LEZIONE 1 INTRODUZIONE ALLA MODELLISTICA

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1 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 1 di 8 LEZIONE 1 INTRODUZIONE ALLA MODELLISTICA Coei pricipali U modello è a rappreseazioe asraa della realà. Esso ge da archivio di ipoesi e coosceze, e orisce a rappreseazioe ideale del comporameo di sisema, ile per approodire i meccaismi di zioameo e come sisema di rierimeo. U modello cosiisce ache o srmeo prediivo, ile per valare le cosegeze di sceari aleraivi. La scela di modello è sempre compromesso geeralià, l aidabilià delle predizioi, e edelà el simlare i processi isici. La prima ase della cosrzioe di modello è la deiizioe degli obieivi, delle scale cosiderae, del livello di precisioe richieso. Nei modelli deermiisici si assme che e pezzo di realà sisema sia descrivibile per mezzo di isieme di variabili, variabili di sao che deermiao ivocamee sia lo sao del sisema sia la sa evolzioe el empo. Negli limi decei lo sdio volo alla compresioe dei eomei arali si è avvalso i misra crescee dell'ilizzo di srmei graici e/o maemaici per la ierpreazioe e la compresioe dei processi che avvegoo i ara, cosi come per qelli che avvegoo i alre disciplie ecoomia, isica, chimica.. Qeso è probabilmee il rislao di diversi aori coigei, ra i qali la dispoibilià di srmei di calcolo a prezzi coei o la disioe di programmi di acile ilizzo, ma ache della richiesa della socieà di occparsi di problemi che richiedoo a compresioe qaiaiva di sisema, ed, i a cera misra, della capacià di prevedere l'evolzioe. Tavia l ameo dell so di modelli è ache la logica e ormale cosegeza dello svilppo della coosceza i cero seore, il eaivo di razioalizzare, ierpreare, sieizzare i modo iario corpo di coosceze eomeologiche di eià ormai oevole, asraedoe a serie di pricipi iormaori odameali, ossia cosredo a eoria. Iai, la miglior rappreseazioe della ara o è daa dall'isieme dei dai sperimeali, ma da qello che qesi dai rappreseao: dao, rislao di esperimeo, o è semplicemee a osservazioe oggeiva della realà, ma la risposa ad a domada posa alla ara, e poiché la ara è 'cosrea' a rispodere ello sesso ligaggio di coli che poe la domada, la risposa deve essere opporamee ierpreaa. I geerale, il processo di cosrzioe della coosceza passa, i i i campi, araverso a serie di asi che possoo essere schemaizzae i : raccola di iormazioi empiriche, araverso misrazioi diree compresioe eomeologica del sisema, ossia ideiicazioe di a serie di relazioi ra le variabili misrae e ormlazioe di ipoesi di meccaismo casale i grado si spiegare le evolzioi delle variabili misrae o di alce ra qese. ideiicazioe di modello coceale compresioe eorica delle relazioi casali. ormlazioe di leggi cieiche o di processo capaci di dire chi cambia, e perche' i zioi di qali alri cambiamei di alre variabili, compresioe qaiaiva di qao cambia ideiicazioe dei parameri cieici ricerca di ovi dai capaci di corroborare, od ivalidare il modello eorico cosrio, so del modello eorico per risolvere problemi applicaivi o per ideiicare ovi problemi. La cosrzioe di modello, prima coceale e poi maemaico, o è qidi qalcosa che serve semplicemee per are previsioi, a vole peralro poco accrae, da relegare el modo dell' igegeria o delle scieze del o vivee, ma pioso pare odameale del processo cogiivo.

