24 Elementi di fisica atomica, molecolare e dei solidi

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1 4 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi combiazioe co il momeo ~p; seoaveemaivisoquesahamil- oiaa ma cooscee la meccaica aaliica, applicae le equazioi di Hamilo e riroveree la forza di Lorez 6.Perueleroe(dicarica e, massa m,coordiaaspaziale~r,momeocoiugao ~p)euucleo(+ze, M ' 1836m, ~R, ~P) soggeiallareciprocaarazioecoulombiaaeau campo di radiazioe esero /@ = 0 (vedi 1..), l hamiloiaa classica è h = 1 m ~p + e! ~A + 1 c M ~ P! Ze~A Ze c ~r ~R. (1.1) Possiamo co buoa approssimazioe, essedo M m, rascurare il ermie ucleare (~P Ze~A/c) /M rispeo a quello eleroico corrispodee, supporre il ucleo fermo rispeo all eleroe, e, giacché ci siamo, fissare la posizioe ell origie delle coordiae (~R = 0). Co quesa approssimazioe, che si può irodurre i modo piú rigoroso 7 di quao fao qui, ci riduciamo ad u hamiloiaa ella quale figurao solao la coordiaa e il momeo dell eleroe: h = 1 m ~p + e! ~A Ze ; (1.13) c r dove r = ~r è la disaza (i modulo) dell eleroe dal ucleo Hamiloiaa quaisica imperurbaa, uià aomiche I meccaica quaisica all hamiloiaa appea visa corrispode (sempre i ues) l operaore hamiloiao ĥ = 1 m i~~r + e! ~A Ze. (1.14) c r 6. Uaderivazioedellalagragiaaclassica(orelaivisica)diuaparicellacaricaicampo eleromageico si rova ache el primo capiolo del eso di Meccaica Classica di Goldsei [6]. 7. Come si apprede ei corsi iroduivi di meccaica quaisica, la massa ucleare grade ma o ifiia si elimia dal problema passado alla coordiaa relaiva e al cero di massa e osservado poi che sul cero di massa o ci soo forze (classicamee si muoverebbe di moo reilieo uiforme) mere sulla coordiaa relaiva agisce ua forza coulombiaa. Quaisicamee, la fuzioe d oda si faorizza i u oda piaa per la coordiaa del cero di massa e ua fuzioe d oda idrogeoide per la coordiaa relaiva. La massa o ifiia del ucleo fa sí che, ell equazioe di Schrödiger che regola la coordiaa relaiva, compaia la massa ridoa µ = mm/(m + M) aziché la massa m dell eleroe; come cosegueza, ue le eergie eleroiche

2 I. Fisica aomica 5 A queso puo coviee irodurre le uià aomiche 8 (aomic uis, a.u.), che verrao uilizzae i quesa pare del corso. La logica di quese uià è simile a quella delle uià elerosaiche: soo scele i modo ale da oeere ua forza uiaria quado due cariche uiarie si rovao a disaza uiaria; qui però il risulao si oiee fissado la carica uiaria pari (i modulo) a quella dell eleroe, e misurado poi disaza, massa e empo, aziché i cgs 9, i uià di a o = ~ /me (raggio di Bohr), m (massa dell eleroe) e o = ~ 3 /me 4. Si raa quidi di uià adae alle scale di lughezza, massa e empo ipiche dei feomei aomici, ali che il valore umerico della cosae di Plack ridoa ~ = h/, della massa dell eleroe e della carica dell eleroe risuli uiario. I alre parole, passare da uià elerosaiche a uià aomiche equivale a porre ~ = m = e = 1; ovvero, se si pare dal Sisema Ierazioale 30, equivale a porre ~ = m = e /4 " o = 1. I uià aomiche l operaore hamiloiao di u eleroe el campo elerico geerao da u ucleo di umero aomico Z (e massa ifiia), cioè l hamiloiaa quaisica di u aomo idrogeoide, si scrive i modo paricolarmee semplice: ĥ o = 1 r Z r. (1.15) È ache da oare che, poiché i qualsiasi sisema di uià la cosae di sruura fie 31, combiazioe adimesioale di cosai fodameali, ha lo sesso valore = e /~c 1/ , il valore umerico della velocià della luce, i uià aomiche, è c = 1/ L operaore hamiloiao di u aomo idrogeoide (co massa ucleare ifiia) i preseza di u campo di radiazioe, i uià aomiche, si scrive quidi ĥ = 1 i~r + ~A Z r. (1.16) vegoo riscalae di u faore µ/m = M/(m + M) ' per l idrogeo e acora piú vicio a 1 per gli alri aomi, che hao uclei piú pesai. 8. hp://i.wikipedia.org/wiki/uià_aomiche. 9. hp://i.wikipedia.org/wiki/sisema_cgs. 30. hp://i.wikipedia.org/wiki/sisema_ierazioale_di_uià_di_misura. 31. hp://i.wikipedia.org/wiki/cosae_di_sruura_fie.

