosisee), dicesi simaore dei miimi quadrai geeralizzai realizzabile (F) di F origiario) e si deoa co il simbolo (del modello Osservazioe: F e` duque lo simaore del modello origiario el quale gli elemei diagoali della marice soo sai sosiuii co d Disribuzioe asioica di F : Si rova facilmee ( ) N( 0,Avar( )) F F co Avar( F ) lim xx ; er ques`ulima uo simaore cosisee e` Avar( F ) s xx F co s calcolao co il modello i iii) Lo simaore e` ceramee asioicamee iu` efficiee di (ques`ulimo co lo simaore di Whie er la variaza) ma quado soo uilizzai co camioi fiii o e` deo che la redea efficieza coiui a sussisere, OLS Il meodo F er dai co correlazioe egli errori Osservazioe: Se o è diagoale e si ha ( ) (co veore o oo di l R idiedee da ), le recedei argomeazioi coseoo di cosruire, almeo eoricamee, lo simaore F el caso i cui e` disoibile uo simaore cosisee di e le variabili idiedei del modello soo sreamee esogee (vedi l`osservazioe (a) a ag ) Geeralmee la cosruzioe di o resea aricolari difficolà, roblemi di io umerico si reseao ivece ella cosruzioe di che verifichi la codizioe (si oi che la marice e` di grosse dimesioi) Qui e` riorao u esemio i cui e` facile idividuare la marice (si uilizza u meodo idireo) coseedo di cosruire, i modelli uili er le alicazioi, simaori che ache er camioi fiii si soo rivelai iu` efficiei di alri U alro esemio di u`alra aura e` reseao el caiolo successivo 5

6 Sima di Modelli Lieari co errori AR() (e variabili idiedei sreamee esogee): E assegao il modello ecoomerico x u, iid (0, ) u u,,,, e si suoe che a) ra le variabili idiedei o ci soo riardi della variabile diedee b) il rocesso u e` AR() (o equivaleemee sazioario, essedo gia` u u e iid (0, ) Vedi l`aedice er la defiizioe dei rocessi AR() e er alcue uili iformazioi su di essi) c) il valore di o e` oo Osservazioe: L`asseza di riardi della variabile ra le x garaisce la srea esogeeia` di quese ulime Ua rocedura di sima i cui ra le x ci ossoo essere ache riardi di, e` saa descria ell`esercizio a ag 8 di lezioe 6, dove d`alra are e` richieso solao che u u co Cosruzioe dello simaore : Per u fissao, si oiee co la rocedura descria ei assi da i) a iv): F F i) Calcolo della marice di covariaza degli errori (, ) er u rocesso AR() I aedice e` sao rovao che (, ) E( ) uu ( ) 3 ii) Trovare ua marice ale che ( ) Evideemee il calcolo direo e` umericamee comlesso Qui di seguio si resea ua rocedura idirea Si osserva che la marice deve rasformare il veore degli errori auocorrelai i u veore (della sessa dimesioe) di variabili o correlae e co variaza cosae; ua ale e` ero` descria imliciamee elle ioesi Ifai, essedo 6

7 ,, u sazioaria e er,, soddisfa l`equazioe u u iid (0, ),, si vede immediaamee che er deve ecessariamee essere u, e allora la versioe mariciale di dode u u u er,, e` u 0 0 u, u 0 0 u ( ) iii) Cosruzioe di uo simaore cosisee di Si cosidera il rocesso dei residui u oeui dalla sima OLS del modello origiario (si oi che la sima OLS di e` cosisee) e si cosruisce uilizzado idiffereemee ua delle seguei due rocedure Il meodo OLS el modello ausiliario u u resid ; La correlazioe emirica del rim ordie del rocesso dei residui e duque uu iv) Sima F di e sua disribuzioe asioica F e la sua disribuzioe asioica si oiee simado co il meodo OLS il modello ( ) ( ) X co iid (0, ), che i forma veoriale ha la seguee rareseazioe x x x er,, iid, (0, ) Cosiderazioi fiali e il meodo di Cochrae-Orcu: ) Come gia` segalao, el caiolo 6 e` saa roosa ua rocedura di sima er il modello 7

