STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI

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1 STIMA DEI ARAMETRI STIMA UTUALE DEI ARAMETRI er STIMA UTUALE DEI ARAMETRI iede l iieme dei meodi ifereiali che permeoo di aribuire u valore ad u paramero della popolaioe, uiliado i dai di u campioe cauale oervao (x, x,,x ) ed elaboradoli. Sia (x, x,,x ) il campioe cauale oervao e ia ( ) ua fuioe maemaica a variabili. Applicado ( ) al campioe cauale oervao i oiee u valore: ( ) ( x x ),,..., Si defiice STIMA il riulao delle elaboraioi dei dai di u campioe cauale oervao, al fie di imare il paramero di ieree θ della popolaioe. Si defiice STIMATORE del paramero θ della popolaioe la aiica campioaria T (,..., ) uiliaa per imare θ., Si chiama errore di ima la differea fra lo STIMATORE e il paramero: T-θ x

2 roprieà degli STIMATORI A) CORRETTEZZA o O DISTORSIOE Uo imaore T di defiice CORRETTO o O DISTORTO e la ua media coicide co il paramero da imare: M (T ) θ Se M (T ) θ, allora T i defiice imaore o correo o dioro: la quaià D M (T ) θ i dice diorioe. B) EFFICIEZA Il coceo di efficiea di uo imaore i baa ulla ua variabilià: uo imaore arà ao più efficiee, ovvero precio, quao più piccola riula la ua Variaa, e quidi il uo S.q.m. Uo imaore è ao più efficiee quao più piccolo è il uo errore medio Var( T ). T EFFICIEZA ASITOTTICA Se la variaa dello imaore ede a ero per (dimeioe campioaria) che ede all ifiio: ( T ) 0 lim Var + allora T i defiice imaore aioicamee efficiee. C) COSISTEZA Si defiice T imaore COSISTETE del paramero θ e e olo e vale la eguee relaioe: ( T θ ε ) lim + Teorema: Se uo imaore T è correo e aioicamee efficiee, allora T è imaore coiee di θ.

3 STIMA DEI ARAMETRI STIMA ER ITERVALLO La ecica ifereiale della STIMA ER ITERVALLO ha lo copo di fiare u iervallo ero il quale i rovi, co la probabilià aegaa (: -), il valore vero del paramero θ icogio della popolaioe. Se quea probabilià - è vicia ad uo, allora i oiee u iervallo che coiee quai ceramee il paramero. Ivece la probabilià di erarre u campioe il cui iervallo o coega il paramero è e quidi è piccola: eprime la miura del richio di errore, ovvero la probabilià di bagliare. ITERVALLO DI COFIDEZA o ITERVALLO FIDUCIARIO { θ θ } θ La quaià (-) è il Coefficiee di cofidea. Gli eremi θ e θ oo i Limii di cofidea.

4 ITERVALLO DI COFIDEZA per la Media della popolaioe { } Se la Media campioaria i diribuice ORMALMETE, allora + Dove m (el cao di campioe cauale CO ripeiioe), quidi oiuedo i oiee: + Da cui, effeuado alcui paaggi algebrici ai fii di iolare, i oiee la formula fiale dell ITERVALLO DI COFIDEZA per la Media della popolaioe: + Ivece, el cao di campioe cauale SEZA ripeiioe e popolaioe di dimeioe fiia, ella formula della ( ) Var bioga eer coo del faore di correioe, quidi:

5 Da oiuire ella formula: { } + + Da cui, effeuado alcui paaggi algebrici ai fii di iolare, i oiee la formula fiale dell ITERVALLO DI COFIDEZA per la Media della popolaioe: + Se la Media campioaria adardiaa i diribuice come ua v.c. di Sude, allora + Dove, quidi oiuedo i oiee: + Da cui, effeuado alcui paaggi algebrici ai fii di iolare, i oiee la formula fiale dell ITERVALLO DI COFIDEZA per la Media della popolaioe: +

6 Eerciio Da ua popolaioe co variaa 49 è ao erao co reierimeo u campioe cauale di 00 uià; ia 50 il valore della media campioaria. Deermiare l iervallo di cofidea al livello del 9% per la media della popolaioe. SOLUZIOI oiché 00>30 allora la media campioaria i diribuice ormalmee. Dao u livello di igificaivià pari al 9%-, egue 8% e /4%; quidi ulle avole della v.c. ormale adardiaa bioga idividuare i valori ± ± 4% ±, , ,75 00 { 48,775 5,5} 0, Eerciio Da u campioe cauale di 35 impiegai (: 35) riula che la reribuioe meile (i migliaia di euro) preea media campioaria pari a e variaa campioaria correa pari a 0,5. Deermiare l iervallo di cofidea al livello del 96% per la media della popolaioe. SOLUZIOI oiché 35>30 allora la media campioaria i diribuice ormalmee. + 0,5,05 +,05 35 {,8674,736} 0,96 0,5 35

7 ITERVALLO DI COFIDEZA per la Variaa della popolaioe, el cao di popolaioe ormale { } oiché, e la popolaioe d origie è ormale la Variaa campioaria S i diribuice come ua v.c. chi-quadrao, a meo di ua coefficiee di proporioalià, allora i può crivere: Dove ν S, quidi oiuedo i oiee: ν S Da cui, effeuado alcui paaggi algebrici ai fii di iolare, i oiee la formula fiale dell ITERVALLO DI COFIDEZA per la Variaa della popolaioe: ν ν S S

8 Eerciio Da ua popolaioe diribuia ormalmee viee erao u campioe cauale di 0 uià (: 0); la variaa calcolaa ul campioe riula pari a 600. Deermiare l iervallo di cofidea al livello del 95% per la variaa della popolaioe. SOLUZIOI S ν S ν Dove 95%-, da cui egue 5% e /,5%; quidi ulle avole della v.c. chi-quadrao bioga idividuare i eguei valori, i corripodea a ν-0-9:,5%,70 97,5% 9,0 La variaa del campioe è pari a 600, quidi bioga effeuare la correioe per oeere S : S ,67 9 Da cui, oiuedo: 666,67 9 0,95 9,0 { 35,45,} 666,67 9,70