MODELLI COESIVI PER LA FRATTURA

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1 MODELLI COESIVI PER LA FRATTURA Tesia di Aa Ferrara 3/7/4

2 SOMMARIO 4 MOTIVAZIONI 4 MODELLI COESIVI Dgdale e Barebla Hillerborg Needlema Oriz-Padolfi Cerveka Carol 4 COMPARAZIONE DEI MODELLI E CONCLUSIONI 3/7/4

3 MOTIVAZIONI 4 applicado la Teoria dell Elasicià allo sdio dello sao di esioe ell ioro dell apice della fessra si verifica a sigolarià esioale. Le esioi edoo ad ifiio secodo l espressioe: K I π R K I π a Dgdale 96 R π 8 K f y I 4 ell ioro dell apice si verificao delle deformazioi plasiche che limiao il valore delle esioi a qelle di servameo y 3/7/4 3

4 MODELLO DI DUGDALE E BARENBLATT Barebla, G.I., 959, The Formaio of Eqilibrim Cracks Drig Brile Fracre: Geeral Ideas Ad Hypoheses,, Joral of Applied Mahemaics ad Mechaics, 3, Dgdale, D.S., 96, Yieldig of Seel Shees Coaiig Slis,, Joral of he Mechaics ad Physics of Solids, 8, I preseza di zoa plasica il difeo ha a dimesioe effeiva più grade della sa dimesioe fisica pari ad (a+r) Dgdale (96) Barebla (958) x f y x (x) f y c x c x f y f y a R a R 4 la zoa plasica, di ampiezza R, si sppoe caricaa da sisema aoeqilibrao di esioi che si oppoe alla separazioe fisica del maeriale 3/7/4 4

5 FRATTURA la frara è il logo geomerico dei pi di possibile discoiià di sposameo f per descrivere la frara è ecessario far cadere l ipoesi di coiià di sposameo e ammeere che si abbia lacerazioe davai all apice della fessra si ipoizza l esiseza di a zoa i ci agiscoo razioi coesive che edoo ad eere ii i lembi Γ τ Ω la perdia di decoesioe si pò pesare come il processo el qale la possibilià di rasmeere esioi (,τ) progressivamee dimiisce lgo la zoa coesiva si ha dissipazioe di eergia 3/7/4 5

6 MODELLO DI HILLERBORG /3 Hillerborg, A., Modeer, M., Peersso, P.E., 976, Aalysis of Crack Formaio ad Crack Growh i Cocree by Meas of Fracre Mechaics ad Fiie Elemes,, Ceme & Cocree Research, 6, modello per simlare la frara ei maeriali qasi fragili i ci la decoesioe è domiaa dal modo I di frara 4 la fessra si sppoe composa da de pari: a) reale, b) fiizia propagazioe fessra fessra reale zoa coesiva (di processo) daeggiaa microfessraa 4 zoa di processo si svilppa perpedicolarmee alla direzioe della esioe pricipale di razioe qado raggige la resiseza a razioe del maeriale f 3/7/4 6

7 MODELLO DI HILLERBORG /3 4 lgo la zoa coesiva si ipoizza agee sisema aoeqilibrao di forze (coesive) che edoo a maeere ie le de pari della fessra 4 lgo la zoa coesiva le esioi dimiiscoo dal valore massimo f sio ad allarsi i corrispodeza dell aperra criica c c f f x G F f fessra reale zoa di processo G F c () d c 4 l area soesa dalla crva è l eergia di frara dissipaa s ià di sperficie 4 la legge coesiva è compleamee defiia dai parameri: G f e f (c) 3/7/4 7

8 MODELLO DI HILLERBORG 3/3 4 Il comporameo del maeriale è defiio araverso le de leggi: (ε) esioe-deformazioe: comporameo elasico icrdee del maeriale iegro () esioe-sposameo: comporameo sofeig del maeriale fessrao F f f G F L ε c ε c f E f G F f 4 G,75 f F c G 5 f F F ε c 4 I legami cosiivi si defiiscoo mediae a prova di razioe semplice a deformazioe corollaa 3/7/4 8

