Daniela Tondini

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1 Daiela Todii Facoltà di Medicia Veteriaria C.L.M i Medicia Veteriaria Uiverità degli Studi di Teramo

2 Nella ricerca cietifica e tecologica è importate miurare la reale efficacia di iterveti ul itema oggetto di tudio, ovvero valutare gli effetti compleivi idotti da ua caua ota, pur ella mutevolezza ed itabilità dei riultati idividuali. A tal riguardo, la Statitica ha propoto umeroi idici tatitici, aveti quale obiettivo proprio la miurazioe di due compoeti del feomeo oggetto di tudio e di iteree cietifico: la coiteza della itematicità, cioè la cetralità, ovvero l attitudie che hao i feomei ad aumere tedezialmete ua certa dimeioe all oervazioe, e la variabilità o mutabilità, cioè la diperioe, ovvero l attitudie che hao i feomei ad aumere dimeioi e tedeze divere all oervazioe, el tempo e ello pazio. I particolare, la cetralità è miurata dai coiddetti idici di poizioe (o idici di tedeza cetrale o idicatori di poizioe o miure di tedeza cetrale) o medie tatitiche o acora più emplicemete medie, i grado di eprimere e itetizzare la poizioe di ua ditribuzioe di frequeza mediate u valore reale rappreetativo della globalità del feomeo, riaumedoe gli apetti riteuti più importati.

3 Tali idici i pooo ricavare effettuado operazioi che coivolgoo: - tutti i termii della erie; i tal cao gli idici di poizioe maggiormete uati, deomiati medie aalitiche o di calcolo, oo la media aritmetica M a, la media geometrica M g, la media armoica M h e la media quadratica M p tra le quali uite la eguete relazioe: M h M g M a M p - olo alcui termii della erie, che i differeziao dagli altri per particolari caratteritiche; i tal cao gli idici di poizioe maggiormete uati, deomiati medie poizioali o di poizioe o lache, oo la mediaa, la moda, i quartili.

4 La media aritmetica emplice, deomiata emplicemete media ed idicata co M a, uata per riaumere co u olo umero u iieme di dati relativi ad u feomeo miurabile, ovvero i preeza di variabili quatitative qualora la differeza tra u dato ed il precedete riulti cotate, è otteuta dividedo la omma di tutti gli valori per il umero di oervazioi; i formule è data da: M a x x2... x xi i avedo idicato co i le frequeze delle x i. La media aritmetica di umeri, duque, è quel umero che, otituito a ciacuo di ei, lacia ivariata la omma totale e o può eere maggiore del valore più grade é miore del valore più piccolo.

5 Eempio La media aritmetica dei egueti 5 = umeri: x = 0; x 2 = 3; x 3 = 9; x 4 = 7; x 5 = 2 è data da: M a 5 5 xi 5 i , 2 Si oervi che, otituedo a ciacu x i (i =,, 5) il valore della media M a e ommado i riultati, i ottiee; 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 5 M a 50,2 5 che è proprio la omma degli x i, = 5.

6 La media aritmetica poderata, ivece, è otteuta dividedo la omma di tutti gli valori, moltiplicati per le ripettive frequeze, per il umero di oervazioi; i formule è data da: M x x22... x x a i i i avedo idicato co i le frequeze delle x i e co la omma delle i. Tale deomiazioe deriva dal fatto che, a volte, le i o eprimoo le frequeze ma opportui pei di poderazioe che tegoo coto di altri apetti rilevati: -bati peare, ad eempio, ai prezzi delle merci che vegoo poderati co cifre che eprimoo le quatità vedute di ciacua merce, allo copo proprio di teer coto del valore globale (prezzo per quatità) degli cambi effettuati ul mercato coiderato.

7 Eempio Se i voti riportati i matematica da = 20 alui di ua cuola media di ecodo grado oo riauti ella eguete tabella: allora la media aritmetica è data da: Voti x i Alui i Tot. 20 M x a i i i 5,7

8 Se poi la v.. X è divia i itervalli, i può fare l ipotei che le iteità di X di ogi itervallo iao cocetrate el valore cetrale della clae, i modo da riportari al cao dicreto. Eempio Calcolare la tatura media (aritmetica) dei cocritti italiai ati el 955. Clai di tatura (i cm) Valori cetrali delle clai x i Frequeze i Prodotti x i * i meo d e oltre M x 7,67 cm a i i i La otituzioe delle igole clai co il valore cetrale itroduce u errore di approimazioe poco rilevate, ache e, tuttavia, i perde iformazioe. Tot

9 La media aritmetica, quidi, rappreeta quel valore che i può attribuire igolarmete a ciacua uità tatitica del collettivo laciado ivariato l ammotare compleivo del carattere. La media aritmetica di umeri, duque, rappreeta il baricetro dei dati e, quidi, propoe u valore che equi-ripartice il feomeo tra le uità tatitiche, perveedo coì a deciioi elle quali cotao, a parità umerica, gli etremi molto più dei valori cetrali: la media aritmetica, ifatti, cotituice u idice di equilibrio geerale. Eedo, ioltre, la media tatitica per eccelleza, coete u ottima correzioe degli errori accidetali commei i ua rilevazioe tatitica, riultado coì utile, ootate la ua cariima reiteza ai valori eccezioali, i tutti i campi della cieza e della tecica i cui vegoo effettuate miurazioi di qualuque geere. Se la media coicide co ua delle modalità viee detta media effettiva o reale; e, ivece, o coicide co ua delle modalità è detta media di coto.