8 x u, iid (0, ) u u,,,, che uilizza il meodo NLS Qui si segalao i ro e i coro delle due rocedure F e NLS Quado soo uilizzabili erambe lo simaore F di e` asioicamee iu` efficiee di quello NLS (co eciche di simulazioe e` sao mosrao che l`efficieza sussise ache er camioi fiii) Il meodo F richiede che le variabili idiedei siao sreamee esogee e quidi o orà essere uilizzao se il modello è diamico (cioe` ra le variabili idiedei c è qualche riardo della variabile idiedee) Quesa resrizioe o e` ecessaria se si uilizza il meodo NLS Il meodo F uilizza ue le osservazioi, mere il meodo NLS sacrifica (almeo) la rima osservazioe (ifai el modello o lieare c`è sicuramee ) Co il meodo NLS si oiee (, ) co le uili iformazioi sulla sua disribuzioe NLS NLS asioica, mere ella rocedura F la sima di è codizioaa a quella di, erao F uò riseire della eveuale iefficieza di Il meodo NLS richiede che sia (duque e u soluzioe di ua equazioe alle differeze sabile u uò avere ua comoee umerica addiiva ifiiesima er ), mere el meodo F il rocesso u deve essere sazioario ) Il meodo di Cochrae-Orcu: E` u meodo di sima ieraivo er il modello recedeemee; è uilizzabile solao quado le variabili idiedei soo sreamee esogee Esso forisce essezialmee la sima F e ha il vaaggio di o richiedere la sazioariea` del rocesso degli errori e di oer essere facilmee adaao al caso i cui il rocesso degli errori è AR() co Iaziuo si osserva che il modello ha le seguei due rareseazioi equivalei: Ma) ( x ) ( x ) Mb) ( ) ( x x ) Procedura ieraiva: Si cosidera OLS er il modello x u come valore iiziale er (ceramee cosisee er l ioesi di srea esogeeià di ): x i) Si fissa i Ma il valore di uguale a OLS, e si sima co il meodo OLS; 8

9 ii) Si fissa i Mb il valore di uguale a quello simao el asso i) e si sima co il meodo OLS; iii) Si blocca l ierazioe, quado si riegoo due successive sime di sufficieemee vicie iv) L ulimo asso dà ache la sima della variaza asioica dello simaore Aedice Modelli er Processi Sazioari Auocorrelai Si descrivoo ora alcui modelli er rocessi (sreamee) sazioari auocorrelai che soo uilizzai i ecoomeria La classe di quesi modelli e` molo amia e er lugo emo (quado l`uico seore alicaivo delle ime-series era la eoria dei segali i igegeria) si e` esao (suorai ache dal famoso Teorema di Wold sulla rareseazioe dei rocessi debolmee sazioari) che er le alicazioi si oesse sosazialmee far coicidere co la classe di ui i rocessi sazioari Aualmee soo sai irodoi alri modelli di grade ieresse er l`ecoomeria ma che qui o sarao reseai I quao segue iid (0, ) ed è deomiao rumore biaco sreo (o fore) ( ) Defiizioe (di rocesso AR()): La (uica) soluzioe sreamee sazioaria dell equazioe alle differeze u u co dicesi rocesso auoregressivo del rim ordie (i breve AR()) Osservazioe: L`equazioe alle differeze u u co ha ifiie soluzioi che differiscoo da quella sreamee sazioaria er u ermie ifiiesimo er ( ) del io Deoao co l oeraore riardo, defiio sui rocessi dalla relazioe c L ( ) L x x iù brevemee L( x ) x ) sussise la seguee rareseazioe er il rocessou : ( 3) 0 0 (o ) ( I L) u u ( I L) u L ( ) u ( Prorieà dei Processi AR(): Si oi che qui sara` semre rocesso iid (0, ); i realà molo (ma o uo) di quello che si dira` sussise se il verifica solao le seguei codizioi E( ) 0,E( ),E( s) 0 er s; i al caso si arla di rumore biaco debole Ua ioesi iermedia ra rumore biaco fore e debole e` e` ua differeza marigala debolmee sazioaria 3 I modo aurale rimae defiio l oeraore riardo di idice, si ha ifai L ( x) L L( x) x Si segala che le equivaleze soo sae oeue co ua rocedura formale, che uò facilmee essere moivaa rigorosamee, iolre la somma della serie va iesa come somma i media quadraica 9

