Verifica delle ipotesi

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1 Verifica delle ipotei U'ipotei tatitica è u'affermazioe o ua cogettura riguardate u parametro q che caratterizza il modello decrittivo della popolazioe, f(x;q), co qq, dove Q è lo pazio parametrico. olitamete, oltre a u'ipotei ulla, H :q Q Q i formula u'ipotei alterativa (cotrappota a quella ulla), H 1 :q Q Q U'ipotei i dice emplice e pecifica completamete la ditribuzioe, cioè q = q ; altrimeti i dice compota. La verifica delle ipotei (tet tatitico) è u procedimeto co il quale i decide, alla luce di u campioe, e rifiutare o meo H i favore di H 1. i tratta di dividere lo pazio campioario (W) i due ottoiiemi: zoa di accettazioe (A) e zoa di rifiuto (R). U'imprea vuole verificare, ulla bae di u campioe cauale di 5 uità, e il peo medio dei prodotti che le oo tati coegati è effettivamete pari a 1,Kg., come dichiarato dal foritore. otto l auzioe che il peo dei prodotti abbia ditribuzioe X ~ N(m, ), l'ipotei ulla (che i queto cao è emplice) è H : m 1, iccome l'imprea viee daeggiata olo e il peo è miore di quato dichiarato, i poe come ipotei alterativa (compota) H1 : m 1, U modo aturale di codurre la verifica delle ipotei è rifiutare H i favore di H 1 quado la media campioaria è igificativamete più piccola della media dichiarata, cioè quado x 1,, La zoa di accettazioe e la zoa di rifiuto oo pari a: x : x 1,, R x : x 1, A e l'ipotei alterativa (compota) è H1 : m 1,, è eato rifiutare quado x 1,, La zoa di accettazioe e la zoa di rifiuto, i queto cao oo pari a: x : x 1,, R x : x 1, A

2 uppoiamo che la popolazioe ia Normale co media icogita e variaza ota. i vuole verificare: H : m m H1 : m m m I corripodeza dell ipotei alterativa i pooo cofigurare divere regioi di rifiuto: H : H1 : q q q q Coiderado come tatitica tet la media campioaria X appiamo che otto l ipotei ulla queta i ditribuice come ua Normale co media m m e variaza. Criteri di valutazioe di u tet tatitico Nel codurre u tet poiamo icorrere i due tipi di errore: errore di I tipo: i rifiuta H quado è vera errore di II tipo: i accetta H quado è fala Queti errori pooo eere commei co probabilità: q Pq X R, q Q q Pq X A, q Q La poteza del tet è la probabilità di rifiutare H quado è fala, q 1 q Pq X R, q Q H è vera H è fala Deciioe Accetto H Rifiuto H Corretta 1 Errore del I tipo Errore del II tipo Corretta 1 La poteza crece al crecere della dimeioe campioaria e della ditaza tra il valore vero del parametro e l'ipotei ulla. I diveri errori che i pooo commettere: Tra e uite ua relazioe ivera: miore è il valore di, maggiore è il valore di. Le probabilità di commettere gli errori corripodoo a delle aree.

3 I relazioe all'eempio precedete, i uppoga che per verificare H : m 1, H1 : m 1, i rifiuta quado X 1. otto l auzioe X ~ N(m, ), la probabilità di rifiutare quado il valore vero della media è m è data da X m 1 m 1 m P m X 1 Pm e =,5 e co = 5, la probabilità dell'errore di I tipo è P X 1 1,977, 8 1, e la media vera foe m = 1,5, la poteza del tet arebbe P X 1,5 1,6915, 385 1,5 Tet uiformemete più poteti e tet corretti iccome miimizzare etrambe le probabilità di errore è uualmete impoibile, i ua fiare u livello maimo per quella di I tipo, chiamata livello di igificatività (,1,,5,,1), e i cerca di miimizzare quella di II tipo (o maimizzare la poteza). U tet co fuzioe di poteza * (q) è uiformemete più potete al livello e q q, q Q dove (q) è la fuzioe di poteza di u qualiai altro tet al livello. I alcue ituazioi, il tet uiformemete più potete o eite e quidi i ricorre alla defiizioe di o ditorioe. U tet al livello è o ditorto e q, q Q U metodo che uualmete porta a tet co quete proprietà è quello baato ul rapporto di veroimigliaze i cui i rifiuta H e max Lq max Lq qq qq k max Lq L ˆ q qq dove < k <1 è celto i bae al livello di igificatività voluto. (popolazioe ormale, variaza ota) i aume che X ~ N(m, ), co oto. i coidera l'ipotei ulla H : m = m e quidi la tatitica tet X m Z N e H 1 : m > m, i rifiuta H e dove z è il quatile della ditribuzioe Normale tadard tale che P(Z z ) = co Z ~ N(,1). e H 1 : m < m, i rifiuta H e e H 1 : m m, i rifiuta H e, 1 otto H z z oppure e x m z z z oppure e x m z z z oppure e x m z o x m z U altro modo per evideziare il riultato del tet è quello di calcolare il p-value. p-value : probabilità di oervare u valore della tatitica tet uguale o più etremo del valore otteuto dal campioe, otto l ipotei ulla. E ua quatità che miura l evideza forita dai dati cotro l ipotei ulla: miore è il valore del p-value, più è forte l evideza cotro l ipotei ulla. I pratica e p-value < rifiuto H

