METODI MATEMATICI PER LA FISICA

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1 METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 8 GENNAIO 8 Si risolvao cortesemete i segueti problemi sapedo che verrao valutati:. la correttezza del risultato otteuto e della procedura utilizzata;. la completezza dei passaggi riportati; 3. il livello di esemplificazioe co cui soo espressi i risultati (ad esempio u risultato umerico reale o deve coteere l uità immagiaria); 4. la correttezza del formalismo utilizzato; 5. la chiarezza dell esposizioe e la leggibilità del testo. PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 6/3) Si calcoli l itegrale SOLUZIONE DEL PRIMO PROBLEMA N = π Semplifichiamo l itegrada usado la formula di bisezioe e facciamo la sostituzioe θ = α si ottiee N = 4 dα se (α) +. cos(α) = se (α) = se (α) = cos(α) π dα (3 cos(α)) = 4π π dθ (3 cos(θ)) = 4 dθ (3 cos(θ)). L ultima idetità segue dalla periodicità della fuzioe coseo e quidi dell itegrada. Facedo l ulteriore sostituzioe z = e iθ si arriva all itegrale sul cerchio uitario idz/z zdz N = 4 = 6i z = 3 z + z = z 6z +. z I questa forma l itegrada ha due poli doppi ei puti z = 3 solo il primo z = 3 è itero alla circofereza uitaria quidi applicado il teorema dei residui si ha z N = 3π z 6z + z = 3π d z dz = 3π z z 6 z z 3 = 3π 3 = 3π z z=z z 4. SECONDO PROBLEMA (PUNTEGGIO 6/3) Si ottega il valore dell itegrale S = Re e iz + z dz σ Im(z) ( h) (R h) dove il percorso di itegrazioe mostrato i figura ha la seguete defiizioe σ = [ + ih ] [ ] [ R + ih] co R h > e dove il simbolo [z z ] rappreseta il segmeto di estremi z e z orietato el verso che va da z a z. ( ) Re(z) 8 geaio 8 page of 8

2 SOLUZIONE DEL SECONDO PROBLEMA La fuzioe itegrada f (z) = e i z + z è itera ovvero aalitica i possiamo applicare il teorema di Cauchy per il quale l itegrale su u qualsiasi percorso differeziabile che uisce due puti è idipedete dal percorso stesso. Potremmo quidi scegliere come percorso il segmeto [ + ih R + ih] ovvero sfruttare l idetità σ f (z)dz = [+ihr+ih] f (z)dz. ( ) Lugo il segmeto [+ ih R+ ih] si ha z = x + ih da cui dz = d x co x [ R] e cosegue che R S = Re f (z)dz = Re f (x + ih)d x = [+ihr+ih] Im(z) ( h) (R h) Re f (x + ih) d x = u(x h)d x Re(z) dove si è usata la cosueta otazioe f (z) = u(x y) + i v(x y) u(x y) v(x y). La parte reale della fuzioe f (z) è u(x y) = Re f (z) = Re e iz + z = Re e y+ix + x y + ix y = e y Re (cos(x) + i se(x)) + x y + ix y = e y Re cos(x) + x y x y se(x) + i se(x) + x y + x y cos(x) = e y cos(x) + x y x y se(x). L itegrale assume la forma S = e h cos(x) + x h hx se(x) d x = e h c h + c hs dove abbiamo idicato co c e s gli itegrali ovviamete c k+ = s m = k m {}. I tre itegrali che defiiscoo S c c e s soo c = x cos(x)d x s = x se(x)d x c = cos(x)d x = se(r) c = x cos(x)d x = R se(r) + 4R cos(r) s = x se(x)d x = se(r) R cos(r) quidi il risultato fiale è S = e h h se(r) + R se(r) + R cos(r) h(se(r) R cos(r)) S = e h R (h + ) se(r) + R ( + h) cos(r). 8 geaio 8 page of 8

