Sistemi dinamici lineari e invarianti (sistemi LTI) Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada 1

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1 Sisemi diamici lieari e ivariai sisemi LTI Fodamei di Aomaica Pro. Silvia Srada

2 Sisemi diamici lieari e ivariai LTI Boa are della eoria dei sisemi e del corollo i qeso corso a rierimeo ai sisemi diamici lieari cioè co e le eqazioi di sao e di scia lieari elle variabili di sao e di iresso a a a b b b mm a a a b b b c c c d d d m m m m c c c d d d m m

3 Sisemi diamici lieari e ivariai LTI Irodcedo le seei marici: a a a b b m A B a a a b bm m c c d d m C D c c d d m m ossiamo riscrivere le eqazioi del sisema diamico lieare come: A B C D 3

4 Sisemi diamici lieari e ivariai LTI Sisemi LTI lieari emo-ivariai A B C D A B C D cosai e o diedoo da! Vediamo co alci esemi come si scrivoo le 4 marici 4

5 Esemio Codesaore c i : iresso = v : scia C v : sao = A B C C D 5

6 6 Sisema massa-molla-smorzaore oscillaore armoico F hs s s Esemio s h ] [ D C B h A

7 7 Sisema co masse e molle Esemio D C B A 4 3 F F F F F F sisema LTI del 4 ordie IO o sre. rorio

8 Cambio variabili di sao Si oiee co a marice o siolare T co det : vecchie variabili di sao Tˆ ove variabili di sao A B C D ˆ T ATˆ T B CTˆ D A ˆ ˆ B ˆ C ˆ ˆ D ˆ ˆ Aˆ T AT Bˆ T B Cˆ CT Dˆ D ma il leame ra e è semre lo sesso! 8

9 Eqilibrio A B C D Gli eveali sai di eqilibrio risolvoo l eq. alebrica A B A B de A de A cioè o ci soo aovalori lli cioè c è almeo aovalore llo 9

10 Eqilibrio de A de A ico A B ica C D CA B D qale sia la siazioe diede ache dalla marice B el caso SISO si chiama adao saico del sisema

11 ovimeo o v i m e o = e v o l z i o e e l e m o Searaamee sdiamo i casi i ci:. =. =. = A C si dimosra cr slide sccessiva A e A Ce

12 ovimeo Ricordiamo che: e A I A A! A! e che d d e A A A! 3 3 A 3! AI A A! Ae A erao se e Ae A soddisa eq. di sao A A

13 ovimeo. = A B C D A e B d A C e B d D 3

14 ovimeo er la veriica si ricorda derivazioe soo seo di ierale erao d d d d d d d d A d A e B d e B d B d d d A Ae B d B A B e qidi è veriicaa l eqazioe di sao e ache qella di scia. 4

15 ovimeo si sommao i de coribi Nel caso eerale = e Eqazioi di Larae A A e e B d Ce C e B d D A A movimeo dello sao movimeo dell scia 5

16 ovimeo libero e movimeo orzao Il movimeo è comoso dalla somma dei de coribi qello dovo allo sao iiziale e qello dovo all iresso: diedoo solo da l l e A A Ce movimeo libero dello sao movimeo libero dell scia diedoo solo da A e B d A C e B d D movimeo orzao dello sao movimeo orzao dell scia l l 6

17 7 Priciio di sovraosizioe deli eei Per qalqe sisema LINEARE ache variae el emo vale il riciio er ci er oi e de meri reali e si ha che:

18 Sabilià Per i sisemi LTI lo sdio della sabilià si ò are co srmei di aalisi OLTO oei sao iiziale e il corrisodee movimeo dello sao deo omiale è sao iiziale e il corrisodee movimeo dello sao deo errbao è A A B B soraedo le de eqazioi: A A deiedo A 8

19 Sabilià: rorieà ei sisemi LTI La sabilià del sisema coivole solo il movimeo libero di el emo co c.i. e seza iresso: A e A l adameo el emo diede solo da e cioè da A e A La sabilià o diede dal aricolare movimeo o eqilibrio ma solo da A si ò arlare di s a b i l i à d e l s i s e m a d i a m i c o er sisemi o lieari qeso o è assolamee vero! 9

20 Sabilià Qidi la codizioe di sabilià è veriicaa se e solo se i li elemei del veore soo limiai se qeso o accade cioè se c è almeo a comoee del veore movimeo libero che o è limiaa allora il sisema è isabile. iie se e le comoei del movimeo libero edoo a zero c è asioica sabilià

21 Sabilià e aovalori A diaoalizzabile A esise T co de T ale che s AD T AT A TA T s r s aovalori di A A cioè D i D Risla er il calcolo della marice esoeziale: A TADT A D e e Te T s e s e e s r e A s 3 e T T