2 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 2 di 8 U modello pò iai essere deiio come a rappreseazioe asraa di a pare della realà che è paricolarmee ile per evideziare ed aalizzare alce caraerisiche di essa. U modello pò essere immagiao ache come archivio di ipoesi, mezzo per sieizzare ipoesi, proprieà ed iormazioi, o, più precisamee, per eeare a siesi qaiaiva delle ipoesi, proprieà ed iormazioi si processi cosiderai più rilevai da coli che a il modello ra qelli che avvegoo el sisema arale oggeo dello sdio, e slle relazioi ra i compoei del sisema sesso. Esso è qidi o srmeo per ivesigare e compredere i meccaismi s ci si basa la ara, per sieizzare la coosceza, per cosrire a eoria dei eomei arali. Nel eaivo di riprodrre la ara i modo ariiciale araverso graici o meri l ecologo è cosreo ad ideiicare qali siao i processi veramee odameali alla descrizioe di dao eomeo e qali siao ivece meo rilevai, o rascrabili, è cosreo a deiire i modo chiaro ed ivoco il problema i esame, e e le ipoesi avazae, svilppa la capacià di sieizzare araverso piccolo mero di parameri, ed ligaggio come, le proprieà comi ad a molidie di esempi pecliari, oeedo o sadard di comporameo ideale, appo a eoria, che permee di compredere meglio ciasco degli esempi pecliari, evideziadoe le diereze. Qeso sadard di comporameo ideale pò essere ilizzao ache come ermie di rierimeo per l ideiicazioe di comporamei aomali. Iolre, la correezza delle asszioi eoriche alla base del modello pò essere veriicaa coroado i rislai del modello co le evideze sperimeali, corroborado o meo la cocealizzazioe dei processi proposa dalla eoria. Iie, modello è imiaore pereo di qegli aspei che si è scelo di cosiderare, è pò aiare a compredere meglio il modo reale. I modelli qidi, i geerale, possoo avere almeo de si e moli si iermedi: da lao possoo essere sai come srmei gesioali, ili per are previsioi o per oimizzare alce sraegie di gesioe, dall alro possoo essere sai come srmei per la ricerca, per la compresioe del modo. Naralmee, o esise ico modello iversale adao a e le ecessià, ma vi sarao modelli diversi per problemi diversi. Azi, come già ricordao, la deiizioe dalle ialià persegie ella cosrzioe del modello è a ase esseziale del processo di sdio. I modelli possoo essere classiicai secodo moli crieri, ra i qali o meodologico, ed o zioale. Nel primo caso avremo a classiicazioe i modelli saisici: i modelli saisici cosisoo di a serie di relazioi empiriche, dese da dai sperimeali, che meoo i relazioe a serie di variabili, dee di ip, co a serie di alre, dee di op, seza risolvere i meccaismi casali che provocao le variazioi delle e rispeo alle alre. modelli deermiisici, i modelli deermiisici soo qelli i ci l evolzioe di sisema viee descria i modo ivoco, a parire da dae codizioi iiziali, per mezzo di isieme sisema di di eqazioi diereziali, o alle diereze iie modelli socasici. I modelli socasici soo qelli che permeoo di descrivere l evolzioe della disribzioi di probabilià relaive al veriicarsi di cero processo. Vegoo a qesi ie geeralmee sai srmei maemaici abbasaza soisicai, qali le eqazioi diereziali socasiche. I rislai o sarao qidi meri, ma disribzioi di

3 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 3 di 8 probabilià. Nel secodo caso avremo classiicazioe i: o, or caricare, model: modelli caraerizzai da livello di deaglio il più basso possibile, di modo che le coclsioi possao essere il più possibile geeralizzae, esese a più realà Soo modelli geeralmee che o permeoo diereziazioi spaziali co eccezioi sempre più imporai, come meapopolazioi e che soo risolvibili compleamee, o qasi, i modo aaliico e/o graico. Rispodoo a domade ipo: è possibile al coesiseza di de specie i compeizioe per 'ica sessa risorsa? U ameo di prodzioe primaria si radce ieviabilmee i ameo della biomassa ache ai livelli speriori? Soo qali codizioi a cera la desià di a daa popolazioe comicia ad oscillare? Esempi classici preda predaore. Fcioal o processes orieed model i qesi modelli i eomei ecologici vegoo descrii cercado di riprodrre, co qalche deaglio, i processi più imporai che cocorroo al veriicarsi del eomeo. Soo più speciici dei o models, ma oriscoo rislai acora geeralizzabili, ache se ad a