3 6 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi Perurbazioi periodiche el empo Grazie alla codizioe di gauge ~r ~A = 0 gli operaori ~r e ~A commuao; l hamiloiaa dell Eq. (1.16) si riscrive h ĥ = 1 = 1 r i r ~A ~ + ~A ~r + A i Z r = r i ~A ~r + A Z r ; (1.17) e i essa si può ricooscere la somma dell hamiloiaa imperurbaa dell aomo idrogeoide ĥ o, Eq. (1.15) e ua perurbazioe ĥ: ĥ = 1 r Z r i ~A ~r + 1 A = ĥ o + ĥ; ĥ = i ~A ~r + 1 A. (1.18) Possiamo affroare il problema di Schrödiger associao all hamiloiaa Eq. (1.18) co la eoria delle perurbazioi 3 dipedei dal empo, viso che ~A = ~A(~r,), purché fra gli auosai di ĥ o che ci ieressao l elemeo di marice di ĥ sia piccolo rispeo alle differeze fra i corrispodei auovalori di ĥ o (aomo idrogeoide imperurbao), e iolre, all iero di quell elemeo di marice, il secodo addedo, di ordie A, possa essere rascurao rispeo al primo, di ordie A. Chi o è covio della validià di quesa approssimazioe dovrebbe pesare che, mere l hamiloiaa imperurbaa è quella che è, l ampiezza A del campo di radiazioe applicao dall esero può essere ridoa a piacere, e prima o poi, a forza di ridurre, il ermie proporzioale ad A deve per forza diveare rascurabile rispeo a quello proporzioale ad A. Tale codizioe, soddisfaa egli esperimei sorici richiamai i queso capiolo, equivale ad escludere evei di assorbimeo o emissioe che coivolgao simulaeamee due fooi. Solo uilizzado la radiazioe molo iesa e coeree dei laser 33 è sao possibile, i ai piú recei, idurre e sudiare egli aomi rasizioi a due fooi, 34 che qui o cosidereremo, limiadoci a campi eleromageici eseri 3. hp://e.wikipedia.org/wiki/perurbaio_heory_(quaum_mechaics). 33. hp://i.wikipedia.org/wiki/laser. 34. Della speroscopia laser a due fooi è sao pioiere il premio Nobel 005 per la Fisica Theodor Häsch (vedi ad esempio hp://lik.aps.org/doi/ /physrevle ).

