RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO

Transcript

1 ISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO Nel domiio del empo le variabili oo eamiae ecodo la loro evoluzioe emporale. Normalmee i eamia la ripoa del iema a u egale di prova caoico, cioè i ollecia il iema co u: igreo a gradio igreo a impulo NB: o empre è poibile ricavare perimealmee la ripoa del iema all impulo, i quao l impulo deve forire l eergia ufficiee al iema per provocare la ripoa.

2 Traiorio e egime La ripoa di u iema può eere compoa i compoee raioria y T () e compoee di regime y () : y() = y T () + y () La compoee raioria è formaa da ui quei ermii che i aullao per il empo che ede a ifiio. La compoee di regime è formaa da ui quei ermii che ivece o i aullao, cioè: y () lim y() NB: ei iemi lieari la compoee di regime aume la ea forma d oda dell igreo. Eempio ipoa di u circuio L ad u gradio di eioe: Compoee raioria: Compoee di regime: i T () () i E E e i(0) e i() E e i(0) e

3 SISTEMI DEL ODINE U iema del ordie è u iema co u olo accumulaore di eergia. Oia u iema il cui comporameo è decrivibile co ua ola variabile di ao. x() Siema ordie y() NB: i aume come ucia del iema la variabile di ao y() y() ipoa al gradio: ipoa all impulo: y() 3

4 Tempi caraeriici Le preazioi di u iema (o olo del ordie) el domiio del empo oo peo forie co l idicazioe di alcui empi caraeriici defiii ella ripoa al gradio. 00% y() Δ% 90% D : empo di riardo (delay ime) Forice l idicazioe della proezza di ripoa del iema 50% : empo di alia (rie ime) Forice l idicazioe della accelerazioe di y() S : empo di aeameo (eig ime) 0% D Forice l idicazioe della duraa del raiorio. Corripode al empo impiegao dalla ripoa y() a porari ero la facia Δ% S 4

5 Modello Nel domiio del empo il modello maemaico di u iema coiuo è peo forio mediae la rappreeazioe igreo/ucia, cioè dalle ue equazioi differeziali. Per u iema del ordie: x() dy() y() k x() d y() NB: co y() variabile di ao E comodo udiare la ripoa el empo ricorredo ache alla rappreeazioe igreo/ucia el domiio di Laplace, cioè alla chemaizzazioe del iema co blocchi e relaive fuzioi di raferimeo: X 0 X() k k Y ( ) X ( ) y() y() k X 0 e y MAX = k X 0 NB: Eamiado la ripoa el empo, è poibile imare i parameri della fuzioe di raferimeo: 63.% y k X MAX 0 : la i ima idividuado il 63.% del valore fiale di y() e leggedo il empo corripodee. 5

6 SISTEMI DEL ODINE U iema del è u iema il cui comporameo è decrio da due variabili di ao, oo cioè iemi co due accumulaori di eergia: NB: iema del ordie eza zeri. X() k a a 0 Y() La ripoa el empo dipede dai poli della fuzioe di raferimeo. Per meglio decriverle i iroducoo due parameri: δ = coefficiee di morzameo ω = pulazioe aurale [rad/] E i eeguoo le eguei oiuzioi: a = δ ω a 0 = ω X 0 X() k Y() Y() X 0 k Polo irodoo dall igreo Poli propri del iema 6

7 La ripoa al gradio preea u raiorio che dipede olo dai poli della fuzioe di raferimeo. I re poli di Y() riulao: 0 0 NB: e oo i poli della fuzioe di raferimeo; pooo eere reali o complei i fuzioe di. Ipoei: Siema ovramorzao Im y() I poli della fd oo reali diii > y() K 0 K e K e 0 e y() Ipoei: Siema a morzameo criico Im = I poli oo reali coicidei y() K 0 K e = 0 e 7

8 Ipoei: I poli oo complei coiugai Siema oomorzao y() K0 K e co( ), j NB: ω rappreea la pulazioe alla quale ocillerebbe la ripoa del iema el cao di aeza di morzameo ( = 0). Im y() Ipoei: 45 0 e Im y() Ipoei: e 0 8