classe meo vasa di problemaiche. Già roppo complessi per essere sdiai solo co srmei aaliici, richiedoo l so ache di simlazioi meriche. Pò essere irodoa ache qalche diereziazioe speciale. Rispodoo a domade po' più speciiche, ipo I qale sccessioe si veriicherao le iorire delle specie ioplacoiche presei i cero lago? Che imporaza ha l evolzioe sagioale sl eomeo eroico? Qali soo i meccaismi che igeerao l aossia sl odo di o sago? Qai pesci è opporo irodrre i lagheo aichè siao ridoi i eomei di eroizzazioe? Qali soo i parameri più coveiei da misrare per moiorare lo sao di cero bacio, e per compredere dao eomeo? Esempi ipici soo modelli di qalià dell acqa di sagi, piccoli laghi o coloe d acqa evolzioe sagioale del io, modelli a classe di eà/aglia per l'evolzioe mli aale di semplici orgaismi, qali mollschi o pesci merical model Modelli che riprodcoo qalche eomei speciico co il maggior livello di deaglio possibile compaibilmee co le iormazioi sperimeali ed il grado di coosceza dispoibile: la eoria o pò eldere il coroo co la realà Soo sae comqe propose ache classiicazioi più deagliae, che compredoo i cosiderazioe ache apporci diversi da qelli sopra mezioai, qali qelli basai slle rei erali ariiciali o sl machie learig, i ci modello empirico viee derivao aomaicamee dalla srra dei dai, co o seza eere i cosiderazioe alci vicoli imposi dall esero, qelli basai slle logiche zz, i ci le relazioi ra oggei possoo essere deiie o esaamee, qelli la ci srra cambia el empo per adegarsi al cambiameo delle siazioi esere srcral damic models. I alri casi grppi di modelli vegoo ideiicai perché, pr o preseao paricolari caraerisiche da po di visa meodologico, si ocalizzao s aspei paricolarmee ivesigai, qali i modelli biogeochimici, i modelli di diamica di popolazioe, i modelli ecoossicologici bo. I geerale sarà imporae ricordare che o esise modello ilizzabile per ogi ipologia di scale e di problemi, e che azi la scela del modello ilizzao è sempre compromesso ra re elemei, che soo il grado di geeralià, l aidabilià delle predizioi, la edelà el risolvere i processi isici ig. 1, modiicaa da Levis 1968

4 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 4 di 8 proc orie REALSIM cioali Acco or kow relaioships Ma be comple heoreical models cioal models o GENERALITY Applicable i mos siaios Do predic speciic ocomes well Tpicall simple Good or eplorig relaioships applied models meric ACCURACY perormace Accrael describe speciic siaios Ma perorm worse i oher siaios Tpicall deailed Figra 1 Ogi modello è compromesso ra accraezza capacià di riprodrre edelmee i dai sperimeali, realismo capacià di riprodrre edelemee i meccaismi che origiao i dai e geeralià possibilià di essere applicao idipedeemee dal caso speciico I i i casi, comqe, la prima ase della cosrzioe di modello è, come già ricordao- la deiizioe degli obieivi, delle scale cosiderae, del livello di precisioe richieso. La ase sccessiva è l ideiicazioe del modello coceale, dell isieme di relazioi casali che cosiiscoo il meccaismo che si riiee rappresei al meglio il problema i esame dai i prespposi di obieivo scala e precisioe. A qesa ase, i ci è di eorme imporaza i coroo co la leerara speciica e gli esperi del seore, sege l ideiicazioe della ipologia di legge cieica che descrive ogo dei processi casali, e qidi l assegazioe di valore merico a ciasc paramero cieico. A qeso po a prima versioe del modello è di ao compleaa, ed è possibile procedere ad a serie di veriiche slla sa rispodeza alle aspeaive iiziali. Iazio si veriicherò che o vi siao errori grossolai, qidi che le diverse variabili di sao covario i modo coeree co i prespposi di pareza, ossia che il modello riprodca almeo qaliaivamee, e grossolaamee, i comporamei aesi. Si porà qidi passare ad a aalisi più accraa dei comporamei del modello al variare dei parameri aalisi di sesiivià ed al coroo co il dao sperimeale, dapprima per a arara più ie di mero limiao di cosai cieiche e qidi per la corroborazioe. Drae e qese asi è possibile, e reqee, il ridiscere e modiicare le scele eeae elle asi precedei, sia livello di modello coceale, sia a livello di scela delle zioi e dei parameri. Il modello iale sarà qidi ilizzao per le applicazioi di ieresse.