4 I. Fisica aomica 7 ali che ell Eq. (1.18) il ermie di ordie A sia rascurabile rispeo a quello di ordie A. Ci appresiamo quidi ad affroare co la eoria delle perurbazioi dipedei dal empo, che si apprede i geere el corso di meccaica quaisica, l hamiloiaa ĥ = ĥ o + ĥ, co ĥ o = 1 Z r e ĥ = i ~A ~r. (1.19) r 1.3. Ierpreazioe dello spero dell idrogeo La perurbazioe ĥ= i ~A rdipede dal empo perché ~A=~A(~r,); i paricolare l oda piaa polarizzaa liearmee dell Eq. (1.8), che qui ci ieressa, è periodica co periodo T o = /! o. Se poi, come capia i realà, ua simile perurbazioe è accesa al empo =0 (el seso che per apple 0 l aomo è imperurbao, mere da = 0 i poi è soggeo al campo eleromageico dell oda piaa), e vogliamo sudiare l effeo a u cero empo >0, c è, i realà, u uleriore dipedeza dal empo: l oda è periodica solo ell iervallo emporale 0,, e quidi, come vedremo ache dagli sviluppi successivi, o è piú esaamee moocromaica. Qualuque sia la dipedeza dal empo di ĥ, se i soo gli auosai (sai sazioari) dell hamiloiaa imperurbaa ĥ o i=" i, la eoria delle perurbazioi dipedee dal empo pare dallo sviluppo di ()i, soluzioe dell equazioe di Schrödiger dipedee dal empo ĥ ()i=i@ ()i/@, i serie di i. Passado alla rappreseazioe delle coordiae h~r i= (~r), h~r ()i= (~r,) oeiamo X c ()e i" ĥ (~r)= X " # dc () i " c () e i" (~r). (1.0) d perché le (~r ) dipedoo solo da~r,mereicoefficieic () eifaoridi fase e i" dipedoo solo da.pereviarelaproliferazioedegliidici, riassumiamo co u uico simbolo l isieme dei umeri quaici lm che caraerizzao gli auosai aomici di ĥ o.moliplicadoambedueimembri dell Eq. (1.0)asiisraper (~r) m eiegradoid3 r = dxdydz si oiee per icoefficieic () u equazioe differeziale lieare del primo ordie: dc m d = 1 i X c ()hm ĥ ie i(" m " ) ; (1.1) dove hm ĥ i = R d 3 r m (~r) ĥ (~r). Fio a queso puo o è saa faa alcua approssimazioe: co uo sviluppo i serie esao (gli auosai

5 8 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi di ĥ o formao u isieme compleo) si è rasformaa l equazioe di Schrödiger dipedee dal empo i u sisema di (ifiie) equazioi differeziali accoppiae per i coefficiei c (). A queso puo si sfrua il fao che, rispeo all hamiloiaa imperurbaa, la perurbazioe è piccola, ed era i gioco la eoria delle perurbazioi, che richiamiamo seza ua dimosrazioe complea perché già sudiaa a meccaica quaisica: se c (0) soo i coefficiei dello sviluppo di (~r, ) all ordie zero, cioè i asseza della perurbazioe, quidi cosai el empo /d = 0) (dc (0) se c (1) () soo quelli al prim ordie ella perurbazioe, dipedei dal empo ma piú piccoli dei c (0) se ui i coefficiei di ordie superiore c () (),... si possoo rascurare perché acora piú piccoli (),c(3) allora ci si può fermare al prim ordie perurbaivo poedo c () ' c (0) + c (1) (), esioiee,pericoefficieidelprim ordie,l equazioe differeziale: dc (1) m d = 1 i X c (0) hm ĥ iei(" m " ). (1.) Per quao già deo (la perurbazioe viee accesa a = 0) la codizioe iiziale è quella dell aomo imperurbao: c (1) ( apple 0) =0, c ( apple 0) =c (0). I geerale lo sao di u aomo imperurbao è ua sovrapposizioe di sai sazioari di ĥ o, cioè ha c (0) 6= 0 per moli diversi valori di. Tuavia il caso i cui l aomo si rovi iizialmee i u paricolare sao sazioario ii, cioè abbia c (0) i = 1 e c (0) = 0, è molo 6=i semplice da raare (la somma a secodo membro dell Eq. (1.) si riduce a u solo ermie) e, dal puo di visa sperimeale, realizzabile (specialmee per lo sao fodameale): perciò ci dedichiamo ora a queso caso, el quale l Eq. 1.) forisce ua legge di evoluzioe separaamee per ciascu m : dc (1) m d = 1 i hm ĥ iiei(" m " i ). (1.3) La eoria fi qui preseaa vale per ua geerica perurbazioe ĥ, purché piccola rispeo ad ĥ o. Per iegrare l equazioe differeziale Eq.

