I diagrammi di Bode. ad esempio la quantità 100 equivale a 40 decibel. Ricordando le altre regole dei logaritmi:

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1 I diagrai di Bode Sia dato u itea lieare e tepo ivariate i regie iuoidale. Si vuole tudiare l adaeto dell ucita i fuzioe dell igreo al variare della frequeza. Detta quidi U la pria ed I il ecodo el cao di circuiti elettrici hao atura fiica di teioe, correte o poteza i defiice fuzioe di traferieto la U I La preeza della variabile coplea è giutificata dal fatto che i regie iuoidale lo tudio viee volto traite i faori, ueri coplei rappreetativi di odulo e fae delle ode di teioe o correte iuoidali. Lo tudio o i può liitare alla defiizioe della, i quato o forice idicazioi chiare fiiche del coportaeto della rete. Se e fa pertato ua rappreetazioe i odulo rapporto fra i oduli di U ed I e fae tralazioe della iuoide U ripetto alla I. Il tracciato grafico richiede però dipedio di tepo ed ua certa preciioe, che olte volte o è eache richieta. Traite i diagrai di Bode i pooo otteere delle curve coiddette aitotiche che hao il pregio della velocità di tracciaeto a capito della tea preciioe, couque igliorabile coe i vedrà dagli eepi. I grafici che i traccerao oo a cala logaritica, i quato gradi variazioi pooo eere rappreetate più coodaete, ioltre riultao coode perché i logariti traforao prodotti e diviioi i oe e ottrazioi. Coiciao co il defiire il decibel: dato u uero reale x, i defiice x 0log 0 x ad eepio 00 0log la quatità 00 equivale a 40 decibel. Ricordado le altre regole dei logariti: log a b log a log b logarito di u prodotto log a / b log a log b logarito di u rapporto Per procedere co la rappreetazioe di Bode è eceario che la fuzioe di traferieto ia pota i fora caoica. Coe appiao ua f.d.t. è geeralete coporta dal rapporto fra due polioi algebrici i :

2 N a0 D b a a 0 b b a b a b co Se i ettoo i polioi otto fora di prodotti di bioi, i può avere queta fora z z z k p p p z p co zi il geerico zero e p il geerico polo e k ua cotate uero reale. Coiderado il geerico bioio, è poibile effettuare la poizioe z z e z è divero da zero, oppure il olo terie e zero è ullo; i otaza è z poibile avere tre dititi terii, che direttaete co la otituzioe = foricoo i tre cai:. terie cotate k: uero reale poitivo o egativo. terie iagiario o, prodotto di e 3. terie copleo + Ricriviao la precedete fuzioe i fora caoica e calcoliaoe il odulo e la fae: odulo: k g T T T T co g 0 0log 0log k 0g log 0log 0log 0log 0log T 0log T 0log T fae: k g arcta arcta arcta arcta T arcta T arcta T Se i cooce ogi terie delle precedeti oe i odulo e fae, traite ua copoizioe grafica i ottiee il riultate ia del odulo che della fae della ; i fa otare che al poto di ottrarre è poibile oare il grafico ribaltato ripetto all ae delle acie quato i dirà riulta valido per terii al ueratore: e foero al deoiatore bata cabiare il vero delle pedeze. Ioltre coiderereo il terie al poto di i quato più geerale cao particolare i cui =. Procediao:

3 Terie k: 0 k 80 k 0log k 0 k 0 k Il odulo dà ua cotate perché o dipede da, per la proprietà dei logariti i terii oo ditribuiti ul piao coe i figura; opra l ae tao le aplificazioi, otto le atteuazioi; per quato riguarda la fae, i ricorda che i ueri poitivi hao fae ulla, i egativi 80. Terie : 0log 0log 90 Diotriao l adaeto: eedo 0log 0log 0log poto log = x, otteiao u equazioe del tipo y = 0x + k che el piao carteiao rappreeta ua retta, per cui el piao logaritico bata idividuare il puto i cui attravera l acia e la pedeza per avere la retta cercata. Poedo cioè i ha u valore ullo di logarito; ioltre e i utilizza 0 cioè 0 i ha u valore pari a 0 decibel: i coclude che la pedeza è pari a 0 decibel per 3

4 decade; e i utilizzava u valore doppio =, i arebbe trovato che 0 db/dec = 6 /ottava 0log 6 Per quato riguarda la fae, u uero puraete iagiario ta ull ae iagiario, quidi la ua fae è 90 cotate. Terie + : 0log 0log arcta arcta Queti terii oo i più coplicati; eaiiao il odulo: i uppoga di tracciare il grafico per valori di: 0log 0log 0 0log 0log 0log Pertato, bata potari a iitra del puto a cala logaritica le piccole ditaze coproo gradi itervalli uerici per avere u valore ullo, vicevera a detra la fuzioe aue il valore del cao precedete terie eiretta. Uedo i grafici fio al puto i ottiee il grafico a detra i alto. Per la fae, bata oervare che arcta 45 arcta 0, arcta

5 Correzioi ai grafici aitotici Quato opra idicato produce però degli errori, e eceario i pooo correggere co le egueti valutazioi: odulo: 0log 0log 3 fae: arcta 0, 5, 7 6 arcta 0 84, Riauedo, i pai da eguire per la rappreetazioe dei grafici oo i egueti:. traforazioe della fuzioe di traferieto i fora caoica devoo coparire olo i tre terii trattati. idividuazioe dei puti caratteritici detti di taglio e collocazioe ugli ai delle rette e eirette opportue ia del odulo che della fae 3. oa delle riultati 4. evetuale aggiutaeti egli errori i proiità dei puti di pezzata Cao particolare di poli coplei coiugati Se la fuzioe di traferieto ha dei poli coplei coiugati, o è poibile adottare la procedura vita perché o pooo eplicitari dei terii i + ; è poibile però effettuare lo teo delle eplificazioi; ivertiao il ragioaeto: trattiao pria il problea i odo 5

6 6 eatto, quidi valutiao l evetuale eplificazioe. Sia data : otituedo ad la e valutado odulo e fae i ha: Oerviao che ell ipotei che ache ia u uero proio all uità la uddetta fuzioe vale ; la uddetta fuzioe vale l ivero del quadrato di u Si coclude che i può coiderare i pria approiazioe = e la fuzioe è rappreetata coe due fuzioi ovrappote pedeza di 40 /dec; ifatti eedo la fae arcta ache qui co le ipotei u, i hao le tee cocluioi della fae del cao +. Il problea è effettuare le correzioi: i fa otare che i corripodeza del puto critico: 0log 0log Per trovare il aio della fuzioe, derivado ripetto ad il radicado del odulo della, aullado e riolvedo i trova che il aio i ha i corripodeza di valore che otituito ella fuzioe forice 0log 0log MAX. Naturalete tale aio eite olo el capo corripodete ad u radicado o egativo, cioè per 707 0,.

7 Si coclude che per diegare il odulo della fuzioe i coidera dappria = e poi, e i effetti il uo valore è i proiità di i lacia tare il grafico aitotico coe ufficieteete eatto, altrieti i effettuao le correzioi i dipedeza delle forule trovate. Per quato riguarda la fae le correzioi da fare oo: i arcta 0 arcta0, i 90 i 0 arcta 80 arcta 0, 0 Eercitazioe co Ppice di u itea del ecodo ordie: 7