Elettronica dello Stato Solido Lezione 14: Equazioni del trasporto. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

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1 Elettroica dello Stato Solido Lezioe 14: Equazioi del trasorto Daiele Ielmii DEI Politecico di Milao

2 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 2 Outlie Itroduzioe Modello drift diffusio Equazioi di cotiuità Equazioi di diffusioe dei mioritari Geerazioe ricombiazioe Coclusioi

3 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 3 Itroduzioe Obiettivo: imostare il roblema del trasorto i u disositivo a semicoduttore, i reseza di: Tesioi, quidi cami elettrici Gradieti di cocetrazioe Effetti di geerazioe, ricombiazioe, iiezioe (o equilibrio)

4 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 4 Stato stazioario Correte di elettroi: Correte di lacue: d j qf qd dx d j qf qd dx Correte totale a stato stazioario: d j j j q F qd q F qd dx d dx

5 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 5 Stato trasitorio Correte di sostameto: No si tratta di correte di articelle, ma è legata alla variazioe della olarizzazioe del mezzo imortate ei dielettrici e ella regioe svuotata del semicoduttore Correte totale el trasitorio: j j j jd j D D t

6 Livelli di quasi-fermi Livelli di quasi-fermi = livelli di eergia F, F che soddisfao le codizioi: e i e i FE kt i FEi kt F E kt F E kt log log Nota: il livello di Fermi è a rigore defiito solo all equilibrio, dove i quasi Fermi coicidoo co il Fermi EF F F I codizioi di fuori equilibrio (fotogeerazioe, alti cami, forte iiezioe, etc.) il livello di Fermi erde di seso e viee sostituito dal livello di quasi Fermi D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 6 i i i i

7 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 7 Esemio a) Semicoduttore co = N D = cm -3, equilibrio (e.g. i = cm -3 = 10 4 cm -3 ) b) Lo stesso semicoduttore a seguito di fotogeerazioe co = = cm -3 c) Lo stesso semicoduttore a seguito di fotogeerazioe co = = cm -3 E C E F E i E V F F (a) (b) (c) F F

8 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 8 Equazioi di correte co F, F F Ei F Ei d d i de df i q df kt kt ie e F dx dx kt dx dx kt kt dx d q df j qf qd qf qd F qd dx kt kt dx j df dx j df dx F, F da sostituire co E F i caso di equilibrio

9 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 9 Equazioi di cotiuità x x+dx x j 1 j dx j ( x ) j ( x dx ) dx t q q q x t q x Co geerazioe/ricombiazioe: Per gli elettroi: j dx j ( x ) j ( x dx ) dx t q q q x 1 j g t q x 1 j g t q x r r

10 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Diffusioe di mioritari Sotto alcue iotesi aggiutive, è ossibile dare all equazioe di cotiuità er i mioritari ( o ) ua forma iù secifica: F0 ella regioe di iteresse Cocetrazioi mioritari 0 (x) e 0 (x) soo costati (idiedeti da x) Iiezioe di basso livello: <<N A e <<N D dove e soo le cocetrazioe di elettroi e lacue mioritari i eccesso risetto alla cocetrazioe di equilibrio, e.g. causato da effetti di fotogeerazioe

11 Equazioe di diffusioe mioritari D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Iotesi: elettroi mioritari i semicoduttore Trascuriamo la comoete di deriva erché iccolo (mioritari) e F0 (ota: lo stesso o si uò dire er i maggioritari!) Quidi: j q F qd qd x t 2 D g r x 2 Ioltre = 0 +, co 0 idiedete da x e t: ' t 2 ' D g r x 2 x (II legge di Fick)

12 Equazioe di diffusioe mioritari D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Ifie scriviamo la ricombiazioe come r = /t, co t = temo di ricombiazioe dei mioritari (da giustificare iù avati), quidi: Idem er le lacue: 2 ' ' ' D g 2 t x t 2 ' ' ' D g 2 t x t

13 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Esemio 1: stazioario disuiforme G Barretta di semicoduttore irraggiato su u lato, i modo che (0) = G = costate el temo. Qual è il rofilo stazioario di mioritari? / t = 0 (stazioario) g = 0 (fotogeerazioe solo i suerficie) ' ' ' ' ' 2 2 D 2 x t 2 2 x t D L x

