Realizzazione, Raggiungibilità e Osservabilità

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1 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Corso di Fodameti di Automatica A.A. 26/7 Realizzazioe, Raggiugiilità e Osservailità Prof. Carlo Cosetio Dipartimeto di Medicia Sperimetale e Cliica Uiversità degli Studi Maga Graecia di Catazaro tel: carlo.cosetio@uicz.it

2 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Rappresetazioi i.s.u. e i.u. Data ua rappresetazioe i.s.u. di u sistema LTI, si è visto che la corrispodete f.d.t. W è uivocamete determiata Il viceversa o è vero! s CsI A B D Data ua fdt esistoo ifiite rappresetazioi i.s.u. che foriscoo lo stesso comportameto igresso-uscita

3 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Rappresetazioi Similari Per covicersi di quato detto, si cosideri il sistema Presa ua qualsiasi matrice quadrata e ivertiile, T, si applichi il camio di variaili di stato z=tx Si ottiee il sistema : x A x y Cx B u D u 2 : z TAT y CT z z TB u : D u : C A 2 2 z z B D u 2 2 u

4 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Rappresetazioi Similari I due sistemi, e 2, soo idistiguiili dal puto di vista igresso-uscita Si può verificare facilmete che le corrispodeti fdt soo, ifatti, idetiche (Es: si dimostri quato sopra calcolado W 2 (s))

5 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Prolema della Realizzazioe Nell amito della modellistica di sistemi diamici, aiamo visto come spesso si possa arrivare i maiera semplice ad ua rappresetazioe i.s.u. I questi casi, partedo dalle equazioi di govero del sistema, ossia la rappresetazioe i.u. el tempo, si arrivava alla rappresetazioe i.s.u. mediate opportue scelte delle variaili di stato Tuttavia, aiamo visto che i alcui casi le usuali regole per la scelta delle variaili di stato o portao ad ua rappresetazioe i.s.u.

6 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Esempio: Sospesioe Automoilistica + M Mg s 2 s : quota del supporto iferiore (supposto privo di massa) s 2 : spostameto della massa K B Mg: forza peso s u=s y=s 2

7 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Esempio: Sospesioe Automoilistica Si arriva alla rappresetazioe i.u. My( t) By( t) Ky( t) Bu( t) Ku( t) Mg I questo caso o è possiile derivare la rappresetazioe i.s.u. scegliedo lo stato i modo usuale (posizioe e velocità).

8 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Forme Caoiche di Rappresetazioe Tipicamete si icotrao difficoltà quado elle equazioi di govero compaioo le derivate dell igresso I tali casi si può comuque arrivare ad ua rappresetazioe i.s.u., ma è ecessario utilizzare delle forme caoiche di rappresetazioe

9 Derivazioe delle Forme Caoiche Si cosideri la geerica rappresetazioe i.u. Portado tutti i termii al secodo memro, trae y (), e itegrado volte si ottiee A partire da questa equazioe si può costruire uo schema di realizzazioe Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 u u u y a y a y dt y a u dt y a u dt y a u u y volte 2 2

10 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Schema Caoico di Realizzazioe _(-2) _(-) u(t) s x s x_(-) s x y(t) a a_(-2) a_(-) Per tale schema, risulta aturale scegliere come variaili di stato le uscite degli itegratori

11 Forma Caoica di Osservailità Dallo schema precedete si ricava la seguete rappresetazioe, detta forma caoica di osservailità Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 u x y u x a a a a x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2,,, ˆ, ˆ i a i i i

12 Forma Caoica di Raggiugiilità La duale della precedete viee detta forma caoica di raggiugiilità Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 u x y u x a a a a x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2,,, ˆ, ˆ i a i i i

13 Esempio di sistema o completamete raggiugiile Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 y = x C u x 2 R C

14 Esempio di sistema o completamete raggiugiile Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 La rappresetazioe ISU del sistema ell esempio 2 risulta essere x t = RC x t + x 2 t u t x 2 t = RC x t + x 2 t u t y t = x t Defiiamo il camio di variaili x t = x t + x 2 t x 2 t = x t x 2 (t) x t x 2 t = x t x 2 t

15 Esempio di sistema o completamete raggiugiile Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Il sistema a valle del camio di variaili diveta x t = 2 RC x t u t x 2 t = y t = 2 (x t + x 2 t ) La differeza tra le tesioi ai capi dei codesatori o è modificaile tramite l igresso u(t). Scegliedo opportuamete u(t), ivece, è possiile far assumere alla variaile x qualsiasi valore fiito i u tempo aritrario t >. (dimostrare)

16 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Raggiugiilità: defiizioe Dato u sistema LTI, uo stato x del sistema si dice raggiugiile se esistoo u istate di tempo fiito t > e u igresso u, defiito tra e t, tali che, detto x f (t), il movimeto forzato dello stato geerato da u, t t, risulti x f t = x. U sistema i cui stati siao tutti raggiugiili si dice completamete raggiugiile. Quidi, uo stato è raggiugiile se è possiile, co u opportua scelta dell igresso, codurre i esso la traiettoria del sistema i u tempo fiito aritrario t. Si oti che la raggiugiilità dipede solo dall eq. di stato, ossia dalle matrici A e B.