9 elazioi ra i poli della fuzioe di raferimeo e i parameri e ω Dall epreioe dei poli della fuzioe di raferimeo:, j riulao le eguei corripodeze: = + j ω ω α ω Im e Da cui: (precidedo dal ego di ) co, oiuedo, dopo alcui calcoli riula : 9

10 elazioe ra maima ovraelogazioe e Nei iemi del ordie eza zeri, co poli complei coiugai ( < ), la maima ovraelogazioe S MAX dipede olo dal coefficiee di morzameo : y() S MAX % y MAX S MAX y S MAX % y MAX y y 00 0

11 Eercizio: Circuio LC erie, calcolo e ω i fuzioe dei parameri del circuio La eioe e() rappreea l igreo. Come ucia è aua la eioe ul codeaore. Si deve maipolare la fuzioe di raferimeo i modo da porre uguale a il coefficiee del ermie co : V c() E() LC L LC Oervado la fuzioe di raferimeo, riula: L LC C L Da cui: NB: u aumeo di compora u aumeo di, LC mere o ifluice u ω.

12 Eerciazioe : Eamiare il divero ruolo eerciao dal reiore ei eguei circuii: Dai: eioe di igreo e(): gradio di 0 V parameri: C = F, L = H Circuio a) Circuio b) ucia: eioe ul codeaore v c () ) Compilare, mediae imulazioe, per erambi i circuii, la eguee abella: [Ohm] Poli S MAX (%) ω [rad/] T D T T S ) Eamiare le due abelle e volgere le proprie coiderazioi 3) Verificare alcui riulai mediae il calcolo di e ω i fuzioe dei parameri.

13 Eerciazioe : File da uilizzare ella imulazioe (SCILAB) xbac(); clear; // cacellazioe di ui i grafici precedei // cacellazioe di ue le variabili coruie i precedeza = poly(0,""); // creazioe della variabile di Laplace '' = ; // Ohm Paramero da variare ella compilazioe della abella L = ; // Hery C = ; // Farad H = yli("c",, L*C*^ + *C* + ); // coruzioe della fuzioe di raferimeo // "c": iema coiuo // : umeraore della fd // L*C* + *J* + : deomiaore della fd = 0:0.00:0; // 0:... :0 iai iiziale e fiale del calcolo // 0.00 pao di iegrazioe u = 0 + 0*; vc = cim(u,, H); // u, eioe di alimeazioe del circuio // calcolo della eie ul codeaore plod(, vc); xgrid(3); // grafico della corree i // ierimeo della griglia poli = roo([deom(h)]) // roo, fuzioe che calcola le radici del poliomio // "deom", fuzioe che erae il deomiaore di H 3

14 Siema del ordie, la cui fuzioe di raferimeo poiede uo zero La preeza di uo zero: alera la pedeza co cui la ripoa i avvia: o più co agee orizzoale. alera S MAX, che o dipede più olo da o alera la pulazioe di ocillazioe ω X() k b a a 0 Y() y() Nel iema è preee uo zero: Co zero egaivo b y Seza zero NB: co zero poiivo il iema preea ua ripoa che i avvia i Co zero poiivo direzioe oppoa. 4

15 ipoa el domiio del empo e fuzioe di raferimeo Eamiado la ripoa el empo, è poibile imare i parameri della fuzioe di raferimeo. Eempio: iema del eza zeri (ricavare k,, ω ) X 0 Calcolo : X() k Y() y() NB: Per il calcolo del valore di regime y è coveiee ricorrere al eorema del valore fiale: y lim y() lim Y() 0 Dal grafico della ripoa i legge y MAX e y, co ei i calcola S MAX e per via grafica i ricava. y MAX S MAX Calcolo ω : Dal grafico della ripoa i legge il periodo T, co eo i calcola la pulazioe di ocillazioe ω = / T, e quidi: Calcolo k: Applicado il eorema del valore fiale i oiee: y Da cui: X lim Y() lim 0 0 k y X 0 0 k X k 0 y T 5

