(E, H) i n (E, H) (0, 0) 2. Teorema di equivalenza

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1 2. Teorema di equivaleza Il teorema di equivaleza coete di otituire, ai fii del calcolo del campo i ua determiata regioe, la ditribuzioe di orgeti vera (, M) co ua ditribuzioe uperficiale equivalete. i coideri ua uperficie geerica e regolare che racchiude, tipicamete ma o eceariamete, ua ditribuzioe geerica di orgeti (, M). ia il campo geerato da quete orgeti. (, M) Fig. 4 i vuole dimotrare che all etero di (zoa vero cui puta la ormale ) i ottiee lo teo campo, e i elimiao le orgeti (, M) all itero di e i otituicoo co delle opportue correti uperficiali i H i H M i E i E tg tg (10) dove E ed H i (10) oo i campi di parteza ulla uperficie. Ioltre tali orgeti foricoo u campo ullo all itero di. (0, 0) (, M) (, M ) Fig. 5

2 Dimotrazioe i coideri la eguete fuzioe vettoriale (0, 0) all'itero di ( f, g) ( E, H ) all'etero di (11) i deve dimotare che la (11) è il campo elettromagetico prodotto dalle orgeti equivaleti. La dimotrazioe egue due pai: 1) i dimotra che la (11) è u campo elettromagetico; 2) i dimotra che queto campo elettromagetico oddifa le codizioi del teorema di uicità ed è pertato l uico campo elettromagetico compatibile co le orgeti equivaleti. Ua coppia di fuzioi vettoriali è u campo elettromagetico e oddifa le equazioi di Maxwell. All itero di la coppia (f, g)=(0, 0) oddifa le equazioi di Maxwell omogeee (i aeza di orgeti); all etero di la coppia (f, g), per cotruzioe, oddifa le equazioi di Maxwell, le evetuali codizioi al cotoro e la codizioe di ommerfeld. Rimae da verificare e (f, g) è u campo elettromagetico ache ulla uperficie, cioè e oddifa le codizioi di raccordo u : i ( Het Hit ) i ( E E ) M et it (12) Poiché H it = 0 e E it = 0 per ipotei, le (12) oo oddifatte dalla defiizioe (10). I cocluioe la coppia (11) è effettivamete u campo elettromagetico compatibile co le orgeti equivaleti (10). i deve ora dimotrare che queto campo elettromagetico è ache l uico che le orgeti equivaleti producoo. La dimotrazioe è baale perché co le orgeti equivaleti i ha u problema etero el domiio della frequeza. Il campo i oggetto oddifa le equazioi di Maxwell e la codizioe di irradiazioe all ifiito e quidi, per il teorema di uicità, è l uico campo che riolve il problema. 2.1 Applicazioi del teorema di equivaleza (a) Per il teorema di equivaleza, e i otituicoo le orgeti vere (, M) co ua ditribuzioe uperficiale equivalete (, M ), all itero di il campo è ullo e all etero è uguale al campo di parteza. e il campo all itero di è ullo, qualuque modifica del materiale detro o modifica il campo: (0, 0) rimae la oluzioe all itero di e il mezzo preete detro la uperficie o modifica le codizioi di raccordo alla uperficie. Queto igifica che qualuque coa faccia all itero di o perturba il campo all etero.

3 Quello che viee alterato è ivece, come i vedrà, il cotributo al campo delle correti uperficiali equivaleti impree (, M ). i può peare, ad eempio, di mettere all itero di u C.E.P. Il campo al di fuori di o cambia e all itero rimae ullo. (0, 0) C.E.P. (, M ) Fig. 6 All etero di dovrà eere pertato, per il pricipio di ovrappoizioe degli effetti: ( E, H ) ( E, H ) ( E, H ) ( E, H ) ( vuoto) ( vuoto) ( C. E. P. ) ( C. E. P. ) M M D altra parte i 1.1 è tato dimotrato che il cotributo delle è ullo perché i tratta di correti impree ulla uperficie di u C.E.P., e quidi la ola correte magetica M geera il campo all etero purchè pota ulla uperficie di u C.E.P. (Fig. 7). I modo duale la ola correte elettrica dà cotributo al campo all etero e all itero di ierico u C.M.P. C.E.P. M Fig. 7 Come detto, ella ituazioe di Fig. 7, il campo all etero di è rimato ialterato e il campo all itero è acora ullo. Quidi attravero la uperficie del C.E.P. oo acora dicotiui ia il campo elettrico ia quello magetico tageti (E tg, H tg ). Da ciò egue che ulla uperficie ci arà ua correte elettrica pari a i H, idotta tg

