Trattamento e codifica di dati multimediali Esercizi svolti. Luca Chiodini

Transcript

1 Trattameto e codiica di dati multimediali Eercizi volti Luca Chiodii A.A. 207/208

2 Eercizio Dato il egale già campioato ( ) π x() = 6.4 co 0. Si determii la requeza ormalizzata di tale egale e i rappreeti la ua traormata di Fourier. 2. Si calcoli il umero di bit eceari ella coverioe aalogico-digitale el cao i adotti u quatizzatore avete (a) = 0. (b) = 0.02 Ioltre, i calcoli il SNR i ciacua ituazioe.. Per determiare la requeza ormalizzata ci ricoduciamo alla orma tadard co(2π N ), da cui acilmete 2π N = /0π e quidi N = /20. Il egale ha quidi requeza ormalizzata N = [ ] 20 campioe Eedo il egale u coeo, la traormata di Fourier ha valori o ulli olo ella parte reale, rappreetata el eguete graico. R(F(x())) N 2. Per ua quatizzazioe corretta il rage diamico del quatizzatore deve eere ampio almeo tato quato quello del egale, ovvero dev eere D Dq 2A 2 b Nel cao i cui = 0. i ha 2 b 28, da cui b = 7. Siamo quidi ella ituazioe ideale: co pao di quatizzazioe pari a 0. e 7 bit i riece a coprire eattamete il rage diamico del egale. Per determiare il rapporto SNR poiamo utilizzare la ormula el cao di quatizzatore ideale: SNR QI = b 44 db

3 Nella ecoda ituazioe propota, co = 0.02 i ha 2 b 640, la cui equazioe aociata o ha oluzioi itere. Se decideimo di quatizzare uado 9 bit icorreremmo i aturazioe. Utilizziamo quidi 0 bit, coci che o iamo ella ituazioe ottimale. Determiiamo ache il SNR co la ormula geerale SNR Q = 0 log 0 P S P N = 0 log 0 A 2 /2 2 /2 58 db U rapido calcolo motra che e aveimo impiegato bee i 0 bit, avremmo otteuto u SNR acora migliore ( 62 db). Il pao di quatizzazioe ideale arebbe tato 2 b = 2A 2 0 = = Eercizio 2 Viee orita la parte reale della traormata di Fourier di u egale: R(F(x(t))) Si ricotruica l epreioe aalitica del egale di parteza x. 2. Si determii la requeza di campioameto che itroduce u alia tale che il uovo egale x abbia traormata di Fourier come di eguito: R(F(x (t))) Poiché la traormata ha valori o ulli olo ella parte reale, deduciamo che il egale è omma di coei. La ua epreioe aalitica è x(t) = 2 co(2π t) +.4 co(2π 2t) + co(2π 3t) 2

4 2. Il egale x ha ivece epreioe x (t) = 2 co(2π t) +.4 co(2π 2t) + co(2π.5t) Sicuramete la requeza di campioameto che ha itrodotto l alia è miore di 6 Hz, che arebbe tata ivece la requeza miima per o itrodurre alia. Oerviamo che la delta preete el primo graico a 3 i pota ella traormata del egale raiteo a.5, quidi la requeza di campioameto uata è tata 4.5: [ ] campioi C = 4.5 Hz Eercizio 3 Dato il egale già campioato rappreetato el eguete graico: x() Si determii l epreioe aalitica del egale campioato. 2. Si rappreeti u egale x avete requeza ormalizzata pari a /8. 3. Si ricotruica l epreioe aalitica del egale aalogico il cui campioameto è rappreetato al puto precedete, apedo che tale campioameto è tato eettuato co pao T = [ 6 campioe. L epreioe del egale campioato è della orma x() = co(2π N ) dove la requeza ormalizzata N è eprea i per campioe e vale 2 (ovvero occorroo 2 campioi per completare u periodo, ad eempio tra i due picchi a valore ). 2. Co ua miima variazioe poiamo rappreetare u egale imile ma co N = /8 ] 3