16 Poli domiai I u iema pooo eere preei più accumulaori di eergia, quidi più variabili di ao, oia più poli elle fuzioi di raferimeo. Ad ogi polo corripode ua coae di empo. Le coai di empo più gradi deermiao la duraa compleiva del raiorio. Quado oo molo più gradi, il raiorio è di fao deermiao da ee. Alle coai di empo più gradi corripodoo i poli più piccoli (i valore aoluo). Quei poli oo chiamai domiai. Se el iema oo preei poli domiai, gli alri poli i pooo racurare. 6

17 Eerciazioe : Ideificare la fuzioe di raferimeo di u iema mediae l eame della ua ripoa al gradio. Cofroare poi la ripoa del modello co quella effeiva. Il iema è olleciao mediae u gradio di ampiezza X 0 = 5 e preea la eguee ripoa: y() X() Y() () 7

18 Eercizio Ideificare il iema (fuzioe di raferimeo) la cui ripoa al gradio di ampiezza 5 è la eguee: Tempo ( ) 8

19 Eercizio Ideificare il iema (fuzioe di raferimeo) la cui ripoa al gradio di ampiezza 5 è la eguee: Tempo ( ) 9

20 Eercizio 3 Ideificare il iema (fuzioe di raferimeo) la cui ripoa al gradio di ampiezza 8 è la eguee: Tempo ( ) 0

21 SOLUZIONE : Eerciazioe / Circuio a): [Ohm] Poli S MAX (%) ω [rad/] 0 0 j (00%) j (3%) j (4.3%) , , Circuio b): [Ohm] Poli S MAX (%) ω [rad/] j (4.3%) j (3%) j (47%) j (57%) j (64%) 0.4 -

22 SOLUZIONE : Eerciazioe / Le variazioi delle variabili di ao decrivoo l accumulo di eergia ei due accumulaori (iduore, codeaore). L accumulo avviee mediae il fluo della carica elerica (corree). Nel circuio a) quea corree elerica aravera ache il reiore, per cui valori ali di la freao. Dalla abella i oerva che valori bai di comporao uo cambio ripeuo di eergia ra L e C (oluzioi complee coiugae), co frequeza (pulazioe) i dimiuzioe all aumeare di. L aumeo di, riduce la corree e coì ridimeioa il ira e molla dell eergia, come rilevao dalla dimiuzioe di S MAX e, fio ad aullarlo (oluzioi reali). Nel circuio b) la corree che aravera il reiore rappreea ua orazioe a quella che rapora l eergia i L e C. Quao miore è, ao maggiore è quea orazioe e più oacolao riula lo cambio eergeico ra L e C. All aumeare di, i riduce la corree oraa e i riduce quidi l effeo freae ullo cambio eergeico, che quidi i amplifica i ermii di frequeza e ampiezza, come rilevao dalla pare immagiaria dei poli e da S MAX.

23 SOLUZIONE : Eerciazioe / 3 La ripoa del iema preea: ua diamica ocillae, i è quidi i preeza di almeo due poli complei coiugai ua fae di avvio co agee orizzoale, cioè il iema o preea zeri I defiiiva i è ella codizioe di poer peare a u modello maemaico ipo fuzioe di raferimeo eza zeri e co due poli complei coiugai. X() k Y() 3

24 SOLUZIONE : Eerciazioe / 3 Il calcolo dei parameri della fuzioe di raferimeo richiede la leura dei eguei dai dal grafico della ripoa: y() S MAX % y MAX y y Da grafico: = % T rad/ rad/ T k y X ()

25 SOLUZIONE : Eerciazioe 3 / 3 Dai calcoli riula la eguee fuzioe di raferimeo: La reale fuzioe di raferimeo, di cui il profilo eamiao è la ua ripoa al gradio, è ivece: X(). Y() X() 30 Y() y() Poli = j.99 Poli = j Modello emplificao Siema reale Oervazioi: Il modello emplificao forice ua ripoa più proa per via del mior umero di poli I poli del modello emplificao oo circa uguali a quelli complei coiugai del iema reale, i quali, dao il valore del polo reale, aumoo il igificao di poli domiai. 5

26 SOLUZIONE : Eercizi Eercizio X() Y() Poli = j 9. Eercizio X() Y() Poli = j 4.5 Eercizio 3 X() Y() Poli = -.0 j 4.9 6