Argomento: Applicazioni statistiche e analisi dei dati Esercitazioni

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1 Argometo: Applicazioi tatitiche e aalii dei dati Eercitazioi

2 Premea Le dipee elaborate per lo volgimeto dell attività didattica oo tratte dal teto Itroduzioe al rilevameto campioario delle riore foretali (P. Coroa, 000 Edizioi CUSL, Fireze), al quale i rimada per maggiori approfodimeti.

3 Idice Campioameto cauale pag. 4 Campioameto itematico pag. 7 Campioameto tratificato pag. 4 Campioameto multitadio pag. 74 Stima ecodo i metodi della regreioe pag. 95

4 Primi problemi Defiito coa è boco, occorre defiire: coa è oggetto di iteree, cala dell ivetario e dettaglio richieto, errore tollerato, coto dell impiato e delle ripetizioi, tipo di uo del uolo, popolazioi d iteree, attributi d iteree, 4

5 Variabili Categorie i cui i pooo claificare le variabili: A. Cotiua: pooo aumere qualuque valore el campo di variazioe della variabile tea B. Dicotiua: può aumere olo valori iolati. omiale: Viva Morta (mutualmete ecluive). Ordiale: clae a, b, c o,, (come opra ma ordiate co criterio gerarchico, i cui i umeri hao u valore di rago). Itervallare: dbh 0 9; 0 9 oppure ua data ( 0..0 del mee... (ai raghi viee aociato u cocetto di mutua ditaza, ma maca uo zero aoluto e o i pooo cotruire rapporti di valore) 4. Aoluta o razioale: i ha u itervallo cotate tra due valori adiaceti ulla cala di miurazioe ( 0,,,, 4..) 5

6 Popolazioi Fiite: il umero totale delle uità può eere epreo co u umero fiito (ad eempio il umero di particelle foretali i ua comprea); Ifiite: il umero dei puti topografici i u boco, ma ache per eteioe - il umero di idividui arborei i ua regioe. 6

7 Popolazioe (II) La popolazioe è cotituita dagli idividui, di cui i miurao, timao, valutao attributi dei caratteri. Tali caratteri degli attributi cotituicoo le variabili Ad e: - vitalità di ua piata arborea (morta o viva), attributo qualitativo; - diametro dbh della tea attributo quatitativo. Oguo di tali attributi oervato u u idividuo - cotituice ua oervazioe 7

8 Scale di miura Categorie i cui i pooo claificare gli idividui: I cala cotiua o dicotiua. omiale: Viva Morta (mutualmete ecluive). Ordiale: clae a, b, c o,, (come opra ma ordiate co criterio gerarchico, i cui i umeri hao u valore di rago). Itervallare: dbh 0 9; 0 9 oppure ua data ( 0..0 del mee... (ai raghi viee aociato u cocetto di mutua ditaza, ma maca uo zero aoluto e o i pooo cotruire rapporti di valore) 4. Aoluta o razioale: cotiua ( 0,,,, 4..) Ordiado le categorie e 4 i pooo idividuare ditribuzioi di frequeza (e duque media, mediaa, moda). 8

9 Rilievo completo o campioameto? Si pooo rilevare gli attributi della/e popolazioi d iteree aalizzado tutti gli idividui (ad e. metodo del cotrollo) Precio ma cotoo! i pooo iferire i parametri tatitici degli attributi rilevati i u ottoiieme di idividui (campioe) elezioato co criteri diveri. Richiede preparazioe! Quet ultimo cao è il più frequete per ovvi motivi di coto, tempo, praticità, ecc. 9

10 Alcue defiizioi Si dice uità campioaria ogi elemeto icluo el campioe; lo chema di campioameto o diego campioario è la procedura co cui il campioe è etratto dalla popolazioe; 0

11 Obiettivi del campioameto I geere: quatificare uo o più parametri tatitici della popolazioe attravero ua tima del valore più probabile dell attributo coiderato forire ua idea di quato la tima ia precia e accurata (attedibile o o ditorta) Precio, iaccurato o ditorto STIMATORE o ditorto ma imprecio Precio e accurato Imprecio e ditorto

12 Campioameto Rappreetatività del campioe: la capacità del campioe di rappreetare adeguatamete le caratteritiche della popolazioe cotituedoe ua riproduzioe ridotta ciò implica ua accurata: oggettivo cauale itematico SCELTA DEL CAMPIOE che può avveire i modo

13 CAMPIOAMETO CASUALE

14 Etrazioe di u campioe cauale I ambito ivetariale, le modalità operative per realizzare u campioameto cauale emplice a probabilità cotate pooo eere: ad ogi uità tatitica è aegato u umero campioario e le uità campioarie oo tate elezioate etraedo dei umeri cauali: le uità tatitiche co umeri campioari corripodeti ai umeri cauali etratti oo iclue el campioe; le uità tatitiche oo idetificate i cartografia da ua coppia di coordiate; le uità tatitiche co coordiate corripodeti alle coppie di umeri cauali etratti oo iclue el campioe. Si opera u campioameto a probabilità cotate quado le uità tatitiche hao tutte la medeima probabilità di eere iclue el campioe. Queta probabilità è pari a: Campioameto co reierimeto Campioameto i blocco 4

15 Stimatori campioari Media Lo timatore campioario della media è: i i dove: umeroità campioaria i valore dell attributo della i-eima uità campioaria Variaza Lo timatore campioario della variaza dell attributo è pari a: i ( ) i 5

16 Deviazioe tadard Lo timatore campioario della deviazioe tadard è: i ( ) i Lo timatore campioario del coefficiete di variazioe è: CV che geeralmete è epreo i otazioe percetuale: CV% CV*00 Variaza della media campioaria Lo timatore campioario della variaza della media campioaria el cao di popolazioi ifiite o fiite ma campioate caualmete è pari a: co reierimeto i blocco ( f ) popolazioi fiite popolazioi ifiite 6 (f frazioe di campioameto)

17 Limiti fiduciari della tima campioaria della media I ambito campioario il grado di accuratezza di ua tima o può eere determiato i maiera aoluta, dato che il valore vero del parametro è icogito. E però poibile idividuare u itoro probabile del vero valore della media. Se le medie campioarie otteibili da tutti i campioi di umeroità >50 teoricamete etraibili da ua data popolazioe pooo eere empre coiderate come ditribuite ormalmete itoro al loro valore atteo, allora è poibile affermare che: il 95% delle medie campioarie cade ell itervallo il 99% delle medie campioarie cade ell itervallo µ ±. 96σ µ ±. 58σ σ Dove rappreeta la deviazioe tadard della ditribuzioe delle medie campioarie. 7