9 MODELLO DI NEEDLEMAN /4 Needlema, A., 987, A Coim Model for Void Ncleaio by Iclsio Debodig, Joral of Applied Mechaics, 54, modello per sdiare la formazioe di clei voi a parire da iclsioi mealliche, rappreseae da sfere rigide dispose i serie i a marice propagazioe fessra gradi iclsioi piccole iclsioi voi 4 le sperfici coesive soo irodoe, dall iizio, aoro a i gli elemei fiii 4 o soo richiesi crieri di rora aggiivi 4 si cosiderao deformazioi fiie che accompagao la fessrazioe (formlazioe di ipo Lagragiao) 3/7/4 9

10 MODELLO DI NEEDLEMAN /4. LEGAME COSTITUTIVO DI INTERFACCIA ipoesi di lavoro 4 legge coesiva crescee, raggige la resiseza a razioe del maeriale per poi svaire a separazioe avvea 4 geerica legge coesiva: (, Q) T T, dove Q è oppora classe di variabili iere (scalari,veori,esori) risposa dell ierfaccia è dissipaiva, drae la decoesioe o si prodce lavoro T d relazioe cosiiva di ipo elasico, le razioi soo fzioi del salo di sposameo, la risposa di ierfaccia è reversibile T T( ) legge coesiva defiia mediae poeziale φ( ): φ T 3/7/4

11 3/7/4 MODELLO DI NEEDLEMAN 3/4 3/4 4 Poeziale poliomiale cbico (<) 4 Poeziale espoeziale ( ) φ max α , + + Τ α max razioi coesive + Τ max α 4-7 ( ) + φ z exp αz 6 9, max z Τ z exp αz z - max e Τ exp αz - max e razioi coesive : sposameo criico, α: rapporo ra rigidezza ageziale e ormale dell ierfaccia max: razioe massima agee sll ierfaccia per separazioe ormale

12 MODELLO DI NEEDLEMAN 4/4 3. GRAFICO DI COMPARAZIONE ( ) 4 poliomiale,5 T per 3 max T per φ sep 9 6max 4 espoeziale T max per 9 ( 6e).7 T per -T/ maz,,5, -,5 Poliomiale Espoeziale φ () 95%φsep -, -,5 -,3 -,,,3,5,7,9,,3,5,7,9 / 4 Per a risposa elasica i parameri soo la esioe massima max ed il lavoro di separazioe per ià di area φsep 3/7/4

13 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI /6 Oriz, M., ad Padolfi A., 999, Fiie Deformaio Irreversible Coesive Elemes for Three-Dimesioal Crack- Propagaio Aalysis, I. J. Nmer Mehods Eg., 44(9), pp DEFORMAZIONI FINITE χ : Ω X d 3 [,T] R S x x + d d S S + [] χ x + d x d χ 4 mappa media che rasforma la S ella sperficie di discoiià fiizia S χ (,s ) ( χ + + ) χ s χ χ ± χ ± 3/7/4 3

14 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI /6 4 F gradiee di deformazioe F χ F X χ( X,) 4 gradiee medio di deformazioe 4 C esore desro di Cachy-Gree 4 C esore medio di Cachy-Gree C F T F F [ χ ] S χ( X, ) χ, χ, C F T F d F χ X [ χ χ ],, ε χ χ χ,, 3, χ χ χ,, 3, 3 ε ε ε χ, χ, χ, χ, χ, ε T C F F χ, χ, χ, χ, χ, ε ( ) χ, ε χ, ε ε T C F ε T T ( F ε) ε 3/7/4 4

15 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI 3/6. LEGAME COSTITUTIVO DI INTERFACCIA 4 La legge cosiiva è defiia i ermii di poeziale coesivo φ φ 4 Nel caso più geerale il poeziale φ dipede: φ φ F gradiee di deformazioe, ( F, θ,q) θ emperara, q variabili iere che descrivoo il processo aelasico che accompaga la decoesioe, la ci evolzioe è defiia da relazioi del ipo: (, q) q f θ, 3/7/4 5

16 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI 4/6 4 Ipoesi di lavoro eedo coo dell espressioe di F si esplicia la dipedeza da e φ φ (, F, θ, q) la legge coesiva deve essere ivariae soo roazioe rigida si esplicia la dipedeza dal esore desro di Cachy-Gree φ φ ( C, F,, θ, q) assmiamo i processi isoermi si omee la dipedeza da θ φ φ ( C, F,, q) assmiamo la risposa coesiva idipedee dalla dilaazioe e dalla deformazioe a aglio della sperficie coesiva si omee la dipedeza dal esore di Cachy- Gree φ φ ( F,,q) sperficie coesiva isoropa rispeo alla direzioe di scorrimeo si esplicia la dipedeza dalle compoei ormali e ageziali φ φ (,,q) 3/7/4 6 S F

