Statistica a.a Autovalutazione 1 SOLUZIONE

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1 Statitica a.a Autovalutazioe 1 CORSI: Diritto per le Impree e le Itituzioi, Scieze dell Ammiitrazioe e Couleza del Lavoro, Scieze Iterazioali dello Sviluppo e della Cooperazioe SOLUZIONE 1. L ammiitratore delegato di ua grade idutria proietta all aemblea dei oci la eguete tabella riguardate le auto vedute per eportazioe: Paee cilidrata piccola media grade Europa Aia Da coa è compoto il collettivo tatitico? dalle automobili vedute all etero Da quate uità? 470 uità tatitiche Quali caratteri oo tati rilevati? Il paee di eportazioe e la cilidrata Di che atura oo? Soo etrambi caratteri qualitativi perché l iieme delle modalità di etrambi è formato da attributi. Il Paee di eportazioe è tato rilevato u cala coea metre la cilidrata u cala ordiale Coa rappreeta i termii tatitici la tabella? Rappreeta la ditribuzioe di frequeze cogiute oervate di ua mutabile tatitica bivariata (A,B) co A=Paee e B=cilidrata Come i iterpreta il 700 poto ella cella i bao a detra? Soo 700 le autovetture che oo tate vedute i Aia e che hao grade cilidrata. I termii formali oo 700 le uità tatitiche del collettivo che preetao la modalità ditita (a,b3) della m.. (A,B) Diciamo pertato che 700 è la frequeza aoluta cogiuta 3 aociata alla modalità (a,b3). E poibile calcolare u idice che miuri il grado di dipedeza tatitica? SI e o perché? e ì quale? ome: V di Cramér valore: Quale formula avete utilizzato per calcolare l idice? Simbolo idice: V = formula i imboli: c max( c )

2 dove, idicado co r il umero di modalità ditite della compoete A, co il umero di modalità ditite della compoete B e co i j ˆij = la frequeza teorica aociata alla geerica modalità ditita (ai,bj) χ = r i=1 j =1 ( ij ˆ ij ) ˆ ij = r i=1 j =1 ij 1 i j max(χ ) = mi{(r 1);( 1)} formula co i dati del problema pecifico: æ ö 470 ç è ø 470 Perché queto idice miura il grado di dipedeza tatitica? Se tra le compoeti della mutabile c è idipedeza tatitica (cioè e oo tutte uguali le ditribuzioi di frequeze relative delle variabili codizioate B a i qualuque ia i=1,,r) i è dimotrato che le frequeze teoriche oo uguali alle frequeze oervate; duque queto idice miura il grado della dipedeza tatitica perché è baato ulla omma peata delle loro differeze. Come? Il V di Cramèr è u idice ormalizzato che aume valori comprei tra zero e uo. Vale zero quado vale zero duque quado tutte le frequeze oervate oo uguali alle teoriche, cioè quado A e B oo idipedeti. Vale uo quado è uguale al uo valore maimo, cioè quado i ha il maimo grado di dipedeza tatitica. Il mercato di queta idutria i differezia per quato riguarda la cilidrata delle auto vedute tra Europa e Aia? Avedo tabilito che o c è idipedeza tatitica tra le compoeti perché V o è ullo, la ripota è Si Quali tabelle proietterete all aemblea dei oci per dimotrare la votra affermazioe? Nome Ditribuzioe di frequeze della mutabile cilidrata, codizioata alle auto vedute i Europa Tabella: χ χ B a 1 piccola media grade 1 j »» 0. 33»