5 x () Coocedo che per quet ultimo egale il pao di campioameto è tato T = /6, la requeza di campioameto è tata [ ] campioi C = 6 Il egale origiale è della orma x (t) = co(2π t) Reta quidi olo da determiare la requeza origiale, i al ecodo: [ ] = N C = [ ] [ ] [ ] campioi 6 = 2 8 campioe L epreioe aalitica del egale riulta quidi x (t) = co(2π 2t). Eercizio 4 Si coideri il egale x(t) = 3 co(600π t) + 2 co(800π t) che viee trameo u u caale digitale co u bitrate di bit al ecodo ed è quatizzato co u quatizzatore a 024 livelli.. Si determii la requeza di campioameto. 2. Si dica e co tale requeza è oddiatto il teorema del campioameto. Nel cao o lo oe, i aalizzi il egale raiteo. 3. Si determii l epreioe aalitica del egale campioato i modo ottimale e i aalizzi l eetto che il campioameto ha ullo pettro di tale egale. 4

6 . Poiché il quatizzatore è a 024 livelli, igiica che utilizza 0 bit per ogi campioe. La requeza di campioameto o è altro che il umero di campioi tramei i u ecodo, quidi C = [ ] bit [ ] campioi 0 [ ] = 000 = khz bit campioe 2. Ricriviamo il egale mettedo i evideza la requeza delle due iuoidi: x(t) = 3 co(2π 300 t) + 2 co(2π 900 t) La requeza di Nyquit che garatice aeza di alia arà quidi N = 900 Hz, pertato la requeza di campioameto miima dovrebbe eere 2 N = 800 Hz. Ripetto alla requeza di campioameto determiata al puto precedete, queto campioameto o ripetta il teorema di Shao e itrodurrà quidi aliaig. Co 000 Hz poiamo rappreetare le requeze da -500 a 500 (cetrate ullo 0). Oerviamo la parte reale della traormata di Fourier del egale: R(F(x(t))) La requeza 900 Hz viee coua ella replica ucceiva co la requeza 00 Hz (eedo 000 Hz la requeza di campioameto). Aalogamete, la requeza 900 Hz viee coua ella replica precedete co la requeza 00 Hz. Il egale alterato viee iterpretato come x (t) = 3 co(2π 300 t) + 2 co(2π 00 t) 3. Il egale campioato viee epreo i campioi ed è x() = 3 co(2π N ) + 2 co(2π N2 ) Dobbiamo determiare le due requeze ormalizzate, i per campioe. N = C = 300 [ ] 000 [ campioi ] = 3 [ 0 campioe ] 5

7 N2 = 2 C = 900 [ ] 000 [ campioi ] = 9 [ 0 campioe ] Avremo x() = 3 co(2π 3/0 ) + 2 co(2π 9/0 ) Per capire l eetto del campioameto aalizziamo direttamete la traormata di Fourier del egale campioato, co le requeze ormalizzate. R(F(x())) N L epreioe aalitica del egale raiteo è x() = 3 co(2π 3/0 ) + 2 co(2π ( 9 /0 ) ) }{{} Notiamo che il ego di /0 o produce diereze, eedo coeo ua uzioe pari. =± /0 Eercizio 5 Si coiderio i egali aalogici x(t) = 5 i(π 60t) y(t) = 2 co(π 60t) 3 i(π 40t) e i coideri il egale omma z(t) = x(t) + y(t).. Si rappreeti la traormata di Fourier del egale omma z(t) e i motri l eetto del campioameto co requeza 50 Hz. Si ricotruica quidi l epreioe aalitica deumibile dalla traormata. 2. Si caratterizzi u quatizzatore per x(t) aiché il rapporto SNR valga 96 db. 3. Si determii il comportameto dello teo quatizzatore applicato al egale z(t), prima del campioameto.. Rappreetiamo parte reale e parte immagiaria della traormata di Fourier. 6