18 Ovviamete, e dalla popolazioe viee etratto olamete u campioe, come avviee ella pratica ivetariale, il valore timato della media campioaria riulterà dicoto da µ di ua quatità icogita. Eedo però oto che il 95% di tutte le poibili medie campioarie è compreo ell itervallo µ ±. 96σ e adottado come timatore di σ, l itervallo ell ambito del quale, el 95% dei cai, dovrebbe ricadere la media vera µ può eere timato pari a: ±. 96 dove e oo determiati ulla bae del igolo campioe etratto. Aalogamete, l itervallo ell ambito del quale, el 99% dei cai dovrebbe ricadere la media vera µ può eere timato pari a: ±. 58 I uddetti itervalli oo chiamati itervalli fiduciari della media campioaria. 8

19 Coiderado ache i campioi di umeroità <50, la tima dell itervallo fiduciario della media campioaria ad u dato livello di igificatività tatitica può eere geeralizzata ecodo la formula: t ± ( ; α ) Dove t( ; α ) è il valore critico del t di Studet, tabilito i corripodeza del precelto livello di igificatività tatitica -a e i corripodeza degli - gradi di libertà di, dove è la umeroità del campioe. 9

20 Valore totale Lo timatore campioario del valore totale è pari a: X el cao di ivetari u ampie uperfici co aree campioe ordiarie di uperficie uitaria pari ad a, eedo circa pari a A/a (dove A è la uperficie totale della popolazioe coiderata), la precedete formula può eere eprea ella formula: A X a Lo timatore campioario della variaza del valore totale è pari a: o, e il campioameto è tato codotto u aree campioe di uperficie uitaria pari ad a: A a poto cha A ia ota eza errore. L itervallo fiduciario della tima di X è pari a X ± t o, e il campioameto è tato codotto u aree campioe di uperficie uitaria pari ad a: A X ± t 0 a ( )

21 Scelta della umeroità del campioe A parità di altre codizioi, tato più umeroo è il campioe, tato maggiore è la preciioe della tima. Dimeioare la umeroità del campioe igifica duque prefiare la preciioe delle time che i voglioo otteere i modo che iao caratterizzate da u errore di campioameto o uperiore alla oglia maima tollerata ec 0 : dove: t ec 0 0 valore preuto della deviazioe tadard dell attributo ella popolazioe coiderata. t valore critico del t di Studet corripodete al precelto livello di icurezza tatitica e agli appropriati gradi di libertà.

22 La uddetta formula può ache eere eprea ecodo la otazioe percetuale: 0 tcv % ecp 0 dove: CV% valore preuto del coefficiete di variazioe, epreo i termii percetuali, dell attributo ella popolazioe coiderata; ecp 0 errore percetuale maimo tollerato, dato dal rapporto percetuale tra il valore maimo tollerato dell errore di campioameto e la media campioaria. Dall eame delle uddette formule, i rileva che il dimeioameto tatitico del campioe può eere operato olamete tabiledo a priori il valore di, cioè avedo a dipoizioe iformazioi prelimiari ulla variabilità dell attributo oggetto di tima. I altre parole, i valori di vao idividuati tramite u campioameto prelimiare, detto campioameto pilota.

23 Il valore di t da ierire elle formule del dimeioameto campioario può eere deuto dalle tavole del t di Studet, i prima approimazioe i corripodeza di pil - gradi di libertà, dove pil è il umero di oervazioi del campioe pilota. Per idividuare più correttamete u valore di t eattamete commiurato alla dimeioe umerica del campioe defiitivo, i gradi di libertà di t pooo eere determiati co procedimeto iterativo.

24 Oervazioi ul dimeioameto campioario Il dimeioameto della umeroità del campioe coduce olamete a ua tima del umero miimo di uità campioarie eceario per coteere l icertezza campioaria etro ua data oglia maima tollerata. A eempio, defiedo la umeroità del campioe a u livello di icurezza tatitica del 95% eiterà empre poibilità u 0 che il campioe etratto forica ua tima del parametro di iteree al di fuori dell itervallo fiduciario maimo tollerato, ache e la umeroità del campioe ia tata, per ipotei, eattamete quatificata ulla bae del valore vero della variaza dell attributo oggetto di iteree ella popolazioe coiderata. 4

25 Vataggi e vataggi del campioameto cauale Vataggi Svataggi ripetta il requiito fodametale degli chemi di campioameto probabilitico, ovvero l etrazioe delle uità campioarie è codotta co criteri di pura caualità; permette di variare i ogi mometo, quado e e preetio le eceità e le codizioi, la umeroità del campioe; permette di dimeioare il campioe i modo da otteere la preciioe di tima deiderata. il campioameto cauale emplice può comportare il richio di o teere coto i modo adeguatamete uiforme di tutta la popolazioe (alcue parti della popolazioe pooo riultare iteamete campioate, altre o campioate affatto). Per tale motivo il campioameto cauale emplice è affidabile oprattutto quado la popolazioe è relativamete omogeea; ell ivetariazioe delle riore foretali la dilocazioe delle uità campioarie riulta alquato oeroa e diagevole, oprattutto e cofrotata co quella di u campioameto di tipo itematico. 5

26 CAMPIOAMETO SISTEMATICO 6

27 Si coideri ua popolazioe le cui uità i preetao ordiate ecodo u qualche criterio (ad eempio, ecodo ua eriazioe paziale o temporale). Se, per otteere da quella popolazioe u campioe di ua data umeroità, i etrae la prima uità campioaria caualmete e le altre oo ivece celte a itervalli regolari a partire dalla prima uità etratta i realizza u campioameto coiddetto itematico. 7

28 Etrazioe di u campioe itematico Aumedo che le uità tatitiche di ua popolazioe iao dipote i equeza e umerate da a e che ia defiito u itervallo di campioameto Y (<), cegliedo u umero k, compreo tra e, che idividua la prima uità campioaria, il campioe itematico arà cotituito dalle uità umerate co: k, k+y, k+y,...., e k-y, k-y, ecc. A rigore, il umero k deve eere celto i modo completamete cauale, beché ella pratica del rilevameto delle riore foretali viee peo evitata l etrazioe cauale della prima uità campioaria, aumedo che eita ua completa idipedeza tra la localizzazioe delle uità campioarie e le variabili oervate. 8