3 Nome Ditribuzioe di frequeze della mutabile cilidrata, codizioata alle auto vedute i Aia Tabella: B a piccola media grade j »» 0. 7» Dall auario Piemoteicifre abbiamo etratto la tabella eguete: Piemote Alimetare No alimetare Mito Produttori agricoli Totale mercati Da coa è compoto il collettivo tatitico? Dai mercati ambulati i Piemote ell ao 008 Da quate uità? È compoto da 108 uità tatitiche Quali caratteri oo tati rilevati? Il tipo di merceologia prevalete e il umero di bachi Di che atura oo? Il tipo di merceologia è u carattere qualitativo coeo miurato u cala omiale, il umero di bachi è quatitativo e la variabile è preetata i tabella co dati raccolti i clai. Come i iterpreta il 119 poto ella cella i alto a iitra? Soo 119 i mercati alimetari co u olo baco. 119= 11 è la frequeza aoluta cogiuta aociata alla modalità (alimetare, 1 baco) Come i iterpreta il 440 poto ella terza riga ultima coloa? Soo 440 i mercati di tipo o alimetare i Piemote el 008 (idipedetemete dal loro umero di bachi). 440= è la frequeza aoluta cogiuta aociata alla modalità o alimetare Come i iterpreta il 388 poto ella ecoda coloa ultima riga? Soo 388 i mercati co umero di bachi da due a dieci i Piemote el 008 (idipedetemete dalla loro merceologia prevalete). 388= è la frequeza aoluta cogiuta aociata alla modalità o alimetare Defiita co A la mutabile tatitica Merceologia prevalete e co Y la variabile tatitica umero di bachi, defiite ulla bae dei dati i tabella cique clai cotigue per la variabile Y co l ultima clae chiua a 100 bachi, i dia la rappreetazioe tabellare della ditribuzioe di frequeze cogiute

4 della v. mita doppia (A,Y) e la i completi co le ditribuzioi margiali delle due compoeti A Y i Alimetare No alimetare Mito Produttori agricoli j E poibile calcolare u idice che miuri il grado di dipedeza tatitica?_si _ e ì quale? ome: V di Cramér Simbolo idice: V = formula i imboli: c max( c ) dove, idicado co r il umero di modalità ditite della compoete A, co il umero di modalità ditite della compoete B e co i j ˆij = la frequeza teorica aociata alla geerica modalità ditita ( j a i, b ) χ = r i=1 j =1 ( ij ˆ ij ) ˆ ij = r i=1 j =1 ij 1 i j max(χ ) = mi{(r 1);( 1)} Perché queto idice miura il grado di dipedeza tatitica? I cao di idipedeza tatitica tra le compoeti di ua m.. (v..mita, v.. ) doppia le frequeze oervate oo uguali alle frequeze teoriche, duque le cotigeze c ij = ij ˆ ij oo tutte ulle, e ciò o accade i dice che c è dipedeza tatitica. Per miurare il grado della dipedeza i utilizza il chi-quadro di Pearo (a umeratore dell idice V di Cramér) che omma il rapporto tra le cotigeze al quadrato e le frequeze teoriche, poiché più la omma crece più forte arà il grado della dipedeza. Lo teo vale per il V di Cramér che, per defiizioe, è u idice di ormalizzazioe del chi-quadro. E poibile valutare il grado di dipedeza lieare tra le due compoeti (ì o perché)?no perché i tratta di ua variabile tatitica mita doppia, cioè ua delle

5 due compoeti è ua mutabile, pertato o può eere decritto il comportameto di ua delle due compoeti come fuzioe dell altra co u modello lieare. e ì co quale idice? imbolo Formula i imboli Quale è il umero medio di bachi dei mercati o alimetari? imbolo:_ E[Y a ] valore: 31.9 Quale formula avete utilizzato per calcolare l idice? Simbolo idice: 1 E[Y a ] = formula i imboli: j =1 y j j formula co i dati del problema pecifico: Sul giorale di oggi è riportata la eguete tabella co titolo Il reddito e la pea meile (valori i migliaia di Euro) di 00 famiglie italiae Reddito Spea Totale Totale Coa rappreeta i termii tatitici la tabella? La ditribuzioe cogiuta di frequeze oervate di ua variabile tatitica doppia Come i può utilizzare l ultima riga a margie? Letta cogiutamete alla prima riga a margie forice la ditribuzioe della variabile tatitica ui variata Spea Saprete dare u commeto circa la ituazioe ecoomica delle famiglie a più bao reddito? Libero commeto Seza calcolarla, aprete dire che ego ha la Covariaza tra il reddito e la pea? poitivo Perché? Guardado la ditribuzioe di frequeze cogiute i vede