10 La media geometrica emplice, uata quado le variabili quatitative riultao o lieari ma otteute da u prodotto o da u rapporto di valori lieari o egativi e diveri da zero, i ottiee etraedo la radice -eima del prodotto degli termii; i formule è data da: g i 2... i M x x x x dove è il imbolo di prodotto. La media geometrica, coiderata come quel valore che otituito a ciacuo degli dati e lacia ialterato il prodotto, è uata oprattutto quado i dati o oo umeroi, i termii della ditribuzioe preetao valori molto differeti tra loro ed il rapporto tra u dato ed il precedete riulta cotate (ad eempio, la determiazioe del tao di iteree medio equivalete alla equeza dei tai variabili, el regime di capitalizzazioe compota).

11 Eempio Uo tudete ha oteuto 6 = eami riportado i egueti voti: x = 2; x 2 = 20; x 3 = 24; x 4 = 30; x 5 = 28; x 6 = 25 La media geometrica dei voti è data da: M g xi i ,4

12 La media geometrica poderata è uata, ivece, qualora ci i trovi i preeza di ua ditribuzioe cotituita da oervazioi e dalle relative frequeze; i formule, è data da: g i 2 i i 2 M x x x... x dove è il imbolo di prodotto ed = Ogi termie, duque, viee poderato, ad epoete, co la relativa frequeza. Aalogamete, i può utilizzare la eguete formula: M g 0 i ilog x i

13 Eempio La eguete tabella riporta i voti otteuti da u gruppo di tudeti all eame di Matematica: Voti x i La media geometrica poderata è data da: Numeri di tudeti i Tot M g ,00479

14 Aalogamete, utilizzado i logaritmi, i può impotare la eguete tabella: Eedo, poi, 4 INDICI STATISTICI Voti x i Numeri di tudeti i Logaritmi dei voti logx i i ha la eguete media geometrica poderata: Prodotti i logx i 2 5, , ,3802 8, , , ,4772 5, Tot , log x i i i, M 0 25,00479 g 34,950582,

15 La media armoica emplice, uata ello tudio di variabili quatitative tra loro iveramete proporzioali, ovvero quado i deve trovare il valore medio, o del feomeo coiderato, ma di u feomeo che è l ivero del primo (ad eempio, prezzo di u bee e potere di acquito della moeta, iteree effettivo che crece al decrecere del coto del titolo, ), è pari al reciproco della media aritmetica dei reciproci dei termii; i formule è data da: M h x i i 2... x x x La media armoica, duque, è quel valore tale che il uo reciproco, otituito ai dati, che devoo eere tutti poitivi, fa rimaere ivariata la omma dei reciproci dei dati tei: viee uata, ifatti, per mediare rapporti di tempo.

16 Eempio La media armoica dei egueti 5 = umeri: x = 0; x 2 = 3; x 3 = 9; x 4 = 7; x 5 = 2 è data da: M h x i i ,

17 La media armoica poderata, ivece, è data da: M h x i i i x x x dove = La media armoica, duque, è pari al valore reciproco della media aritmetica dei reciproci dei termii.

18 Eempio Si coideri la eguete tabella la eguete tabella: Voti x i Numeri di tudeti i Tot. 4

19 Ne egue, allora, che la media armoica poderata è data da: M h 4 22 i x i i

20 La media quadratica emplice i ottiee etraedo la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli termii; i formule è data da: x x2... x 2 2 M 2 x, x2,..., x xi i Tale media, deomiata ache media di preciioe, uata tutte le volte che alle differeze tra i termii ed il valore medio i dà il igificato di deviazioe o errore del valore eatto, ovvero ei cai i cui alcui termii coiderati riultao egativi e i deidera quidi elimiare la loro iflueza, trova applicazioe oprattutto ell ambito della teoria degli errori. Geeralizzado ora il cocetto di media quadratica, i può defiire la coiddetta media di poteza di idice t data da: t x x2... x M x, x,..., x t x t t 2 i i t t t

21 Eempio La media quadratica dei egueti 0 = umeri: x = ; x 2 = ; x 3 = 2; x 4 = 2; x 5 = 3; x 6 = 3; x 7 = 4; x 8 = 4; x 9 = 5; x 0 = 5 è data da: 0 M 2 x, x2,..., x0 x 0 i 2 i ,3 0

22 La media quadratica poderata, ivece, è data da: M x, x,..., x x 2 2 dove è empre la omma delle i. La precedete epreioe, geeralizzata alle poteze di idice t, diveta: dove è empre la omma delle i i i i x x x t t t t x x x, 2,..., t t t i i i M x x x x