4 i uppoga di voler verificare l'ipotei che l'altezza media degli italiai è 17cm ulla bae del campioe 17,75 186,14 173,39 185,1 173,39 otto l'auzioe X ~ N(m, ), co variaza = 5. L'ipotei ulla è H : m = 17 e quidi, dato che x 177,758, la tatitica tet Z aume il valore 177, ,758 z 1, ,16 e H 1 : m > m e =,5, i rifiuta H i quato 1,81 z z 1,645 e H 1 : m m e =,5, o i rifiuta H i quato 1,81 z z 1,96 (popolazioe ormale, variaza o ota) e X ~ N(m, ), co o oto, e l ipotei ulla è H : m = m, i utilizza la tatitica tet X m T t 1 otto H e H 1 : m > m, i rifiuta H e t t dove t è il quatile della ditribuzioe t di tudet tale che P(T t ) = co T ~ t(-1). e H 1 : m < m, i rifiuta H e t t e H 1 : m m, i rifiuta H e t t Nel cao della verifica dell'ipotei H : m = 17 coiderata i precedeza, i uppoga di o coocere la variaza. La media campioaria e la variaza campioaria oo pari a x 177,758 e 5,93 da cui la tatitica tet T aume il valore 177, ,758 t 1,77 5,93 5 3,54 e H 1 : m > m e =,1, o i rifiuta H i quato 1,77 t t 3,747 e H 1 : m m e =,5, o i rifiuta H i quato 1,77 t t,776 (popolazioe qualiai, gradi campioi) Per ua popolazioe qualiai, el cao di gradi campioi ( 3), e l'ipotei ulla è H : m = m i può utilizzare la tatitica tet X m Z N, 1 otto H e H 1 : m > m, i rifiuta H e e H 1 : m < m, i rifiuta H e e H 1 : m m, i rifiuta H e z z oppure e x m z z z oppure e x m z z z oppure e x m z o x m z

5 i coideri l'ipotei H : m = 1, cotro H 1 : m < 1, i uppoga che il campioe di = 5 prodotti che è tato etratto ha media e variaza pari ripettivamete a x 1,59 e,158 e quidi la tatitica tet aume il valore 1,59 1, z,158 5,141,56,59 Al livello di igificatività =,1, i rifiuta H i quato,59 z z,36 (determiazioe della umeroità campioaria) Ipotizziamo ua dimeioe ampia del campioe tale da garatire l applicazioe dell approimazioe alla Normale. La procedura egue i egueti pai: 1. pecificare il livello di igificatività. pecificare il valore di m 1 e il corripodete valore di 3. elezioare ua tima iiziale di 4. calcolare la umeroità campioaria ia z il valore per cui P( Z z ) z il valore per cui P( Z z ) 1 allora: H1 : m m z z m1 m H 1 m m H 1 m m z z m1 m Verifica di ipotei ulla probabilità di ucceo (popolazioe Beroulliaa, gradi campioi) i aume che X ~ Bi(1,) (popolazioe Beroulliaa). i coidera l'ipotei ulla H : = e quidi la tatitica tet X Z 1 che per gradi campioi ( 3), ha approimativamete ditribuzioe Normale tadard N(,1), otto H. e H 1 : >, i rifiuta H e z z oppure e x z 1 e H 1 : <, i rifiuta H e z z oppure e x z 1 e H 1 : m m, i rifiuta H e z oppuree x z 1 o x z z 1 i uppoga di voler verificare l'ipotei H : =,5 cotro H 1 : >,5 al livello =,1 ulla bae di u campioe di dimeioe = 5 i cui ci oo 3 uccei. La media campioaria è 1 x e quidi la tatitica tet aume il valore,64,5,1 z 1,698,5 1,5 5,77 i rifiuta H i quato x i i1 3,64 5 1,698 z z 1,8

6 Verifica di ipotei ulla variaza (popolazioe ormale, media o ota) e X ~ N(m, ) co m o oto, e l'ipotei ulla è H : = i utilizza la tatitica tet 1 C c 1 otto H e H 1 : >, i rifiuta H e c c dove c è il quatile della ditribuzioe c ( -1) tale che P(c > c ) =. e H 1 : <, i rifiuta H e c c oppure e e H 1 :, i rifiuta H e oppure e c 1 1 c1 c c o c c oppure c 1 o c i uppoga di voler verificare l'ipotei H : = 75 cotro H 1 : 75 al livello =,1 ulla bae di u campioe (già coiderato i precedeza) 17,75 186,14 173,39 185,1 173,39 otto l'auzioe X ~ N(m, ), co media m o ota. La variaza campioaria è e quidi la tatitica tet aume il valore No i rifiuta H i quato,71 5,93 4 5,93 c,83 75 c1 c c 9,49 Dove e come tudiare Libro di teto:. Borra, A. Di Ciaccio (14), Cap. 13 (trae e 13.8) e Cap. 14 (trae 14.5 e 14.6) volgere Eercitazioe 8. 3