29 elle applicazioi ivetariali degli chemi di campioameto itematico, le uità campioarie a terra oo i geere cofigurate come trice campioe e oprattutto come aree campioe. ei rilievi codotti u immagii telerilevate vegoo i geere impiegati fototraect (omologhi alle trice campioe) e oprattutto fotoputi. Strice campioe La uperficie da ivetariare viee idealmete uddivia i trice giutappote. Le uità campioarie vegoo precelte a itervalli regolari, cioè ua tricia ogi Y trice. I pratica, i etrae u umero cauale compreo tra e e la tricia corripodete viee celta come uità campioaria iiziale: le altre trice campioe oo elezioate a itervalli regolari, ua ogi Y trice, elle due direzioi a partire dalla tricia campioe iiziale. el cao i cui è coociuto il valore di, ovvero del umero di trice che compoe la popolazioe, i può operare elezioado direttamete la prima tricia campioe, a partire da u dato margie, i corripodeza di u umero cauale compreo tra e Y (queto modo di operare può produrre u leggero otto- o ovracampioameto e o riulta u multiplo eatto di Y). 9

30 Il campioameto itematico a trice è uato egli ivetari delle forete tropicali o comuque dove i hao difficoltà di acceo all itero della foreta. Aree campioe La uperficie da ivetariare viee idealmete uddivia i aree giutappote. Ciacua area può eere rappreetata come ua cella di iterezioe delle righe e delle coloe di u reticolo. Le uità campioarie vegoo precelte a itervalli regolari, cioè u area ogi Y aree ecodo le due dimeioi del reticolo (righe, coloe). L etrazioe delle aree campioe può eere codotta i maiera aaloga a quato decritto per le trice campioe, co la differeza che i queto cao i ha che fare co due dimeioi ivece che co ua. Si etrae u umero cauale compreo tra e r, dove r rappreeta il umero delle righe, e u umero cauale compreo tra e c, dove c rappreeta il umero delle coloe: queti due umeri cauali idetificao l area che viee celta come uità campioaria iiziale. Le altre aree campioe oo quidi elezioate a itervalli regolari, ua ogi Y aree, i ambedue le direzioi (lugo le righe e lugo le coloe) a partire dall area campioe iiziale. 0

31 el cao i cui è coociuto il valore di, ovvero del umero di aree che compoe la popolazioe, e di r e c, i può operare elezioado direttamete la riga della prima area campioe, a partire da u dato margie, i corripodeza di u umero cauale compreo tra e Y e ripetedo la tea operazioe per le coloe (queto modo di operare può produrre u leggero otto- o ovracampioameto e r e/o c o oo multipli eatti di Y).

32 Stimatori campioari Lo timatore campioario della media dell attributo è: i i i dove: umeroità campioaria i valore dell attributo della i-eima uità campioaria o eite ua procedura formalmete valida per la tima della variaza di. Tuttavia, aumedo che l etrazioe itematica abbia prodotto u ordie di elezioe del campioe ufficietemete cauale ripetto alla variabile di iteree, allora, i prima approimazioe, i pooo applicare al campioameto itematico gli tei timatori adottati per il campioameto cauale: i i ( ) i i ( ) i variaza dell attributo deviazioe tadard dell attributo variaza della media campioaria

33 Lo timatore del valore totale è pari a: X i i ( Y) i E la ua variaza può eere timata pari a: i i Se il campioameto è tato codotto u aree campioe di uperficie uitaria pari a a, eedo circa pari a A/a (dove A è la uperficie totale coiderata, ota eza errore) i ha che: X A a i i A a i i

34 Dimeioameto di u campioe itematico o eitoo metodi eatti per ottimizzare la celta della umeroità di u campioe itematico al fie di o uperare ua data oglia dell errore di campioameto. Tuttavia, el cao di bae frazioi di campioameto, quali quelle che geeralmete caratterizzao le applicazioi ivetariali, tale umeroità può eere oddifacetemete tabilita facedo riferimeto alle procedure di dimeioameto dei campioi cauali: dove: t ec 0 0 valore preuto della deviazioe tadard dell attributo ella popolazioe coiderata. t valore critico del t di Studet corripodete al precelto livello di icurezza tatitica e agli appropriati gradi di libertà. Si defiice frazioe di campioameto il rapporto tra la umeroità delle uità campioarie e la 4 umeroità compleiva degli elemeti (uità tatitiche) della popolazioe.

35 Vataggi e vataggi del campioameto itematico l idetificazioe delle uità campioarie è molto più agevole ripetto a u campioameto cauale; Vataggi ella gra parte delle ituazioi e a parità di altre codizioi, il campioameto itematico forice time più accurate ripetto a quello cauale: o vi è alcua poibilità che ampie porzioi omogeee della popolazioe o vegao rappreetate da almeo qualche uità campioaria; la regolarità della ditribuzioe delle uità campioarie facilita l impiego dei dati raccolti ai fii di ua loro evetuale pazializzazioe. Svataggi il campioameto itematico può comportare il richio che l itervallo di campioameto coicida co evetuali fluttuazioi periodiche dei valori dell attributo oggetto di tima; impoibilità di iferire i modo corretto la variaza della popolazioe da quella del campioe: i pooo duque otteere olamete valori approimati dell errore di campioameto; ua volta ultimato il campioameto o è poibile aggiugere uove uità campioarie, a meo di o procedere e ovo al campioameto teo; pooo verificari, pecialmete i popolazioi piccole, ituazioi di ovra- o otto-campioameto ripetto a quato pretabilito. 5

36 ESERCIZI CAMPIOAMETO CASUALE E CAMPIOAMETO SISTEMATICO 6

37 ESERCIZIO Da ua popolazioe cotituita da 00 uclei familiari viee etratto, co campioameto cauale emplice, u campioe di 0 famiglie. Per ciacua famiglia campioe viee tabilito il umero di compoeti familiari: Famiglia campioe umero di compoeti Determiare il umero medio di peroe per ucleo familiare e la variaza dello timatore adottato;. Determiare il umero totale di peroe che compogoo la popolazioe e la variaza dello timatore adottato;. Determiare i limiti fiduciari della media campioaria ad u livello di icurezza tatitica del 90%. 7

38 Svolgimeto dell eercizio Il umero medio di peroe che compogoo u ucleo familiare può eere timato per mezzo dello timatore: i i dove: umeroità campioaria i valore dell attributo della i-eima uità campioaria i i. 8

39 Trattadoi di ua popolazioe fiita (00) e di u campioameto i blocco, il valore della variaza dello timatore adottato (variaza della media campioaria) viee timato per mezzo della formula: Dove la variaza campioaria è: i ( ) i (.) (5.) 9...(.).88 Il umero totale di peroe della popolazioe di 00 famiglie è: X co variaza è pari a: X 00 *

40 Aumedo u livello di icurezza tatitica pari al 90% ed eedo la umeroità campioari < 50, i limiti fiduciari della media campioaria oo pari a: ± t( ; α ).± Cioè i può affermare, co il richio di bagliare 0 volte u 00, che:.4 < µ <.85 40

41 ESERCIZIO Ai fii della tima del vero peo di ua otaza vegoo effettuate peate: Peata campioe Peo regitrato (kg) Determiare la media e la variaza campioaria, il valore della variaza della media campioaria e i limiti fiduciari della media campioaria ad u livello di icurezza tatitica del 95%. 4