10 Il rocesso u è (sreamee sazioario ed) ergodico (si omee la rova) E( u ) 0; E( u u, u, ) u var( u ) er ogi (segue dalla ovvia uguagliaza var( u ) var( u ), ); s s (ifai si ha s cov( u, us) E( uu s) E( u us) E( us) s er, s dode dividedo er 0 si ha s s ed essedo 0 segue l assero); La marice di covariaza del veore u ( u,, u ) è ( ) E( uu ) ( ) 3 u Defiizioe (di rocesso AR()): La (uica) soluzioe sreamee sazioaria dell equazioe alle differeze sabile u u u u, (o equivaleemee il modulo di ue le radici della sua equazioe caraerisica e` miore di ) dicesi rocesso auoregressivo di ordie (i simboli AR()) Osservazioe: Cosiderao il oliomio comlesso ( z) z z (oare che (/ z) e` il oliomio caraerisico dell`equazioe alle differeze), il rocesso u soddisfa (evideemee) l equazioe ( Lu ) e la codizioe di sabilià dell equazioe alle differeze divea la seguee Le radici del oliomio ( z) hao ue modulo maggiore di Prorieà dei rocessi AR(): Il rocesso u è (sreamee sazioario ed) ergodico, e o è difficile rovare che ua rareseazioe del io esoeziale ( 4) u 0 E( u ) 0 ; E( u u, ) u u u u ha co la sequeza ifiiesima di ordie La sequeza delle auocovariaze (e` soluzioe di u roblema di valore iiziale er l`equazioe alle differeze che ha (/ z) come oliomio caraerisico) Molilicado 4 Si sa uilizzado la covezioe di assegare alla sequeza ifiiesima ( x ) er x l ordie esoeziale 0

11 rieuamee ell equazioe er u,, e calcolado l aseazioe si oegoo le seguei equazioi (i icogie) u che foriscoo i valori di, 0, mere se (el modello origiario) si molilica er (co, u s s ) e si calcola l aseazioe si oiee l equazioe alle differeze, s s s s che isieme ai valori già idividuai (co la risoluzioe delle recedei equazioi) forisce il roblema di valore iiziale, la cui soluzioe e` la sequeza delle auocovariaze del rocesso La sequeza delle auocorelazioi La sequeza di auocorrelazioi si oiee risolvedo il roblema di valore iiziale (deomiao sisema di Yule-Walker) relaivo all equazioe alle differeze s s s s co le codizioi iiziali che risolvoo il sisema (co equazioi e icogie) (Segue dal uo recedee, o aea si divide er 0 l equazioe alle differeze e le ulime equazioi che fissao le codizioi iiziali) Si oi che evideemee la sequeza delle correlazioi coverge a 0 er i modo esoeziale Defiizioe (di rocesso MA()): U rocesso u si dice MA() (Movig Average) oure a media mobile di ordie, se ha la seguee rareseazioe avedo oso ( z) z u ( ( ) L ) co ( 5) iid (0, ) essedo semre Prorieà dei rocessi MA(): 5 I realà la resrizioe i varie (o ue) siuazioi o è ecessaria, erò i ecoomeria ale resrizioe è abbasaza aurale

12 si ha Il rocesso u è sreamee sazioario ed ergodico; iolre se si oe ( z) ( ) z er z e ( z) C z 0 ( Lu ) ( ) u ; ( 6) 0 E( ) 0, var( u ) E( u ) ( ) ; u u 0 E( uu ) e quidi (dode è immediao ricooscere che è comreso ra / e / ); Per ogi s si ha 0 (la verifica è immediaa); s s La marice di covariaza del veore aleaorio u ( u,, u ) allora ( ) E( uu ) ( ) 0 0 Gli argomei fi qui riorai lasciao iravedere la ossibilià di irodurre rocessi a media mobile di ordie maggiore di e rocessi acora iù geerali deomiai rocessi ARMA (Auo Regressive Movig Average) Qui ci si limia a segalare solao la defiizioe di quesi ulimi e ua sola rorieà che lascia iuire la loro imoraza elle alicazioi ) U rocesso u dicesi rocesso ARMA(,q) se è la (uica) soluzioe sazioaria dell equazioe alle differeze del io u u u u qq ( L) u ( L), q co i oliomi ( z) z z e ( z) z z che o hao radici i comue e o si aullao ella sfera (chiusa) del iao comlesso di cero 0 e raggio (duque le loro radici hao modulo sreamee maggiore di ) ) Ogi rocesso AR o MA di ordie elevao uò essere be arossimao da u rocesso ARMA di ordie molo basso; (si comrede l imoraza di queso risulao quado ei roblemi di sima u rocesso co u elevao umero di arameri o oi uò essere sosiuio co ua sua arossimazioe i cui il umero di arameri o oi è ridoo drasicamee) q 6 Si oi l aalogia co la rareseazioe dei rocessi AR(), e ciò giusifica l affermazioe che i rocessi MA soo ache AR( )