6 I. Fisica aomica 9 (1.3) occorre decidere di che perurbazioe si raa, cioè espliciare la dipedeza spazio emporale. Toriamo cosí fialmee a ĥ = i ~A ~r, dove ~A(~r,)=ˆ"A o e i(~ k o ~r! o +' o ) +c.c. è l oda piaa dell Eq. (1.8), per la quale oeiamo gli elemei di marice apple hm ĥ ii = i A o ˆ" hm e i~ k o ~r r iie ~ i! o + i' o + + hm e i~ k o ~r ~ r iie i! o i' o. (1.4) Defiiamo ora! mi = " m " i e ~M mi ( ~ k o )=hm e i~ k o ~r r ii. ~ Per ques ulimo, grazie alla codizioe di gauge ˆ" ~k o = 0 e alla ai-hermiicià dell operaore ~r, vale l uguagliaza ˆ" hm e i~ k o ~r ~ r ii = ˆ" hi ~re i~ k o ~r mi = ˆ" ~M im (~ k o ); e l equazioe differeziale 1.4, per l oda piaa moocromaica fiora visa, divea dc (1) m = A d o ˆ" ~M mi ( ~ k o )e i (! mi! o ) + ' o + M~ im (~ k o )e i (1.5) (! mi +! o ) ' o. Quesa equazioe differeziale si iegra immediaamee fra 0 e : si raa dell iegrale elemeare Z d 0 e i 0 = ei 1 = e i si = e i si ; (1.6) o i cosicché, per ogi m 6= i, l equazioe differeziale 1.5 ha per soluzioe c (1) m () = A o ˆ" 8 < M : ~ mi ( ~ k o )e i "!mi! o " ~M ( ~k im o )e i!mi +! o + ' o # si!mi!mi! o! o + # 9 ' o si!mi +! o!mi +! o = ;. (1.7) Assorbimeo e emissioe, probabilià di rasizioe Prima di ierpreare queso risulao vogliamo ricordare che per m 6= i il modulo quadro dei c (1) () forisce la probabilià che, al empo, l aomo m

7 30 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi si rovi ello sao mi, mere per m = i ale probabilià è daa dal modulo quadro di 1 + c (1) i (); ifai al momeo dell accesioe della perurbazioe l aomo si rova ello sao iiziale ii, ovvero, come si è già deo, pare dalla codizioe c (0) i = 1,c (0) = 0. È ache ecessario m6=i ricordare che, affiché rimaga valida la eoria delle perurbazioi, ui i coefficiei c (1) () si maegao (i modulo) sigificaivamee miori m di uo. Deo ciò osserviamo che, a pare u prefaore di fase che o e cambia il modulo, il primo dei due addedi è grade solo quado! mi! o è piccolo i modulo, cioè quado " m ' " i +! o, ma i al caso l alro addedo è piccolo; l iverso accade quado! mi +! o è piccolo i modulo, cioè quado " m ' " i! o : solo i al caso il secodo addedo è grade, ma quado queso succede il primo è rascurabile. Sado cosí le cose, ua vola fissao lo sao iiziale e la frequeza del campo eleromageico esero, si dao re possibilià: a) fra gli auosai di ĥ o ce è uo, f i, co eergia " f > " i e ale che " f " i =! fi '! o : i al caso per m = f il primo addedo del coefficiee è grade e il secodo piccolo; b) fra gli auosai di ĥ o ce è uo, f 0 i, co eergia " 0 < " f i e ale che " 0 " f i =! f 0 i '! o : i al caso il secodo addedo del coefficiee c 0(1) () è grade e il primo piccolo; f c) essua delle due precedei codizioi è mai soddisfaa da alcuo degli auosai di ĥ o : i al caso ambedue gli addedi soo piccoli per ui gli m. Per chi coosce la fuzioe six/x è facile vedere che, ei re casi elecai, i ermii piccoli diveao sempre piú piccoli ma mao che passa il empo; e ache che, affiché diveio rascurabili, occorre che il empo aeso sia almeo dell ordie di gradezza dell iverso del salo di eergia coivolo i quella paricolare coppia di livelli, e quidi della frequeza dell oda: /! o. Tale codizioe esprime maemaicamee quao preauziao all iizio di queso capiolo ( 1.3): l oda piaa di pulsazioe! o, accesa al empo = 0, o è rigorosamee periodica el empo, i quao aveva ampiezza ulla per <0; ha perciò compoei di Fourier ache per pulsazioi diverse da! o. Tuavia, per /! o, le compoei diverse da! o diveao sempre meo imporai. Queso si può vedere ache dal puo di visa quaisico: la precisioe co cui si può defiire

