Problemi Svolti di Fisica dello Stato Solido n. 3

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1 Problemi Svolti di isica dello Stato Solido. 5. Determiare i piai di simmetria ella cofigurazioe 4 tetraedrica regolare mostrata i figura, tipica del reticolo diamate. ig. cofigurazioe molecolare tetraedrica regolare. Soluzioe: La cofigurazioe ha sei piai di simmetria, detti piai passao per uo spigolo del tetraedro e soo bisettori di quello opposto. Essi soo defiiti dalle segueti tere di puti:,, 4, 4, U reticolo a due dimesioi ha vettori primitivi di base: a = au x ; a = u x + bu co a = b = Ǻ. are uo schizzo del reticolo idicado i vettori primitivi. Soluzioe: I puti del reticolo soo dati dalle traslazioi R = a + a co, umeri iteri. Cosiderado gli assi x e come i figura se u puto del reticolo è i O(,), abbiamo puti del reticolo i Q (Ǻ;) e P( Ǻ, Ǻ), ai vertici di u triagolo isoscele. L agolo α = α = arcta() =6. Otteiamo lo schizzo riportato qui di seguito. Il vettore a = OQ a = OP. Ǻ 5 P a O α Ǻ Q Ǻ x a ig. reticolo diretto i due dimesioi per l esercizio 6.

2 7.. U reticolo tridimesioale ha vettori primitivi di base: a = au x ; a = u x + bu co a = b = Ǻ come ell esercizio precedete ed a = cu z o c = Ǻ. Determiare i vettori primitivi del reticolo reciproco. Soluzioe: Utilizziamo le defiizioi: = π ; a a a a a a a a a a = π ; a a a a a = π. Il volume della cella primitiva è: a a = au x (u x + bu ) x cu z = au x (-cu + bcu x ) = abc = Ǻ. a Otteiamo: a a bu u x = π = π a a a ab a acu ; = π = π = u abc abc b a π a a abu π = π π u z. abc abc c z = = 8. Se l affiità elettroica del cloro è.7ev, l eergia di ioizzazioe del sodio è 5.4eV, l eergia di coesioe della molecola NaCl rispetto all eergia degli ioi Na + e Cl - teuti separati è 7.9eV qual è l eergia di ogi uità molecolare i u cristallo di cloruro di sodio? Soluzioe. L affiità elettroica rappreseta l eergia che si libera el processo di cattura di u elettroe da parte di u atomo Cl : Cl + e - Cl - + χ L eergia di ioizzazioe U I rappreseta l eergia che bisoga forire per estrarre u elettroe dall atomo di Na: Na + U I Na + + e - L eergia di coesioe è l eergia U c che si libera per formare la molecola NaCl a partire dagli ioi separati Na + e Cl - : Na + + Cl - NaCl + U c L eergia per ogi uità molecolare del cristallo è quidi U = U c U I + χ = 6.5eV. 9. U cristallo di KCl è caratterizzato da u eergia di coesioe pari a: R U ( R ) = λ e ρ co λ =. 4 ev, ρ =.x -8 cm; = 5.x -8 cm. fare uo schizzo R dell adameto di tale poteziale i fuzioe di R e determiare la posizioe di equilibrio R.

3 Soluzioe: l adameto è mostrato i figura : ll primo termie della fuzioe U(R) rappreseta l eergia repulsiva dovuta all impeetrabilità degli orbitali elettroici completi degli ioi K + e Cl -. Il secodo addedo descrive l eergia poteziale Colombiaa di attrazioe tra i due ioi. Per determiare il miimo dell eergia poteziale derivo la fuzioe U rispetto a R e pogo a zero la derivata: du dr = λ ρ e R ρ + R = R ρ e ρ = λr λr R = ρ l. ρ Poiché R si trova i etrambi i membri, posso per esempio stimare R cosiderado λr l itersezioe delle fuzioi f(r ) = R e g( R ) = ρ l. Il metodo umerico è ρ mostrato i figura 4, il risultato è R ~ Ǻ. 4, U [ev],,,, -, U attrattivo U repulsivo somma -,,E-8,5E-8,E-8,5E-8 4,E-8 4,5E-8 5,E-8 R [cm] ig. Eergia poteziale della molecola di u cristallo di KCl

