E possibile approssimare tale valore utilizzando la distribuzione normale. Dalle tavole della Z si ha infatti: = 1.645

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1 ESERCIZIO 6.1 Il tempo di occupazioe di ciacu paziete di u letto (durata di permaeza) è utilizzato dai maager di u opedale per l allocazioe ottimale delle riore. Si ritiee, da tudi effettuati durate gli ai, che il tempo medio di permaeza ia pari a 5 giori. Il dirigete della truttura, i eguito all adozioe di u uovo itema di getioe dei pazieti e del peroale, ritiee che tale tempo ia miore di 5 giori. Selezioa caualmete a tal fie u campioe di 1 pazieti u cui oerva u tempo medio di permaeza pari a 4.5 co u deviazioe tadard pari a 3.2. a) Si cotruica u tet di ipotei utilizzado u livello di igificatività del 5%. b) Si calcoli ioltre il livello di igificatività oervato (valore p) del tet. SVOLGIMENTO a) 1) Ipotei ulla Ho: µ=5 2) Ipotei alterativa Ha: µ<5 3) Statitica tet x µ Statitica tet t 1 Il campioe è però ufficietemete grade per cui è equivalete utilizzare la ditribuzioe ormale, come motrato di eguito. 4) Regola di deciioe α=.5 t 1, α = 1.66 E poibile approimare tale valore utilizzado la ditribuzioe ormale. Dalle tavole della Z i ha ifatti: α=.5 Z α = α=.5 Rifiuto Ho e la tatitica tet è miore di Regioe di 5) uzioi (ipotei mateute) Si ipotizza che, data la umeroità elevata del campioe di riferimeto, lo carto quadratico medio campioario ia ua tima attedibile per la variaza della popolazioe. No è ecearia alcua ipotei ulla ditribuzioe della variabile i quato è poibile ricorrere al teorema del limite cetrale. 6) Eperimeto ul campioe x = 4.5 = 3.2 =1 1

2 x µ Statitica tet = = ) Cocluioe La tatitica tet, per il campioe coiderato, produce u valore ella regioe di accettazioe: i dati empirici o permettoo di accettare l ipotei che la lughezza di permaeza ia miore di 5 giori. b) Il livello di igificatività oervato del tet, oto ache come p-value o valore p, è la probabilità (otto l ipotei che H ia vera) di oervare u valore che ia almeo tato cotraddittorio ripetto all ipotei ulla e tale da avvalorare l ipotei alterativa quato quello calcolato ui dati campioari a dipoizioe. E poibile cercare il valore di Z=-1.56 dalle tavole della ormale tadardizzata: P( < Z < z ) Da cui: P X < 4.5 = P Z < 1.56 = P Z > 1.56 = =.6 ( ) ( ) ( ) rea tra la media e il valore z Fiado α=.5 (probabilità errore di prima pecie) il livello di igificatività oervato o è tale da rifiutare H (come vito ache co la procedura tadard eguita al pao a). 2

3 ESERCIZIO 6.2 U produttore di cereali deidera tetare il fuzioameto del macchiario utilizzato per riempire le catole. La macchia i quetioe è tarata per ditribuire 5 grammi per catola. Il produttore è itereato a cotameti da tale valore i etrambe le direzioi, i quato u peo miore potrebbe comportare problemi co le procedure di cotrollo di qualità e u peo maggiore ua perdita el lugo periodo. Si eamiao 7 catole della produzioe di u dato gioro u cui i rileva ua media di 495 grammi co uo carto di 15. a) Si coduca u tet ad u livello di igificatività dell 1%. b) Si determii il livello di igificatività oervato (p-value) riultate dal tet. SVOLGIMENTO a) 1) Ipotei ulla Ho: µ=5 2) Ipotei alterativa Ha: µ 5 3) Statitica tet x µ Statitica tet ƛ t 1 E poibile approimare la ditribuzioe t co la ormale coiderata l elevata umeroità del campioe, come motrato di eguito. 4) Regola di deciioe α=.1 t α = , 2 E poibile approimare tale valore utilizzado la ditribuzioe ormale. Dalle tavole della Z i ha ifatti: α=.1 Z α = α=.1/2 α=.1/2 Rifiuto Ho e la tatitica tet è miore di o maggiore di Regioe di Regioe di 5) uzioi (ipotei mateute) Si ipotizza che, data la umeroità elevata del campioe di riferimeto, lo carto quadratico medio campioario ia ua tima attedibile per la variaza della popolazioe. No è ecearia alcua ipotei ulla ditribuzioe della variabile i quato è poibile ricorrere al teorema del limite cetrale. 6) Eperimeto ul campioe 3