42 Svolgimeto dell eercizio Il valore della media campioaria può eere timato per mezzo dello timatore: i i dove: umeroità campioaria i valore dell attributo della i-eima uità campioaria i i.569 Il valore della variaza campioaria può eere timato per mezzo dello timatore: i ( ) i ( ) ( ) 0...( )

43 Il valore della variaza della media campioaria può eere timato per mezzo dello timatore (aimilabile a u campioameto co reierimeto): Aumedo u livello di icurezza tatitica pari al 95% ed eedo la umeroità campioari < 50, i limiti fiduciari della media campioaria oo pari a: ± t( ; α ).569 ± Cioè i può affermare, co il richio di bagliare 5 volte u 00, che:.5540 < µ <.589 4

44 ESERCIZIO Ai fii della tima della provvigioe legoa media e della provvigioe legoa totale di u oprauolo di catago eteo u 90 ettari, viee eeguito u rilievo diretto u 5 aree circolari campioe di 0. ettari ciacua, ditribuite caualmete. I dati derivati dalle operazioi di campo oo: Area campioe m Determiare, oltre alla provvigioe legoa media e alla provvigioe legoa totale, i ripettivi limiti fiduciari aumedo u livello di icurezza tatitica del 95%. 44

45 Svolgimeto dell eercizio Il valore della provvigioe legoa media può eere timato per mezzo dello timatore: i i dove: umeroità campioaria i valore dell attributo della i-eima uità campioaria i i 5. Il valore della provvigioe legoa totale può eere timato per mezzo dello timatore: X A a

46 I limiti fiduciari della tima della provvigioe legoa media, co u livello di icurezza tatitica del 95%, oo: ± t ( ; α ) 5.± ± dove la variaza campioaria è: i ( ) i (4.7 5.) (.9 5.) 4...(5.9 5.) 0.07 I limiti fiduciari della tima della provvigioe legoa totale, co u livello di icurezza tatitica del 95%, oo: A a t ± A a ( ; α ) 5. ± ±

47 ESERCIZIO 4 U ricercatore botaico deidera timare il umero di piate di faggio all itero di u area di tudio. L area di tudio è tata uddivia i 000 plot. Da ua precedete eperieza, riulta che la variaza del umero di futi per plot è di 45. Utilizzado u campioameto cauale emplice, quale dimeioe campioaria dovrebbe eere utilizzata per timare il umero totale di piate ammettedo u errore di campioameto maimo pari a 500 futi e u livello di icurezza tatitica del 95%? E co u errore di campioameto maimo di 000 futi? 47

48 Svolgimeto dell eercizio 4 La dimeioe campioaria che dovrebbe eere utilizzata per timare il umero totale di piate ammettedo u errore di campioameto maimo pari a 500 futi e u livello di icurezza tatitica del 95% è data da: t ec Valore del t di Studet per ifiiti gradi di libertà Aalogamete, la dimeioe campioaria che dovrebbe eere utilizzata per timare il umero totale di piate ammettedo u errore di campioameto maimo pari a 000 futi e u livello di icurezza tatitica del 95% è data da: t ec

49 ESERCIZIO 5 Determiare il umero di uità campioarie ecearie per otteere ua tima dell idice di riovazioe i u popolameto di cerro di ha, ammettedo u errore di campioameto o uperiore al 5% della media (ecp 0 5) a u livello di icurezza tatitica del 95%. Tramite u campioameto pilota cauale di 0 areole, la media dell idice di riovazioe è timata i via prelimiare pari a.5 m e la variaza pari ad.5 m. 49

50 Svolgimeto dell eercizio 5 La popolazioe oggetto di campioameto (uità tatitiche areole di m ) è aimilabile a ua popolazioe ifiita. Duque: 0 tcv % ecp 0 Dato che il valore critico di t dipede dai gradi di libertà della media, i quali a loro volta dipedoo da 0, u eatta tima di 0 può eere deuta iterativamete. U primo valore approimato di t può eere deuto i corripodeza di u umero di gradi di libertà pari a pil - (9), cioè t.09 (tet a due code). Allora, ua prima tima della umeroità del campioe riulta pari a:.5 CV % *00 * t CV % ecp

51 Il valore di t appropriato per 45 gradi di libertà è pari a.0. Immettedo queto valore di t ella formula precedete, i ha: t CV % ecp Eedo il valore critico di t corripodete a 4 gradi di libertà uguale al valore di t ierito ella formula precedete, la dimeioe umerica 44 è quella da adottare per il campioameto defiitivo. Dato che el campioameto pilota oo tate già rilevate 0 areole, retao duque da etrarre caualmete e da miurare altre 4 areole campioe. 5

52 CAMPIOAMETO STRATIFICATO 5

53 Il campioameto tratificato coite ella uddiviioe della popolazioe i ottopopolazioi omogeee, dette trati, e ell etrazioe delle uità campioarie idipedetemete da ciacuo trato. Se gli trati oo cofigurati i modo tale da riultare al loro itero più omogeei dell itera popolazioe, è poibile ridurre i coti del rilevameto eza ridurre la preciioe delle time o, aalogamete, a parità di coti, è poibile otteere ua preciioe di tima igificativamete maggiore ripetto a u campioameto emplice. 5

54 Etrazioe di u campioe tratificato Ai fii dell etrazioe di u campioe tratificato, i procede a:. uddividere la popolazioe i trati, ciacuo di uità, i modo che: M dove: umeroità della popolazioe M umero di trati gli trati oo cotituiti da porzioi di popolazioe più omogeei al loro itero, ei riguardi dell attributo oggetto di iteree, di quato o lo ia la popolazioe ella ua iterezza.. Etrarre u certo umero di uità campioarie idipedetemete da ciacuo trato, cioè co modalità ache divere da trato a trato. 54

55 La variaza dei valori di u attributo i ua popolazioe tratificata può eere iterpretata come omma di due compoeti: la prima deriva dalle differeze tra i valori delle medie a livello di igoli trati; la ecoda, dalle differeze tra i valori delle igole uità campioarie di ciacuo trato e la media dello trato teo. Lo copo della tratificazioe è quello di otteere ua variaza tra gli trati relativamete alta e ua variaza etro gli trati relativamete baa. Il campioameto tratificato riulta efficace e i coocoo le preute caue pricipali di variabilità dell attributo oggetto di iteree ella popolazioe coiderata, di modo che la uddiviioe i trati poa eere tabilita i accordo al preumibile patter di variabilità dell attributo teo. A eempio, il campioameto tratificato può riultare utile qualora i debba timare la provvigioe di u boco ed è poibile ditiguere per fotoiterpretazioe oprauoli co evideti differeze di grado di copertura e di altezza. 55