4 5,E-8 4,E-8 f, g [cm],e-8,e-8,e-8 f(r) g(r),e+,e+,e-8,e-8,e-8 4,E-8 5,E-8 Ro [cm] ig. 4 Determiazioe di R per la molecola di u cristallo KCl.. Misure effettuate a T ambiete foriscoo u valore del libero cammio medio per elettroi i rame pari a 4 Å. Valutare il corrispodete valore del tempo medio tra collisioi successive. Soluzioe: λ = v τ. La velocità di fermi è determiata co : υ / =. L espressioe del m h livello di ermi è : = co = cocetrazioe degli elettroi di coduzioe: 8m π N m z ρ N V z = = N V = = = 8.49 cm. Si ottiee = 7.eV, quidi V V 6.55 v =.58x 6 λ 4x. 4 m/s e τ = = =.66x s. υ 6.58x. Valutare, utilizzado la figura 5, il valore della velocità del suoo i Ge a K ella direzioe <>.

5 ig. 5 spettro vibrazioale del reticolo del germaio a K ella direzioe <>. Soluzioe: Utilizzado il modo acustico logitudiale, si osserva ua regioe di liearità ella regioe fio a.75x 8 cm -. Per questo valore di q/π, la frequeza è 4x Hz. λ ω ν 4x Quidi: υsl = = = π = = 5.x 5 cm/s. Per il modo acustico trasversale 8 T q q.75x ivece la liearità è verificata fio a.5x 8 cm -. Co estrapolazioe lieare si può λ ω ν x 5 stimare il valore: υ = = = π = =.67x cm s st T q q.75x /. 8. I figura 6 è mostrato l adameto della capacità termica C/T i fuzioe di T per il potassio. Utilizzado i dati riportati i tabella esprimere separatamete il cotributo elettroico e quello vibrazioale alla capacità termica ( erg = -7 Joule). La temperatura di Debe del potassio è 9.K. Valutare la capacità termica a K e K co la legge espressa el grafico di figura e cofrotarla co il valore che si ottiee dalla legge di Dulog-Petit.

6 ig. 6 grafico C/T i fuzioe di T per la determiazioe della capacità termica del potassio a bassa temperatura. Soluzioe: al di sotto della temperatura di Debe la capacità termica è data dalla somma di due fattori dipedeti dalla temperatura: C = T + γt, il primo termie esprime il cotributo vibrazioale, il secodo quello elettroico. Dal grafico otteiamo quidi: =.57 mj/(molk 4 ); γ =.8 mj/(molk ). Sappiamo che per T molto superiori alla temperatura di Debe vale la legge di Dulog Petit: C = R co R = 8. J/(molK) C = 4.94 J/(molK). Valutiamo la capacità termica co la legge di figura per le temperature T = ;;5K: C K =.79 J/(molK), C K = 4.4 J/(molK), C 5K = 4.67 J/(molK). Il valore di capacità termica valutato per T = 5K co questa legge è assurdo perché superiore al valore di Dulog-Petit. (otiamo che i geerale è ecessario scedere sotto T = T Debe /5 per avere u comportameto sperimetale secodo T abbastaza puro, cioè i questo caso T <.8K ).. Utilizzado i dati i fig. 7 valutare la cocetrazioe itriseca di portatori i silicio a T = 45K. Soluzioe: G KT i NC NV e =. Temperatura K i valori di i, N C ed N V soo dati i fig.. Poiché N C e N V dipedoo da T come T / per otteere il valore di i a 45K ( si trascura la variazioe di G co la temperatura ) si osserva che: / x 45 i ( 45) = i () e = 4.98x 6 cm -. / G i( T ) T K T T ( T ) i T = e da cui:

7 ig. 7 parametri Si, Gas, Ge a T = K 4. Determiare la coducibilità elettrica del silicio itriseco a temperatura ambiete. Soluzioe: σ = eµ + peµ p. Poiché = p = i si ottiee: σ = i e(µ + µ p ) = 4.4x-6 /(Ωcm). 5. Utilizzado i dati di fig. 7 determiare qual è la distaza i eergia tra cetro gap i e livello di ermi i Gas itriseco a K. Soluzioe : i = K T NV = 5.6 mev. l N C 6. Si vuole produrre silicio tipo co resistività a temperatura ambiete pari a Ωcm: determiare la cocetrazioe di drogate ( fosforo ) ecessaria.. temperatura ambiete il drogate P è da riteersi σ eµ completamete ioizzato quidi = ND. Otteiamo : Soluzioe. Resistività: ρ = ND = = = = 4.x4cm-. ρeµ x.6 x 945