4 x = 495 = 15 =7 x µ Statitica tet = = ) Cocluioe La tatitica tet, per il campioe coiderato, produce u valore ella regioe di : i dati empirici permettoo di accettare l ipotei alterativa che la macchia riempie le catole co u quatitativo di cereali medio differete da 5 grammi. b) Il livello di igificatività oervato del tet, oto ache come p-value o valore p, è la probabilità (otto l ipotei che H ia vera) di oervare u valore che ia almeo tato cotraddittorio ripetto all ipotei ulla e tale da avvalorare l ipotei alterativa quato quello calcolato ui dati campioari a dipoizioe. E poibile cercare il valore di Z=-2.79 dalle tavole della ormale tadardizzata: P( < Z < z ) rea tra la media e il valore z Da cui: P X > 2.79 = P Z > 2.79 = P Z < P Z > 2.79 = 2 P Z > 2.79 = =.52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fiado α=.1/2 (probabilità errore di prima pecie) il tet riulta igificativo, i quato il valore-p oervato è molto bao: olo u 52 cai u 1 i oerva ua tatitica tet uguale o più etrema di quella calcolata ul campioe a dipoizioe. 4

5 ESERCIZIO 6.3 U produttore di motori per motocafi deidera verificare che il uovo motore che ta per mettere i commercio oddifi gli tadard miimi di cotrollo per i ga di carico. L emiioe media coetita per motori di queto tipo deve eere miore di 2 parti per milioe di carburate. I primi dieci motori prodotti vegoo cotrollati determiado il livello di emiioe. I riultati oo riportati di eguito: Verificare e tali valori foricao u evideza ufficiete per cocludere che il uovo motore oddifa i requiiti miimi di iquiameto. a) Si utilizzi a tal fie u livello di igificatività dell 1%. b) Si calcoli ioltre il livello di igificatività oervata (p-value) derivate dal tet. a) 1) Ipotei ulla Ho: µ=2 2) Ipotei alterativa Ha: µ<2 3) Statitica tet x µ Statitica tet 4) Regola di deciioe α=.1 t 9, α = t 1 SVOLGIMENTO α=.1 Rifiuto Ho e la tatitica tet è miore di Regioe di 5) uzioi (ipotei mateute) La umeroità campioaria o coete di ricorrere al teorema del limite cetrale. E eceario ipotizzare che la variabile emiioe del motore egua ua ditribuzioe di tipo ormale. 6) Eperimeto ul campioe x = 17.7 = 2.98 =1 x µ Statitica tet = = ) Cocluioe La tatitica tet, per il campioe coiderato, produce u valore ella regioe di : i dati empirici permettoo di accettare l ipotei alterativa che il 5

6 motore oddifi gli tadard di emiioe richieti, vale a dire produce u emiioe media miore di 2 parti per milioe di carburate. b) Il livello di igificatività oervato del tet, oto ache come p-value o valore p, è la probabilità (otto l ipotei che H ia vera) di oervare u valore che ia almeo tato cotraddittorio ripetto all ipotei ulla e tale da upportare l ipotei alterativa quato quello calcolato ui dati campioari a dipoizioe. Si può otteere u valore approimato per la t 9 uado le tavole: Da cui:.5 < p-value <.1 Utilizzado tale approimazioe i procede a rifiutare l ipotei ulla per il livello di α=.1 (coì come era tato fatto eguedo la procedura tadard): il p-value è ifatti iferiore alla oglia di richio prefiata. 6