22 Sabilià e aovalori ell esoeziale di A vi sarao combiazioi lieari delle esoeziali e s i araverso le marici T e T - e le comoei del veore deli sai iiziali A e l se aovalore è comlesso risla e s i e i e j i e i s i cos ma ci sarà ache il coiao i ermii immaiari si elidoo! i i j i j si i

23 A diaoalizzabile Sabilià e aovalori Se i li aovalori hao are reale eaiva i < i e le esoeziali i edoo a zero e soo limiae qalsiasi sia lo sao iiziale Coseeza: il sisema è asioicamee sabile A e Se li aovalori hao i are reale eaiva o lla i i e ce è almeo o a A are reale lla allora le esoeziali i e associae ali aovalori a are reale lla o edoo a zero Coseeza: il sisema è semlicemee sabile Se vi è almeo aovalore a are reale osiiva i > almeo a esoeziale i è diveree qalsiasi sia lo sao iiziale Coseeza: il sisema è isabile A e 3

24 Sabilià e aovalori A diaoalizzabile Teorema. U sisema diamico LTI è: asioicamee sabile se e solo se i li aovalori di A hao are reale eaiva semlicemee sabile se e solo se i li aovalori di A hao are reale eaiva o lla e e esisoo a are reale lla isabile se e solo esisoo aovalori di A a are reale osiiva 4

25 Sabilià e aovalori P o i c h é e l e m a r i c i s i m i l i c i o è l e a e d a l l a r a s o r m a z i o e o s i o l a r e A ˆ T AT h a o l i s e s s i a o v a l o r i l a s a b i l i à è i d i e d e e d a l l a s c e l a d e l l e v a r i a b i l i d i s a o E a r o r i e à s r r a l e 5

26 Esemio La osizioe deli aovalori di A el iao comlesso di Gass ermee di deermiare le caraerisiche di sabilià del sisema se sisema ha la seee disosizioe deli aovalori è asioicamee sabile è semlicemee sabile è isabile 6

27 7 Esemio A L a o v a l o r e s = h a m o l e l i c i à a l e b r i c a e m o l e l i c i à e o m e r i c a i l s i s e m a è i s a b i l e Veriica....! A A I e A Qidi il movimeo libero è: e A l che siiica ao che il sisema è isabile. v.erò se A o è diaoalizzabile il sisema ò essere isabile ache seza avere aovalori a are reale osiiva..diede da come è aa A!

28 Sabilià e aovalori A o diaoalizzabile Teorema. U sisema diamico LTI è: asioicamee sabile se e solo se i li aovalori di A hao are reale eaiva 8

29 9 Esemio Sisema massa-molla-smorzaore oscillaore armoico s h = v = s = s = F h A Gli aovalori si rovao risolvedo l eqazioe caraerisica: hs s Aovalori: h h s 4

30 Disciamo la osizioe deli aovalori el iao comlesso i diversi casi h A s aovalore zero mol. al. e mol. eom. sisema INSTABILE h A s j aovalori immaiari sisema SEPLICEENTE STABILE 3

31 h A h s s h sisema SEPLICEENTE STABILE h A aovalori a are reale h eaiva co diverse osizioi a secoda del valore di h e sisema semre ASINTOTICAENTE STABILE 3

32 Sabilià dall aalisi della marice A Alci crieri basai sll isezioe della marice A soo i seei:.. Poichè ra aii si se ra se ra i i i Re s il sisema o è asioicamee sabile il sisema è isabile i 3. Poichè i s i de A se de A il sisema o è asioicamee sabile 3

33 Sabilià dall aalisi del oliomio caraerisico di A Eqazioe caraerisica i orma eerale: s si A s s s de Codizioe Necessaria. Se il sisema è asioicamee sabile allora i i coeiciei del ol. cara. hao lo sesso seo Fao eccezioe i oliomi di ordie ari a = = er i qali come è acile dimosrare la codizioe divea ache siciee 33

34 Sabilià: Crierio di Roh 34 de s s s A si s Eqazioe caraerisica i orma eerale: er alicare il crierio bisoa ormare a abella: l l l h h h co de j j j h h l le rime rihe coeoo i coe. del ol. cara. resi o sì e o o se risla i qalche ria = la abella si dice o deiia si rocede i qeso modo ormado a abella di + rihe

35 Sabilià: Crierio di Roh Crierio di Roh Codizioe Necessaria e Siciee. Il sisema è asioicamee sabile se e solo se la abella di Roh è be deiia e i li elemei della rima coloa hao lo sesso seo Esemio. rirediamo l limo caso viso rima i ci o si oeva cocldere lla slla sabilià. Tabella di Roh de de 4 +=4 rihe s s 3 4s 4s 4 de de 4 i i coeiciei della rima coloa della abella soo osiivi: il sisema è asioicamee sabile 35

