Numeri Reali e Numeri Finiti

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1 Appui di Calcolo Numerico A.A. 9/ Numeri Reali e Numeri Fiii L impiego di u calcolaore permee di effeuare operazioi elemeari fra umeri i empi molo brevi offredo la poibilià di riolvere problemi molo più complicai mediae l eecuzioe di algorimi complei, coiuii da operazioi elemeari. Tuavia il calcolaore, eedo ua macchia fiia, è coreo ad operare co umeri rappreeai da u umero fiio di cifre; e coegue che i geere u umero reale irodoo el calcolaore viee approimao mediae u umero fiio o umero di macchia. Si pei, ad eempio, ai umeri π o che hao u umero ifiio di cifre, ei o porao mai eere rappreeai correamee u u calcolaore- Se i eeguoo, poi, operazioi elemeari ui umeri fiii i pooo oeere riulai o più rappreeabili eaamee dal calcolaore. Queo igifica che eeguedo u algorimo u u calcolaore i ha, i geerale, ua creazioe e propagazioe degli errori. Quidi, il riulao prodoo dall algorimo differice dal riulao eao, cioè da quel riulao che i oerrebbe lavorado co i umeri reali. Il corollo degli errori irodoo dall uo dei umeri fiii è molo imporae al fie di deermiare l aedibilià dei riulai oeui.

2 . Rappreeazioe dei Numeri Naurali: bai di Rappreeazioe Si coideri il iema decimale per la rappreeazioe dei umeri aurali. U umero iero poiivo N viee epreo ella forma N d + d d + d e rappreeao, mediae oazioe poizioale, come N d d... d d dove le cifre d i, i, oo umeri ieri comprei ra e 9. E. il umero aurale 45, el iema decimale è epreo ella forma: * + * +5* Nel iema decimale i è cela la bae di rappreeazioe uguale a. Coiderado u iema avee bae di rappreeazioe >, il umero N viee epreo come dove N ( dd... dd) d + d d, co i i d + d Noe bai di rappreeazioe oo la bae biaria ( ), oale ( 8) ed eadecimale( 6). E. Sia il umero biario N() ; ua oazioe equivalee è: N * 8 + * 7 + * 6 + * 5 + * 4 + * 3 + * + * + *

3 (87) (87) () Ora, fiaa ua bae iera >, vediamo come rappreeare i ale bae u umero reale α. Teorema: Rappreeazioe dei Numeri Reali Ogi umero reale α può eprimeri uivocamee, i bae, ella eguee forma: dove α ± ( a + a + KK) ig( α ) ( + i p ai ) ig( α ) i p m e > ig ( ) (fuzioe ego) e < p Z +, umero iero poiivo le cifre a i oo umeri ieri che oddifao le eguei codizioi: I. a i, i,,... a II. può eiere, eveualmee, u idice μ > ale che i μ ia a i, ma o eie alcu idice ν > ale che i ν ia a i -. p () Il umero codizioe m a + a + KK i chiama maia di α e oddifa la m <. 3

4 p i defiice pare epoee di α e p i chiama epoee di α. Uado la oazioe poizioale il umero α i rappreea α K p ±. a a a 3 Rappreeazioe Normalizzaa Eempio: Il umero reale π può eere epreo i bae ella forma π + ( e i rappreeazioe ormalizzaa diviee π +( ) ). I Numeri Fiii: Il Siema Floaig Poi U umero reale è caraerizzao da ego, epoee e maia, i cui la maia può eere coiuia da u umero illimiao di cifre. Lavorado co il calcolaore, comuque, ogua di quee pari deve eere limiaa, ovvero rappreeaa da u umero fiio di bi. Da ciò ace l impoibilià di rappreeare el calcolaore l iieme dei umeri reali. Occorre, quidi, defiire ua rappreeazioe approimaa dei umeri reali coiuia da umeri la cui maia è rappreeaa da u umero fiio di cifre, che idichiamo co. U umero fiio i memorizza i u calcolaore i ua parola coiuia da b bi; i ogi bi i memorizza ua cifra biaria oppure. Coideriamo u calcolaore co e parola di lughezza b. Tre oo le quaià da memorizzare ella parola: il ego, l epoee e la maia. 4