3 C è u altra possibilità poiché la fuzioe itegrada è itera si può calcolare l itegrale i modo "classico" ovvero come se si trattasse di u itegrale di liea co estremi complessi: + ih e R + ih si ha +ih S = Re e R+ih iz + z dz = Re ie iz R+ih +ih ieiz z R+ih +ih + i e iz zdz = Re +ih ie iz R+ih +ih ieiz z R+ih +ih + eiz z R+ih +ih +ih = Re ie iz ie iz z + e iz z + ie iz R+ih = Re z + iz ie iz R+ih +ih +ih +ih = Re (z + i) ie iz R+ih +ih = Re [R + i( + h)] ie ir h + [ + i( + h)] ie ir h = e h R ( + h) se(r) + R( + h) cos(r). e iz dz +ih TERZO PROBLEMA (PUNTEGGIO 8/3) La fuzioe h (w) co /{} ha rappresetazioe itegrale h (w) = x w x + d x. Dopo avere determiato il domiio della rappresetazioe e aver otteuto la forma aalitica completa della fuzioe h (w) si determii lo sviluppo di Mittag-Leffler. Memeto. L itegrale covergete della fuzioe polidroma R(z) z α dove R(z) è ua fuzioe razioale che o ha poli i ( ) e α vale SOLUZIONE DEL TERZO PROBLEMA R(x)x α d x = π e iπα se(πα) R(z) z α z k. L itegrada è ua fuzioe polidroma che ha come puti di diramazioe z = e z = ; possiede ioltre poli semplici elle radici -esime di z k = e (k+)iπ/ k =.... Poiché questi poli o appartegoo al semi-asse reale positivo ovvero al percorso di itegrazioe possiamo usare la forma geerale h (w) = impoedo la codizioe di covergeza tot x w x + d x = πe iπw z w se(πw) z + z k k= l < Re(w) < h dove l e h soo le poteze di x che descrivoo il comportameto della parte razioale dell itegrada ei limiti x + e x rispettivamete. Tali poteze soo x + = O z l per: x + l = x + = O z h per: x h = e quidi il domiio di covergeza della rappresetazioe itegrale è D = {w : < Re(w) < + }. 8 geaio 8 page 3 of 8

4 La forma aalitica di h (w) si ottiee itegrado ovvero I residui soo z w z + z k = lim z zk h (w) = πe iπw z w se(πw) z + z k. z w z + (z z k) = zw k z k k= = zw + k = e(k+)(w +)iπ/ ell ultima idetità abbiamo usato e (k+)iπ =. La somma degli residui è z w z + z k = e(w+)iπ/ e k(w+)iπ/ = e(w+)iπ/ k= moltiplicado e dividedo per e (w+)iπ/ si ha z w z + z k = e(w+)iπ/ k= = eiπw k= e (w+)iπ e(w+)iπ = e(w+)iπ/ i se ((w + )π) i se ((w + )π/) = eiπw L itegrale completo e quidi l espressioe aalitica della fuzioe h (w) è h (w) = πe iπw z w se(πw) z + z k = πe iπw se(πw) h (w) = k= π/ se ((w + )π/). La fuzioe ha ifiiti poli semplici ei puti w j tali che = e(k+)(w+)iπ/ e (w+)iπ/ k k= e (w+)iπ e (w+)iπ e (w+)iπ/ e (w+)iπ/ se ((w + )π) se ((w + )π/) = eiπw e iπw (w j + ) = j w j = j j. Lo sviluppo di Mittag-Leffler ha l espressioe formale h (w) = g(w) + R j w w j se (wπ) se ((w + )π/) se (wπ) se ((w + )π/). dove la fuzioe g(w) rappreseta la parte itera della fuzioe h (w) metre i coefficieti R j soo i residui ei poli w j e valgoo R j = lim h (w) π/ w w j = lim w w j w w j (π/) cos ((w + )π/) = cos(jπ) = ( )j. La fuzioe h (w) o ha sigolarità all ifiito quidi g(w) = g è costate possiamo otteere il valore valutado h (w) ell origie si ha h () = g + ( ) j w j = π/ se(π/) g = π/ se(π/) + ( ) j. w j I defiitiva h (w) = h (w) = π/ se(π/) + π/ se(π/) + ( ) j + w w j w j ( ) j w ( k ) (w k + ). 8 geaio 8 page 4 of 8

5 QUARTO PROBLEMA (PUNTEGGIO 6/3) La fuzioe matriciale 3 3 F(z) co variabile complessa z è defiita come F(z) = z I + zc + C dove I è la matrice idetità 3 3 e C = 3 3. Si determiio: l espressioe esplicita della fuzioe F(z) ovvero le 9 compoeti F i j (z) co i j = 3 e i puti di sigolarità della stessa fuzioe F(z). SOLUZIONE DEL QUARTO PROBLEMA Se la matrice C è diagoalizzabile lo sarao simultaeamete ache le tre matrici z I zc e C i quato mutuamete commutati. Gli autovalori della matrice C si ottegoo come segue det det (C αi) = α 3 α 3 α = ( α) ( α) 9 = da cui Calcoliamo gli autovettori ella forma a j = α = α = α 3 = 4. x j + y j + z j risolvedo le tre equazioi Ca j = α j a j si ha 3 3 x j y j z j x j y j z j x j ( α j ) + 3z j y j ( α j ) 3x j + z j ( α j ) j = 3 = α j = Per α j ovvero per j y 3 = i questi casi poiamo x 3 = e otteiamo z 3 usado l equazioe ricavata dal primo elemeto della precedete idetità matriciale ovvero x 3 ( α 3 ) + 3z 3 = α 3 + 3z 3 = z 3 = α 3 = 3 Il secodo autovettore si ottiee poedo y = e x = z = a =. x j y j z j. a 3 =. 8 geaio 8 page 5 of 8