7 ESERCIZIO 6.4 U uovo cocime viee utilizzato i 15 aree coltivate a orzo. Il redimeto di tali aree, miurato i quitali per ettaro, è riportato di eguito: Il livello medio di tale tipo di coltivazioe è pari a 27. a) Si vuole verificare che l utilizzo del cocime o abbia apportato variazioi el livello medio di redimeto co u livello di igificatività del 5%. b) Si calcoli il livello di igificatività oervata (p-value) riultate dal tet. a) 1) Ipotei ulla Ho: µ=27 2) Ipotei alterativa Ha: µ 27 3) Statitica tet x µ Statitica tet 4) Regola di deciioe t 1 SVOLGIMENTO α=.5 t α = , 2 α=.5/2 α=.5/2 Rifiuto Ho e la tatitica tet è miore di o maggiore di Regioe di Regioe di 5) uzioi (ipotei mateute) La umeroità campioaria o coete di ricorrere al teorema del limite cetrale. E eceario ipotizzare che la variabile redimeto dell area coltivata egua ua ditribuzioe di tipo ormale. 6) Eperimeto ul campioe x = = 3.33 =15 x µ Statitica tet = = ) Cocluioe La tatitica tet, per il campioe coiderato, produce u valore ella regioe di accettazioe: i dati empirici o permettoo di accettare l ipotei che il redimeto medio delle aree coltivate ia differete i eguito all uo del cocime. b) 7

8 Il livello di igificatività oervato del tet, oto ache come p-value o valore p, è la probabilità (otto l ipotei che H ia vera) di oervare u valore che ia almeo tato cotraddittorio ripetto all ipotei ulla e tale da avvalorare l ipotei alterativa quato quello calcolato ui dati campioari a dipoizioe. Si può otteere u valore approimato per la t 14 uado le tavole: Da cui i ottiee: 2 x.25 < p-value < 2 x.5 (è eceario moltiplicare per 2 i quato il tet è bilaterale) Ovvero:.5 < p-value < 2 x.1 Utilizzado tale approimazioe il tet o è igificativo per il campioe coiderato, ovvero o è poibile rifiutare l ipotei ulla per il livello di α=.5 (coì come era tato fatto eguedo la procedura tadard): il p-value è ifatti iferiore alla oglia di richio prefiata. 8

9 ESERCIZIO 6.5 (β, poteza del tet, variaz. umeroità campioaria e livello igif.) Utilizzado i dati dell eercizio 6.1 i calcolio: a) la probabilità dell errore di I pecie b) la probabilità dell errore di II pecie otto l ipotei che la media della popolazioe ia pari ripettivamete a 3.5, 4 e 4.5 giori c) L effetto ulla fuzioe poteza del tet (1-β) della variazioe di ua dimiuzioe del livello di igificatività a.1 e di u aumeto dello teo a.1, otto l ipotei che la media della popolazioe ia pari a 4. d) L effetto ulla fuzioe poteza del tet (1-β) della variazioe di ua dimiuzioe della umeroità campioaria da 1 a 7 e di u aumeto della umeroità campioaria da 1 a 13, otto l ipotei che la media della popolazioe ia pari a 4. SVOLGIMENTO Si riepiloga brevemete il tet impotato all eercizio 6.1 Ho: µ=5 Ha: µ<5 x µ Statitica tet ƛ t 1 N(,1) α=.5 Z α = x µ = = a) La probabilità di commettere u errore di I pecie (rifiutare l ipotei ulla quado è vera) è pari al livello di igificatività fiato per il tet. Nel cao dell eercizio i quetioe α=.5. b) La probabilità di commettere u errore di II pecie (accettare l ipotei ulla quado è fala) è quatificabile olo fiado u valore per il parametro u cui i itede eeguire il tet, vale a dire fiado ua ditribuzioe alterativa differete da quella pecificata ell ipotei ulla. Tale probabilità (accettare l ipotei ulla quado è fala) dipede dal reale valore che il parametro può aumere. Poiché H è fala per qualiai valore miore di µ (l ipotei alterativa è che il tempo di occupazioe ia iferiore a 5 giori), il eguete grafico motra come varia la probabilità dell errore di II pecie otto l ipotei che la media della popolazioe ia pari a 3.5, 4 e 4.5. β corripode all area che i ogua delle ditribuzioi alterative coiderate i ovrappoe alla regioe di accettazioe e dimiuice quado il valore di µ i allotaa dal valore ipotizzato i H :µ=5. 9

10 β 3.5 β 4 β 4.5 α= Regioe di 5 Di eguito oo riportati i calcoli per β ei quattro cai coiderati. E eceario iazitutto calcolare il valore di x che corripode al bordo tra la regioe di accettazioe e di (idicato co x per idicare che i tratta del valore di x etremo che avvalora l ipotei ulla). Nel cao i quetioe tale puto corripode ad ua Z= Da cui: x µ 3.2 Z = = x = µ + Z = = queto puto, per ua particolare ditribuzioe alterativa a quella corripodete all ipotei ulla, idicata co µ, i calcola il valore Z corripodete ad x. Tale valore corripode a β, probabilità dell errore di II pecie. µ = 3.5 1