36 Prorieà dei sisemi asioicamee sabili. Per dao iresso cosae lo sao di eqilibrio è ico. A B de A se iai ossibile erché o essedoci aovalori lli Naralmee er de. il sisema sosao da qeso eqilibrio ederà a riorarvi.. Il movimeo diede asioicamee er solo da dal momeo che il movimeo libero ede a zero. I aricolare se è llo o ede a zero il movimeo ede a zero asioicamee. Se ede ad valore cosae il movimeo ede allo sao di eqilibrio corrisodee ad e l scia ede a CA B D 3. Se si alica al sisema iresso limiao el emo ache l scia è limiaa el emo coceo di sabilià BIBO: Boded I Boded O 36

37 37 Liearizzazioe di sisema o lieare ell ioro di o di eqilibrio Poiché e dovrao soddisare le eqazioi del sisema diamico si avrà: Soiamo ora che a = lo sao del sisema vala iù a iccola errbazioe e che l iresso sia a ci si somma a iccola variazioe. Esrimiamo qidi il movimeo dello sao e dell scia come i valori di eqilibrio ci si sommao li scosamei: m R R R Sisema diamico o lieare e ivariae iresso cosae sao di eqilibrio scia di eqilibrio

38 38 Liearizzazioe di sisema o lieare ell ioro di o di eqilibrio Si svilao le zioi a membro i Serie di Talor ioro al o Traadosi di zioi veoriali comarirao ello svilo le derivae riseo a e soo orma di marici Jacobiai. Arresiamo lo svilo ai ermii del ordie: Ricordado che e si oiee: A m m B C m m D

39 39 Liearizzazioe di sisema o lieare ell ioro di o di eqilibrio Il ovo sisema LTI alle variazioi rede il ome di sisema liearizzao: A m m B C m m D L i m i a d o q i d i l a a l i s i a i c c o l e v a r i a z i o i e l l i o r o d i o d i e q i l i b r i o s i ò s d i a r e l a d i a m i c a d e l s i s e m a o l i e a r e e r m e z z o d i q e s o s i s e m a l i e a r e.

40 Esemio Pedolo co ario viscoso : iresso : scia Sai: = = si l = h ml + ml c è ache ermie di ario viscoso h I i di eqilibrio co iresso llo o cambiao riseo al caso seza ario e soo: =.. = 4

41 4 Calcoliamo il sisema liearizzao eerico: ml + ml h l si cos ml h l A cos ml l ml ml B si = ml + ml h l = =

42 4 C D si = ml + ml h l = =

43 43 cos ml h l A ml B C D I de sisemi liearizzai aoro ai de i di eqlibrio si diereziao qidi solo er la marice diamica A: =. ml h l A =. ml h l A arici del sisema liearizzao eerico:

44 44 Sabilià di sai d eqilibrio er sisemi o lieari m R R R Sisema diamico o lieare e ivariae iresso cosae sao di eqilibrio scia di eqilibrio Abbiamo viso che il sisema liearizzao ell ioro dello sao di eqilibrio assme l esressioe D C B A A B C D

45 Sabilià di sai d eqilibrio er sisemi o lieari Teorema. Se il sisema liearizzao è asioicamee sabile ossia se i li aovalori di A hao are reale eaiva il o di eqilibrio è asioicamee sabile Teorema. Se la marice A del sisema liearizzao ha almeo aovalore a are reale osiiva il o di eqilibrio è isabile. Caso icero: la marice A ha aovalori a are reale eaiva o lla co alci aovalori a are reale lla. Dall aalisi del sisema liearizzao o si ossoo rarre idicazioi slla sabilià dell eqilibrio! 45

46 Esemio Pedolo co ario viscoso.. = = A l A l h ml h ml h As s s ml l oliomio caraerisico del ordie co i i coeiciei osiivi erambi li aovalori hao are reale eaiva il sisema liearizzao è asioicamee sabile e qidi lo è ache lo sao di eqilibrio h B s s s ml l o avedo coeiciei cocordi il oliomio caraerisico del ordie o ha erambi li aovalori a are reale eaiva si ò vedere che soo o osiivo e o eaivo il sisema liearizzao è isabile come re lo sao di eqilibrio del sisema o lieare 46

47 Esemio Rirediamo il sisema soeo a iresso cosae dove il leame NON LINEARE ra e era dao dalla relazioe ed era rareseao i ira. il sisema ha 3 i di eqilibrio 3 Il sisema aoomo liearizzao aoro ad o dei i di eqilibrio è: a d d a d d l aovalore vale a er i i di eqilibrio e 3 risla a> è la derivaa rima della zioe el o er ci il o di eqilibrio è isabile. er il o di eqilibrio risla a< er ci il o di eqilibrio è as. sabile.