SULLE MATRICI PERMUTABILI CON LA PROPRIA DERIVATA

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1 GUIDO ASCOLI SULLE MATRICI PERMUTABILI CON LA PROPRIA DERIVATA I alcue questioi sui sistemi differeziali lieari si presetao co particolare iteresse matrici quadrate dipedeti da u parametro t e permutabili co la propria derivata rispetto a t. Sorge cos la questioe di caratterizzare tali matrici; ad essa itede rispodere, almeo i parte e cioè per le matrici che si soglioo dire «geerali» (la defiizioe e sarà richiamata più avati) la presete Nota. Il risultato pricipale è assai semplice : a) Se la matrice X(t) di ordie, ad elemeti reali o complessi, è defiita per a <t<b, possiede per ogi t derivata fiita ed è permutabile co essa: [1] X(t)X'(t)=X'(t)X(t) ed è ioltre (( geerale» per ogi t, essa, è (( a ralori per mutai) ili», ossia per t x e t 2 arbitrari i a M b si ha : [2] Xit,) X(t 2 ) = X(t 2 ) Xih). L'iverso è pure vero, ma di dimostrazioe immediata, seza bisogo di alcua ipotesi circa la <x geeralità» della matrice. b) Nelle stesse ipotesi la matrice X(t) si può porre ella forma [3] X(t) =2^(1) A< dove le AA soo matrici costati, mutuamete permutabili, e le i(t) fuzioi defiite i a*b, co derivata fiita. Iversamete, è chiaro che sotto queste sole codizioi la [1] e la 2] soo sez'altro verificate. Nel seguito si itederà sempre, seza speciale idicazioe, che le matrici che si cosiderao hao elemeti reali o com-

2 246 plessi. Ampie e o difficili estesioi delle questioi trattate soo possibili, i vario seso ; ma o itediamo qui occuparcee ( 1 ) Sia (0) ua classe di matrici quadrate di ordie. Poiché tali matrici formao i complesso u sistema. lieare di dimesioe 2, esisterao i (V) v< 2 matrici liearmete idipedeti Ai, A 2,..., A v, tali che ogi altra sia combiazioe lieare eli queste. U elemeto di (C) avrà quidi la forma [4] X=kl t A if i le h essedo determiate da X i modo uivoco. Se, i particolare, gli elemeti di (C) soo mutuamete permutabili, tali sarao le A t. Viceversa, sotto questa codizioe, e qualuque sia la legge co cui soo scelte le ) H, le matrici X defiite dalla [4] formao u isieme di matrici mutuamete permutabili Le osservazioi precedeti soo applicabili, i particolare, alla classe dei valori di ua matrice X(t) di ordie, fuzioe di ua variabile reale t i u itervallo a^b. Potrà sempre scriversi [5] X(t)=2X t (t)a t dove le A i soo matrici costati, liearmete idipedeti e le ) H (t) be eletermiate fuzioi eli t. Ecl è v< 2. Ove. poi valga la 2] per ogi coppia di valori t 19 l 2 di t i a^b ciò che esprimeremo dicedo che la X(t) è a valori permutabili varrà la stessa forma [51, le.1. essedo mutuamete permutabili. Viceversa, sotto questa codizioe, e qualuque siao le l^t), la 5] rappreseta ua matrice, fuzioe di t, a valori permutabili. I ogi caso, è ituitivo che ogi proprietà aalitica che vega postulata per la X(t) si rifletterà i ua proprietà aaloga per i coefficieti } H (t). Sia, per esempio, X(t) cotiua per t = U, cioè (M Per le proprietà delle matrici qui richiamate si vegga, per es., SCORZA (G.), Corpi umerici ed algebre (Messia, Pricipato), p

3 247 siao tali i suoi elemeti x ra (t). Posto A i =\a i r8^ alle 2 equazioi le L(t) soddisfao SapXS) = x rs {t) che formao, per ciò che si è detto, u sistema determiato. Da v di esse, a determiate diverso da zero, si potrao allora ricavare le k^t) come combiazioi lieari delle J rs (t) (azi di v di esse); le X/t) sarao duque fuzioi cotiue per i = t 0 ( 2 ). Quato si è detto si estede facilmete al caso di più matrici X(t), Y(t), Z(t),..., la classe (C) essedo allora formata dai loro valori al variare di t i uo stesso itervallo a M b Suppoiamo ora che la matrice X(t), a valori permutabili i a M b, ammetta el puto t 0 derivata fiita. Avedosi allora, per h abbastaza piccolo, ^X(t 0 + h)-x(t 0 ) X(t 0 + h)-x(t 0 ) X(t 0 ) fi = 5 X(i 0 ) seguirà, al limite per /< >0, i(i 0 )iu) = i'(gi(i 0 ). La X(t) è duque, per t-=t 0, permutabile co la sua derivata. Si poe allora la questioe se, iversamete, valedo ciò per ogi t i a M b, la X(t) è a valori permutabili. La risposta è egativa, come mostra il seguete esempio. Siao A e B matrici costati, di ordie, o permutabili, e si poga X{t) = t 2 A peri>0, X(t) = t*b perj<0. La X(t) è cotiua e ammette derivata fiita per ogi t ; ed è permutabile co questa derivata. Ma se t^ > 0 e / 2 < 0 o vale la [2]. ( 2 ) Si osserverà che el procedimeto dei u. 1 e 2 è implicito, i geerale, u umero fiito di scelte arbitrarie. Queste possoo ivece evitarsi el caso, qui cosiderato, di ua X(t) cotiua. Fissala ifatti ua successioe t r di valori di t ovuque desa iu u~b, ci si potrà limitare prima alla successioe X{t r ) costruedo le,4; co la legge seguete: A, = :V(7,); -'h+iè il primo degli X(;l\.) (se esiste) che o dipede liearmete da.1,, A 2,..., Aj. La successioe A i si esaurisce ecessariamete co u certo A,.; si dimostra allora facilmete, teuto coto della cotiuità di X(i), che ogi valore X(t) è combiazioe lieare delle Aj. Il risultato pricipale della Nota è duque idipedete da ogi pricipio di scelta.