14 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Esemio 1: stazioario disuiforme G L = (D t ) 1/2 = distaza di ricombiazioe, rareseta la sazio mediamete ercorso dal ortatore mioritario rima di ricombiare Soluzioe: L L '( x) Ae e B Codizioi al cotoro: (0) = G e ( ) = fiito, ertato: x x '( x) ' e G L x L x

15 Esemio 2: trasitorio uiforme Barretta di semicoduttore irraggiato fio a t=0, caratterizzato da u eccesso uiforme G All istate t=0 la sorgete di geerazioe viee seta: qual è l evoluzioe della cocetrazioe di mioritari? 2 / x 2 = 0 (rofilo uiforme) g = 0 (geerazioe seta er t>0) ' t ' t '( t) ' e t D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido G t x

16 Esemio 3: trasitorio disuiforme N G Barretta di semicoduttore irraggiata co u imulso i t = 0, x=0 i modo da creare ua delta di mioritari i eccesso, umero totale Evoluzioe er t>0? N ' '( x, 0) dx N ' ( x) dx g = 0 (geerazioe seta er t>0) G 1 dj g r t q dx D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido G x

17 Esemio 3: soluzioe 1 dj 1 d g r qd q F g r t q dx q dx x La soluzioe è del tio: Sostituedo: 2 F ' D 2 F g x x x t t x x 2 ' ' ' ' D 2 F t '(, ) ''(, ) x t x t e t t 2 t t '' ' '' '' t ' t t e D e 2 F e t t t x x t x x 2 '' '' '' D 2 F D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido t

18 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Esemio 3: soluzioe La soluzioe che si ottiee (metodo della trasformata di Lalace) è: E quidi: t x x 2 '' '' '' D 2 F N ' G ''( x, t) e 4 Dt '( x, t) N' G e t t 4 Dt e x Ft 2 4Dt x Ft 2 4Dt

19 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Soluzioe er F=0 t = s 2x10-15 s 5x10-15 s s 2x10-14 s 5x10-14 s -1,00E-06-5,00E-07 0,00E+00 5,00E-07 1,00E-06 x [m]

20 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Soluzioe er F alicato t = s 2x10-15 s 2x10-14 s s 5x10-15 s 5x10-14 s -1,00E-05-8,00E-06-6,00E-06-4,00E-06-2,00E-06 0,00E+00 x [m]

21 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Outlie Itroduzioe Modello drift diffusio Equazioi di cotiuità Equazioi di diffusioe dei mioritari Geerazioe ricombiazioe Coclusioi

22 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Equazioi di cotiuità 1 dj g t q dx r 1 dj g t q dx r Il rate di variazioe della cocetrazioe dall equazioe di cotiuità iclude: Divergeza della correte (drift + diffusioe) Tasso di geerazioe g, g (geerazioe termica, fotogeerazioe, geerazioe ad alti cami) Tasso di ricombiazioe r, r (aihilazioe elettroe lacua) Quali soo i meccaismi fisici della G R?

23 Meccaismi di ricombiazioe 1 E C E V E C E V E C E T E V E D E A a) Bada bada (radiativo) b) Cetro di ricombiazioe dee (o radiativo) c) Accettore/doore shallow (radiativo imrobabile a temerature o troo basse, alta ioizzazioe) D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 23

24 Meccaismi di ricombiazioe 2 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido E C E V d) Eccitoe (libero o legato a sito doore/accettore, radiativo) E C E V e) Ricombiazioe Auger (rocesso a tre cori, o radiativo)

25 Eccitoe U elettroe i BC ed ua E C lacua i BV si legao co iterazioe coulombiaa E V Modello dell idrogeo (come er lo stato doore): 4 E mq mex dove m* ex = massa ridotta della coia iteragete: m m m ex e h co m* e, m* h = masse efficaci di coducibilità Breve vita media (lifetime = 10-9 s) rima di ricombiare D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido / m 0 Ry

26 Meccaismi di geerazioe E C E V a) Bada bada (fotogeerazioe, geerazioe termica) E C E V E T b) Cetro di geerazioe dee (fotoemissioe, geerazioe termica) E C E V c) Ioizzazioe ad imatto: elettroe caldo rilassa i bada di coduzioe geerado coia e-h D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido 14 26

27 D. Ielmii Elettroica dello Stato Solido Coclusioi Le formule aalitiche er i flussi di drift e diffusioe ermettoo di ricavare equazioi descrittive del bilacio di ortatori ei semicoduttori (equazioe di cotiuità, equazioe di diffusioe mioritari)