8 7. Determiare i valori dei coefficieti di Hall ei casi descritti dagli esercizi 4 e 6, cosiderado u fattore di Hall r H uitario. Soluzioe: el caso dell esercizio 6 il silicio è drogato quidi: RH = = = 4.54x cm /C. Nell esercizio 4 ivece il materiale è itriseco e N e D rh p b quidi bisoga usare il coefficiete ti Hall ambipolare: RH = co b = µ /µ p = e ( p + b).; = p = i. Otteiamo: R H = cm /C. 8. Se il campo applicato per effettuare l esperimeto di Hall dell esercizio 7 è =.5T e la desità di correte J x =.5/cm quato vale il campo elettrico di Hall ei due casi cotemplati? Soluzioe: E = J R = 9.5 V/cm per il caso itriseco e.6kv/cm el caso estriseco. H x H 9. ssumiamo che la mobilità degli elettroi i silicio tipo vari come T -.4. Determiare la variazioe di coducibilità elettrica di u campioe di silicio tipo co N D = 5 cm - che si ha passado da K a 5K. Soluzioe: i questa regioe di temperatura, cosiderato il drogaggio del campioe di silicio, siamo i regime estriseco, quidi = N D = costate. σ ( T ) = eµ ( T ). K:.4 5 σ ( K ) = eµ =. ; a 5K: σ (5) = σ () =.59 Ωcm Ωcm. 4. Cofrotare la variazioe di resistività che si ottiee ell esercizio 4 co la variazioe di resistività di u campioe di Pt ( ρ C =.6x -8 Ωm, α =.9x - / C) corrispodete allo stesso salto di temperatura. Soluzioe: el metallo si ha ( t) = ρ C ( + α( t( C) ) ) ρ quidi: ρ(7 C) =.9x -7 Ohm m; ρ(- C) = 8.8x -8 Ohm m. Si ottegoo le variazioi relative: ρpt ρpt (K ) ρpt (5K ) = ρ ( K ) ρ (K ) Pt ρsi ρsi (K) ρsi (5K ) = ρ ( K ) ρ (K) Si Pt Si = +9 % = + 5 % 4. U campioe di Gas è drogato i modo che la cocetrazioe di portatori sia pari a 5 cm - a K. Quato dista il livello di ermi dagli orli delle bade di coduzioe e valeza?

9 KT Soluzioe: = N e. C C 9 N C 5 5 C = KT l = 8.67x xx l = 8.67x xx4l 4 5 V = G.4V =.4.4 =. 8eV. ( ) =. ev. 4. Determiare la lughezza di diffusioe i silicio tipo alla temperatura di 7 C sapedo che la vita media dei portatori mioritari è di 45µs. KT Soluzioe: L = Dτ = µ τ =.mm. q 4. Ua giuzioe p di silicio è asimmetrica, tale che lo spessore della zoa svuotata è per 9/ ella regioe del semicoduttore. Se la cocetrazioe di boro è 6 cm -, determiare la cocetrazioe di fosforo. Soluzioe : la carica complessiva ella giuzioe è ulla. Quidi Q + - Q - = 9 9 qn P x qn x P = x N P = N x p. Poiché x = W = [ x + x p ] x N = = da cui: N 5 N.8 P = = x cm. x N p P otteiamo: 44. La tesioe di built-i i ua giuzioe asimmetrica di Gas è.7v. Il drogate di cocetrazioe miore ha cocetrazioe N = cm -. Determiare lo spessore della regioe svuotata per tesioe ulla applicata. Calcolare il valore massimo del campo elettrico ella giuzioe a tesioe ulla. Soluzioe: W V rgas bi = =.85µm ; qn E max V bi = =4956 V/m. W 45. U cristallo di Ge tipo p ( N = 4 cm - ) di spessore D = 5µm è utilizzato per produrre ua giuzioe asimmetrica + p (N D >>N ). Gli elettrodi frotale e posteriore hao area =.8cm. Determiare La capacità geometrica del dispositivo e quale tesioe bisoga applicare per svuotare la giuzioe lugo tutto lo spessore del cristallo. Dire quali valori assumoo gli stessi parametri el caso si tratti di u cristallo di silicio ivece che di germaio. Ge rge Soluzioe: La capacità geometrica è data da: C = geom =.. La tesioe di D rgev completo svuotameto si ricava da: W qn WGe Ge = = VGe = = 4.V. Per il qn Si Ge rsi rge silicio otteiamo: C geom = Cgeom =.55. V Si = V Ge = 9.V. rge rsi rge