56 Stime per igolo trato Lo timatore del valore medio el -eimo trato è pari a: J i i dove: i valore dell attributo ell i-eima uità campioaria del -eimo trato umero di uità campioarie el -eimo trato Lo timatore della variaza del valor medio el -eimo trato è pari a: Etrazioe co rimea i dove: timatore della variaza di el -eimo trato i i ( ) i Etrazioe i blocco i umero di uità tatitiche el -eimo trato umero di uità campioarie el -eimo trato 56

57 Lo timatore del valore totale dell attributo el -eimo trato è pari a: X Eedo pari circa a A /a : X A a dove: A uperficie del -eimo trato ota eza errore; a uperficie dell area campioe, ota eza errore. La variaza è timata pari a: X 57

58 58 Stime compleive Lo timatore della media (media poderata) dell attributo ella popolazioe è pari a: M ST M ST A A e la dimeioe degli trati è eprea i termii di uperficie: dove: A uperficie del -eimo trato ota eza errore; A uperficie totale della popolazioe, ota eza errore. Lo timatore della variaza di è pari a: ST M ST M ST A A o

59 Lo timatore del valore totale dell attributo ella popolazioe è pari a: X ST ST Aalogamete, eedo circa pari a A/a (dove a è la uperficie delle uità campioarie eprea ella tea uità di miura di A), i ha che: X A a ST ST Lo timatore della variaza di X ST è pari a: S X ST ST el cao che le uità campioarie iao rappreetate da aree di uperficie a, i ha: S X A a ST ST 59

60 DIMESIOAMETO DI U CAMPIOE STRATIFICATO ell ambito dell applicazioe di u campioameto tratificato, il dimeioameto del campioe avviee i tre pai ucceivi:. defiizioe della frazioe W di uità campioarie da allocare i ciacuo trato;. calcolo della umeroità campioaria compleiva;. calcolo della umeroità del campioe per ciacuo trato. 60

61 . Defiizioe della frazioe W di uità campioarie per ciacuo trato Eitoo differeti metodi per defiire la frazioe W di uità campioarie da allocare i ciacuo trato: ripartizioe oggettiva: la ditribuzioe umerica delle uità campioarie viee tabilita oggettivamete dall operatore; l uico vicolo da ripettare è che M W ; ripartizioe uiforme: la ditribuzioe delle uità campioarie egli M trati è paria a: W /M. Tale approccio viee adottato quado gli trati hao approimativamete la tea ampiezza e ia il coto di campioameto per uità campioaria ia la variaza dell attributo oggetto di iteree o differicoo igificativamete da trato a trato e i deidera otteere la medeima preciioe di tima i tutti gli trati; ripartizioe proporzioale: la ripartizioe ei igoli trati viee tabilita i modo proporzioale alla loro dimeioe: W / o, aalogamete, W A /A. Tale approccio viee adottato quado gli trati hao ampiezza differete tra loro, ma il coto di campioameto per uità campioaria è più o meo uguale i tutti gli trati, oppure quado poco i a riguardo alla variaza dell attributo oggetto di iteree e al coto di campioameto per uità campioaria ei vari trati; 6

62 ripartizioe di eyma: il umero di uità campioarie etratto el -eimo trato è proporzioale alla deviazioe tadard ello trato e poderato ripetto alla dimeioe dello trato teo: W M o, aalogamete, W M A A Co queto tipo di ripartizioe, tato maggiore è la variabilità dell attributo eamiato i dato trato, tato maggiore è, i termii relativi, il umero di uità campioarie i eo da allocare. Ovviamete, la variabilità all itero degli trati viee valutata a priori mediate u campioameto pilota o co valutazioi oggettive e l efficacia della ripartizioe dipede dalla corripodeza tra la realtà e quete valutazioi. ripartizioe ottima: tiee coto ia della dimeioe, ia della variabilità dell attributo oggetto d iteree che dei coti ei igoli trati: W M / c / c o, aalogamete, W M A A / c / c 6

63 Queto tipo di ripartizioe è efficace quado i coti uitari di campioameto variao igificativamete da trato a trato ed è perciò coveiete limitare al maimo il umero di uità campioarie egli trati ove la realizzazioe è più cotoa. Ovviamete, la variabilità e il coto all itero degli trati viee valutata a priori mediate u campioameto pilota o co valutazioi oggettive e l efficacia della ripartizioe dipede dalla corripodeza tra la realtà e quete valutazioi. 6

64 . umeroità del campioe A ecoda degli obiettivi, la umeroità campioaria compleiva può eere tabilita co riferimeto al umero di oervazioi eceario a coteere l errore di campioameto etro ua data oglia maima tollerata oppure co riferimeto al umero di oervazioi eceario a coteere il coto totale del campioameto etro u livello maimo prefiato.. umeroità del campioe i fuzioe della preciioe di tima 0 t M M ec 0 + t ST W umero di oervazioi eceario a coteere l errore di campioameto della media poderata etro ua data oglia maima ec 0 Xt 0 t M M ec 0 + t ST W umero di oervazioi eceario a coteere l errore di campioameto del valore totale etro ua data oglia maima ec 0 Xt 64

65 . umeroità del campioe i fuzioe del coto totale 0 C0 c f W c M dove: C 0 coto maimo prefiato; c f coti fii del campioameto; c coto medio di campioameto per uità campioaria el -eimo trato.. umeroità del campioe ei igoli trati La umeroità campioaria i ciacuo trato è pari a: 0 0 W 65

66 POST-STRATIFICAZIOE ella pratica ivetariale può accadere che, pur potedo defiire a priori le caratteritiche degli trati, o è poibile o o è coveiete procedere alla tratificazioe della popolazioe oggetto di iteree. I queti cai i può procedere operado dapprima u campioameto itematico emplice, avedo l accortezza di regitrare, el coro del rilievo i campo, a quale trato appartiee ciacua uità campioaria, i modo da potere eeguire ucceivamete ua pot-tratificazioe della popolazioe e applicare gli timatori del campioameto tratificato. Coì facedo i può otteere la tea preciioe di tima del campioameto tratificato co ripartizioe proporzioale, purché il campioe ia ufficietemete grade, come i geere avviee elle applicazioi di ivetariazioe delle riore foretali. 66

67 Vataggi e vataggi del campioameto tratificato a parità di preciioe di tima, richiede ua umeroità campioaria iferiore ripetto al campioameto emplice; Vataggi quado l attributo di iteree preeta ua importaza divera ei differeti trati (a eempio quado i eegue i ivetario a fii produttivi e le varie parti del territorio preetao oprauoli foretali di divero valore commerciale) è poibile icremetare la preciioe di tima egli trati di maggiore importaza; Svataggi può o eere emplice riucire ad aegare ciacua uità tatitica ad u uico trato; la dimeioe degli trati deve eere ota a priori co eattezza: ell ivetariazioe delle riore foretali u vate uperfici tale quatificazioe riulta peo problematica. 67

