Verifiche alle Tensioni Ammissibili. Verifica a presso-flessione di una Trave in C.A.

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1 Coro di Teia delle Cotruzioi Eerizi Bozza del 1/11/005 Verifihe alle Teioi Ammiibili Verifia a preo-fleioe di ua Trave i C.A. a ura di Ezo Martielli 1 Ao aademio 004/05

2 Coro di Teia delle Cotruzioi Eerizi Verifia a Preo-Fleioe di ua membratura i.a. (Metodo delle Teioi Ammiibili) Si effettui la verifia a preofleioe (eodo il Metodo delle Teioi Ammiibili) della trave rappreetata ella figura per la quale i valori umerii delle gradezze riportate oo pure eleati el eguito: - geometria q b 300 mm F h 500 mm 15 A 1608 mm A' 1608 mm A ' d' 30 mm h G L 5.00 m A d' - arihi b q 30 kn/m F 100 kn - materiali R k 5 MPa,amm 8.50 MPa (fr. D.M. 14/0/9) Aiaio FeB38k,amm 15.0 MPa Come ezioe di verifia i idividua quella di mezzeria oggetta alle aratteritihe della olleitazioe egueti: N 100 kn M knm e, duque, l'eetriità dello forzo ormale ella ezioe uddetta vale: e mm Eedo il etro di preioe etero alla ezioe i potrebbe arguire he el ao i eame la ezioe riulta olleitata i grade eetriità, ovvero o ae eutro itero alla ezioe. Tuttavia, per eerizio, i determia il raggio del oiolo d'ierzia della ezioe ideale: A id mm G,id mm 4 da ui r,id mm he riulta leggermete maggiore del raggio del oiolo d'ierzia della ezioe o armata: r mm ogi ao di verifia he e>r e, duque, he la ezioe è olleitata i regime di grade eetriità. Dalle odizioi di equilibrio alla tralazioe (i direzioe ortogoale alla ezioe) ed alla rotazioe attoro all'ae eutro, i determiao le due relazioi egueti he legao il valore delle aratteritihe della olleitazioe a quello della maima teioe e i attige el l: Bozza del 1/11/005 a ura di Ezo Martielli

3 Coro di Teia delle Cotruzioi Eerizi N S M N d eedo: d + h e e. Eedo oto N è poibile ombiare le due equazioi di opra otteedo la eguete relazioe S ( + ) 0 (1) ella quale ompaioo oltato quatità di tipo geometrio defiite i fuzioe di. Riulta, ioltre, mm La oluzioe della (1) o può eere otteuta i forma hiua, trattadoi di ua equazioe di terzo grado. Pertato, bioga proedere utilizzado u metodo umerio he oeta di trovare la radie della fuzioe F( ): F() Si dimotra he valgolo le egueti relazioi: S() ( + ) ( ) F' ( ) A ( ) r ( + ) S ( ) F ''( ) b ( ) ( + ) e he riulta F'( ) > 0 e ''( ) 0 F > (,h) (fr. Faella: Argometi di Teia delle Cotruzioi, vol. 1A). Poihé valgoo le ipotei di tretta reeza e di oavità poitiva ell'itervallo (,h), è poibile proedere eodo il oiddetto Metodo della Tagete. La valutazioe della fuzioe F() e della ua derivata F'() può eere effettuata ulla bae della ua defiizioe i termii di mometo d'ierzia e mometo tatio (ripetto all'ae eutro) ed area della ezioe reagete riportate imboliamete el eguito: b () 3 3 b S () r + + [ A ( ) ( ) ] ' d' + A d [ A ' ( d' ) A ( d ) ] l proedimeto ha atura iterativa e i viluppa ome egue: [ A' A ] A () b a iterazioe mm Bozza del 1/11/005 a ura di Ezo Martielli

4 Coro di Teia delle Cotruzioi Eerizi ( 1 ) 1.785E+10 mm 4 S ( 1 ) 4.956E+07 mm 3 1 A r ( 1 ) mm F( 1 ) 4.100E+10 mm 4 F'( 1 ) 1.859E+08 mm mm - a iterazioe mm ( ) 4.557E+09 mm 4 S ( ) 1.31E+07 mm 3 A r ( ) mm F( ) 8.133E+09 mm 4 F'( ) 1.146E+08 mm mm - 3 a iterazioe mm ( 3 ) 3.33E+09 mm 4 3 S ( 3 ) 4.505E+06 mm 3 A r ( 3 ) mm F( 3 ) 7.13E+08 mm 4 F'( 3 ) 9.47E+07 mm mm - 4 a iterazioe mm ( 4 ) 3.6E+09 mm 4 4 S ( 4 ) 3.680E+06 mm 3 A r ( 4 ) mm F( 4 ) 7.597E+06 mm 4 F'( 4 ) 9.70E+07 mm mm Poihé riulta 4 /h uffiietemete piolo (ad eempio miore di 0.01), i può aumere Bozza del 1/11/005 a ura di Ezo Martielli

5 Coro di Teia delle Cotruzioi Eerizi mm Co riferimeto a tale valore è poibile determiare le aratteritihe geometrihe utili eearie per l'appliazioe delle formule di verifia della ezioe: 3.61E+09 mm 4 S 3.671E+06 mm 3 Riulta duque: N S MPa, amm o, i alterativa, ( ) N d MPa, amm l valore della teioe ell'aiaio i può determiare ome egue ulla bae dell'ipotei di liearità delle deformazioi (derivate direttamete dall'ipotei di oervazioe delle ezioi piae) i ottiee: / d d ( d ) MPa, amm OSSERVAZONE: Nell'appliazioe della eoda delle formule di verifia per il alolo della teioe i ottoliea he il mometo M Nd o è i geerale pari a quello M alolato ullo hema di trave e, duque, riferito all'ae eutro della ezioe geometria. QUEST COMPLEMENTAR: - determiare il maimo valore dello forzo aiale N (i preeza di uario q30 kn/m) he può eere oteuto dalla trave i oggetto affihè ia oddifatta la verifia di preofleioe; - determiare il maimo valore del ario q (i preeza di uo forzo ormale N100 kn) he può eere oteuto dalla trave i oggetto affihè ia oddifatta la verifia di preofleioe; - traiare il domiio di reiteza N-M per la ezioe di verifia. Bozza del 1/11/005 a ura di Ezo Martielli