8 I. Fisica aomica 31 l eergia di ua paricella (i queso caso di u fooe ~! o! o i uià aomiche) è iversamee proporzioale al empo di osservazioe. Nel seguio assumiamo che il empo sia abbasaza lugo affiché la codizioe /! o sia soddisfaa, e abbasaza breve affiché la eoria delle perurbazioi rimaga valida. I ali circosaze el caso 3) o succede iee, mere ei primi due casi, se coserviamo ogi vola solo il ermie domiae e calcoliamo il corrispodee modulo quadro dell uico coefficiee c (1) m6=i sigificaivamee diverso da zero, oeiamo ua sima della probabilià che, al empo, l aomo, che a = 0 era ello sao iiziale ii, sia passao allo sao ad eergia piú ala f i (o, rispeivamee, allo sao a eergia piú bassa f 0 i). Quese si chiamao ache probabilià di rasizioe dallo sao ii allo sao f i o f 0 i; la prima si chiama probabilià di assorbimeo e la secoda di emissioe. Si allude, co queso ermie, ad assorbimeo o emissioe di u quao di eergia del campo eleromageico da pare dell aomo: el primo processo, ifai, l aomo acquisa (assorbe) u eergia! o pari al salo i salia fra il livello di pareza e quello di arrivo; el secodo resiuisce al campo eleromageico (emee) eergia, ach essa pari ad! o, co u salo i discesa. Ricapiolado: Se esise u f i co " f ' " i +! o, la probabilià di rasizioe (probabilià di assorbimeo di u fooe) al empo è: h!fi i c (1) () ' A f o ˆ" ~M fi ( ~ k o ) si! o h!fi i. (1.8) Se esise u f 0 i co " 0 ' " f i! o, la probabilià di rasizioe (probabilià di emissioe di u fooe) al empo è: h!f c (1) () ' A f 0 o ˆ" ~M ( ~ k if 0 o ) si 0 i +! i o i. (1.9)! o h!f 0 i +! o Per capire meglio quesi risulai coviee sudiare la fuzioe di e che ha u ruolo chiave i ambedue le espressioi appea cosiderae e può essere scria i varie forme: f (,)= si 1 cos = 1 = ( ). (1.30)

9 3 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi Nell ulima uguagliaza il simbolo ( ) idica ua fuzioe che per! 1 ede 35 alla disribuzioe dela di Dirac ( ). Ricordado che è lo scaro fra la frequeza dell oda piaa e il salo eergeico fra i due livelli (i salia o i discesa a secoda dei casi) e è il empo rascorso dopo l accesioe dell oda piaa, guardiamo i due grafici di Fig Nel paello di siisra si vede i diversi colori il grafico di f (, ) i fuzioe del empo per quaro diversi valori di (0, 0.15, 0.30, 0.45). Quado è diverso da zero, f oscilla el empo; l ampiezza 4/ e il periodo di oscillazioe / dimiuiscoo al crescere di (per gradi, f oscilla rapidamee el empo co ampiezza rascurabile). Quado = 0, ivece, ambedue le frazioi che moliplicao i Eq. (1.30) valgoo 1, e la fuzioe f è esaamee uguale a, ua parabola (che o oscilla, ma va all ifiio per! 1). Come dice l Eq. (1.30) e s iuisce dalla Fig. 1.5, per! 0 c è ua rasizioe coiua dall adameo emporale oscillae a quello parabolico: per sufficieemee piccoli rispeo a / ue le curve relaive ai diversi edoo prima o poi alla sessa parabola, perché per ue il primo ermie dello sviluppo di Taylor ioro a = 0 è uguale a. Il paello di desra di Fig. 1.5 illusra ivece l adameo di f i fuzioe di quado il empo > 0 è fissao; qui o abbiamo bisogo 35. Diverse disribuzioi edoo alla dela di Dirac i fuzioe di u loro paramero, vedi ad esempio hp://e.wikipedia.org/wiki/dirac_dela_fucio. Figura 1.5. Sudio della fuzioe f (, ), igrediee cruciale per la probabilià di assorbimeo e di emissioe di u aomo i preseza di u oda eleromageica, vedi 1.3.1, Eq. (1.30).

