EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI ING. AEROSPAZIALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 12/1/2009

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1 I.1 EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI ING. AEROSPAZIALE prof. Daiele Adreucci Prova tecica del 1/1/ Trovare co il metodo di Fourier la soluzioe di u t Du xx = Cu, 0 < x < π,t > 0, u0,t = 0, t > 0, u x π,t = 0, t > 0, ux,0 = cos x, 0 < x < π, D e C soo costati positive. Nel caso poi i cui sia D = C, si determii il limite lim ux,t, 0 < x < π t. Cerchiamo uo sviluppo i serie di u della forma ux, t = α tsi + 1x. =0 Per 0 i coefficieti α sarao determiati dai problemi di Cauchy per 1 metre α + D + 1 α = Cα, γ = 4 π = 1 π π 0 γ 0 = 4 π α 0 = γ, cosxsi + 1xdx [ π ] 1, cosxsi xdx = π. Quidi, dalla formula risolutiva delle e.d.o. lieari del primo ordie si ha per ogi 0: α t = γ e [C D+1 ]t, 0 < t <.

2 I. Se D = C, vista la crgeza della serie per t 1, e poiché i coefficieti α, per 1, tedoo a 0, co rapidità espoeziale, si ha ifie lim ux, t = lim α 0tsi x = γ 0 si x. t t La soluzioe è data da ux, t = γ = 1 π γ e [C D+1]t si + 1x, =0 [ ] 1, 1, γ 0 = π, = 0, Segue che, se D = C, lim ux, t = si x. t π. Ua fuzioe u C R soddisfa u tt c u xx = 0, i R, uct,t = 0, 0 t L c, ul,t = 0, 0 t L c, L, c soo costati positive. Determiare u aperto Ω di R u 0. Si sa che ux, t = fx ct + gx + ct, da cui si ottiee subito, per le codizioi assegate, f0 + gct = 0, fl ct + gl + ct = 0, per 0 t L/c. Queste due codizioi possoo essere riscritte itroducedo le u variabili y = ct e z = L ct come gy = f0, 0 y L, fz = gl z, 0 z L. Si oti che queste uguagliaze valgoo per ogi valore di y e z egli itervalli specificati. Duque si avrà ux, t = fx ct+gx+ct = fz+gy = gl z+gy = f0 f0 = 0,

3 I.3 ammesso che si possao scegliere y e z i modo che: x ct = z [0, L], x + ct = y [0, L], cosicché valga ache L z [0, L]. Questo coduce a ct x L + ct, ct x L ct. Ω = {x, t ct < x < L + ct, ct < x < L ct}. 3. Si cosiderio le soluzioi dei due problemi u 1 = 0, i Ω 1, u = 0, i Ω, u 1 x,y = arctg y x, su Ω 1, u x,y = arctg y x, su Ω, Ω 1 = 1, 1,, Ω = a,a + 1 1,, co a >. Si trovio codizioi su a che implichio per ogi x 1,y 1 Ω 1, x,y Ω. Per il pricipio di massimo si ha che u 1 x 1,y 1 > u x,y, u 1 x 1, y 1 mi u 1 = mi arctg y Ω 1 x,y Ω 1 x, u x, y maxu = max arctg y Ω x,y Ω x, per ogi x 1, y 1 Ω 1, x, y Ω. Duque si otterrà la disuguagliaza voluta se risulterà mi arctg y x,y Ω 1 x > max arctg y x,y Ω x. D altra parte, per il sigificato geometrico di arctg y/x, che el primo quadrate coicide co l aomalia polare, si ha mi x,y Ω 1 arctg y x = arctg 1, max arctg y x,y Ω x = arctg a. Poiché l arcotagete è ua fuzioe crescete, si dovrà chiedere a < 1.

