Catene di Markov e affidabilità

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1 Catee di Markov e affidabilità

2 I guasti però o solo determiao la cessazioe di u dispositivo ad adempiere la fuzioe richiesta (guasti totali) ma ache la variazioe della prestazioe del dispositivo rispetto alla fuzioe richiesta Si possoo verificare ache i guasti itermitteti.

3 Ci soo diversi STATI che il sistema può occupare el corso del tempo. La trasizioe da uo stato all altro avviee co ua certa probabilità, el seso che se u sistema parallelo (a 3 sottosistemi) si trova ad e- sempio iizialmete ello stato pieamete fuzioate (stato 3), può passare allo stato 2 (e fuzioao 2) co ua certa probabilità (quale?) e allo stato 1 co u altra probabilità e così via. Se i guasti soo itermitteti, c è la possibilità che dallo stato 2 il sistema tori allo stato 3 -che dipede dalla atura del guasto.

4 CATENE DI MARKOV Def : Ua catea di Markov è ua successioe di v.a. { X } 1 defiite sullo stesso spazio campioe e che godoo di certe proprietà. X = stato occupato dal sistema al passo

5 Prove di Beroulli = esempio di catea i cui le variabili aleatorie soo idipedeti tra di loro. X, X, X, co X i 1 P( X i = 1) = = P( X i = ) = p q p 1 Costruire lo SPAZIO DELLE TRAIETTORIE q

6 Nella relazioe tra le variabili, saliamo di u gradio, ossia suppoiamo che la variabile aleatoria allo stato dipeda solo da quella precedete. specificado il tipo di relazioe di dipedeza al seguete modo 1 p q Y X p = Y 1 = X co = 1,2, P ( X P( X = P( X = 1) = p ) = 1 = 1) p = q q i-1 i i+1 costruire lo spazio delle traiettorie q

7 ESEMPIO DI TRAIETTORIE PER LA PASSEGGIATA ALEATORIA

8 = = = = = + = i i i i X y Y y Y P X Y Y ) ( La passeggiata aleatoria è u esempio di catea di Markov. Altro esempio:

9 Catee di Markov omogeee No dipedoo da. ( ) La matrice P= p si chiama matrice di trasizioe ij

10 P = matrice di trasizioe Teorema : I ua catea omogeea, detto p il vettore delle probabilità che il sistema occupi ua posizioe al tempo e p il vettore delle probabilità che il sistema occupi ua posizioe al tempo, si ha p = p P.

11 Ci soo situazioi elle quali la poteza di P si stabilizza da u certo idice i poi.

12 1 La catea o è regolare: P = 1 Nell esempio precedete w = (.4,.2,.4)

13 Il teorema dimostra che la riga comue di W è l uico vettore ad essere vettore fisso riga. Il vettore riga w è autovettore siistro dell autovalore 1. La fuctio per trovare gli autovalori è eig(x) Se vogliamo trovare ache gli autovettori è [V,D]=eig(X)

14 Duque abbiamo >> [v,d]=eig(p) v = Cosa si deduce? d = Il problema è che dobbiamo trovare l autovettore siistro che corrispode all autovalore 1. Il Matlab restituisce autovettori destri.

15 >>q=p ; >> [v,d]=eig(q) v = d = Ovviamete l autovettore va ormalizzato perché risulti u vettore di probabilità >> c=sum(v(:,1)) c = >> w=v(:,1)/c w =.4.2.4

16 Sigificato: per Sigificato: per crescete la probabilità di adare da uo stato all altro diveta costate e idipedete dallo stato iiziale (iteressa solo la coloa e o la riga). CONSEGUENZA

17 Per la matrice di trasizioe di cui all esempio precedete >> [v,d]=eig(p') v = d = >> c=sum(v(:,1)) c = >> w=v(:,1)/c w =

18 CATENE ASSORBENTI Daeggiameto o riparabile: ua volta che il compoete si è guastato o vi è alcua possibilità che si auto-ripari seza l iterveto di ua forza estera. Qual è la probabilità che il processo raggiuga uo stato assorbete? Quato tempo impiega il sistema ad essere assorbito? I media, i quati passi viee assorbito?

19 Forma caoica TR Ass TR Ass N = ( I Q) 1 e' detta matrice fodametale

20 ( N ) = # medio di passaggi per lo stato ij trasiete s essedo il sistema partito dallo stato trasiete j s i ESEMPIO:.5 P = I Q = 1.5 >> mat^(-1) as =

21 N t = Nc = = = >> mat^(-1)*[1;1;1] Teorema : Data la matrice B = NR, il geerico elemeto B rappreseta la probabilità che, essedo partito da uo stato trasiete s, il sistema vega assorbito ello stato s. R.5 =.5 B = i NR ij 3/ 4 = 1/ 2 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3/ 4 Esercizio: Marco ha 3 euro ed è richiuso i carcere. La cauzioe è di 5 euro. Decide di giocare co il poliziotto di turo. Il gioco fuzioa al seguete modo: ad ogi giocata scommette 1 euro. Lo vice co probabilità.4 e lo perde co probabilità.6. Quale è la probabilità che Marco riesca ad uscire? j

22 Catee di Markov a tempo cotiuo ( ) ( ) Le trasizioi soo ella forma P X t + s = j X ( s) = i = P ( t) ij ( a) P ( t), per t >, ij ( b) P ( t) = 1, per t >, j t ij ( c) P ( t) soo f.cotiue; ij ( d) lim P ( t) = δ ij ij P ( t) soo differeziabili ij Facciamo solo u esempio di modello i cui questo tipo di catee di Markov risulta utile per la trattazioe

23 Si cosideri ua valvola oleodiamica che abbia tasso di guasto costate e tasso di riparazioe costati el tempo. ( ) ( ) Stato prodotto fuzioate λ µ Stato 1 prodotto guasto P t probabilità che il compoete fuzioi al tempo P1 t probabilità che il compoete sia guasto al tempo λ tasso di guasto, µ tasso di riparazioe P t + t = P t 1 t + P t t ( ) ( )( λ ) ( )( µ ) 1 P t P t P t ' = + 1 ( ) λ ( ) µ ( ) Qual è la matrice di trasizioe? t t

24 P t + t = P t 1 t + P t t ( ) ( )( µ ) ( )( λ ) 1 1 P t P t P t ' 1 = 1 ( ) λ ( ) µ ( ) Si tratta di u sistema di equazioi differeziali a coefficieti costati P '( t) λ µ P ( t) = P '( t ) λ µ P ( t ) 1 1 Risolvere il precedete sistema di equazioi lieari.