13 7- Ecoomeria, aa 0- Sima dei Processi AR e MA Ua rocedura di sima er i modelli AR e MA Il Meodo OLS er la Sima di u Modello AR(): Sia { },, = ua osservazioe di u rocesso AR() (co ) e duque il suo DGP aariee al modello = β + + β + ε, { } ε iid (0, σ ), co le radici del oliomio Φ ( z) = βz β z ue all esero della sfera di cero 0 e raggio ( ) Poso x = (,, ) er >, il modello ecoomerico si scrive ella forma = x β + ε, E( ε x ) = 0 er = +,, ; si oi che er il modello i esame soo disoibili solao osservazioi Prorieà (del rocesso delle osservazioi e della sua sima OLS; er i deagli e le recisazioi vedi il caiolo 5): ) Il rocesso {, } ed ergodicià del rocesso { }); ) Il rocesso { ε } x è sreamee sazioario ed ergodico (è cosegueza della sazioarieà x è ua differeza marigale (segue da ε ε ε = E( x,, x,, ) 0 ) 3) E( ε x ) = E( ε,) = E( ε ) = σ (omoschedasicià degli errori) 4) Per lo simaore d ( ) [ ] β OLS = ε xx = + x si ha: = + β β N(0, σ E( xx ) ), E( xx ) = = xx, σ = ( ) + x β ( ) = + Osservazioe (Il coefficiee di deermiazioe ei modelli AR o è u buo idice er misurare la boa` dell adaameo del modello ai dai): Per semlicià si esamia il caso i cui è = e duque il modello ha come rareseazioe = + ε co { ε } iid (0, σ ) e ρ < ρ Si ha R ρ ESS = = ρ ρ, e duque il suo ordie di gradezza diede TSS = = E sao osservao che cosideraa la fuzioe aaliica Ψ ( z) = / Φ ( z), ceramee aaliica i ua sfera aera coeee B (0,) (e duque co i coefficiei del suo sviluo i serie ifiiesimi di ordie esoeziale), il rocesso { } ha rareseazioe ( L) ε ( ε αε α ε ) =Ψ = + + +, qui la somma della serie è i media quadraica 3

14 7- Ecoomeria, aa 0- Sima dei Processi AR e MA esclusivamee da ρ, che uò essere iccolo o grade, e o dall`adaameo del modello ai dai Come gia` segalao, soo sai irodoi vari idici er misurare la boà dell adaameo, uili quado si voglia sabilire quale ra differei modelli AR sia iù uile er ierreare i dai; qui si riorao due idici resei ei sofware ecoomerici, che i reseza di modelli ARMA o modelli co riardi della variabile diedee subiscoo leggere modifiche Idice (o crierio) di Akaike: SSR AIC = log( ) +, SSR log Idice (o crierio) di Schwarz: SIC = log( ) + Sima dei Processi MA: Per semlicià si fa riferimeo ai modelli MA(), ma la rocedura si geeralizza facilmee ai rocessi MA di ordie iù elevao e ai rocessi ARMA Sia allora u ale rocesso ε αε = +, { } ε iid (0, σ ) co α <, Osservazioe (ua differee rareseazioe del rocesso): Si oe ε 0 = 0 (come si orà osservare da quao segue ua differee scela o alererebbe le rorieà asioiche dello simaore) e allora si hao le seguei uguagliaze ( ) ( α ) ε = =, 0 ε = αε = α ; ε = αε = α α = α + α ; ( ) 3 ε = αε = = α + α + ( ) α che soo la forma esesa del modello o lieare = x ( α ) + ε er =,, co ( ) x ( ) ( ; ) ( ) α = x α x = α α α + +, x = 0, x = (,, ) Prorieà: Le variabili idiedei el modello o hao dimesioe cosae, erò soo valide le seguei rorieà: E( ε x ) = 0 e E( ε x ) = σ ; Le uguagliaze che seguoo soo oeue ache dalla seguee rareseazioe dei modelli MA: ( ) ( ) ( ) i i i = ε + αε = I + αl ε ε = I + αl = α L( ) i= 0 i cui soo ose uguale a 0 le er i 0 i 4

15 7- Ecoomeria, aa 0- Sima dei Processi AR e MA { α } Per il rocesso ( X ( )), co dx ( α) X ( α) =, vale la legge dei gradi umeri co limie i dα ( ) robabilià della (sua) media emirica uguale a E X ( α) = Per il rocesso { ( α) ε } X è valido il eorema del limie cerale (esso è ifai ua differeza ( ) marigala essedo E( ε, ε,,, ε) = 0) e la sua variaza asioica è σ E X ( α) Cosruzioe dello simaore Quao fiora osservao, cosee di adoerare la rocedura descria el caiolo 6 er cosrure lo simaore α NLS che ha le usuali rorieà asioiche ed è ache asioicamee efficiee (ella classe degli simaori cosruii co il meodo dei momei) 5