68 ESERCIZI CAMPIOAMETO STRATIFICATO 68

69 ESERCIZIO Ua popolazioe di 450 uità tatitiche è tata uddivia i tre trati cotituiti ripettivamete da 00, 50 e 00 uità. Da ciacuo trato vegoo etratte 50 uità campioarie. Il valor medio e la variaza oervati ei differeti trati oo: STRATO STRATO STRATO Qual è il valor medio dell itera popolazioe? Svolgimeto dell eercizio Il valor medio dell itera popolazioe può eere timato come: ST M

70 ESERCIZIO Ua cerreta etea u 50 ha viee divia i tre trati di differete età, di eteioe pari a 5 ha, 75 ha e 50 ha. el primo trato vegoo eeguiti rilievi diretti u 5 aree campioe, el ecodo trato u 5 e el terzo u 0. La uperficie uitaria delle aree campioe è pari a 0.05 ha. I valori di maa legoa oervati elle aree campioe oo riportati i tabella: AREA CAMPIOE STRATO m STRATO m STRATO m Determiare il valore della provvigioe legoa ei igoli trati e quello dell itera foreta. 70

71 Svolgimeto dell eercizio Il valore totale della provvigioe legoa ei tre trati viee timato co la formula: X A a dove: A uperficie del -eimo trato ota eza errore; a uperficie dell area campioe, ota eza errore. valore medio dell attributo el -eimo trato. Quidi, eedo il valor medio della provvigioe legoa ei igoli trati pari a: J i i dove: i valore dell attributo ell i-eima uità campioaria del -eimo trato umero di uità campioarie el -eimo trato Si ha:

72 Pertato, il valore totale della provvigioe legoa ei tre trati è: A 5 X a 0.05 m A 75 X a 0.05 m A 50 X a 0.05 m Il valore totale della provvigioe legoa della foreta è: X A a ST ST dove: A uperficie della foreta, ota eza errore; a uperficie dell area campioe, ota eza errore. ST valore medio dell attributo della popolazioe. 7

73 Eedo il valor medio della provvigioe dell itera foreta pari a: ST M A A dove: A uperficie del -eimo tato, ota eza errore; A uperficie della foreta; valore medio dell attributo el -eimo trato. Il valore totale della provvigioe legoa della foreta è: A 50 X ST ST 5.6 a m 7

74 ESERCIZIO Ua faggeta etea u 5 ha viee divia i due trati di differete età, di eteioe pari a 00 ha e 5 ha. el primo trato vegoo eeguiti rilievi diretti u 0 aree campioe, el ecodo trato u 5. La uperficie uitaria delle aree campioe è pari a 0.0 ha. I valori di maa legoa oervati elle aree campioe oo riportati i tabella: AREA CAMPIOE STRATO m STRATO m Determiare il valore della provvigioe legoa ei igoli trati, quello dell itera foreta e le ripettive variaze. 74

75 Svolgimeto dell eercizio Il valore totale della provvigioe legoa ei due trati viee timato co la formula: X A a dove: A uperficie del -eimo trato ota eza errore; a uperficie dell area campioe, ota eza errore. valore medio dell attributo el -eimo trato. Quidi, eedo il valor medio della provvigioe legoa ei igoli trati pari a: J i i dove: i valore dell attributo ell i-eima uità campioaria del -eimo trato umero di uità campioarie el -eimo trato Si ha:

76 Pertato, il valore totale della provvigioe legoa ei due trati è: A 00 X a 0.0 m A 5 X. 065 a 0.0 m Co variaza pari a : X A a dove,variaza del valor medio el -eimo trato è pari a: dove: timatore della variaza di el -eimo trato i i ( ) i 76

77 Quidi: ( i ) ( 4 7.) ( 6 7.)...( 9 7.) i ( i ) ( 5.) (.)...(.) i variaza dell attributo egli trati variaza del valor medio dell attributo egli trati A 00 X 0.4 a 0.0 A 5 X.64 a ( m ) ( m ) variaza del valore totale dell attributo egli trati 77

78 Il valore totale della provvigioe legoa della foreta è: X A a ST ST dove: A uperficie della foreta, ota eza errore; a uperficie dell area campioe, ota eza errore. ST valore medio dell attributo della popolazioe. Eedo ST,valore medio dell attributo della popolazioe pari a: ST M A A dove: A uperficie del -eimo trato ota eza errore; A uperficie totale della popolazioe, ota eza errore. ST Si ha che il valore totale della provvigioe legoa della foreta è: A 5 X ST ST 4.98 a m 78

79 Co variaza pari a: A 5 X 0.08 ST a ST ( m ) Dove ST, è lo timatore della variaza del valor medio dell attributo ella popolazioe: M A 00 5 ST A ( m ) 79

80 ESERCIZIO 4 Ai fii della tima della provvigioe legoa di ua comprea di faggio etea u 50 ha, viee effettuata ua uddiviioe della foreta i tre trati: faggeta dea (5 ha), faggeta rada (75 ha), faggeta molto rada (50 ha). Da u campioameto pilota codotto u aree campioe di 0. ha, la variaza della maa legoa el primo trato riulta pari a 85 (m ), el ecodo trato pari a 96 (m ), el terzo trato pari a 0 (m ). Il coto di realizzazioe di u area campioe el primo trato riulta pari a circa u terzo di quello del terzo trato, e a circa due terzi di quello del ecodo trato. Determiare la ripartizioe delle uità campioarie ecodo i egueti approcci: -uiforme; -proporzioale; -di eyma; -ottimale. 80

81 Svolgimeto dell eercizio 4 Ripartizioe uiforme delle uità campioarie: W,W,W /0.; Ripartizioe proporzioale delle uità campioarie: W A /A5/500.5; W A /A75/500.; W A /A50/500.; Ripartizioe di eyma delle uità campioarie: W M A A W M A A

82 M A A W Ripartizioe ottima delle uità campioarie: / / / / 5 / / M c A c A W / / / / 75 / / M c A c A W / / / 5 0 / 50 / / M c A c A W

83 CAMPIOAMETO MULTISTADIO 8

84 el cao di rilevameto campioario delle riore foretali u territori molto vati o quado la popolazioe oggetto di idagie è caratterizzata da cara acceibilità, uo chema di campioameto utilizzabile è rappreetato dal campioameto multitadio. Etrazioe di u campioe multitadio La procedura di etrazioe di u campioe multitadio i cofigura come egue:. i uddivide la popolazioe i u umero relativamete grade di ottopopolazioi, dette uità primarie (M);. i etrae u campioe cauale di uità primarie (m);. le uità primarie campioe vegoo a loro volta uddivie i ottoiiemi più piccoli, detti uità ecodarie (); 4. i etrae u campioe cauale di uità ecodarie i ciacua uità primaria campioe (); 5. i ripete il procedimeto opra decritto per qualivoglia umero di tadi (uità terziarie..ecc); 6. il rilevameto dell attributo oggetto di iteree viee codotto ulle uità elezioate 84 ell ambito dell ultimo tadio.