4 I.4 a > Si determiio i coefficieti dello sviluppo fx = α six, 0 < x < π, Calcolare ache Per defiizioe =1 x, 0 < x < π fx =, π x π, < x < π. α = π = π π 0 π 0 α. =1 fxsixdx xsixdx π = [ 1 +1 π + π Ioltre, si sa per l idetità di Parseval che ϕ è il sistema ortoormale π π π sixdx 1 cos π f, ϕ = f, =1 ]. Duque α = π =1 ϕ x = =1 π six. f, ϕ = π f = π 6. α = π 1+1 π 4 π cosπ, α = π 6. =1

5 I.5 5. Si trovi la soluzioe del problema di Cauchy 1 y u x + u y = x, u s, 1 = 1, 0 < s <. s Determiare l aperto massimale Ω di esisteza della soluzioe u. A Risolviamo il sistema delle caratteristiche al suolo ϕ 1 = 1 ϕ, ϕ 1 0 = s, ϕ = 1, ϕ 0 = 1 s. La secoda equazioe è di immediata risoluzioe, e dà ϕ τ; s = τ + 1 s. Dalla prima si ha quidi ϕ 1 = 1, τ + 1 s da cui ifie ϕ1 τ; s, ϕ τ; s = 1 τ + 1 s + s, τ + 1 s Le caratteristiche al suolo soo duque i rami di iperbole, τ > 1 s. x = 1 y + s, 0 < y <, s 0,. B Risolviamo poi il problema di Cauchy per l equazioe differeziale sulle caratteristiche al suolo du dτ = 1 τ + 1 s U0 = 1. + s, Si ottiee Uτ; s = sτ l τ + 1 ls + 1, 1 s s < τ <. C Toriamo alle coordiate cartesiae, risolvedo il sistema 1 τ + 1 s + s = x, τ + 1 s = y.

6 I.6 Si ricava subito s = 1 x + 1, y τ = y x + 1. y Le codizioi da imporre soo τ + 1/s > 0, e s > 0, ossia y > 0, x + 1 y > 0. ux, y = xy ly l x l, y x, y Ω = {x, y y > 0, x + y 1 > 0}. 6. Risolvere co la formula di rappresetazioe per il problema el semipiao per l equazioe di Laplace il problema u = 0, x > 0,y > 0, y u0,y = arcsi, y > 0, 1 + y u y x,0 = 0, x > 0. Per ricodurre il problema a uo el semipiao x > 0 occorre riflettere il dato su x = 0 i modo pari itoro all origie. Duque l estesioe del dato sarà y ũ 0 y = arcsi, y 1 + y ux, y = 1 π η x arcsi 1 + η x + y η dη, x > 0, y > 0.

7 II.1 EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI ING. AEROSPAZIALE prof. Daiele Adreucci Prova tecica del 1/1/ Trovare co il metodo di Fourier la soluzioe di u t Du xx = Cu, 0 < x < π,t > 0, u x 0,t = 0, t > 0, π u,t = 0, t > 0, ux,0 = si x, 0 < x < π, D e C soo costati positive. Nel caso poi i cui sia D = C, si determii il limite La soluzioe è data da ux, t = γ = 1 π lim t ux,t, 0 < x < π. γ e [C D+1]t cos + 1x, =0 [ ] 1, 1, γ 0 = π, = 0, Segue che, se D = C, lim ux, t = t π cosx.. Ua fuzioe u C R soddisfa u tt c u xx = 0, i R, uct,t = 0, 0 t L c, u x, L = 0, 0 x L, c L, c soo costati positive. Determiare u aperto Ω di R u 0. Ω = {x, t L + ct < x < ct, ct < x < L ct}.

8 II. 3. Si cosiderio le soluzioi dei due problemi u 1 = 0, i Ω 1, u = 0, i Ω, u 1 x,y = arctg y x, su Ω 1, u x,y = arctg y x, su Ω, Ω 1 = 1, 1,, Ω = 1, a,a + 1, co a >. Si trovio codizioi su a che implichio u 1 x 1,y 1 < u x,y, per ogi x 1,y 1 Ω 1, x,y Ω. a > Si determiio i coefficieti dello sviluppo Calcolare ache fx = α six, 0 < x < π, =1 x, 0 < x < π fx =, π π x, < x < π. α. =1 α = 4 π si π, α = π 6. =1 5. Si trovi la soluzioe del problema di Cauchy u x + 1 x u y = y, 1 u s,s = 0, 0 < s <.

9 II.3 Determiare l aperto massimale Ω di esisteza della soluzioe u. ux, y = xy lx l y l 1, x x, y Ω = {x, y x > 0, y + x 1 > 0}. 6. Risolvere co la formula di rappresetazioe per il problema el semipiao per l equazioe di Laplace il problema ux, y = 1 π u = 0, x > 0,y > 0, y u0,y = arcsi, y > 0, 1 + y ux,0 = 0, x > 0. η arcsi 1 + η x x + y η dη, x > 0, y > 0.