4 248 Si può ivece otteere risposta affermativa quado si impoga alla X(t) l'ulteriore codizioe che per ogi t i a"b le matrici X =E, X 1, A 2,... X"- 1 siao liearmete idipedeti; o, i altri termii, che l'equazioe miima della X sia sempre quella, di grado, assicurata dal teorema di CA.YLEY-HAMILTON. Coforme all'uso di molti autori, diremo che la X è geerale i ogi puto dell'itervallo ( 1 ). Per la dimostrazioe ricorderemo che, secodo u risultato classico ( 2 ), le uiche matrici permutabili co ua matrice geerale A^ soo i poliomi i X, che per il teorema di CAYLEY-HA- MILTON possoo supporsi di grado <. L'ipotesi 1 ] si esprime duque co l'equazioe -i [6] X, =2c i X i o dove le e { soo fuzioi di t, uivocamete determiate. Si poga allora, per r = l, 2,..., Z r = X*" 1 da cui, per la permutabilità di A' e A', -l Z' r = (r l)x r -*X' =2{r l)c i X r + i -* o che può i ogi caso porsi sotto la forma [7] Z' r = 2o ri Z i dove le o. soo be determiate fuzioi di t. ri Si cosideri l'isieme formato dalle matrici Z r (t), per r = l, 2,..., e t variabile i a b. Dal. 2 risulta che esse soo tutte combiazioi lieari di u certo umero v (co <v< 2 ) di matrici costati A t liearmete idipedeti, e tra queste si possoo ovviamete icludere, come primi elemeti, le [8] A-Z^to) -=X*-i (? 0 ) (i =1, 2,... ) ( 1 ) Come è oto, ima matrice A' è geerale quado el determiate \X Ew i miori di ordie 1 o hao divisori primi variabili. ( 2 ) Cf'r., per esempio, CECIONI (F.), Sopra alcue operazioi algebriche sulle matrici («Aali R. Se. Xorm. Slip.» di Pisa, 11, 1-40, 11)01)) a pag. 4S, dove il teorema viee attributo a Tu. MOLIEN («Math. A.», 41, ), 1S93; p. 122). I realtà, il AIOLJEN dà u teorema più geerale, relativo ai sistemi di umeri ipercomplessi, ossia alle Algebre.

5 249 dove #o è u puto qualuque di a^h. Varrao duque formule del tipo [9] Z r (t) =2k ri (t)a, dove [. 2 le À ri soo cotiue, co derivata fiita, i a"h. Dimostriamo che, almeo i u coveiete itoro di t 0, è v--=. Sia, se è possibile, v >. Dalle [7], [9] si ha da cui [10] i, k X' rk =--2 o ri X ik (r =1, 2,... ; Jc=l, 2,... v) Ora di qui segue facilmete che ogi determiate del tipo A(p x, p 2,... p ) = 'p\ X\ v% ) ; IVi 2P2 'P«ÌV l v co ^il^l-ipm soddisfa alla relazioe [11] d'(pi, P 2, - P) =2o H -A (p l9 p 2,... p ), l'apice idicado derivazioe rispetto a t. Basta per questo derivare il determiate co la ota regola, per righe, e teer coto delle [10]. Ne risulta subito, per due qualuque A(p lt p 2,..., p ), A(q 9 A'{p lf p 2,...p)A(q l7 q 2)... q ) *(q ly q»... q )A{ Pl,p 2,... p )= 0 da cui, se A(qi, q-i,..., </ ) o si aulla mai d(pi, P i9 P) ^(ffi> #2> ff) cost. Ora per t = t 0 si ha dalle [S] ' L ik~vk

6 250 essedo ò ik il oto simbolo di KRONECKER ; e viee che per t = ta e /1(1, 2,...»)=1 metre ogi altro A(p r, p 2,..., p ) si aulla. Segue che i u coveiete itoro 7 0 di t 0 è 4(1, 2,..., w) 5^0; ode i 7 0 si ha, tacedo qi~i } A{p x p 2... p ) A(l, 2,... ) = cost. e la posizioe t = t Q prova che la costate è ulla ove o sia sempre p^i. I tale ipotesi si ha duque Cercado allora di esprimere ua -upla k lkf X 2k1...; l k, co < 1c< v mediate quelle che corrispodoo a Zc = l, 2,..., ÌI, co le formule Hk ^ /½ Hs 1 la regola di CRAMER dà per i /* s valori ulli ; ode è i 7 0 kk =0 par <lc< L v. Le [9] riducoo perciò alla forma Z r (t)=sx ri Ai 1 ciò che porta a v =, cotro l'ipotesi. Vediamo duque che le _A'(r=(), 1, 2,..., -1) i u puto qualuque t di I si esprimoo liearmete per i loro valori i t 0. Ciò valedo per ogi posizioe di t Qj u oto ragioameto o l'equivalete applicazioe del lemma di HEINE-BOREL prova elle le X r si esprimoo liearmete per i loro valori i u puto qualuque dell'itervallo a w 6. E poiché tali valori soo permutabili, risulta, i particolare, che due valori qualuque X(ti), X(t 2 ) soo permutabili. Rimagoo cos isieme stabiliti il teor. a) e il teor. h) ; e vegoo ache messe i evideza ifiite scelte possibili per le matrici A..