5 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 5 di 8 Procedra cosrzioe modello Deiizioe obieivo, scale, risolzioe Compresioe eomeologica Modelloi coceale Ideiicazioe srra modello priori Sima parameri Veriica coereza Aalisi sesiivià Calibrazioe Corroborazioe/alsiicazioe poseriori Validazioe aalisi / so Figra 2. La cosrzioe di modello comprede a serie di asi. Alce di qese le asi a priori soo rierie pricipalemee alla srra del modello, e prescidoo dal coroo preciso co il dao sperimeale ma o da qello co la coosceza eomeologia che deriva dall isiemde di dai speriemali. Alre le asi a poseriori soo rierie essezialmee al coroo ra alce previsioi del modello ed acli isiemi di dai speriemeali Le rpime compogo la pare di cosrzioe a Alce di qesi soo cosiderae araverso a serie di asi Aricolazioe del corso Le lezioi di qeso corso raerao di modelli deermiisici e si aricolerao prevaleemee lgo de iloi pricipali. U primo blocco di lezioi preseerà gli elemei esseziali della Diamica di Popolazioe, araverso a serie di modelli geerali o models. Qese lezioi, olre ad irodrre ed aalizzare cocei basilari di ecologia qaiaiva, qali le relazioi di predazioe e compeizioe, illsrerao i meodi più comi per la aalisi dei i modelli semplici. I paricolare sarao gradalmee irodoi ed esempliicai meodi graici ed aaliici per lo sdio del comporameo asioico, ossia per l ideiicazioe dei pi di eqilibrio e loro sabilià, e dei comporamei più complessi. U secodo blocco di lezioi illsrerà ivece modelli di processo, ed i paricolari modelli di ipo biogeochimico, qali i modelli di eroizzazioe e di qalià dell acqa, ed i meodi merici per la cosrzioe ilizzo ed aalisi dei modelli merici. I qeso caso sarao illsrae le più comi modalià di rappreseazioe dei pricipali processi che compogoo i cicli biogeochimici, e come qese possao essere compose per l aalisi sempliicaa di alci problemi reali. Le ozioi di maemaica ecessarie per segire qeso corso soo elemeari. Iai, i modelli o devoo essere ecessariamee complicai, azi spesso soo abbasaza semplici, é è sempre richieso la ricerca di complicae solzioi maemaiche. Tavia, cosiderado che qeso è

6 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 6 di 8 corso irodivo, si riiee appropriao approodire ache alci aspei ormali della solzioe delle eqazioi propose, così da orire a coosceza precisa. Per qeso moivo, primo blocco di lezioi sarà dedicao a riprede alci cocei ed elemei del calcolo diereziale. L idea di sisema, lo spazio delle asi, la raieoria del sisema, la sa ivocià. L idea cerale dei modelli deermiisici ma ache di qelli socasici è qella di sisema, ossia che il sisema isico i esame sia ridcibile, esaamee descrivibile, ad isieme di variabili, che predoo il ome di variabili di sao iededo co qeso che sia lo sao del sisema sia la sa evolzioe el empo possoo essere spiegae i zioe delle relazioi che iercorroo ra le variabili di sao e delle ierazioi che il sisema ha co il reso del modo. Qese ierazioi, a secoda dei casi, possoo essere classiicae come ip, o come codizioi al cooro, o acora, come corolli Se sisema pò essere descrio da variabili di sao, esso pò essere rappreseao graico da po i o spazio -dimesioale, ossia i o spazio ideiicao da assi, ogo dei qali corrispodee ad a delle variabili di sao che descrivoo il sisema. Qeso spazio prede il ome di spazio delle asi. Qalsiasi sao del sisema è qidi rappreseabile da o, ed solo, po ello spazio delle asi, dao che il valore asso da a variabile di sao pò essere viso come la coordiaa del po sll asse corrispodee a qella variabile, ed ad ogi po pò essere associao o, ed solo sisema. L evolzioe emporale di