8 R(F(z(t))) I(F(z(t))) Ricotruiamo l epreioe aalitica del egale co alia, acedo attezioe al atto che ella parte immagiaria della traormata le repliche alle requeze ±20 oo da ommari. z (t) = 2 co(2π 20t) 8 }{{} 2(.5+2.5) i(2π 20t) 2. Le caratteritiche di u quatizzatore oo e umero di bit. Naturalmete, creiamo u quatizzatore ideale. Facilmete otteiamo da cui 6b = 96, b = b 96 db La diamica del quatizzatore vogliamo ia come quella del egale (cao ideale), quidi: D S = D Q = L Sappiamo che D S = 2 A = 0, allora 0 = 2 6 da cui =

9 3. È ragioevole peare che il egale z(t), eedo compoto da tre iuoidi di ampiezza 5, 2 e 3, i qualche itate uperi ampiezza 5 e che quidi la ua diamica ia maggiore di D S = 2 5 = 0. Utilizzado il quatizzatore progettato el puto precedete arriveremmo alla aturazioe. Eercizio 6 Dato u itema co ripota all impulo h() = δ( ) δ( 2) i determii la ripota y() del itema al egale x() = (u() u( 3)) dopo aver rappreetato graicamete i egali. Oerviamo che u() u( 3) rappreeta ua ietra ampia tre campioi (da 0 a 2). Il egale x() =, che è ua rampa, viee quidi coiderato olo i ua ua porzioe. h() x() La ripota del itema arà y() = x() h() dove deota la covoluzioe. Notiamo che el domiio traormato la covoluzioe è emplicemete u prodotto: Y() = X()H(). Ribaltiamo il egale x() e lo traliamo ogi volta: 2 2 Otteiamo y(0) = 0 y() = 0 y(2) = = y(3) = 2 + ( ) = y(4) = 2 ( ) = 2 y(5) = 0 8

10 quidi Graicamete y() = δ( 2) + δ( 3) 2δ( 4) y() Eercizio 7 Dato il egale aalogico x(t) = i(20π t). Si calcoli la requeza di campioameto miima ecodo il criterio di Nyquit per campioare correttamete il egale. 2. Si rappreeti graicamete la traormata di Fourier del egale. 3. Si deiica il pao di campioameto tale per cui il egale campioato abbia ua requeza ormalizzata pari a Si calcoli il SNR per il egale x(t) quado vega adottato u quatizzatore co 8 bit e = Facilmete i ottiee che la requeza di Nyquit è 60 Hz e quidi la requeza di campioameto ecearia per o itrodurre alia è almeo 20 Hz. 2. Rappreetiamo la traormata, acedo attezioe alla preeza della cotate. R(F(x(t))) 3 I(F(x(t))) Il egale campioato è della orma dove impoiamo N = /4. x(t) = i(2π N t) 9

11 Si ha = N C, quidi C = = 60 [ N 4 [ ] campioe Il pao di campioameto è quidi /240. ] = 240 [ ] campioi 4. A priori o poiamo tabilire e il quatizzatore è ideale e utilizziamo quidi la ormula geerale. La diamica del egale o dipede dalla cotate, ma olo dall ampiezza della iuoide (quidi 3 2 = 6). SNR Q = 0 log 0 A 2 /2 2 /2 44 db Poiamo tabilire che queto quatizzatore o è ideale i due modi. Ua prima trada prevede di uare la ormula del calcolo del SNR el cao ideale co il umero di bit: SNR QI = db 44 db U altro modo è ivece quello di corotare la diamica del quatizzatore co quella del egale. D Q = L = = 2 che è divera dalla diamica del egale D S = 2A = 6. Per avere u quatizzatore ideale il pao dovrebbe eere la metà: riporterebbe iatti la diamica del quatizzatore a 6. 0