6 che al crecere del reddito crecoo ache le pee. Tra le due compoeti i evice u legame diretto. Come i potrebbe attribuire la Spea teorica ad ua famiglia che ha Reddito pari a 1.55 migliaia di euro? Strumeto tatitico da utilizzare modello di regreioe lieare co parametri determiati ecodo il metodo dei miimi quadrati Modello lieare i formula Parametri: ˆ y = a 0 + a 1 x imbolo a 0 Valore Formula E[Y] a 1 E[X] imbolo a 1 Valore Formula Cov[X,Y] V[X] Spea della famiglia co 1.55 migliaia di euro:.0103 Quale idice i utilizza per valutare la botà di adattameto del modello lieare utilizzato per decrivere il legame tra Spea e Reddito? Simbolo R Valore Formula 1 V[Y Y ˆ ] i queto cao di modello lieare, V[Y] il valore del coefficiete di determiazioe R coicide co il quadrato del Cov[ X, Y ] coefficiete di correlazioe lieare r = V[ X ] V[ Y ] 4. Sull auario Piemoteicifre pubblicato dall Uiocamere troviamo la eguete tabella: Superficie media degli tabilimeti i mq. per clae dimeioale i Piemote ao 008 Numero addetti Superficie coperta Da 10 a Da 50 a Da 50 a Decrivere quali dati oo tati raccolti e come oo tati elaborati per poter redigere la tabella. I particolare, quale è il collettivo tatitico, quali caratteri oo tati raccolti e quali operazioi (algebriche o di coteggio) oo tate fatte. Su ciacu elemeto del collettivo tatitico formato dagli tabilimeti preeti ul territorio piemotee el 008 oo tati rilevati la uperficie (i mq) e il umero di

7 addetti. Per ciacuo dei tre ottoiiemi del collettivo formati ripettivamete dagli tabilimeti co umero di addetti da 10 a 50, da 50 a 50 e da 50 a 500 i è calcolata la uperficie media degli tabilimeti di ciacu gruppo. Idicare tre coppie di dati formate da u opportuo valore rappreetativo di ogi clae e dalla uperficie quali determiazioi di ua ipotetica variabile tatitica doppia: imbolo ( x 1, y 1 ) valore (30, ) imbolo ( x, y ) valore (150, ) imbolo ( x 3, y 3 ) valore (375, ) Quale idice utilizzerete per idagare circa il legame lieare tra dimeioe e uperficie? ome: coefficiete di correlazioe lieare imbolo: ρ valore:_ Formula: Cov[X,Y] V[X] V[Y] formula co i dati del problema pecifico: eedo Cov[X,Y ] = E[X Y ] E[X ]E[Y ] = = = 3 3 = V[X] = E[X ] (E[X]) = 0450 V[Y] = E[Y ] (E[Y]) = i ha ρ = Cov[X,Y] V[X] V[Y] = = Se il valore da voi calcolato foe lo teo ma co ego oppoto coa potrete dedurre? ripota libera Come i potrebbe attribuire ua uperficie teorica ad ua imprea che poiede 70 dipedeti? modello di regreioe lieare co parametri determiati ecodo il metodo dei miimi quadrati Modello lieare i formula ˆ y = a 0 + a 1 x

8 co x i idica: variabile idipedete umero di dipedeti co variabile dipedete teorica uperficie tabilimeto Parametri: y i idica: imbolo a 0 Valore Formula E[Y] a 1 E[X] imbolo a 1 Valore Formula Cov[X,Y] V[X] Superficie dell azieda co 70 dipedeti: Secodo quato tabilito da voi, u azieda co 500mq quati addetti potrebbe 0 avere? 14.8 NB: queto dato i trova ivertedo il modello cioè ( y ˆ - a x = ) a 1