Il corso è indirizzato a studenti che affrontano per la prima volta dinamiche non lineari e caos

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1 Itroduzioe

2 Il corso è idirizzato a studeti che affrotao per la prima volta diamiche o lieari e caos Mira a far familiarizzare gli studeti co la feomeologia e lo studio quatitativo, della diamica dei sistemi complessi e del caos determiistico, presetado problematiche di ricerca attuali e facedoe risaltare gli aspetti iterdiscipliari. Le metodologie proposte, soo sviluppate per i circuiti elettrici, e per geerici sistemi fisici o lieari. La matematica è trattata i maiera iformale ma piuttosto atteta, evideziado metodi aalitici, esempi e ituizioi geometriche. Prerequisiti: studi di fuzioe, serie di Taylor, equazioi differeziali, algebra lieare.

3 Oggi si riscotra u crescete iteresse verso il caos ed i frattali. Il libro di Gleick, Chaos, Gleick 987, è stato u best-seller per mesi. Libri come The Beauty of Fractals, Peitge e Richter 986, si trovao elle sale d attesa. Questo può essere spiegato dalla bellezza delle immagii. Ma queste idee possoo essere applicate a vari problemi ella scieza e ell igegeria. Caos e frattali fao parte di u più grade soggetto, la DINAMICA, che ha a che fare co il cambiameto, co i sistemi che evolvoo el tempo. 3

4 I matematici ed i fisici hao per secoli etichettato i sistemi diamici come casuali ed impredicibili. I soli sistemi compresi el passato erao quelli che si credeva fossero lieari: equazioi lieari, fuzioi lieari, algebra lieare, programmazioe lieare, etc.. Tuttavia il modo o è eache lotaamete lieare. Gli scieziati hao raggiuto la cosapevolezza di ciò el 9mo secolo, secolo che ha visto ascere ua uova scieza, la teoria del caos 4

5 Il circuito di Chua U paradigma per la teoria del caos 5

6 Sistemi diamici Equazioi Differeziali t cotiuo Mappe iterate (o equazioi alle differeze) t discreto Ordiarie: solo ua variabile idipedete, e t Oscillatore armoico d m dt d + b + k dt Alle derivate parziali: più di ua variabile idipedete Equazioe del calore 0 du dt d u d 6

7 7 Forma geerale ),..., (.. ),..., ( ),..., ( f f f & & &, tesioi o correti, cocetrazioi i u reattore chimico, popolazioi di diverse specie i u ecosistema, posizioi e velocità di piaeti, etc. f, f dipedoo dal problema

8 Esempio d d L oscillatore smorzato m + b + k 0 dt dt può essere riscritto ella forma del sistema diamico, poedo & m& b k + b + k 0 & m m & & b m k m Il sistema è LINEARE: le i a II membro compaioo solo alla prima poteza. Altrimeti il sistema è NON LINEARE 8

9 Esempio Il pedolo & & g + se( ) L 0 agolo dalla verticale g accelerazioe di gravità L lughezza del pedolo Il sistema equivalete & & g L se Sistema NON LINEARE La o liearità rede difficile la risoluzioe aalitica (fuzioi ellittiche). Per <<, posto se() & Sistema LINEARIZZATO & g L (facile ma approssimato) 9 Perdo alcue soluzioi.

10 E ecessaria ua così drastica approssimazioe? Dopotutto il moto del pedolo è semplice: Bassa eergia oscilla avati e idietro Alta eergia fa u giro completo I metodi geometrici cosetoo di estrarre questa iformazioe direttamete dal sistema. I ogi caso la soluzioe (t), (t) è u puto che si muove lugo ua curva (traiettoria), ello spazio di coordiate (, ) (spazio delle fasi). (t) ( (t), (t)) (t) posizioe (t) velocità ( (0), (0)) (t) 0

11 I geerale,,., spazio delle fasi per u sistema -dimesioale ),..., (.. ),..., ( ),..., ( f f f & & & Sistema AUTONOMO forma o geerale essua dipedeza dal tempo

12 Sistemi o autoomi m &&+ b& + k Posto 3 t F cost Oscillatore armoico forzato & & & 3 m ( k b + F cos ) 3 Sistema AUTONOMO tridimesioale I effetti il sistema è davvero tridimesioale: occorroo 3 umeri, d/dt e t per itegrare le equazioi. U sistema di ordie dipedete dal tempo è u caso speciale di sistema (+) dimesioale.

13 La maggiore parte dei sistemi o lieari o può essere risolta aaliticamete. Perché è più difficile risolvere aaliticamete sistemi o lieari rispetto a quelli lieari? I sistemi lieari possoo essere spezzati i più parti. Ogi parte può essere risolta separatamete e poi le parti possoo essere ricombiate isieme (sovrapposizioe degli effetti) Ma la atura è caratterizzata da iterazioi o lieari ed il pricipio di sovrapposizioe fallisce. Esempio: se ascolti due belle cazoi cotemporaeamete, o ottiei piacere doppio. 3

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