4 ul coduttore dalla correte magetica M, e tale da garatire la corretta dicotiuità del campo magetico all iterfaccia. I otaza la correte magetica imprea M iduce ulla uperficie del C.E.P. ua correte elettrica H tg che è uguale alla correte elettrica equivalete imprea ed proprio quella ecearia a produrre il campo corretto all etero. Per quato detto i hao a dipoizioe le egueti celte: i mettoo u ia la correte elettrica che quella magetica, oppure i mette la ola correte magetica e la i fa irradiare i preeza di u C.E.P., co la coegueza che il C.E.P. forice la correte elettrica idotta ecearia a garatire la dicotiuità del campo magetico. A queto puto è poibile dare ua iterpretazioe alterativa alla dimotrazioe 1.1: ua correte elettrica imprea u u C.E.P. iduce ua correte elettrica uperficiale eattamete uguale ed oppota i modo tale che il campo totale irradiato ia ullo. 2.2 Applicazioi del teorema di equivaleza (b) i oervi che ella applicazioe del teorema di equivaleza i devoo elimiare olamete le orgeti pote all itero di. Le evetuali orgeti pote all etero devoo eere coervate e i vuole mateere lo teo campo all etero. A tal propoito i coideri l eempio i Fig. 8. C.E.P. Fig. 8 La ituazioe di parteza coite di ua correte che irradia i preeza di u C.E.P. i applica duque a queta ituazioe il teorema di equivaleza e, a tal fie, i ceglie ua uperficie che coicide co la uperficie del C.E.P. Occorre fare attezioe alla direzioe della ormale ad che ditigue tra volume itero ed etero ad. La correte è duque ituata all etero di. L applicazioe del teorema di equivaleza porta ad elimiare le evetuali orgeti pote all itero di e otituirle co delle correti uperficiali equivaleti i H

5 M i E 0 (perché il campo tagete ulla uperficie del C.E.P. è ullo). I queto cao o oo preeti orgeti all itero di. La ituazioe equivalete è duque la eguete C.E.P. Fig. 9 Ovviamete le correti impree ul C.E.P. producoo campo ullo all etero. Dato che le o producoo campo i può peare di elimiarle e la dicotiuità del campo magetico tageziale arà garatita da correti idotte ul C.E.P. eattamete uguali alle correti impree che ho elimiato 1. A queto puto, come detto i precedeza, è poibile modificare il materiale all itero di eza alterare il campo all etero. Di coegueza, è poibile otituire al C.E.P. il vuoto eza che il campo all etero cambi e co il campo all itero che i matiee ullo (Fig. 10). I quet ultimo cao le correti elettriche impree producoo campo all etero, e arao quete correti a garatire la corretta dicotiuità del campo magetico alla uperficie. (0, 0) Fig Le correti oo idotte ul C.E.P per la preeza della correte etera.