17 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI 5/6 3. TRAZIONI COESIVE secodo la φ φ,,q la legge coesiva è: (, q) ( ) φ, φ φ (,S, q) + (,S, q) Tvergard 99, e Camacho-Oriz 996 si irodcoo le misre effeive del salo di sposameo e delle razioi S S S S β + S β S + S β è il rapporo ra la resiseza ageziale e ormale del maeriale si assme la dipedeza di φ dal solo effeivo : le razioi coesive soo dae da: φ φ(,q) ( β + ) [ β + ( β )( ) ] S (, q) φ 3/7/4 7

18 MODELLO DI ORTIZ-PANDOLFI 6/6 4. ESEMPI DI LEGGI COESIVE IRREVERSIBILI C G C CC e / c G C C C 4 max /c max /c C max max C e C se se < max max e o < C max max C se se < max max e o < max se max alrimei e 3/7/4 8

19 MODELLO DI ČERVENKA /5 Červeka, J., Kishe, J.M.C. ad V. E. Saoma, V.E., 998, Mixed Mode Fracre of Cemeiios Bimaerial Ierfaces; par II: Nmerical Simlaio, Egieerig Fracre Mechaics, 6(), pp sposameo si decompoe i a pare elasica e ed i a aelasica i sposameo i è somma di a pare plasica e di a di frara i e + p i + f e + p + f 4 sperficie di frara di ipo iperbolico F ( τ + τ ) c gφ( ) g φ ( ) φ resiseza a razioe di ierfaccia agolo di ario c coesioe p [, τ, ] τ ( p,,c, φ) F sperficie di rora fiale g φ gφ τ c sperficie di rora iiziale 3/7/4 9

20 MODELLO DI ČERVENKA /5. LEGGE DI EVOLUZIONE 4 l evolzioe della sperficie di frara dipede dal modlo di i i i i [( ) + ( ) ( ) ] i i eff x y + z c agolo di ario φ rimae cosae la resiseza a razioe e la coesioe c e variao co legge bilieare i fzioe di ieff GF I ( ieff ) c c c c( IIa GF ieff ) ieff c c ieff Le leggi bilieari soo defiie da parameri, di ci de (es. e c) soo deermiai impoedo che l area soesa è gale a GFI e GFII 3/7/4

21 MODELLO DI ČERVENKA 3/5. LEGGE DI SCORRIMENTO O DI FLUSSO 4 il domiio elasico o è covesso e o è rispeaa la legge di ormalià, si defiisce a fzioe poeziale plasico Q(p) 4 la direzioe degli icremei di sposameo plasico è perpedicolare alla sperficie defiia dal poeziale plasico Q λ moliplicaore plasico Q λ λ p m Q p veore iario la ci direzioe coicide co qella del flsso plasico p Q p K τ K φ τ d φ d alrimei K K p ( > ) φ d [ K ] agolo di dilaaza K diag K, K, marice di rigidezza 3/7/4

22 MODELLO DI ČERVENKA 4/5 4 sperficie del poeziale plasico Q(p) per K φ d τ > K φ d φ do / φdφdo τ la direzioe del flsso plasico è perpedicolare ad a ellisse di assi: a K b K φ d K per < φ d τ K la direzioe del flsso rimae cosae ed gale a φd Q(p) φ d φ d 4 3. ANGOLO DI DILATANZA φ d ( ieff φ ) d ieff dil ( ) ieff ieff > dil dil dil i eff 3/7/4

23 MODELLO DI ČERVENKA 5/5 4. RELAZIONE SFORZO SPOSTAMENTO LUNGO L INTERFACCIA veore degli sforzi p τ, τ, marice di rigidezza paramero di iegrià α p αk [ ] T + D p ( ) i compressioe i razioe K K K K 4 D paramero di dao, il ci effeo si ha solo i razioe. La sa aivazioe è corolla dalla frazioe (+ )/ D A A f K K c ( ieff ieff ( ) ) + ( γ) ieff K K i GF I Af area fraraa A area oale K rigidezza ormale iiziale Kc rigidezza ormale corree K p γ i i c i i eff 3/7/4 3