sisema pò qidi essere rappreseaa graicamee come la raieoria di po che si move ello spazio delle asi. Naralmee, o a i i pi dello spazio delle asi corrispoderà sisema isicamee realisico, o soseibile, e o i i pi possoo essere isicamee raggii da qalsiasi alro po, viso che, sempre isicamee, il movimeo del po rappresea a raieoria del sisema di sisema che, i ara, si evolve co i limii posi da isieme di leggi arali, qali ad esempio, la coservazioe delle massa. Nei modelli deermiisici ad ogi po è associaa i modo ivoco la sa velocià variazioe ell iiiesimo di empo, calcolabile appo araverso il sisema di eqazioi diereziali. E qidi possibile calcolare la posizioe del po all isae sccessivo e, ripeedo il procedimeo, per i gli isai sccessivi, ossia deermiare la raieoria del po o, eqivaleemee, iegrare il sisema. Dao che ad ogi po è associaa a ed a sola velocià o è possibile che ello spazio delle asi a raieoria si aoiersechi, I qeso caso iai al po di iersezioe corrispoderebbero de possibili segmei di raieoria, percorsi i de momei sccessivi, e qidi 2 diverse velocià corrispodei ad ico po, violado il pricipio di ivocià della raieoria. E viceversa possibile che a raieoria: 1. si compoga di po, che prede il ome di po di eqilibrio 2. si avvicii ideiiivamee asioicamee ad po di eqilibrio, 3. si racchida s se sessa e si ripea sempre gale, geerado comporameo periodico, che prede il ome di ciclo. 4. resi coea i a porzioe limiaa dello spazio delle asi raggomioladosi s sessa, ma seza mai dare origie a comporamei ciclici, geerado comporameo aperiodico che pò essere o qasiperiodico simile ad spirale che si avvolge sopra a ciambella o compleamee irregolare, che prede il ome di moro o regime caoico. Qese diverse siazioi ci a raieoria pò edere predoo il ome di araori, caoici o srai ell limo caso. Lo sdio del comporameo asioico di sisema, ossia della sa evolzioe el lgo periodo a rigore per empi iiii si avvale di diverse eciche, le più semplici delle qali soo lo sdio della sabilià degli eqilibri e le aalisi delle isoclie. Resa evidee che il comporameo del

7 Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 7 di 8 sisema ella ase rasiee, ossia di avviciameo all araore pò essere esremamee imporae da po di visa isico. L aalisi di qese caraerisiche della raieoria si avvale di eciche perlopiù meriche. ϕ, 0, [ 0, ] η MIMO R m R R p mp>1 SISO R empo coio R R empo discreo ordie di , 1..., η 1,..., ,...,, + 1 1,...,, η 1,...,, η + 1, η segmei di raieoria Figra 3 L evolzioe emporale di sisema deermiisico è riprodoa da sisema di eqazioi, che pò essere a moli igressi e mole scie, o a sigolo igresso sigola scia, i zioe del mero di variabili di corollo dimesioe del veore corollo, e del mero di variabili di scia dimesioe veore scie. Le leggi evolive i iamee ad i vicoli deermiao l evolzioe del sisema, che pò essere illsraa dalla raieoria ello spazio delle asi a parire dalle codizioi iiziali 0. Evealmee, a parire dallo sao del modello è possibile calcolare il valore di oppore gradezze di paricolare ieresse. Il sisema pò essere a empo coio o discreo. Nel primo caso il sisema resiisce segmei di raieoria che vegoo gisapposi. Nel secodo le agei a i i pi della raieoria

8 BOX: Classiicazioe dei modelli merici secodo crierio meodologico proposa da S.E. Jorgese Lezioe 1 pricipi modellisica: irodzioe P.a 8 di 8 Biogeochemical & bioeergeic d models Saic models Poplaio damic models Srcral damic models Fzz models Ariicial eral eworks Idividal based models ad celllar aomaa Spaial models Ecooicological models Sochasic models Rle-based models Hbrid models Mediaed/isiioalized models Nework aalsis