6 I tre autovettori formao u isieme ortoormale e cosegue che la matrice uitaria diagoalizzate U ha elemeti U i j = (a j ) i i j = 3 ovvero / / U = / / ed è tale che C d U CU = diag (α α α 3 ). Co questa matrice si diagoalizza ache F(z) i particolare / z + zα + α F d (z) = U F d (z)u = / z + zα + α / z + zα 3 + α 3 / z z + 4 = / z + z + 4 / z + 4z + 6 I puti sigolari soo gli zeri dei tre poliomi z + zα j + α j j = 3 ovvero i 6 puti z ± j = α j ± i 3 = α j e ±iπ/3 j = 3. Ifie la forma esplicita della fuzioe matriciale F(z) è F(z) = U F d (z)u / / = / / f (z)/ f 3 (z)/ = f (z) f (z)/ f 3 (z)/ = = f (z) f (z) f 3 (z) / / / / f (z) + f 3 (z) / f (z) + f 3 (z) / f (z) f (z) + f 3 (z) / f (z) + f 3 (z) / z +z+ (z z+4)(z +4z+6) 3(z+) (z z+4)(z +4z+6) z +z+4 3(z+) (z z+4)(z +4z+6) z +z+ (z z+4)(z +4z+6). / / / / f (z) f (z) f 3 (z). QUINTO PROBLEMA (PUNTEGGIO 6/3) L operatore  è defiito ello spazio di Hilbert di dimesioe 3 E 3 come  = a e + e a i termii di e che è il primo vettore della base ortoormale e k 3 k= E 3 e del vettore a E 3 o ortogoale a essuo dei tre vettori della base e tale che: e a = a e. Si determiio gli autovalori e gli autovettori di  i otazioe bra-ket. SOLUZIONE DEL QUINTO PROBLEMA L operatore è hermitiao ifatti poiché i geerale x y = y x si  = a e + e a = a e + e a = e a + a e = a e + e a = Â. 8 geaio 8 page 6 of 8

7 La rappresetazioe matriciale dell operatore  rispetto alla base r k 3 k= E 3 è e  e e  e e  e 3 e a + a e a e a e 3 A = e  e e  e e  e 3 = e a = e 3  e e 3  e e 3  e 3 e 3 a a a a 3 a a 3 dove abbiamo defiito le compoeti a j = e j a co a = e a = a e. Ioltre poiché essuo dei vettori della base è ortogoale al vettore a le compoeti soo tutte diverse da zero. Gli autovalori si ottegoo co la procedura usuale ovvero risolvedo l equazioe secolare det det (A Iλ) = a λ a a 3 a λ a 3 λ = a λ λ + a + a 3 λ = da cui λ = λ 3 = a ± (a ) + a + a 3 = a ± a a = a ± a. L autovettore relativo a λ è i rappresetazioe matriciale a a a 3 x a y a 3 z a x + a y + a 3 z a x a 3 x = = dalle equazioe per la secoda e terza compoete si ha x = posto y = si ottiee z = a /a 3 quidi v = = a 3. + a /a 3 a /a 3 a + a 3 a Gli autovettori relativi agli autovalori λ 3 soo a a a 3 a a 3 x 3 y 3 z 3 (a λ 3 )x 3 + a y 3 + a 3 z 3 a x 3 λ 3 y 3 a 3 x 3 λ 3 z 3 = λ 3 = poedo x 3 = dalle equazioe per la secoda e terza compoete si hao le compoeti y 3 = a /λ 3 z 3 = a 3 /λ 3 x 3 y 3 z 3 i vettori soo v 3 = = + a /λ 3 + a 3 /λ 3 a a ± a a ± a a a 3 a /λ 3 a 3 /λ 3. = λ 3 + a + a 3 λ 3 a a 3 8 geaio 8 page 7 of 8

8 I otazioe bra-ket gli autovettori soo v = a3 e a e 3 a ± a e v 3 = a + a 3 a a ± a. SESTO PROBLEMA (PUNTEGGIO 6/3) Si determii la fuzioe f (x) L () defiita positiva che verifica la seguete idetità SOLUZIONE DEL SESTO PROBLEMA π f (x x )f (x )d x = xe x. Il primo membro dell idetità data rappreseta la covoluzioe della fuzioe f (x) co la sua derivata prima la trasformata di Fourier è pari al prodotto delle trasformate di Fourier avremo π k f f = k f k f = k f ikk f = ik f (k) co f (k) k f. La fuzioe che rappreseta il secodo membro è la derivata prima della gaussiaa e x e cosegue che la trasformata di Fourier vale k xe x d = k d x e x = ik k e x /4 = ik e k. Dall idetità data si ottegoo due espressioe per f (k) Le ati-trasformate di Fourier soo /8 f ± (k) = ± e k. /4 x f± = ± π La soluzioe alla luce della richiesta di positività è e k /8+ikx f (x) = 3/4 e x. dk = ± 3/4 e x /4 8 geaio 8 page 8 of 8