10 I. Fisica aomica 33 di esempi umerici relaivi a diversi valori di perché la dipedeza di f dal empo rascorso cosee di visualizzare ui i empi i u colpo solo, pur di ridefiire opporuamee le uià di misura sia i ascissa che i ordiaa. Vediamo cosí che f ha i = 0 u picco di alezza e larghezza iversamee proporzioale a ; l area soo il picco è quidi proporzioale a. Per empi sempre piú lughi il picco si alza e si srige, e l area soosae cresce come il empo : f è proporzioale, come dice l ulima uguagliaza dell Eq. (1.30), a ua dela di Dirac di argomeo moliplicaa per il empo Regola d oro di Fermi I praica, per empi lughi el seso già deo commeado l Eq. (1.7) (ali, cioè, che divei rascurabile l ideermiazioe sulla frequeza dell oda piaa icidee dovua al empo fiio di osservazioe), f è rascurabile a meo che sia zero; possiamo quidi sosiuire f (,) ' ( ) elle Eqq. (1.8) e(1.9). Se co l occasioe esprimiamo l ampiezza dell oda A o (che o si misura direamee) araverso l iesià della radiazioe I o = A o! / c (che si misura direamee) e o eiamo ache presee che elle uià aomiche ora adoae c = 1/, quelle due equazioi diveao: c (1) f () ' 4 ˆ" ~M fi ( ~ k o ) I o! o c (1) f 0 () ' 4 ˆ" ~M if 0 ( ~ k o ) I o! o! fi! o ; (1.31)! f 0 i +! o. (1.3) A queso risulao ci si riferisce spesso come regola d oro di Fermi (per il caso i cui la perurbazioe sia u oda piaa). Esso esprime la coservazioe dell eergia. Ammeedo ifai che alla radiazioe eleromageica di pulsazioe! o siao associai quai di eergia ~! o (! o i uià aomiche), la dela di Dirac impoe, el caso dell assorbimeo, che l eergia guadagaa ella promozioe di u eleroe da u livello di eergia " i a u livello di eergia superiore " f sia esaamee uguale all eergia ~! o del quao di eergia assorbio dalla radiazioe eleromageica; il caso dell emissioe è del uo aalogo, salvo che il quao è ceduo dall aomo al campo di radiazioe e l eleroe viee rerocesso a u livello di eergia iferiore " f 0.

11 34 Elemei di fisica aomica, molecolare e dei solidi Dal puo di visa di u esperimeo reale il risulao appare improbabile: se la pulsazioe dell oda o è quella giusa la probabilià viee zero, ma se è giusa, per via della dela di Dirac, viee ifiia; il che, per ua probabilià che dovrebbe essere compresa fra zero e uo, o va bee. Il fao è che ua sorgee reale o produce u oda esaamee moocromaica: l iesià oale I o è sempre disribuia su u iervallo piú o meo largo! aoro a ua frequeza cerale! o ; u modello rozzo ma semplice è per esempio ua sorgee co spero reagolare: I(!) =I o /! per! o!/ <! <! o +!/, e zero alrimei. Noae che I(!) ha le dimesioi di u iesià diviso ua pulsazioe. Nel caso i cui quesa disribuzioe sia fruo della sovrapposizioe icoeree di ae ode piae co frequeze lievemee diverse (il che è vero per gli esperimei sorici di cui parliamo, e, piú i geerale, quado o abbiamo a che fare co sorgei coerei come i laser) l iesià oale è la somma (l iegrale) delle iesià disribuie aoro a! o : I o = R d!i(!), e le probabilià dei due casi 11 di assorbimeo ed emissioe si oegoo iegrado le rispeive equazioi i d!: Z 1 c (1) () ' 4 ˆ" ~M f fi ( ~ k o ) I(!) d! 1!! fi! = = 4 ˆ" ~M fi ( ~ k o ) I(! fi) = W if ; (1.33) c (1) () ' 4 ˆ" ~M Z 1 ( ~ k f 0 if 0 o ) I(!) d! 1!! f 0 i +! = = 4 ˆ" ~M f 0 i( ~ k o ) I(! if 0)! = W if 0 ; (1.34) if 0 dove ell ulimo membro delle equazioi compare il asso emporale di rasizioe W ab, defiio come la derivaa emporale della probabilià di rasizioe da a a b, e ella secoda equazioe abbiamo usao ache le ideià ˆ" ~M if 0 ( ~ k o ) = ˆ" ~M f 0 i( ~ k o ) e! f 0 i =! if 0 > 0.! fi Assorbimeo ed emissioe simolaa: assi ideici Fiora, immagiado che l aomo si rovi iizialmee i uo sao sazioario ii dell hamiloiaa imperurbaa, abbiamo rovao, i preseza di radiazioe eleromageica, re casi possibili: (1) promozioe