11 x µ Z = = = β = P( Z > 3.4) =.5 P( < Z < 3.4) = =.12 µ = 4 x µ Z = = = β = P( Z > 1.48) =.5 P( < Z < 1.48) = =.694 µ = 4.5 x µ Z = = = β = PZ ( >.8) = P(.8< Z< ) + PZ ( > ) = P( < Z<.8) + PZ ( > ) = =.5319 Il complemeto ad 1 dell errore di II pecie (1-β) è oto come poteza del tet ed idica la probabilità di rifiutare correttamete l ipotei ulla per u valore particolare del parametro µ ell ipotei alterativa. c) Si è calcolato al puto precedete il valore di β per ua ditribuzioe alterativa co valore di µ=4, el cao di u livello di igificatività pari al 5%. β = P( Z > 1.48) =.5 P( < Z < 1.48) = =.694 Da cui i ricava la poteza del tet: 1 β = =.936 Se i utilizza u livello di igificatività maggiore (e quidi aumeta la probabilità di commettere u errore di I pecie) la probabilità aociata all errore di II pecie dimiuice (e di coegueza aumeta la poteza del tet, che è il complemeto ad 1 di quet ultima). α=.1 Z α = 1.28 x µ 3.2 Z = = 1.28 x = µ + Z = = µ = 4 x µ Z = = = β = P Z > 1.85 =.5 P < Z < 1.85 = =.322 ( ) ( ) 1 β = =.9678 La ituazioe i rovecia utilizzado u livello di igificatività miore (dimiuedo coì la probabilità di commettere u errore di I pecie). La probabilità aociata all errore di II pecie aumeta (e di coegueza dimiuice la poteza del tet, che è il complemeto ad 1 di quet ultima). α=.1 Z α =

12 x µ 3.2 = = 2.33 = + = = Z x µ Z µ = 4 x µ Z = = = β = P( Z >.8) =.5 P( < Z <.8) = = β = =.5319 I riultati otteuti oo ituitivi e i fa riferimeto al eguete grafico, i cui la liea tratteggiata tabilice il cofie tra la regioe di accettazioe e di : β 4 α= Regioe di 5 l dimiuire di α riulta evidete che β aumeta l crecere di α riulta evidete che β dimiuice d) La poteza del tet è ifluezata ache dalla dimeioe del campioe utilizzato. La deviazioe tadard della media campioaria è ifatti iveramete proporzioale al valore di ( σ σ x = ) e quidi la ditribuzioe diveta meo variabile al crecere del campioe. La figura eguete motra come variao β al crecere della umeroità campioaria quado i tiee fio il valore di α. 12

13 α β piccolo maggiore variabilità α β grade a parità di α dimiuice β E poibile verificare ull eempio i quetioe la relazioe tra la poteza del tet e la dimeioe campioaria. Si è calcolato al puto b) il valore di β per ua ditribuzioe alterativa co valore di µ=4, el cao di u livello di igificatività pari al 5%. α=.5 Z α = x µ Z = = = β = P( Z > 1.48) =.5 P( < Z < 1.48) = =.694 Da cui i ricava la poteza del tet: 1 β = =.936 queto puto vediamo coa uccede quado la dimeioe del campioe dimiuice da 1 a 7. α=.5 Z α = x µ 3.2 Z = = x = µ + Z = = µ = 4 x µ Z = = =

14 ( ) ( ) β = P Z >.97 =.5 P < Z <.97 = = β = =.834 Si vede come la dimiuzioe della dimeioe campioaria, a parità delle altre codizioi, comporta ua dimiuzioe ella poteza del tet. La ituazioe oppota i ha al crecere della dimeioe campioaria, come i può vedere dai egueti calcoli che motrao il cao di u aumeto della dimeioe campioaria da 1 a 13. α=.5 Z α = x µ 3.2 Z = = x = µ + Z = = µ = 4 x µ Z = = = β = P Z > 1.92 =.5 P < Z < 1.92 = =.274 ( ) ( ) 1 β = =