85 I ambito ivetariale raramete i ricotrao cai di campioameto co u umero di tadi uperiore a tre. Per aumetare la preciioe di tima le uità primarie devoo eere tali da preetare al loro itero ua variabilità dell attributo oggetto di iteree elevata. Tuttavia, eedo le uità primarie cotituite da elemeti fiicamete vicii, di coegueza tedoo ad avere caratteritiche imili. Pertato, di orma, il umero delle uità primarie dovrebbe eere elevato e di dimeioe ridotta. La celta delle modalità di etrazioe delle uità campioarie può variare da tadio a tadio. A eempio, i vataggi di u campioameto itematico delle uità campioarie o oo ugualmete importati i tutti gli tadi: i u campioameto a due tadi i cui le uità primarie iao rappreetate da quadrati di km di lato e le uità ecodarie da trice di km di lughezza e 0 m di larghezza, la elezioe cauale delle uità ecodarie i ciacua uità primaria o comporta u igificativo icremeto dei coti di acceo ripetto a ua elezioe itematica. 85

86 STIMATORI PER CAMPIOAMETO A DUE STADI I ambito ivetariale, l applicazioe più frequete del campioameto multitadio è quello a due tadi, al quale faremo qui riferimeto. Il cao più comue di campioameto a due tadi è quello i cui ia le uità primarie campioe ia le uità ecodarie campioe oo etratte caualmete e la probabilità di elezioe, ell ambito di uo teo tadio, è la medeima per tutte. umeroità della popolazioe icogita La tima della media campioaria è pari a: DSr m m dove: i i è lo timatore della media dell attributo ella -eima uità primaria campioe; i valore dell attributo ella i-eima uità ecodaria campioe della -eima uità primaria campioe; umero totale di uità ecodarie ella -eima uità primaria campioe; umero di uità ecodarie campioe ella -eima uità primaria campioe. m umero di uità primarie campioe 86

87 La variaza della media campioaria può eere timata pari a: ( ) m m DSr ( M m) + m DSr up Mm ( ) dove: timatore della variaza dell attributo ella -eima uità primaria campioe; M umero totale di uità primarie; up umero medio di uità ecodarie elle uità primarie campioe, m umero di uità primarie campioe. Ovviamete, el cao i cui le uità ecodarie iao rappreetate da aree, gli timatori della media campioaria e della ua variaza oo riferiti alla uperficie di tali aree. 87

88 Lo timatore del valore totale dell attributo ella popolazioe è pari a: m M X DS m MX up dove X up è la media del valore totale dell attributo elle uità primarie campioe La variaza di X DS può eere timata pari a: X ( X X ) m M up ( ) M m + m m m DS ( ) La variaza di X up può eere timata pari a: X up ( M m) m ( X X ) m up M + m ( ) 88

89 89 umeroità della popolazioe ota ( ) ( ) + m m DS m M m M m M DS Lo timatore del valore totale dell attributo ella popolazioe è pari a: Co variaza timata pari a: DSr m m DS X r X DSr DSr X la tima della media campioaria è pari a: co variaza paria a: m M m DS ota la umeroità della popolazioe,

90 Dimeioameto di u campioe a due tadi Ache el cao più emplice di campioameto a due tadi occorre tabilire ia il umero di uità primarie campioe, ia il umero di uità ecodarie campioe eceari per coteere l errore o i coti di campioameto etro la oglia maima tollerata. Il dimeioameto dovrà duque prevedere:. defiire tutte le poibili modalità operative di uddiviioe della popolazioe i uità primarie;. per ciacua modalità di uddiviioe, determiare la combiazioe ottimale della dimeioe campioaria delle uità primarie e delle uità ecodarie, comparado la preciioe o i coti otteuti dalle varie combiazioi poibili;. elezioare la uddiviioe ottimale, comparado la preciioe o i coti relativi alle combiazioi ottimali otteute da ciacu tipo di uddiviioe. el cao di u campioameto a due tadi, a parità di altri fattori, la preciioe e il coto di campioameto tedoo a crecere all aumetare del umero di uità primarie e al decrecere del umero di uità ecodarie. 90

91 Il coto totale di u campioameto a due tadi è dato da: C0 c + cm + c f u m dove: c f coti fii; c coto medio (per uità primaria) di acceo alle uità primarie campioe; c coto medio di acceo (ua volta raggiuta l uità primaria) e rilevameto per ciacua uità ecodaria campioe; u umero medio di uità ecodarie campioe elle uità primarie campioe. Stabilito il coto totale C o, il umero ottimale di uità primarie potrà eere timato, i prima approimazioe, pari a: m 0 c C 0 + c c f dove: u 0 u 0 c c M M X M M co variaza preuta dei valori totali delle uità primarie. Ovviamete i valori preuti di, X, c f, c, c, devoo eere tabiliti a priori ulla bae di u campioe pilota. 9

92 Vataggi e vataggi del campioameto multitadio Vataggi Il campioameto multitadio riulta vataggioo quado ia il campioameto emplice che quello tratificato arebbero troppo oeroi a caua dell alto coto di acceo alle uità campioarie o quado la variabilità tra le uità primarie è relativamete baa ripetto a quella etro le uità primarie. Tato più ampia e tato meo acceibile è la uperficie da ivetariare, tato maggiore è la vataggioità di queto tipo di campioameto. Il campioameto multitadio può duque eere adottato vataggioamete ogi qualvolta i debbao ivetariare popolazioi di dimeioi molto ampie: i queti cai, ifatti, può riultare troppo laborioo e/o troppo cotoo l iquadrameto di tutti i igoli elemeti della popolazioe ed è più agevole cocetrare i rilevameti etro alcue determiate porzioi di territorio. Svataggi Il raggruppameto paziale delle uità di campioameto comporta, i geere, ua riduzioe, a parità di altre codizioi, della preciioe delle time ripetto a u campioameto cauale emplice: maggiore è la variabilità tra le uità primarie, maggiore è tale riduzioe 9