17 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Raggiugiilità: teorema U sistema LTI (ovvero la coppia (A, B)) è completamete raggiugiile se e solo se il rago della matrice di raggiugiilità è pari a M r = B AB A 2 B A B R m Se il sistema ha u solo igresso (m = ), la matrice M r è quadrata e la codizioe di sopra diveta det M r. Nel caso i cui il sistema o sia completamete raggiugiile, si può isolare la sua parte dotata della proprietà di raggiugiilità.

18 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Raggiugiilità: decomposizioe Dato u sistema LTI, la sua eq. di stato x t = Ax t + Bu t, può essere trasformata, mediate u opportuo, o uivoco, camio di variaili di stato x = T r x, ella forma x t = A x + B u(t), dove r = ρ B a A a B a A a 2 B a A a B a, A = A a A a A, A a R r r Gli autovalori di A soo quelli dei locchi sulla diagoale B = B a, B a R r m

19 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Raggiugiilità: decomposizioe La matrice T r si ottiee selezioado r coloe idipedeti da M r e completado co r coloe aritrarie liearmete idipedeti dalle prime Partizioado il vettore x, si ottiee il sistema decomposto ella forma x a t = A a x a t + A a x t + B a u t x t = A x t Da questa forma si evice che u t o è i grado di ifluezare la parte o raggiugiile del sistema, ossia le equazioi di x (t) Viceversa, le equazioi di x a (t) rappresetao la parte raggiugiile del sistema

20 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Raggiugiilità: decomposizioe Rappresetiamo mediate u diagramma a locchi il sistema decomposto u(t) Parte raggiugiile x a (t) x (t) Parte o raggiugiile

21 Esempio di sistema o completamete osservaile Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 s B f M u y t t f t velocità s +

22 Esempio di sistema o completamete osservaile Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Scegliedo posizioe e velocità come variaili di stato, otteiamo la ISU x t = B x t + M y t = x t M u t st () xt () st () L esame di u qualuque trasitorio dell uscita o permette di ricavare iformazioi circa il valore della posizioe x t all istate iiziale. Se si scegliesse come uscita la posizioe, saree ivece possiile ricavare l itero stato iiziale a partire dal movimeto dell uscita.

23 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Osservailità: defiizioe Dato u sistema LTI, uo stato x del sistema si dice o osservaile se, qualuque sia t > fiito, detto y l t, t, il movimeto liero dell uscita geerato da x, risulta y l t =, t t. U sistema privo di stati o osservaili si dice completamete osservaile. Quidi, uo stato x è o osservaile se l evoluzioe liera a partire da tale stato è idistiguiile da quella che si ottiee partedo dallo stato ullo. Si oti che l osservailità dipede solo dalla coppia di matrici A, C.

24 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Osservailità: teorema U sistema LTI (ovvero la coppia (A, C)) è completamete osservaile se e solo se il rago della matrice di osservailità M o = C T A T C T A T2 C T A T C T R p è pari a. Se il sistema ha ua sola uscita (p = ), la matrice M o è quadrata e la codizioe di sopra diveta det M o. Nel caso i cui il sistema o sia completamete osservaile, si può isolare la sua parte dotata della proprietà di osservailità.

25 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Osservailità: decomposizioe Dato u sistema LTI, co u t =, esso può essere trasformato, mediate u opportuo, o uivoco, camio di variaili di stato x = T o x, ella forma x t = A x(t) y t = Cx t, dove o = ρ C T A T C T A T2 C T A T C T, A = A a, A a R o o A a A Gli autovalori di A soo quelli dei locchi sulla diagoale C = [C a ], C a R p o

26 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Osservailità: decomposizioe La matrice T o si ottiee selezioado o coloe idipedeti ζ i da M o, tali che M o ζ i =, e atepoedo o coloe aritrarie liearmete idipedeti dalle prime Partizioado il vettore x, si ottiee il sistema decomposto ella forma x a t = A a x a t x t = A a x a t + A x (t) y t = C a x a t Da questa forma si evice che i movimeti della parte o osservaile del sistema, ossia le equazioi di x (t), o ifluezao l uscita Viceversa, le equazioi di x a (t) rappresetao la parte osservaile del sistema

27 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Osservailità: decomposizioe Rappresetiamo mediate u diagramma a locchi il sistema decomposto Parte osservaile x a (t) Eq. di uscita y(t) Parte o osservaile x (t)

28 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Decomposizioe caoica e forma miima U sistema LTI può essere sia o completamete raggiugiile sia o completamete osservaile. I questo caso, è possiile defiire u camio di variaili che decompoe il sistema i quattro sottosistemi: Sottosistema completamete raggiugiile ed osservaile Sottosistema completamete raggiugiile ma o osservaile Sottosistema completamete osservaile ma o raggiugiile Sottosistema o completamete raggiugiile é osservaile Questa è detta decomposizioe caoica, o di Kalma Se è completamete raggiugiile ed osservaile si dice sistema i forma miima: o è possiile ricavare u sistema equivalete co u umero iferiore di variaili.

29 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Forme di Rappresetazioe Miime Le forme caoiche di osservailità e di raggiugiilità soo rappresetazioi miime, ossia o esiste ua rappresetazioe di ordie miore Si dimostri che la forma caoica di raggiugiilità (osservailità) è sempre completamete raggiugiile (osservaile) Particolare attezioe va prestata el caso i cui i valori dei coefficieti soo di ordii di gradezza differeti, poiché la matrice A può essere fortemete mal codizioata

30 Prof. Carlo Cosetio Fodameti di Automatica, A.A. 26/7 Esempio u y