5 Se la parola del calcolaore è di b 3 bi la uddiviioe adard è del ipo: bi 3 bi 8 bi Sego Maia Epoee b varia el calcolaore a ecoda della preciioe co cui i lavora: b 3 i igola preciioe ( bi per il ego; 8 bi per l epoee, 3 bi per la maia) b 64 i doppia preciioe ( bi per il ego; bi per l epoee, 5 bi per la maia). Quado ieriamo u umero reale α i u calcolaore, poiché per la rappreeazioe dell epoee vegoo riervai olo u umero limiao di bi, i pooo verificare i eguei cai:. Il umero α è ale che il uo epoee p ia compreo ra u lower boud L ed u upper boud U, che idicao il miimo ed il maimo epoee rappreeabili co i bi a dipoizioe, cioè ale che L p U. allora α è u umero di macchia ed è rappreeabile el calcolare coiderao.. Se p [ L, U ]. Il umero o può eere rappreeao el calcolaore. Se p<l i verifca u uderflow e oliamee i aume lo zero come valore approimao, e ciò viee oliamee egalao mediae warig. Se p>u i verifica u overflow; o i approima, ma i egala l eveo co u arreo del calcolo. 5

6 3. Nel cao i cui p [ L, U ], cioè il umero α ia rappreeabile el calcolaore, i pooo verificare due cai: a. le cifre a i, per i> oo ue ulle, cioè α è rappreeabile eaamee co u umero fiio di cifre. b. le cifre a i, per i> o oo ue ulle. I queo cao la rappreeazioe di α ul calcolaore è daa da α), che i eprime ella forma, m a e α α) p ± m e α ~ a + a + K K + co a. dove el cao di rocameo a ~ a ; el cao di arroodameo: a ~ a del umero ~ α α + I oazioe poizioale i può eprimere come p fl α ) ±. a a... ~. ( a ES: α Trocameo α).543 Arroodameo α)troc( )troc(.544).544 6

7 Def: Iieme Floaig Poi Ad ogi calcolaore che uilizza la bae di rappreeazioe, ua cifre per rappreeare la maia, ed i cui L ed U rappreeao il miimo ed il maimo epoee rappreeabile, i aocia l iieme dei Numeri di Macchia (Iieme Floaig Poi), cioè l iieme dei umeri reali eaamee rappreeabili co quel calcolaore. Eo è coì defiio: F(,, L, U ) {} α R : α ig( α) i a, i,,... a i, L p U. L iieme F(,, L, U ) è u ooiieme di R (iieme di ui i umeri reali) ed ha cardialià fiia, come ci mora il eguee eorema. a i i p Teorema: Cardialià dei umeri floaig poi Sia F(,, L, U ) l iieme dei umeri floaig poi. Allora eo poiede ) e (-) - (U-L+) umeri poiivi o uiformemee diribuii i [ L-, U ) e alreai umeri egaivi o uiformemee diribuii i (- U,- L- ], ovvero # F ( ) ( U L + ) + Dim: Ragioiamo olo ui umeri poiivi. 7

8 8 La maia più piccola che i può crivere i bae e co cifre è La maia più grade è )...( ) ( ) ( Il umero oale di maie è quidi ) ( ) ( + + E: bae, 3 cifre per la maia, la maia più piccola è. - la maia più grade è il umero oale di maie è ( - -3 ) 3 - ( - ) (-))9 Poiché per ogi maia i hao (U-L+) epoei poibili # elemei poiivi i F (-) - (U-L+) #F (-) - (U-L+) +. Si oerva che i umeri dell iieme F oo ugualmee diribuii per ciacu valore dell epoee della bae, ma o u uo il rage.

9 E:, 3, L- e U Le poibili maie oo: m., m., m., m. Ogi maia è moliplicaa per p { -,,, } 4 maie poibili, 4 poibili epoei Da cui 6 umeri poiivi, 6 egaivi e lo zero Da cui egue che #F33 Tali umeri oo: (* (* (* (* ) / / 4/ * ) 5/ * ) 6/ * + * ) 7/6 4 umeri relaivi a (* (* (* (* ) / 8/6-3 + * ) /6 - + * ) / * + * ) 4/6 4 umeri relaivi a.... (* (* (* (* ) / 6/6-3 + * ) /6 4 umeri relaivi a - + * ) 4/ * + * ) 8/6 9

10 .... (* (* (* (* ) 4 / 4 3/6-3 + * ) 4 4/6 4 umeri relaivi a - + * ) 4 48/ * + * ) 4 56/6 Tali umeri oo equipaziai relaivamee ad ogi igola bae ma o globalmee Poiché i u calcolaore il umero reale α è oiuio co α), è fodameale abilire ua ima della differeza ra α e α) relaiva al valore di α eo. Defiizioe: Si defiice Errore Relaivo di arroodameo di α la quaià α α) α Teorema: Sia α u umero reale rappreeao i bae come α ± + ( i Allora, e o i verifica u Overflow, i ha: [ L U ] i p ai ), a, p,

11 α α ) α K ep (3) Co K el cao di rocameo K/ el cao di arroodameo Dimorazioe: a) Coideriamo il cao del rocameo p α ±. a a... p α) ±. a a... a α α). a + a +... p α α) α p. a a p. a a... co. a + a +... e. a a... α α) α I modo aalogo i dimora per il cao dell arroodameo. La quaià ep K è dea preciioe di macchia el iema floaig poi: ep è il più piccolo umero poiivo di macchia ale che ommao all uià rede ua quaià più grade di : +ep)>

12 Di eguio diamo l algorimo per il calcolo della preciioe di macchia ep ep.5*ep ep+ep i ep > o ep*ep Se poiamo α α) ε, dalla (3) i ha α ε ep e α)α(+ε) Cioè il umero fiio α) è ua perurbazioe del umero reale α corripodee.

13 3. ARITMETICA IN VIRGOLA MOBILE Dao l iieme dei umeri di macchia F(,, L, U ), è eceario defiire u di eo delle uove operazioi arimeiche, cioè le operazioi i arimeica di macchia, i quao il riulao di u operazioe arimeica claica eeguia fra umeri di macchia può o eere u umero di macchia. Siao quidi ) e fl (y) F(,, L, U) e il riulao di u operazioe arimeica ra ) e y), ia ale che p [ L, U ] Si defiicoo le operazioi di macchia (Operazioi Floaig Poi) e i idicao co i imboli + *, - *, *, / *, come egue: ) + ) ) ) / * * * * y) ) + y)) y) ) y)) y) ) y)) y) ) / y)) Ricordado il riulao precedee, poiamo crivere che * ) y) ) y)) ( ) y))( + ε ) cioè il riulao di u operazioe Floaig Poi è ua perurbazioe di quello della corripodee operazioe reale. Ovviamee queo vale per ue le quaro operazioi floaig poi. 3

14 Oervazioe: Per le operazioi floaig poi o valgoo le proprieà dell arimeica reale: i paricolare o vale la proprieà aociaiva come dimora il eguee eempio: E: Sia, e 8. Dai i umeri di macchia a.33758* -4 b * c * Si valui ) (a b) c a+b) a + b) c a+b)+c).64-3 ) a (b c) b+ c)

15 a b + c) a+b+ c)) Il riulao eao è a+b+c Perciò i oerva che il riulao oimale i oiee co la ), mere co la ) i oiee u riulao co olo 3 cifre eae. Poiché ue le vole che i eegue ua operazioe i arimeica floaig poi i oiee u riulao approimao, uo dei pricipali compii del calcolo umerico è quello di udiare come quei igoli errori i propagao e quale effeo dao ul riulao fiale. Coideriamo il eguee eempio di radici di equazioi di II grado. Si voglioo calcolare le radici di equazioe del ipo: a + b + c. La formula riolvee è: b b 4ac e a b + b 4ac a La formula rioluiva ha u gradiimo vaaggio: uggerice ua precia ucceioe di pai, i quali, paredo dai coefficiei a,b,c coducoo alle radici e. I maemaica pura è ooieo che ell algorimo decrio i faccia uo dei umeri reali e i eeguao operazioi arimeiche eae, iclua l erazioe della radice. Come abbiamo vio però u calcolaore o è i grado di fare quee operazioi e emmeo di memorizzare i umeri reali a,b,c i modo eao ma deve oiuire i umeri reali co umeri i virgola mobile e le operazioi arimeiche eae co le operazioi floaig poi. Si coideri l equazioe 5

16 e i coideri il iema decimale co 4 cifre. Applicado la formula rioluiva i ha α (6.433) γ δ γ α).438 δ ).3789 η γ δ ) η ) ) Da cui i oiee la radice b b 4ac pari a a ) ). La orazioe di due umeri quai uguali ha porao alla cacellazioe di cifre igificaive. I arimeica reale i arebbe oeuo: Il riulao oeuo i arimeica floaig poi è molo divero da quello vero. Ciò è dovuo i paricolare all ulimo paaggio, dove facciamo la differeza fra umeri molo imili i modulo. Queo produce il feomeo della cacellazioe di cifre igificaive, che è u operazioe molo pericoloa, che e è poibile va eviaa. U algorimo più efficiee per il calcolo delle radici di u equazioe di II grado è il eguee: calcolo la radice che, i bae al ego di b, o pora problemi co la formula riolvee, b + ig( b) a b 4ac 6

17 mere l alra radice viee calcolaa eedo preee che: c b o +. a a I geerale, lo udio della propagazioe degli errori è u argomeo maemaicamee difficile, per cui ci limiiamo a coiderare olo i due cai che eguoo. Errore el ommare umeri fiii Sudieremo ora qual è l errore da cui è affea la omma fiia (cioè oeua i arimeica fiia) di umeri fiii. Siao,..., umeri fiii da ommare. L algorimo omma è il eguee: S: for i,, edfor S:S+ i I pai eeguii dall algorimo oo: S S + ) S 3 S + 3 ).. S S - + ) Quidi il riulao fiale S differice dal riulao eorico S. L errore relaivo è S S S è dao da: 7

18 S S S ( + ( ) ) S. ep (*) Dimorazioe: Per la dimorazioe ci i avvale del riulao del eguee lemma. Lemma: ε, i,..., k ε ep, e ep. i i k, allora i ha che k i ( + ε ) + σ, i k σ k. k ep Dall algorimo della omma i ha: S S + )( S + )(+ε ) (+ε ) (+ε )+ (+ε ) S 3 S + 3 )( S + 3 )(+ε 3 ) (+ε ) (+ε ) (+ε 3 )+ (+ε ) (+ε 3 )+ 3 (+ε 3 ). S S - + )( S - + )(+ε ) (+ε ) (+ε )+ (+ε ) (+ε )+...+ (+ε ) Dal lemma i oiee: S S (+σ ) + (+σ - ) +.+ (+σ ) S S σ + σ σ S S S ( + ( ) ) S. ep 8

19 Da qui i vede che ogi addedo è moliplicao per u peo fio. Tale formula mora che, aegai i umeri fiii,...,, la maggiorazioe dell errore relaivo della loro omma fiia è miima e i ommao quei umeri i modo che i loro valori aolui iao i ordie crecee, cioè:.... Ifai, coì operado,ai pei (. ep), (. ep)(-) più gradi i aociao i umeri,...,, più piccoli. Ne egue che l errore pea meo e i avrao perciò riulai più aedibili. E: Aegai i eguei umeri fiii appareei all iieme F(,4,-6,), la loro omma i deermia, i arimeica i bae co 4 cifre, coruedo la eguee equeza di omme parziali ) ) ) ).59 9

20 I umeri oo ai ommai i ordie crecee. La oluzioe eae è S Perciò poiamo dire che la omma approimaa 5 e è ua buoa approimazioe a 4 cifre. Se ommiamo i umeri i ordie decrecee i ha ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ).588 La uova omma 5 è ua caiva approimazioe della omma eaa. La formula (*) può eere uleriormee modificaa e oiuiamo i co ma S S S (. ep ma + S ) Se ma è elevao ma S è piccola, come può avveire e i ommao addedi di ego oppoo e modulo imile ma S è grade cioè l errore relaivo può crecere molo. La omma di umeri di modulo imile ma a egi aleri può avere u errore molo grade perché la differeza pora a cacellazioe di cifre igificaive. I geerale l operazioe di cacellazioe è pericoloa e viee eeguia u umeri già arroodai poiché pora all amplificazioe degli errori. Ea quidi è la caua

21 pricipale dell iabilià degli algorimi poiché produce u amplificazioe ecceiva degli errori che rede i riulai iaedibili. Se dobbiamo effeuare differeze, occorre prima ommare ui i ermii poiivi, poi ommare i moduli di ui i ermii egaivi ed effeuare u uica differeza. Eempio : Sia, 5. Calcolare i e e co lo viluppo i erie e k ! 3! k k! Se i effeua le omma dei primi 5 ermii i oiee e Il valore correo è e Quado è egaivo lo viluppo i erie è u procedimeo che umericamee pora problemi. Poiché e 5.5 e Poiamo applicare la formula uado ui ermii poiivi. Il riulao che oeiamo è molo più precio. U alra poibilià è quella di ommare ui i ermii poiivi e ui i ermii egaivi e fare u uica differeza fiale.

22 Errore el moliplicare umeri fiii. Siao,,... umeri di macchia L algorimo prodoo è il eguee: P: for i,, edfor P : P i I pai eeguii dall algorimo oo: P ) P 3 P 3 ). P P - ) L errore relaivo è P P P. ( ) ep Dimorazioe: P ) (+ε ) P 3 P 3 ) (+ε ) 3 ) 3 (+ε ) (+ε 3 ). P P - ) (+ε ) (+ε 3 ) (+ε )P (+σ - ) P P P P( + σ ). ( ep P P ) L errore relaivo el prodoo quidi crece liearmee co.

23 Perciò poo cocludere che il prodoo è u operazioe più icura. 4. Propagazioe dell errore e Sabilià Abbiamo vio che, ella omma di umeri, per ceri valori dei dai, l errore relaivo ul riulao può eere molo più grade dell errore relaivo ui dai. E eceario quidi udiare ua uova proprieà degli algorimi: la abilià che eprime il comporameo dell algorimo coiderao ripeo alla propagazioe degli errori. Se u algorimo è abile la ucceioe co cui eegue le operazioi o amplifica più dell ieviabile gli errori iiziali. Se u algorimo è iabile, il riulao che produce o è acceabile i quao la ucceioe delle operazioi che eegue amplifica i modo eagerao gli ieviabili errori dovui all uilizzo dell arimeica floaig poi. Perao u algorimo i dice abile e l ifluo oale degli errori di arroodameo ul riulao fiale è maggiorabile dall errore iiziale ui dai moliplicao per ua cera coae dipedee olo dalla ruura dell algorimo. Uo dei pricipali compii dell aalii umerica è di rovare algorimi abili (be fai) cioè algorimi i cui gli errori dovui alla eceià di operare co l arimeica dei umeri fiii iao dell ordie degli errori ieviabili. Eempio: Si voglioo calcolare gli iegrali E e d,,... 3

24 Iegrado per pari i oiee e d e e d E E,3,... co E Uado e 6 i può uare quea formula ricoriva per calcolare E.E 9 E E E E E E E E E e Iapeaamee roviamo che, ebbee l iegrado ell iervallo (,), il oro valore calcolao E 9 riula egaivo. Il valore eao è E e ia poiivo Gli uici errori che iervegoo oo quello iiziale el calcolare /e i quao la formula è eaa ell arimeica fiia. L amplificazioe dell errore è dovuo al fao che l errore iiziale u E è ao amplificao della moliplicazioe per 9!, cioè 9! E 9! Bioga cercare u alro algorimo. E Si può peare di parire da E e procedere all idiero E,...,3, 4

25 I queo modo l errore u E dimiuice di u faore /. Si deve perciò comiciare co E co >> e l errore dimiuirà ad ogi pao. Per oeere u valore iiziale i può oervare che E e d d cioè E va a co +. Paredo co u valore iiziale di E i oli 5 pai l errore è pari a 4* -8 che è miore dell errore di arroodameo. I queo modo i oiee E 9.963, che è accurao fio alla ea cifra. L aalii della abilià di u meodo umerico, iiziaa da Vo Neuma e Goldie el 947, i può effeuare eguedo raegie aleraive: Aalii i avai: i imao le variazioi ulla oluzioe dovue ia a perurbazioe ei dai, ia ad errori irieci al meodo umerico. Aalii all idiero: i coidera la oluzioe calcolaa co i umeri fiii come oluzioe eaa di u problema perurbao e i udia a quale perurbazioe ui dai corripode la oluzioe rovaa. Vedremo u applicazioe di quea ecica ello udiare la abilià della faorizzazioe di ua marice. 5