6 Poiché le correti impree ella ituazioe motrata i Fig. 10 oo uguali alle correti idotte ella ituazioe motrata i Fig. 9, i può cocludere che è poibile otituire u C.E.P. co le correti elettriche uperficiali idotte u di eo. 2.3 Applicazioi del teorema di equivaleza (c) Teedo preete la defiizioe di (, M ) (10) è evidete che, per determiare le orgeti equivaleti è eceario coocere il campo tagete ulla uperficie e cioè occorre aver già riolto il problema elettromagetico. Quidi i potrebbe peare che il teorema di equivaleza ia iutilizzabile i quato per poterlo utilizzare è eceario coocere il campo vero ulla uperficie. I realtà il teorema di equivaleza viee uato i elettromagetimo per riolvere ua otevole varietà di problemi e ad eempio può eere uato ei egueti cai: (a) i cooce il campo ulla uperficie ma o al di fuori di. Ad eempio perché è poibile miurare il campo u oppure approimare il valore. E il cao della approimazioe di Kirchoff per fori di gradi dimeioi ripetto alla lughezza d oda praticati i uo chermo C.E.P. L approimazioe di Kirchoff coite el valutare il campo elettrico ul foro come e lo chermo metallico o ci foe. Ifatti, e il foro è grade l iterazioe del campo icidete co gli pigoli del foro è limitata ad ua zoa vicia al foro e di dimeioi piccole o cofrotabili co la lughezza d oda (Fig. 11). Fig. 11 A queto puto i può peare di tudiare il cao di u campo icidete u uo chermo metallico ifiito ul quale è praticato u foro di gradi dimeioi ripetto alla lughezza d oda. i applica duque l approimazioe di Kirchoff.

7 Ua volta ota l approimazioe di Kirchoff per il campo vero ul foro è poibile applicare il teorema di equivaleza per riolvere il problema relativo al calcolo del campo trameo oltre il foro (Fig. 12). E ic, M M Fig. 12 (a) (b) A queto puto i applica il teorema di equivaleza alla uperficie che i appoggia ullo chermo coduttore e i chiude all ifiito (Fig. 12a). i pooo ditiguere due regioi ulla uperficie : - la regioe del foro, dove ia il campo elettrico che il campo magetico oo diveri da zero, e i ha: i H M i E dove E ed H oo i campi i corripodeza del foro ma calcolati come e lo chermo C.E.P o ci foe.

8 - la regioe al di fuori del foro che è C.E.P. ed è quidi caratterizzata da campo elettrico tagete ullo, e i ha: i H M i E 0 dove H è il campo magetico vero (icogito) tagete allo chermo. Poiché dall approimazioe di Kirchoff i cooce olamete il campo i corripodeza del foro, la oluzioe più ragioevole è quella di metallizzare il foro (par. 2.1) ed elimiare le correti elettriche uperficiali impree che ora geerao campo ullo all etero di. I cocluioe, per il calcolo del campo trameo oltre il foro, è poibile tudiare il problema elettromagetico motrato i Fig. 12b oia co le ole correti magetiche equivaleti M preeti olo i corripodeza del foro e che irradiao i preeza di uo chermo C.E.P ifiito. (b) Ovviamete e il foro è cofrotabile co la lughezza d oda l approimazioe di Kirchoff o è più valida. I queto cao è comuque poibile uare il teorema di equivaleza utilizzado ua trada differete. Come detto, il foro è completamete caratterizzato dalla cooceza del campo tagete vero ul foro. I queto cao o cooco queto campo e o lo poo approimare. Come primo pao i applica il teorema di equivaleza alla uperficie che poggia ullo chermo metallico, ia ella regioe a iitra, ia ella regioe a detra del foro, e i chiude all ifiito (Fig. 13a). Aalogamete a quato fatto el cao (a) i può coiderare la ituazioe equivalete motrata i Fig. 13b. La correte magetica equivalete M i E i corripodeza del foro, irradia i preeza di u C.E.P ifiito ia ella regioe A che ella regioe B. M è oppota elle due regioi perché la ormale alla uperficie è oppota. Per determiare il campo elettrico i corripodeza del foro, e quidi la correte magetica equivalete che coete di calcolare il campo i tutto lo pazio, i pooo applicare le codizioi di cotiuità del campo magetico 2 tagete ul foro: tg ( A) ( A) ic m H H G ( M ) d ( B) ( B) m H G M d i H i H (Magetic Field Itegral Equatio) ( A) ( B) 2 La cotiuità del campo elettrico tagete ul foro è garatita per cotruzioe.

9 ( A) G e m ( B) G oo le fuzioi di Gree per il campo magetico ripettivamete elle m regioi A e B. I pratica ee foricoo il campo magetico geerato da u dipolo elemetare magetico poizioato i corripodeza del foro. A B A B E ic E ic, M, M M M Fig. 13 (a) (b)