Appendice 2D: Operatori in spazi Hilbertiani

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1 ppedice 2D: Operatori i spazi Hilbertiai Operatore  ello spazio Hilbertiao: corrispodeza da geerico elemeto v ad elemeto ivocamete determiato, detto trasformato di v secodo  v Notazioe formale: v dove l operatore agisce slla fzioe alla sa destra I Meccalica Qatistica se e cosidera a particolare categoria: gli operatori lieari tali che c1v c 2 c 1 v c 2 Esempi di operatori lieari: 1 Spostameto di 0 delle coordiate 0 v v 2 Moltiplicazioe per a data fzioe f v f v Tali operatori soo idicati come f f v f v 1

2 3 Derivata rispetto alla -esima coordiata v v Si verifica facilmete che gli operatori i 1, 2 e 3 soo lieari. La precedete defiizioe di operatore cosete di itrodrre l algebra degli operatori 1 Prodotto di operatore co mero: B c Bv : c v v v : per ogi vettore v apparteete allo spazio Hilbertiao 2 Operatore somma tra de operatori: C B Cv : v Bv v 3 Operatore prodotto tra de operatori: C B Cv B v v I geerale gli operatori el prodotto o commtao, B implica Bv Bv B, che 2

3 Notazioi per il prodotto scalare tra v ed il vettore trasformato v v v v v v  agisce solo s Defiizioe di operatori hermitiai:, Importaza degli operatori hermitiai i Meccaica Qatistica: rappresetao le osservabili parametri misrabili Esempio di operatore hermitiao: moltiplicazioe per la fzioe reale f v f dvv f dv f v f v Nota: se f è complessa, allora l operatore o è hermitiao! 3

4 Teorema: l operatore è hermitiao i Dimostrazioe: v i dvv Itegrazioe per parti s v v d v d d v 0 sistema cofiato! v v v i dv dv i v 4

5 Esiste modo semplice per atificare l azioe di operatore? tofzioe o atovettore di operatore  : se il so trasformato è parallelo a L azioe dell operatore  è descritta i esto caso da mero: il fattore di proporzioalità detto atovalore Nota: l atofzioe è data a meo di a costate: ache : c è a atofzioe co lo stesso atovalore c c Per rimovere parzialmete tale idetermiazioe, le atofzioi soo scelte come vettori a modlo itario. 1 Per dato operatore esistoo diverse atofzioi ed atovalori che possoo essere catalogate secodo idice itero 1,2, d operatori diversi corrispodoo differeti isiemi di atovettori ed atovalori 5

6 Esempio per il rotore: calcolo delle atofzioi e degli atovalori dell operatore hermitiao mometo agolare lgo l asse di rotazioe Codizioe che Jz i sia atofzioe: Jz i e i Possibile forma fzioale: cos i si i c e e i 2 tofzioi ortoormali:, Jz i i tovalori reali: 6

7 Teorema: per gli operatori hermitiai 1 gli atovalori soo reali 2 atovettori co atovalori diversi soo ortogoali. Dimostrazioe: 1 2 : Si possoo tilizzare gli atovettori di operatore hermitiao come base ortoormale dello spazio di Hilbert! Normalmete si ordiao gli atovalori di operatori hermitiao secodo valori cresceti: 1 7

8 tovalori degeeri: atovalori idetici i corrispodeza di atovettori diversi ortogoali Combiazioi lieari di atovettori corrispodeti ad atovalori degeeri soo acora atovettori co lo stesso atovalore : c c c c c c L isieme degli atovettori corrispodeti ad medesimo atovalore, determiao sottospazio dello spazio Hilbertiao, co dimesioe gale alla degeerazioe L atovettore di atovalore o degeere idivida sottospazio idimesioale. 8

9 Rappresetazioe matriciale di operatore  s a base ortoormale i geerale diversa dai soi atovettori,,, Matrice adrata 1,1 1,2 2,1 2,2 co elemeti, : / idice slle righe/coloe Calcolo della trasformata di vettore co le rappresetazioi matriciali: v v 1 1,1 1,2 1 v 2 2,1 2,2 2 v v v Corrispodeza biivoca tra operatori e loro rappresetazioi matriciali 9

10 Ifatti: v v v v v v v, Basi ortormali diverse geerao differeti rappresetazioi matriciale dello stesso operatore! La matrice rappresetativa di operatore hermitiao slla base dei soi atovettori è diagoale,,, 10

11 11 Dato l operatore, operatore aggito rappresetato dalla matrice   Proprietà: Data la matrice, defiizioe della matrice aggita co elemeti,, :,, Per ogi coppia di vettori e : v v v ifatti v v v v  Operatore è hermitiao se è atoaggito: