5 LA PROIEZIONE ED I RESIDUI RICORSIVI

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1 F. Carlcci Traccia per corso di Ecoomeria Modlo II Miimi qadrai 5 LA PROIEZIONE ED I RESIDUI RICORSIVI Idice del capiolo 5. La proiezioe dei miimi qadrai... L errore di proiezioe...3 L errore qadraico medio di proiezioe...3 Proiezioe e ae ed e pos...4 Idicaori dell accraezza delle proiezioi Iervalli di cofideza per le proiezioi Il caso di variaili esplicaive o oe el periodo di proiezioe...5 L errore qadraico di proiezioe el caso di o oo...5 Il eorema di Ceiscev I residi ricorsivi...8 De formle per il calcolo ricorsivo...9 La deviaza resida ricorsiva...0 Miimi qadrai ricorsivi e diagosica del modello De es di camiameo srrale el caso k...7 Il es del Cow asao slle proiezioi...8 Il es prelimiare di gagliaza delle variaze...30 Applicazioi alla fzioe delle imporazioi Verifica della sailià dei parameri...33 I es CUSUM e CUSUMSQ L impiego delle variaili di comodo ella proiezioe...38 L errore qadraico medio di proiezioe e l iervallo di cofideza della proiezioe...38 Il es di sigificaivià dell errore di proiezioe...40 U ierpreazioe aleraiva del es del Cow...4 U applicazioe: effeiamo il es del Cow co EasReg Biliografia...46 Il paragrafo 5.7 e le applicazioi soo sae redae da Alero Bagai. 08//0; 6.0 II edizioe

2 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5. La proiezioe dei miimi qadrai Cosideriamo ovamee il modello lieare mliplo.3.4 β β β k k 5.. e poiamoci il prolema di proieare fori del campioe ce percorre il empo,,,. I alre parole, vogliamo deermiare, per,,, m, dove l iervallo emporale,,, m è deo periodo di proiezioe. Se ilizziamo il modello 5.., simao el periodo campioario, per proieare occorre spporre ce la srra ecoomica, già ipoizzaa sosazialmee ivariae el campioe, rimaga la sessa ei de periodi, rededo così possiile l ilizzazioe della sima dei miimi qadrai ella proiezioe di. Se iolre sppoiamo di cooscere i valori fri delle variaili esplicaive per,,, m, e di far valere ace per il fro le ipoesi deoli per i residi E 0, E s σ 0 s s ; s,,..., m 5.. per ogi, per ci risla arale predere come proiezioi dei residi il loro valor medio, ce è llo, la proiezioe al empo è 5..3 β β... βk k I effei o è ao la proiezioe di qao della sa compoee sisemaica, poicé la proiezioe di è saa posa arirariamee gale a zero. Qesa procedra, avia, pò essere gisificaa i seso proailisico se si cosidera, come ad esempio fao dal de Fiei [970] i amio soggeivisa, la proiezioe di a variaile aleaoria come so valor medio; i qeso caso si a E β β... βk k e i parameri β i, scooscii, devoo essere sosiii da sime. La proiezioe 5..3 cosideraa come a variaile aleaoria fzioe degli simaori β i divea proieore della pare sisemaica del modello, ce è BLU se si ilizza il crierio di sima degli OLS: ifai è lieare rispeo alle poicé lieari soo gli simaori OLS; è o disoro E E β β... βk k β β... βk k ed oimo Var... Var β β βk k Var... k k dove,..., k soo simaori qalsiasi ella classe dei lieari e o disori, i qao vale la.8. se si predoo le cosai c i pari a i,, i,,, k. 5-

3 Modlo II I miimi qadrai ordiari L errore di proiezioe Rimarciamo il fao ce, a meo di o acceare l imposazioe del de Fiei, il proieore 5..3 o è o simaore o disoro di defiio dalla 5.., mere lo è della sa compoee sisemaica. Esso, avia, pò essere cosiderao o disoro i alro seso, ce illsriamo facedo ricorso all errore di proiezioe defiio ella maiera segee k e βi β i i i 5..4 Poicé il valor medio dell errore 5..4 è llo k E e E βi βi i E i il proieore pò essere cosiderao come o simaore o disoro di el seso ce il valor medio dell errore di proiezioe è llo. I qeso caso si dice ce è proieore icodizioaamee o disoro. L errore qadraico medio di proiezioe La variaza dell errore di proiezioe è facilmee rovaa i ermii mariciali Var e E e Var[ Cov ] Var σ σ [ ] 5..6 dove el secodo passaggio soo sai ilizzai la 5..4 ed il fao ce è icorrelao per la 5.. co i i residi del periodo campioario e qidi co gli simaori β i ; el erzo passaggio è saa operaa la.8. e el qaro, ifie, la.6.8. La variaza 5..6 è dea errore qadraico medio di proiezioe ed è spesso cosideraa come idicaore della precisioe della proiezioe. Tao più piccolo è qeso errore ao più precisa è la proiezioe, per ci il proieore 5..3 gode di a grade rilevaza valedo il segee Teorema 5. - Nella classe dei proieori lieari rispeo alle ed icodizioaamee o disori, se i β i, i,,, k, soo gli simaori dei miimi qadrai ordiari il proieore 5..3 è qello ce possiede errore qadraico medio miimo. Ifai, ilizzado l algera delle marici, ogi alro proieore lieare elle è del ipo I liga iglese: Mea Sqare Error MSE of predicio. 5-3

4 Modlo II I miimi qadrai ordiari [ d ] 5..7 dove d è veore di cosai arirarie di dimesioe. Il so errore di proiezioe è [ [ d [ d ] [ d ] d ] d ] ce deve essere llo, per ogi, soo l operaore valor medio afficé icodizioaamee o disoro. Occorre, qidi, ce sia sia d L errore qadraico medio del proieore 5..7 è dqe E[ ] Var E σ d d σ σ [ σ d d Var e { ] [ d [ d ]} d ] 5..9 dove soo ilizzai la 5..6, la 5..8 ed il fao ce lo scalare d è gale al so rasposo; iizialmee, d alro cao, si è fao so della o correlazioe 5.. ra e ciasc elemeo del veore associao ai empi da ad. La 5..9 è miima se d0, cioè se il proieore è qello defiio dalla La esi è così dimosraa. Proiezioe e ae ed e pos Nelle pagie precedei aiamo cosiderao periodo di proiezioe eseso fori del campioe da a m s iervallo emporale el qale i valori della variaile dipedee o soo acora oi. Ua proiezioe di qeso ipo viee dea proiezioe e ae, ad idicare appo ce essa viee effeaa prima di cooscere i valori sorici della variaili proieaa. Si defiisce ivece proiezioe e pos la proiezioe effeaa all iero del campioe, cioè riferia a iervallo emporale el qale i valori sorici della variaile dipedee soo dispoiili il ermie e pos allde appo al fao ce la proiezioe viee effeaa dopo ce i valori della dipedee soo sai rilevai. I qes limo caso il campioe di osservazioi viee scisso i de soocampioi, i modo aalogo a qao viee fao qado si imposa es di camiameo di srra si veda il par Il primo campioe cosa di osservazioi e s esso si effea la sima del modello, mere il secodo campioe di proiezioe e pos cosa di osservazioi. La proiezioe viee qidi calcolaa slle osservazioi da a. 5-4

5 Modlo II I miimi qadrai ordiari La proiezioe e pos è effeaa sl passao, azicé sl fro, della variaile, e qidi o a a rilevaza operaiva, ma a a grade imporaza i ermii diagosici. Ifai solo e pos è possiile misrare gli errori di proiezioe del modello errori ce e ae soo variaili aleaorie e qidi valare l accraezza della proiezioe sessa. I ermii iiivi, si pò affermare ce se eqazioe o prevede ee il passao della variaile dipedee, geeralmee le se previsioi sarao poco accrae ace rigardo al fro. La precisioe della proiezioe e pos è qidi a codizioe ecessaria, ma o sfficiee, percé si possa presare fidcia al modello qado lo si impiega ella proiezioe e ae. Per esemplificare i cocei esposi fiora riprediamo la fzioe delle imporazioi e ilizziamola per effeare a proiezioe e pos. Il campioe dispoiile, lo ricordiamo, cosa di dai rimesrali dal 970 al 989 per oale di 80 osservazioi. Nel paragrafo 3.5 qesa eqazioe è saa sooposa a es di camiameo di srra cosiderado de soocampioi rispeivamee di 5 e 55 osservazioi l osservazioe -esima corrispode al primo rimesre del 976, oeedo la saisica F 8,63 riporaa ella 3.5., ce rislava sigificaiva, evideziado la preseza di prolemi di camiameo di srra..0 Valori sorici e proiezioe e pos Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 LNM Trimesri Forecas Figra 5. I valori sorici del logarimo delle imporazioi e qelli proieai mediae la La proaile preseza di camiameo di srra segala ce la proiezioe e pos effeaa sl soocampioe da 976: a 989:4 porà essere accraa. Per cosrire la proiezioe appliciamo la 5..3 all eqazioe 3.5., eedo presee ce i coefficiei simai sl primo sooperiodo corrispodoo a qelli 5-5

6 Modlo II I miimi qadrai ordiari delle variaili esplicaive o spezzae, cioè o moliplicae per la variaile di comodo d, ce serve appo a rappreseare l eveale sposameo sif dei parameri fra il primo e il secodo sooperiodo. I alri ermii, la formla ilizzaa per il calcolo delle proiezioi è l , l 0.99 l, 0.8 l 3, 0. l 4, 0.0 d, 0.06 d, 0.03 d 3, 5..0 dove, come aiamo specificao, 5 corrispodee al primo rimesre del 976 e,,, co 55. Si oi ce aiamo omesso la variaile di comodo pale d 73, poicé essa el periodo di proiezioe vale sempre zero. Uilizzado la 5..0 e i valori delle esplicaive el secodo sooperiodo si cosrisce la proiezioe e pos rappreseaa ella figra 5.. Come è lecio aedersi, daa la preseza acceraa di camiameo di srra, la proiezioe e pos è sisemaicamee disora. I paricolare, il modello sovrasima sisemaicamee l adameo delle imporazioi el secodo sooperiodo, cioè l errore di proiezioe è cosaemee egaivo. Da qeso po di visa qidi il grafico 5. o fa ce cofermare il rislao La cosegeza operaiva di qeso rislao è ce per oeere modello da ilizzare a scopo di previsioe e ae dovremo qao meo simare il modello elimiado le osservazioi aecedei al camiameo di srra. I parameri simai sll iero campioe soo ifai a misra dei parameri corrispodei al primo e al secodo regime, e qidi foriscoo proiezioi disore. Proviamo qidi a cosrire modello previsioale omeedo le osservazioi relaive agli ai 70: la prima osservazioe corrispode qidi al primo rimesre del 980; omeiamo iolre le lime oo osservazioi, corrispodei all limo ieio del campioe, per cosrire co esse la proiezioe e pos. Aiamo qidi 3 corrispodee a 987:4 e 8. La sima della sl primo soocampioe forisce qesi rislai l ŷ l.04 l l l d d 0.03 d , R c 0.986, RSS , SEE 0.0, JB 0.67, BP I qeso ragioameo soo implicie le ipoesi ce il camiameo di srra sia ico e sia sao correamee idividao, e iolre ce il secodo regime si maega ace al di fori del campioe di sima. L lima ipoesi 5-6

7 Modlo II I miimi qadrai ordiari dove gli idicaori diagosici ao il coseo sigificao e iolre BP è la saisica del es di omoscedasicià di Bresc e Paga [979] codoo ilizzado a regressioe asiliaria aaloga alla Le sime o soo paricolarmee soddisfacei, é soo il profilo dell ierpreazioe ecoomica le variaili di prezzo ao sego corario a qello aeso e il deflaore delle imporazioi o è sigificaivo, é soo il profilo saisico la saisica di Bresc e Paga si disriisce come χ, co valore soglia al 5% pari a 3.84, qidi l ipoesi di omoscedasicià dei residi è respia. 0.6 Valori sorici e proieai Q 985Q 986Q3 987Q4 989Q Trimesri LNM Forecas Figra 5. I valori sorici del logarimo delle imporazioi e qelli proieai co la L emergere di prolemi simili ella sima s soocampioe evidezia la ecessià di a rispecificazioe del modello. Ace i qeso caso ci aspeiamo qidi ce la proiezioe e pos o sarà paricolarmee accraa. I rislai relaivi soo riporai i deaglio ella avola 5. e ella figra 5.. sorici proieai errore 988Q Q Q Q Q Q Q Q Tavola 5. I valori sorici del logarimo delle imporazioe e qelli proieai co la

8 Modlo II I miimi qadrai ordiari Ace i qeso caso le proiezioi soo sisemaicamee disore verso l alo, se pre i misra miore rispeo a qao riscorao el precedee esperimeo di proiezioe. Si oi ce siccome le variaili soo espresse i logarimi, l errore di proiezioe a dimesioe perceale. Ad esempio, el primo rimesre del campioe di proiezioe e pos la proiezioe sovrasima il valore sorico i misra pari al 5.7%. Dal po di visa operaivo qesi rislai lasciao iire ce il fallimeo del modello soo il profilo dell accraezza delle previsioi o pò essere semplicemee ricodoo all esiseza di sigolo camiameo di srra el 976. Idicaori dell accraezza delle proiezioi Al fie di misrare l accraezza delle proiezioi vegoo cosrii alci idicaori ce fao so dell isieme degli errori di previsioe 5..4 cosiderai i o il periodo di proiezioe. Naralmee qesi idicaori possoo essere cosrii solo e pos, cioè solo a vola ce sia dispoiile il valore sorico della variaile dipedee da cofroare co qello proieao. I ciqe comemee più sai soo l errore medio e ME 5.. ce è ella sosaza la media arimeica degli errori; l errore medio assolo MAE e 5..3 ce è la media arimeica degli errori presi i valore assolo i modo da cosiderarli simmericamee, sia i posiivi ce i egaivi, mere ell ME gli i si elidoo co gli alri; l errore qadraico medio e MSE 5..4 ce è la sima campioaria dell errore qadraico medio di proiezioe 5..6 e ce spesso è cosiderao soo radice qadraa arimeica dado logo alla radice dell errore qadraico medio RMSE MSE /

9 Modlo II I miimi qadrai ordiari i modo da oeere idice della sessa dimesioe dell errore; ed ifie il coefficiee di disgagliaza di Teil 3 / e / U / 5..6 ce vale zero qado i gli errori di proiezioe soo lli e ede ad o ma mao ce l accraezza delle proiezioi peggiora. Spesso è ile valare alci degli idicaori precedei i ermii perceali rispeo ad al fie di disporre di a misra di errore idipedeemee dalla dimesioe della variaile ce si proiea: sosiedo elle 5..3 e 5..4 al poso degli errori e i rappori e / si oegoo l errore medio assolo perceale MAPE e l errore qadraico medio perceale MSPE. Qese misre di accraezza soo ilizzae i praica co gli errori,,,,, calcolai ramie le proiezioi e pos ; le misre di accraezza soo, dqe, merice. Nel caso della 5.. l impiao dei calcoli per la cosrzioe delle misre di accraezza è mosrao ella avola 5., ella qale aiamo riporao i valori sorici e proieai coverii i ià arali. I effei, se le variaili soo logarimizzae gli scari fra valori sorici e simai ao già la dimesioe di a perceale, qidi i qeso caso o a seso calcolare le misre descriive perceali. D alra pare elle applicazioi della proiezioe è spesso opporo, come sraegia esposiiva, riporare i rislai i ià arali, i paricolar modo qado si possa presmere ce l ee fiale delle proiezioi aia scarsa familiarià co le proprieà dei logarimi come geeralmee avviee al di fori dell amio della ricerca scieifica. Nella avola 5. si oi iazio ce gli errori medio e medio assolo coicidoo, come accade ecessariamee qado l errore è sisemaicamee posiivo o egaivo. La coicideza di qesi de idicaori è qidi idizio di scarsa affidailià delle previsioi del modello, poicé, idipedeemee dalle dimesioi dell errore, la sa sisemaicià deoa appo il fao ce il modello o esprime i modo adegao a la compoee sisemaica del feomeo e 3 I liga iglese gli idicaori soo: mea predicio error MPE, mea asole error MAE, mea sqare error MSE, roo mea sqare error RMSE, Teil s ieqali coefficie U, rispeivamee. 5-9

10 Modlo II I miimi qadrai ordiari osservao. Si oi poi, come aicipao commeado la avola 5., ce l errore assolo perceale è approssimao dal valore assolo dell errore riferio ai logarimi delle variaili. I ermii pramee descriivi la presazioe del modello o è pessima: l errore assolo perceale è i media pari al 3.3%, valore ce poree ace essere cosiderao acceaile. Tavia, come aiamo già rilevao, qeso idicaore preso di per sé è igaevole percé esprime icamee la dimesioe dell errore, e o la sa sisemaicià. Qes lima è idizio di gravi difei ella specificazioe del modello, difei ce, peralro, rislao evidei ace dall ierpreazioe ecoomica e della diagosica dell eqazioe 5... Valori Errore Errore perceale sorici proieai semplice assolo qadraico assolo qadraico 988Q Q Q Q Q Q Q Q medie RMSE Tavola 5. Il calcolo delle misre descriive di accraezza della proiezioe per la

11 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5. Iervalli di cofideza per le proiezioi Sppoiamo, ora, ce valgao le ipoesi fori per i residi, sia el periodo campioario ce i qello di proiezioe, per ci è ace N0,σ,,, m I qeso caso l errore di proiezioe 5..4 è a variaile aleaoria cosiia da a comiazioe lieare degli simaori disriii ormalmee e di ac essa ormale, per ci è 0, σ,,, m e N a se poiamo a 5.. i virù delle 5..5 e Voledo rovare gli iervalli di cofideza per le, ce i realà ao sigificao leggermee diverso dal coseo i qao e ae la è a qaià aleaoria fzioe di, cosideriamo ce e N0,,,, m σ a σ a e ce a / k / a σ k,,, m 5.. poicé e e soo variaili aleaorie socasicamee idipedei. Ifai per la 5..4 e è formaa dalle i o correlae co le û per la.3.4 e dalla o correlaa co le û per la 5..; essedo e qese variaili disriie ormalmee, vale l asseria idipedeza socasica. La 5.. pò ace essere ilizzaa e pos per cosrire es di sigificaivià ce permee di valare l accraezza della proiezioe i modo più rigoroso rispeo alle misre merice di accraezza della proiezioe MAE, MAPE, vise al ermie del paragrafo precedee. Le iformazioi sll ordie di gradezza dell errore di proiezioe forie da qese lime o egoo coo della variailià del feomeo sdiao, per ci, ad esempio, errore medio assolo perceale del 5% pò essere acceaile se la variaile dipedee è caraerizzaa da esrema variailià ed è qidi irisecamee più difficile da 5-

12 Modlo II I miimi qadrai ordiari prevedere, mere sarà iacceaile se il feomeo sdiao a adameo meo irregolare. La 5.. ormalizza l errore di proiezioe dividedolo per il proprio scaro qadraico medio e qidi elimia l effeo della variailià iriseca del feomeo, foredo così a merica ella qale è possiile effeare i modo sesao valazioi comparaive fra modelli diversi. Se la saisica defiia dalla 5.. è iferiore i valore assolo al valore soglia periee della disrizioe -k allora l errore di proiezioe o è saisicamee sigificaivo. I qeso caso, qidi, ace se l errore rislasse grade i ermii descriivi, si dovree cocldere ce le se dimesioi soo legae alla variailià del feomeo, e o deoao é eveo aleaorio eccezioale osservazioe aomala, é fallimeo del modello ad esempio, camiameo di srra ei parameri di regressioe. Viceversa, se la 5.. è speriore i valore assolo al relaivo valore soglia, allora l errore è saisicamee sigificaivo, e qidi valgoo cosiderazioi iverse, el seso ce ace qalora fosse l errore piccolo i ermii descriivi esso deoeree pr sempre o il verificarsi di eveo eccezioale, o la preseza di prolemi saisici el modello i paricolare, di camiamei di srra Q 988Q 989Q lm proiezioe iervallo iervallo Figra 5.3 L iervallo di cofideza della proiezioe e pos effeaa co la

13 Modlo II I miimi qadrai ordiari Sfrado la cosea dalià fra verifica delle ipoesi e sima iervallare, l iervallo di cofideza al livello α è rovao paredo dalla codizioe P k a σ k dove k e k soo i qaili di proailià α/ e α/ rispeivamee, forii dalle avole della di Sde co k gradi di lierà. L iervallo risla, dqe, a σ a σ 5..3 α k k per,,,, e va ierpreao come l iervallo più coro ce coiee il valore aleaorio co proailià α. La dalià fra verifica delle ipoesi e sima iervallare implica ce e pos il es defiio dalla 5.. e l iervallo di cofideza 5..3 foriscao esaamee le medesime iformazioi, se pre i forma diversa. I alre parole, qado il valore sorico ricade all iero dell iervallo di cofideza 5..3, la saisica 5.. cioè l errore di proiezioe sdeizzao o risla saisicamee sigificaiva, mere, di coverso, se la saisica 5.. è maggiore, i valore assolo, del rispeivo valore soglia, allora il valore sorico cade al di fori dell iervallo di cofideza. Riprediamo ora la 5.. corredado la avola 5., ce e ripora la proiezioe e pos, co gli scari qadraici medi degli errori di proiezioe, cosrii come radice qadraa della 5..6, e co le saisice 5... Qesi rislai soo esposi ella avola 5.3. Nel caso della proiezioe e pos le saisice 5.. si disriiscoo come a co -k gradi di lierà; il relaivo valore soglia, cosiderado ce ella 5.. si a -k 3-8 4, è pari a.06. Ne cosege ce il primo, il secodo e l limo errore di proiezioe soo sigificaivamee diversi da zero, ovvero, i alri ermii, ce i relaivi valori sorici giaccioo al di fori dell iervallo di cofideza al 5% della proiezioe, come palmee si osserva ella figra 5.3, ce ripora appo la proiezioe effeaa co la 5.. isieme al relaivo iervallo di cofideza. 5-3

14 Modlo II I miimi qadrai ordiari sorici proieai errore s.q.m. dell'errore es 988Q Q Q Q Q Q Q Q Tavola 5.3 Il es di sigificaivià dell errore di proiezioe slle proiezioi e pos codoe co l eqazioe 5... L errore risla sigificaivamee diverso da zero i re casi. U alro dao ce segala la scarsa affidailià delle proiezioi effeae co la 5.. è dao dalla localizzazioe degli errori sigificaivi, ce, corariamee a qao ci si poree aedere, soo localizzai i maggioraza all iizio, e o alla fie, del campioe di proiezioe e pos. Se asraiamo dall lima osservazioe del campioe di proiezioe, gli errori più gradi si verificao el primo e el secodo periodo. I alri ermii, semra ce il modello faccia più faica a prevedere ell immediao fro ce o el fro più remoo. Geeralmee rislao di qeso ipo segala la preseza di malaspecificazioe del modello. 5-4

15 Modlo II I miimi qadrai ordiari Il caso di variaili esplicaive o oe el periodo di proiezioe Nei de paragrafi precedei si è spposo ce l errore di proiezioe e dipedesse - dall icerezza si parameri riii el veore, - dal resido aleaorio, ipoizzado di cooscere il veore delle osservazioi delle variaili esplicaive al empo. I virù di qesa lima ipoesi, le proiezioi soo defiie e pos, i qao appo si sppoe di cooscere i valori fri delle esplicaive. I mole circosaze, avia, qesi valori o soo oi e devoo qidi essi sessi essere proieai dado logo alle proiezioi, ce sppoiamo essere idipedei da, per ci la 5..3 divea 5.3. e l errore di proiezioe viee ad essere il segee e 5.3. scomposo elle re foi di icerezza, la, la e la. Se si fao le de leriori ipoesi E 0 ] [ E prededo il valor medio della 5.3. si oiee 0 e E ed il proieore 5.3. è acora icodizioamee o disoro. L errore qadraico di proiezioe el caso di o oo La variaza dell errore di proiezioe 5.3. è daa da ] [ ] [ ] [ σ E E E e E e Var poicé i valori medi dei prodoi icrociai si allao i virù dell idipedeza di, e. Dal momeo ce è

16 Modlo II I miimi qadrai ordiari E[ ] E E r r poicé, i virù della prima delle 5.3.3, { r[ ]} { ]} { E[ ] E[ ] } { Cov [ Cov ]} Cov E E ed iolre è la divea Var e E σ σ σ Cov r { Cov [ Cov ]} Cov [ Cov ] r[ Cov ] Cov [ Cov ] Cov Cov rcov rcov gale alla 5..6 qalora sia oa e la marice di dispersioe di qidi lla sia I segio vedremo come sia possiile calcolare qesa marice i ceri casi di igoo, e qidi deermiare l errore qadraico medio di proiezioe I ermii merici, la proiezioe viee deermiaa mediae la 5.3. a vola ce siao dispoiili le sime e le proiezioi. Gli iervalli di cofideza soo viceversa difficilmee calcolaili percé, ace ell ipoesi di ed ormali, l errore di proiezioe 5.3. è geeralmee o ormale poicé è fzioe del prodoo dei de veori aleaori e, amede co disrizioe ormale mlivariaa. Il eorema di Ceiscev Ua modo approssimao, sggerio i Feldsei [97], per deermiare iervalli di cofideza per la si asa slla disegagliaza di Ceiscev ce viee dimosraa el segee Teorema 5. - La proailià ce a variaile aleaoria z si discosi dal proprio valor medio µ più di δ vole lo scaro qadraico medio è miore o gale ad /δ. I alri ermii è P z µ δσ / δ

17 Modlo II I miimi qadrai ordiari ovvero δσ< z µ < δσ > / δ P Poicé l errore di proiezioe e a valor medio llo e variaza σ e daa dalla 5.3.6, applicado la si a P δ σ < < δ σ > / δ e e dalla qale si ricava l iervallo di cofideza δ σ < < δ σ e ce coiee il valore aleaorio e co proailià maggiore di /δ. Se si prede soggeivamee α/δ 0.05, si oiee δ 5, avedo cosiderao solao la radice qadraa arimeica, e l iervallo divea σ σe < < 5 ce pò essere deermiao mericamee sosiedo a σ e la radice qadraa arimeica dell errore qadraico medio ella qale σ è sosiia da a sa sima, ad esempio qella o disora.7., è rimpiazzaa da, Cov è acora calcolaa mediae la.6.7 e la sima.7., ed ifie Cov è deermiaa ella procedra di proiezioe di. L acceaa approssimazioe dell iervallo di cofideza dipede appo dalla sosizioe dei compoei dell errore qadraico medio co le loro sime. Se qese soo oe, l approssimazioe è molo accraa. e 5-7

18 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5.4 I residi ricorsivi Il coceo, molo ile come vedremo i segio, dei miimi qadrai ricorsivi si foda slla semplice procedra di simare più vole il veore dei parameri del modello lieare mliplo 5.. ilizzado marici co mero di rige via via più grade. Proieado la del modello empo i avai co l so delle sime ricorsive, si oegoo i residi ricorsivi, ramie i qali è possiile verificare alce ipoesi relaive all ivariaza el empo dei caraeri del modello lieare. La marice di ordie k scria i ermii delle se rige divea... e ciamado co la marice di ordie k cosiio dalle prime rige si pò calcolare mediae essa la sima dei miimi qadrai ricorsivi 5.4. dove è il veore cosiio dai primi elemei di, soo le ipoesi ce siao k, r k 5.4. Tramie si possoo deermiare la proiezioe ŷ empo i avai, i virù della 5..3, k, k,..., e gli errori di proiezioe e ce cosiderai come variaili aleaorie posseggoo variaza foria dalla 5..6 Var e σ [ ] σ a avedo sfrao la posizioe 5... Dividedo ciasc errore per a si oiee il resido ricorsivo v / a k,k,..., ce i ermii aleaori possiede disrizioe N0,σ se valgoo le ipoesi fori si residi del modello lieare mliplo dal momeo ce i qeso caso e 0, N σ. Poicé deve essere k il mero di residi ricorsivi ce possoo a essere formai slla ase di campioe di ampiezza è k. La loro idipedeza socasica è dimosraa el segee 5-8

19 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5-9 Teorema Se sssisoo le ipoesi 5.4. per k, k,...,, e se, N I 0 σ allora il veore,...,, k k v v v dei residi ricorsivi a disrizioe ormale mlivariaa, k N σ I 0. Si è appea mosrao ce soo le ipoesi del eorema v 0, σ N per ci la esi è dimosraa se si rova ce 0 s s v v E v v Cov, per ogi ed s, co s. Ma, i virù del fao ce si a ce [ ][ ] { } 0 / ]/ [ / ] [ s s s s s s s s s s s s s s s s s a a E a a E a a E v v E poicé il rasposo di o scalare è gale allo scalare sesso e percé iolre, per ogi ed s e sppoedo ce s> seza perdere i geeralià, si a 0 s E 0 s E 0] [0 σ s E elemeo di idice ] [ 0 I σ s E dove la marice [I 0] è cosiia da a pare siisra gale ad I e da a pare desra gale alla marice lla di ordie s, come immediaamee si verifica. De formle per il calcolo ricorsivo Il calcolo dei residi ricorsivi presppoe l ilizzazioe della formla 5.4. per k vole, e pò essere compazioalmee pesae se e k soo gradi i qao i ogi passo è riciesa l iversioe di a ova marice di ordie k. Tavia, Brow, Dri ed Evas [975] ao svilppao de formle ricorsive per il calcolo della 5.4. ce permeoo di semplificare oevolmee il lavoro compazioale; esse soo a

20 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5-0 dove lo scalare a è dao dalla 5... Per mezzo di e di si calcola a, océ mediae la 5.4.7; qidi si deermia parire dalla sima precedee - araverso la La formla ricorsiva è facilmee dimosraa se si oa ce, poicé è ace ; moliplicado il memro a siisra della per si oiee la marice I k, alla qale ace si arriva moliplicado il memro a desra della per. Sfrado acora la scomposizioe si dimosra ace la 5.4.8; ifai, ricordado la defiizioe 5.4. di sima dei miimi qadrai ricorsivi, si a ] [ La deviaza resida ricorsiva Ace per la deviaza resida sssise a formla ricorsiva molo ile, daa el segee Teorema Se è veore di residi simai co i miimi qadrai ricorsivi, allora vale la segee formla per la deviaza resida v k, k,..., Ifai, i virù della 5.4.8, si a per ci 5.4. dove ell limo passaggio si è sfraa l gagliaza segee ] [

21 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5- i virù della 5.4. ed essedo o scalare gale al so rasposo. Qidi, ricordado acora la e la scomposizioe ] [, è per ci, sosiedo e sfrado le e 5.4.7, la 5.4. divea ] [ ] / [ v v a v v a v a v a v a a v e la esi è dimosraa. Miimi qadrai ricorsivi e diagosica del modello Se le ipoesi socasice fori soo verificae, avremo i paricolare ce i parameri del modello soo cosai e deve ace verificarsi ce co l ameare della merosià campioaria, ameado l iformazioe saisica dispoiile per la sima dei parameri, le sime sesse divegao più precise, il ce sigifica da lao ce le di Sde dei coefficiei dovreero diveare più sigificaive, e dall alro, per la dalià fra sima pale e sima iervallare, ce l iervallo di cofideza cosrio aoro ai sigoli coefficiei simai dovree resrigersi; aalogamee, co l ameare dell iformazioe campioaria lo scaro qadraico medio dei residi del modello dovree decrescere i modo pressocé moooo i corrispodeza co il decrescere dell icerezza slle sime deermiaa dall ameare dell iformazioe campioaria. I meodi ricorsivi offroo o srmeo immediao per verificare se il modello si coforma a qese previsioi: asa rappreseare il grafico dei i, β isieme ai relaivi iervalli di cofideza, e qello di σ, cosrio come radice qadraa di /-k e osservare l adameo. L applicazioe di qesi srmei diagosici alla pora ai grafici rappreseai elle figre dalla 5.5 alla I sede di sima ricorsiva aiamo elimiao la variaile di comodo pale d73,, ce è perfeamee collieare co l iercea elle prime dodici osservazioi del campioe da 70: a 7:4 la d73, è veore di zeri, perfeamee collieare al veore di o ce rappresea l iercea.

22 Modlo II I miimi qadrai ordiari Il primo grafico ripora l idicaore diagosico più sieico, dao da σ. Si vede ee come all ameare della merosià campioaria lo scaro qadraico medio della regressioe o eda a dimiire, e azi amei i modo marcao i almeo re episodi, corrispodei rispeivamee all iizio del campioe, ai rimesri da 975: a 976: i corrispodeza dei qali aiamo già localizzao camiameo di srra, ce aiamo daao i 976: slla ase dell osservazioe del grafico dei residi OLS, e acora ai rimesri da 984: a 985:. Qes limo rislao mosra qidi ce i camiamei di srra el campioe a osra disposizioe soo sai almeo de: olre a qello idividao dalla saisica 3.5. e aiamo alro verosimilmee a meà degli ai 80. Qes limo poree spiegare come mai ace ridcedo il campioe di sima ai soli ai 80 e qidi passado dalla 5..0 alla 5.. la proiezioe e pos rimaga comqe disora verso l alo Eqazioe delle imporazioi Scaro qadraico medio della regressioe 970Q 974Q 978Q 98Q 986Q Figra 5.5 Lo scaro qadraico medio della regressioe calcolao paredo dalle sime ricorsive dell eqazioe delle imporazioi I grafici delle sime ricorsive iervallari dei sigoli coefficiei possoo forirci idicazioi circa l origie di qesi camiamei di srra, idicadoci i paricolare se essi siao associai o meo ai coefficiei di specifice variaili. Noiamo iao ce i i grafici dal 5.6 al 5.3 maifesao a frara aoro al 976, e ce geeralmee i corrispodeza di essa le sime diveao molo meo disperse cioè il loro iervallo di cofideza si resrige. Aoro al 985 si verifica poi sigificaivo sliameo verso il asso dell elasicià delle imporazioi ai cosmi figra 5.7, i sicroo co opposo e più deciso 5-

23 Modlo II I miimi qadrai ordiari sliameo verso l alo dell elasicià a ivesimei e esporazioi figra 5.8. La sima ricorsiva mosra ce i coefficiei delle variaili di prezzo soo relaivamee più saili verso la meà degli ai 80, e iolre ce l elasicià ai prezzi ieri figra 5.0 è o sigificaivamee diversa da zero slla maggior pare del campioe. Iercea e so iervallo di cofideza approssimao asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5.6 La sima ricorsiva del coefficiee dell iercea. Coefficiee di e so iervallo di cofideza asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5.7 La sima ricorsiva del coefficiee dell elasicià delle imporazioi ai cosmi. 5-3

24 Modlo II I miimi qadrai ordiari Coefficiee di e so iervallo di cofideza asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesir Figra 5.8 La sima ricorsiva del coefficiee dell elasicià delle imporazioi a ivesimei e esporazioi. Coefficiee di 3 e so iervallo di cofideza asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5.9 La sima ricorsiva dell elasicià delle imporazioi ai prezzi impor. 5-4

25 Modlo II I miimi qadrai ordiari Coefficiee di 4 e so iervallo di cofideza asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5.0 La sima ricorsiva dell elasicià delle imporazioi ai prezzi ieri. Coefficiee di d e iervallo di cofideza approssimao asao si RLS Q 97Q3 975Q 977Q3 980Q 98Q3 985Q 987Q3 Trimesri Figra 5. La sima ricorsiva del coefficiee della prima variaile di comodo sagioale. 5-5

26 Modlo II I miimi qadrai ordiari Coefficiee di d e so iervallo di cofideza asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5. La sima ricorsiva del coefficiee della secoda variaile di comodo sagioale. Coefficiee di d3 e so errore sadard asao si RLS Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 Trimesri Figra 5.3 La sima ricorsiva del coefficiee della erza variaile di comodo sagioale. Viceversa, le variaili di comodo sagioali preseao coefficiei isaili s o il campioe: i paricolare, i coefficiei delle prime de ao a marcaa edeza egaiva figre 5. e 5., mere il coefficiee della erza risee del camiameo di srra a meà degli ai 80, i corrispodeza del qale divea o sigificaivo. Qesa evideza coferma ce ella è la rappreseazioe della sagioalià è malspecificaa, e iolre ce a meà degli ai 80 si verifica leriore camiameo di srra rigardae i coefficiei delle de variaili di scala. 5-6

27 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5.5 De es di camiameo srrale el caso k Nel es di malaspecificazioe asao sll ipoesi 3.5. si è spposo ce >k ed >k poicé la procedra cosria eqivale a simare separaamee co il crierio dei miimi qadrai ordiari a eqazioe ella prima pare del campioe ed alra ella secoda. Geeralmee la codizioe >k è aodaemee soddisfaa elle applicazioi se si ilizzao dai emporali è spesso possiile allgare le serie sorice all idiero qalora sia roppo piccola, mere sovee o lo è l alra >k; è allora ecessario ricorrere a es diversi dai precedei, o dei qali si foda sl fao ce se è valida l ipoesi lla 3.5. o vi è camiameo srrale ra il primo ed il secodo sooperiodo e si pò calcolare la deviaza resida cosiderado e le 0 0 osservazioi. Se l ipoesi lla o vale si pò deermiare la deviaza resida relaivamee al solo primo soocampioe, ce idiciamo co ed alla qale soo relaivi k gradi di lierà. Se l ipoesi lla è vera, la differeza 00 è piccola, e qesa cosegeza idce a cosrire la saisica 00 / F / k 5.5. slla qale asare il es di camiameo srrale. Qesa saisica è simile ma o ideica alla per ci o possoo esser adoperae le argomeazioi del capiolo 3 per affermare ce a disrizioe della F di Fiser. Per qeso, è ecessario far so del eorema 5.4 relaivo alla deviaza resida ricorsiva, secodo l imposazioe di Harve [976]. Ierado la formla ed osservado ce 0 poicé modello k k lieare co k parameri simao s k osservazioi si adaa ad esse perfeamee così da avere residi i lli, si a e per ci la variaile aleaoria v k v k 0 0 / σ v / σ 5-7

28 Modlo II I miimi qadrai ordiari è formaa dalla somma dei qadrai di variaili ormali sadardizzae ed idipedei per il eorema 5.3, e qidi possiede a disrizioe del ci qadrao co gradi di lierà. D alro cao la variaile aleaoria σ per gli / sessi moivi è disriia come χ co k gradi di lierà e qidi il rapporo 5.5. possiede disrizioe F, k. Nmeraore e deomiaore della 5.5. soo idipedei percé formai da residi ricorsivi diversi. La procedra di eseczioe di qeso es di camiameo srrale è composo da qaro passi: i si sima modello lieare 5.. sl campioe cosiio da e le osservazioi e si calcola la deviaza ; 0 0 ii si sima il modello co le prime osservazioi e si calcola deviaza ; iii iv si calcola la saisica F daa dalla 5.5. e la si cofroa co il valore criico F deermiao per mezzo della disrizioe della F di Fiser co e k gradi di lierà al livello di sigificaivià α prescelo; se F F si è idoi ad acceare l ipoesi lla di asseza di camiameo di srra, alrimei la si rifia, el qal caso occorrerà procedere a a rispecificazioe del modello. Il es del Cow asao slle proiezioi U secodo es ilizzaile per verificare l ipoesi di camiameo srrale el caso i ci sia k è sao svilppao dal Cow [960] slla ase delle proiezioi effeae el secodo sooperiodo campioario mediae il modello simao el primo. Il modello lieare el primo soo periodo,,, sia co sima dei parameri mere el secodo sooperiodo,,, sia dove viee simao mediae la 5.5.5, per ci si possoo effeare le proiezioi,,...,, raccole el veore Tramie gli errori di proiezioe relaivi, coei el veore e 5-8

29 Modlo II I miimi qadrai ordiari si pò cosrire il es asadolo sl fao ce se essi soo sfficieemee piccoli si pò rieere ce le sime siao valide ace el secodo sooperiodo e ce qidi valga l ipoesi lla di iesiseza di camiameo srrale. Il valor medio del veore degli errori di proiezioe è e la sa marice di dispersioe E e e E σ E e 0 {[ ][ ]} [ I ] V σ dove si è sfrao il fao ce E σ I, E σ I, E 0, E 0, e si è defiia la marice V. Ma il veore aleaorio e è fzioe lieare di e ce soo veori ormali mlivariai ed idipedei socasicamee ra di loro poicé è idipedee da, e qidi e N 0, σ V Ora osserviamo ce poicé è a marice defiia posiiva e lo è poicé esise la sa iversa, per il eorema I-.9 è defiia posiiva ace la marice e qidi ace la V; poicé qesa è ace simmerica, come facilmee si verifica, l applicazioe del eorema I-.4 mosra ce e / σ e V χ per ci e V e / F / k è il rapporo ra de variaili aleaorie disriie come ci qadrao co e k gradi di lierà rispeivamee. Se il rapporo è piccolo ace gli errori di proiezioe soo piccoli e si è idoi ad acceare l ipoesi lla di iesiseza di camiameo srrale. Però, per ilizzare la come a saisica per il es, occorre rovare la disrizioe, cosa ce o è facile poicé o è possiile dimosrare i maiera direa ce meraore e deomiaore soo socasicamee idipedei. Il Cow [960], avia, a dimosrao ce rapporo è gale al 5.5., ce aiamo viso essere disriio come a F di Fiser co ed k gradi di lierà. Se o vi è camiameo srrale gli errori di proiezioe soo piccoli e le variaili aleaorie ed assmoo valori galmee piccoli. Viceversa, se co il es della F si è porai a rieere il meraore del rapporo o sigificaivamee diverso da zero, si è ace idoi ad acceare l ipoesi lla di iesiseza di camiameo srrale. 5-9

30 Modlo II I miimi qadrai ordiari Il es prelimiare di gagliaza delle variaze Ace i qeso caso, come i qello della verifica delle ipoesi 3.5., si presppoe ce le variaze σ e σ dei residi siao gali ei de sooperiodi. Qalora o si fosse ceri di qesa gagliaza si dovree verificare prelimiarmee l ipoesi leriore 3.5.6, cosa ce avia o si pò fare co la saisica poicé i qeso caso è k e o è possiile cosrire o simaore della variaza dei residi el secodo sooperiodo. Al poso di qeso simaore, avia, si pò ilizzare la deviaza di proiezioe ee, cosredo la saisica e e / k della qale però o si coosce la disrizioe poicé meraore e deomiaore o soo idipedei. Tavia, i virù del fao ce si dimosra ce per il deomiaore ede a σ soo l ipoesi defiia dalla 3.5.6, il rapporo si disriisce approssimaivamee come χ co gradi di lierà e qidi ale saisica pò essere saa, per sfficieemee grade, al fie di a verifica prelimiare dell gagliaza delle variaze ei de sooperiodi. L ipoesi aleraiva è acora del ipo per ci il es del χ è ilaerale, aalogo a qello esposo la fie del paragrafo.3. Per grade si calcola il rapporo ce, slla falsariga del rapporo.3., viee cofroao co l iervallo di acceazioe dell ipoesi lla H 0 cosisee i σ. Tale σ iervallo di acceazioe è [ χ, χ dove i qaili soo di proailià α/ e α/ rispeivamee. Applicazioi alla fzioe delle imporazioi Nel precedee paragrafo 5.4 aiamo cosaao, osservado i grafici delle sime ricorsive e i paricolare la figra 5.5, ce ripora lo scaro qadraico medio della regressioe, ce molo proailmee l eqazioe è soggea a più di camiameo di srra, l limo dei qali appare localizzao all iizio del 985 daa dell lima impeaa el grafico dello scaro qadraico medio della regressioe. Se impiamo il fallimeo delle proiezioi alla preseza di camiameo di srra, viee qidi spoaeo risimare l eqazioe sll limo sooperiodo saile, ovvero scarado i i dai fio al 984 compreso. Il campioe si ridce qidi alle 0 osservazioi dal 985 al 989. Per verificare l ipoesi di asseza di camiameo di srra possiamo sddividere leriormee qeso campioe elle prime 6 osservazioi dal 985 al 988, e ilizzare per la verifica il soocampioe di proiezioe e pos compredee le 4 osservazioi relaive al 5-30

31 Modlo II I miimi qadrai ordiari 989. I qeso caso aiamo <k dao ce i parameri da simare soo 8 5 e qidi possiamo applicare i es di camiameo di srra preseai i qeso paragrafo. La sima della sl soocampioe dal 985 al 988 forisce qesi rislai l ŷ l 0.96 l l l d d 0.0 d , R c 0.976, RSS 0.009, SEE 0.05, JB 0.8, BP 0.0 Noiamo ce qese sime palesao alce edeze emerse dall aalisi dei grafici dal 5.6 al 5.3. Ad esempio, l elasicià ai cosmi è ora più piccola di qella a ivesimei e esporazioi rispeo a qao si verifica elle sime 5.. codoe s campioe più ampio, e iolre o è saisicamee sigificaiva rislao ce pò essere aicipao osservado le figre 5.7 e 5.8, mere e le variaili di comodo ao coefficiei più piccoli di qelli riscorai elle sime s campioi più ampi ace qeso rislao è i sioia co i grafici delle sime ricorsive Noosae i es diagosici o segalio violazioi delle ipoesi socasice di ase, e oosae le variaili di prezzo aiao il sego aeso, avia ella sssisoo prolemi di specificazioe, evideziai dal fao ce see variaili s oo o soo saisicamee sigificaive. La saisica F 4,8 cosria co le forisce valore pari a.30, ce va cofroao co valore soglia pari a L ipoesi di camiameo di srra viee qidi respia. Tavia i qeso caso il rislao o è moivo di paricolare soddisfazioe, viso ce la srra ce o camia passado dal primo al secodo sooperiodo o è a oa srra, ma azi, come aiamo appea rilevao, a pessima srra, ella qale la maggior pare dei coefficiei rislao saisicamee o sigificaivi. Qesa osservazioe pò semrare sperfla, ma occorre sempre ricordare ce il macao rifio dell ipoesi lla i es di asseza di camiameo srrale pò idicare sia ce l eqazioe è galmee oa ei de sooperiodi, sia ce è galmee caiva. Qeso semra essere appo il caso della La avola 5.4, aaloga alla 5.3, ripora gli scari qadraici medi dell errore di proiezioe e le relaive misre di dispersioe e es di sigificaivià. I qeso caso 5 Naralmee se il campioe di sima pare dal 985 si omee dal modello la dmm pale relaiva al primo rimesre del 973, ce ivece figra elle sime

32 Modlo II I miimi qadrai ordiari il valore soglia del es 5.. è qello della 8, ce al 5% è pari a.3. Ness errore di proiezioe risla saisicamee sigificaivo, ovvero ess valore sorico giace al di fori dell iervallo di cofideza della proiezioe, gli errori di proiezioe o ao i lo sesso sego, e iolre gli errori sdeizzai soo relaivamee più piccoli all iizio rispeo alla fie del campioe di proiezioe e pos cioè il modello prevede meglio il fro prossimo di qello remoo, i accordo co l iizioe e corariamee a qao si riscorava ad esempio per l eqazioe 5... Ace i ermii di dimesioi gli errori ora soo molo più ridoo, adado da miimo dello 0.7% a massimo del 5%. I qeso seso, pr co le riserve espresse fiora, possiamo affermare ce, slla ase dei rislai della proiezioe e pos, la dovree essere cosideraa, ai fii della proiezioe e ae, più affidaile delle alre eqazioi preseae elle pagie precedei. 0.6 Plo of Acal ad Sigle Eqaio Saic Forecass LNM Q 987Q3 988Q 988Q3 989Q 989Q3 989Q4 Qarers Forecas Figra 5.4 I valori sorici del logarimo delle imporazioi e qelli proieai co la sorici proieai errore s.q.m. dell'errore es 989Q Q Q Q Tavola 5.4 Valori sorici e proieai, errori di proiezioe e loro es di sigificaivià relaivi alla proiezioe del logarimo delle imporazioi co la

33 Modlo II I miimi qadrai ordiari 5.6 Verifica della sailià dei parameri Nei es di camiameo srrale esposi el capiolo precedee e el paragrafo 5.5 è sao ipoizzao di cooscere il empo ra ed i ci qeso camiameo si verifica. Sppoiamo ora di o cooscerlo e di voler corollare l ipoesi lla ce i o o più isai del campioe possao esserci dei camiamei di srra, i modo ale ce il veore di parameri o possa essere cosiderao cosae i o il campioe. La verifica di qesa cosaza eqivale, dqe, alla verifica della sailià dei parameri el periodo campioario e si avvale dei residi ricorsivi esposi i precedeza. Se o è saile si pò spporre ce i residi ricorsivi aiao valor medio ollo µ per ci v Nµ,σ 5.6. e si pò cosiderare come simaore di µ il valor medio campioario v k v k 5.6. ce a disrizioe N[µ, σ /k] come facilmee si dimosra paredo dal fao ce esso è dao dalla somma di k variaili disriie come ella Se per σ si cosidera lo simaore o disoro si a ce σ k k v v v µ /[ σ / k] / [ σ / σ ] / k dalla qale si oiee la saisica v µ k / k σ ce pò essere ilizzaa per verificare l ipoesi lla di sailià dei parameri corrispodee alla H 0 : µ Si ede, dqe, ad acceare qesa ipoesi se il valore k / v / σ è compreso ell iervallo [, dove e soo gli esremi deermiai co l asilio delle avole saisice della di Sde co k gradi di lierà ad presailio livello di cofideza α. 5-33

34 Modlo II I miimi qadrai ordiari Osservazioe 5. - I effei, poicé i residi ricorsivi paroo da k, la sailià dei parameri è verificaa o ell iero periodo campioario esì el sooperiodo ce va da k ad. Harve e Collier [977] ierpreao qeso es i ermii più ampi come srmeo diagosico per la verifica della liearià della fzioe di regressioe 5... Ifai se ace il veore di parameri è saile ma l ipoesi di liearià di rispeo ad a variaile esplicaiva i o è correa, accade ce la saisica k / v / σ ede ad essere grade e qidi ad scire fori dell iervallo [,. Osservazioe 5. - I effei, poicé a v l ipoesi lla è violaa sia qado è parameri isaili sia qado a o più variaili esplicaive el veore o soo specificae appropriaamee i forma lieare ace se la differeza è piccola. I qeso secodo caso, avia, pò accadere ce le o liearià di più variaili si compesio ed il es o sia i grado di ideificarle. Per qeso moivo è opporo ierprearlo come es di o liearià solao qado si è ceri ce qesa rigardi a sola variaile esplicaiva. Osservazioe 5.3 Il fao ce alla medesima saisica possao essere ariii sigificai diversi evidezia come l ierpreazioe dei es diagosici di malaspecificazioe sia caraerizzaa da a fodameale asimmeria, el seso ce il rifio della lla o implica l acceazioe dell aleraiva. Ad esempio, la saisica rislerà sigificaiva porado al rifio della lla sia i caso di o cosaza dei parameri ce i caso di liearià del modello, e il es di per sé o forisce idizi circa la foe più proaile di malaspecificazioe. Da ciò scariscoo de idicazioi operaive di validià geerale: la prima è ce è i geerale errao ierpreare meccaicisicamee il rifio dell ipoesi lla di es come acceazioe di a paricolare aleraiva poicé il medesimo es poree essere sesiile ace rispeo a violazioi di ipoesi di ase o previse ella specifica aleraiva cosideraa; la secoda è ce la diagosica del modello deve asarsi s isieme ampio di srmei diagosici, percé solo a cosiderazioe complessiva delle se proprieà saisice pò coseire di idividare i modo sfficieemee affidaile e cosrivo gli eveali spazi per migliorameo del modello sesso. 5-34

35 Modlo II I miimi qadrai ordiari Plo of Cmlaive Sm of Recrsive Residals Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 989Q4 Te sraig lies represe criical ods a 5% sigificace level Figra 5.5 Il es CUSUM per l eqazioe La saisica giace all iero delle de ree ce delimiao il valore soglia e l ipoesi di sailià dei parameri o viee respia. I es CUSUM e CUSUMSQ Brow, Dri ed Evas [975] ao sggerio di ilizzare alri de es per verificare la sailià dei parameri. Il primo è asao slla saisica w v i / σ k,k,..., i k dove σ è lo simaore o disoro.7. calcolao sll iero periodo campioario. All ameare di la w sessa è dea somma cmlaa da ci il ome CUSUM CUmlaive SUM i liga iglese dao al es. I re aori ao dimosrao ce se vale l ipoesi lla di sailià dei parameri la saisica a approssimaivamee disrizioe N0, k e ce la regioe di acceazioe cosise ell iervallo [z α,, z α, ] dove z α, ak / akk / è a rea i e il faore a dipede dal livello di sigificaivià α del es vedi la avola 5.5. La verifica è esegia riporado i grafico le serie di valori w isieme alla de ree [z α,, z α, ] defiie dalla e verificado ce la serie w risli a compresa ella regioe defiia dalle de ree oppre vega a rovarsi al di fori di essa; el primo caso si accea l ipoesi lla di sailià dei parameri mere el secodo la si rifia. Nel caso dell eqazioe la saisica CUSUM è riporaa, isieme ai valori soglia al 5%, ella figra 5.5. La spezzaa w giace all iero della regioe delimiaa dalle de ree, e qidi, secodo il es CUSUM, i coefficiei della soo cosai. I realà aiamo già raccolo 5-35

36 Modlo II I miimi qadrai ordiari merose e covicei evideze saisice del corario a parire dal es F 3.5., fio ad arrivare ai grafici delle sime ricorsive riporae el paragrafo 4 di qeso capiolo. Il rislao della figra 5.5 vale qidi a evideziare limie del es CUSUM aesao i leerara, vale a dire la sa scarsa poeza, ovvero il fao ce a a proailià relaivamee ridoa di rifiare l ipoesi lla di cosaza dei parameri qado è falsa. Tavia il grafico presea de impeae ce, se pre o saisicamee sigificaive, vao cosiderae come segale di allarme rispeo alla proaile preseza di camiamei di srra e i effei soo localizzae ei pressi dei de episodi di camiameo di srra idividai i precedeza i corrispodeza del 976 e del 985. La coslazioe del grafico del es qidi maiee a sa efficacia diagosica..5 Plo of Cmlaive Sm of Sqares of Recrsive Residals Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 989Q4 Te sraig lies represe criical ods a 5% sigificace level Figra Regioe di acceazioe el es CUSUMSQ. Se la serie dei valori della saisica è compresa ra i de segmei AB e AB viee acceaa l ipoesi lla di sailià dei parameri, alrimei la si rifia. Tavola 5.5 Il faore a del es CUSUM di Brow, Dri e Evas [975] livello di sigificaivià α faore a Cosiderazioi aaloge valgoo per il secodo es cosrio dai re aori, ce si asa slla saisica 5-36