93 ESERCIZI CAMPIOAMETO MULTISTADIO 9

94 ESERCIZIO Ua popolazioe viee divia i 0 uità primarie, ciacua delle quali coite di 6 uità ecodarie. Dalle 0 uità primarie vegoo etratte, co campioameto cauale emplice eza reierimeto, uità primarie campioe e, dalle 6 uità ecodarie di ciacua uità primaria campioe, vegoo elezioate, acora co campioameto cauale emplice eza reierimeto, uità ecodarie campioe. I valori della variabile d iteree oervati ulle uità ecodarie campioe della prima uità primaria campioe oo: 7, 5, ; quelli oervati ulle uità ecodarie campioe della ecoda uità primaria campioe oo: 4,,. Stimare il valor medio della popolazioe e la variaza dello timatore adottato. 94

95 Svolgimeto dell eercizio Dato che la umeroità della popolazioe è icogita, lo timatore del valor medio della popolazioe è: dove: i i DSr m m è lo timatore della media dell attributo ella -eima uità primaria campioe; i valore dell attributo ella i-eima uità ecodaria campioe della -eima uità primaria campioe; umero totale di uità ecodarie ella -eima uità primaria campioe; umero di uità ecodarie campioe ella -eima uità primaria campioe. Quidi: i i i i 5 DSr m m

96 96 La variaza dello timatore è pari a: ( ) ( ) ( ) up m m DSr Mm m m M DSr + dove: timatore della variaza dell attributo ella -eima uità primaria campioe; M umero totale di uità primarie; umero medio di uità ecodarie elle uità primarie campioe, m umero di uità primarie campioe. up Lo timatore della variaza dell attributo ella -eima uità primaria campioe è: ( ) i i quidi: ( ) ( ) ( ) ( ) i i ( ) ( ) ( ) ( ) i i

97 97 Pertato, la variaza dello timatore del valor medio della popolazioe è pari a: ( ) ( ) ( ) up m m DSr Mm m m M DSr + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DSr

98 ESERCIZIO Si voglia timare la maa legoa di u rimbochimeto di pio ero mediate u campioameto cauale emplice a due tadi (eza reierimeto). Il rimbochimeto viee uddivio i 5 uità primarie. Mediate campioameto cauale emplice eza reierimeto, vegoo etratte uità primarie campioe e per ciacua di quete uità ecodarie campioe, idividuate acora co etrazioe cauale emplice, ulle quali vegoo codotte le miure a terra. Il umero di uità ecodarie e i valori di maa legoa oervati elle uità ecodarie campioe delle uità primarie campioe oo: UITA I CAMPIOE J J J J Determiare il valore totale della provvigioe legoa del rimbochimeto e la variaza dello timatore. 98

99 Svolgimeto dell eercizio Lo timatore del valore totale della provvigioe legoa è: dove: i i X DS M m m è lo timatore della media dell attributo ella -eima uità primaria campioe; i valore dell attributo ella i-eima uità ecodaria campioe della -eima uità primaria campioe; umero totale di uità ecodarie ella -eima uità primaria campioe; umero di uità ecodarie campioe ella -eima uità primaria campioe. Quidi, eedo: i i i i i i i i i i i i

100 i i i i i i i i i i i i Il valore totale della provvigioe legoa è: m M 5 X DS ( ) m m 00

101 La variaza di X DS può eere timata pari a: X ( X X ) m M up ( ) M m + m m m DS ( ) X dove è il valore totale dell attributo ella -eimia uità primaria campioe, è la media del valore totale dell attributo elle uità primarie campioe e è lo timatore della variaza dell attributo ella -eima uità primaria campioe. ( ) Eedo X e i ha: i i X up 0

102 X 0.7 X X X X X X X X X X X X up ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) 0. i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i i

103 Pertato, il valore della variaza di X DS è pari a: X ( X X ) m M up ( ) M m + m m m DS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X DS 5 0( 0 ) 8( 8 )... ( ) (m ) 0

104 STIMA SECODO I METODI DELLA REGRESSIOE 04

105 Gli chemi di campioameto fiora oervati fao tutti riferimeto a procedure di tima baate olamete ui valori dell attributo oggetto d iteree, metre i alcui cai l utilizzo di iformazioi u variabili auiliarie, cioè u attributi i cui valori oo correlati co quelli dell attributo oggetto di iteree, può coetire, otto opportue codizioi, di procedere alla tima dei parametri tatitici della variabile pricipale i modo più efficiete. Poto che iao oti eza errore la media e il valore totale della variabile auiliaria q ella popolazioe coiderata, per timare la media e il valore totale della variabile pricipale fruttado la relazioe eitete tra e q pooo eere adottati vari approcci. Di eguito verrà eamiato il metodo di tima per regreioe lieare. 05

106 Stima per regreioe lieare I ambito ivetariale oo relativamete frequeti i cai i cui la relazioe tra e q è approimativamete di tipo lieare e o paate per l origie. I queti cai, per eprimere la relazioe tra e q è poibile fare riferimeto a equazioi di regreioe del tipo b 0 +b q, i cui coefficieti b 0 e b pooo eere timati mediate l utilizzo di fogli di calcolo elettroico. el cao i cui la media vera µ q della variabile auiliaria q ia ota eza errore, u u campioe cauale emplice di umeroità vegoo miurati ambedue gli attributi e q, dopodiché i procede alla determiazioe dei coefficieti di regreioe: b 0 +b q Aumedo che la tima della media della variabile a livello di popolazioe ia pari a: b0 b b µ RL e dato che, dove è il valore della media campioaria di e è il valore della media campioaria di q, i ha che: 0 + b q q RL q ( q ) b µ q 06

107 La variaza di RL di può eere timata tramite la formula: ( q ) µ, q + i RL q ( q ) i q dove:,q timatore della variaza dei valori predetti di (-r q ); r q timatore del coefficiete di correlazioe tra e q; timatore della variaza di. Il valore totale di X RL può eere timato pari a: X co variaza pari a: b q RL RL X RL RL ( Θ) dove: Θ valore totale dell attributo q ella popolazioe. 07

108 Ai fii del dimeioameto del campioe, il umero o di uità campioarie ecearie per o uperare la oglia maima tollerata ec 0 dell errore di RL campioameto di RL può eere calcolato ulla bae di ua tima a priori del valore preuto di,q otteuta tramite u campioameto pilota: 0 ec t 0, q + t RL, q Aalogamete,il umero o di uità campioarie ecearie per o uperare la oglia maima tollerata ec 0 dell errore di campioameto di X può eere XRL RL timato pari a: 0 ec t, q + t 0 X RL, q B: La tima per regreioe lieare riulta efficiete e il campioe è ufficietemete umeroo e e la correlazioe tra e q è ufficietemete tretta: i liea di maima, co >0, valori di r,q > coducoo quai empre a time per regreioe più efficieti del campioameto cauale emplice 08