24 MODELLO DI CAROL /5 Carol, I., Pra, P.C., ad Lopez, C.M., 997, Normal/Shear Crackig Model: Applicaio o Discree Crack Aalysis, J. Egg. Mech.Div., ASCE, 3(8), pp τ 4 sperficie di frara di ipo iperbolico F τ φ resiseza a razioe di ierfaccia agolo di ario c coesioe p [ τ,] ( c gφ) ( c gφ) ( p,,c, φ) F φ F(p,c,φ) c 4 l evolzioe della sperficie di frara dipede dal lavoro di frara L p g p ( p, ) p p + τ p gφ p per > per I razioe il lavoro è dissipao per la rora dei legami coesivi ed i compressioe il lavoro è dissipao i pare per ario ed L p () τ L p (, τ) 3/7/4 4

25 MODELLO DI CAROL /5 4 elle codizioi iiziali la sperficie di frara è rappreseaa dall iperbole L p 4 drae l evolzioe il lavoro di frara amea e la sperficie F si resrige i modo che il po rappreseaivo dello sao di sforzo rimaga sempre s di essa L p > 4 la forma fiale dipede dal modo di frara. Si disigoo casi limie: L p G F I 4 : frara per solleciazioe di pra razioe (modo I). A qeso corrispode l iperbole passae per l origie L p G F II a 4 : frara per solleciazioe combiaa di aglio e fore compressioe (modo IIa). La sperficie degeera elle semiree di Mohr-Colomb 3/7/4 5

26 MODELLO DI CAROL 3/5. LEGGE DI EVOLUZIONE 4 la resiseza a razioe e la coesioe c variao i fzioe di per descrivere il loro decadimeo si sao relazioi del ipo: F ( A,α,ξ ξ ) A + ξ ξ ξ α ( e ) ξ ξ < ξ ξ ξ > ξ F c F p I (,α,l G F ) p IIa ( c,α,l G ) c L p α paramero di selezioe F 3/7/4 6

27 MODELLO DI CAROL 4/5. LEGGE DI SCORRIMENTO 4 I razioe FQ la legge è di ipo associao, la direzioe degli icremei plasici è perpedicolare alla sperficie di frara F p g φ ( c gφ) 4 i compressioe F Q la legge è di ipo o associao, la direzioe degli icremei degli sposamei plasici è perpedicolare al poeziale plasico Q p g φ ( c gφ) f dil f dil c co i faori ridivi dai da: f f dil dil c F dil dil (,α, ) dil F(,α,c c ) c 3/7/4 7

28 MODELLO DI CAROL 5/5 3. ANGOLO DI DILATANZA agolo di dilaaza φd 3/7/4 8

29 COMPARAZIONE DEI MODELLI / Dgdale Barebla Hillerborg Needlema Oriz-Padolfi Legge coesiva cosae lieare bilieare poliomiale ed espoeziale espoeziale e lieare Deformazioi fiie NO NO SI SI Comporameo elasico elasico elasico aelasico Irreversibilià NO NO NO SI Variabili iere max Lgh. Caraeris. R π K I EGF π E Gc l 8 f c lc y f 8 - ν c 3/7/4 9

30 COMPARAZIONE DEI MODELLI / Fzioe di plasicizzazioe Červeka Iperbolica, c, φ Carol Iperbolica, c, φ Variabili di sofeig ieff L p Legge di flsso dil, φ do dil, α dil, α c dil Legge di evolzioe G FI, G F IIa ieff G FI, G F IIa α, α c Daeggiameo SI NO 3/7/4 3

31 APPLICAZIONI 4 Formazioe di voi Needlema [], Tvergard [43], Shabrov e Needlema [39] 4 Propagazioe qasi saica della frara Needlema [3,4], Tvergard e Hchiso [43] 4 Frara diamica X e Needlema [46], Padolfi e al. [7], Riz e al. [37] 4 Frara ei maeriali qasi fragili Červeka [7,8], Carpieri e al. [6] 4 Frara ei polimeri Rahl-Kmar e al. [3-3], Roychowdhry e al. [36] 4 Simlazioe della frara dile Scheider e Brocks [38], Gomez e Elices [6], Ya e Che [49] 3/7/4 3

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