Elettronica dello Stato Solido Lezione 12: Concentrazione di portatori all equilibrio

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1 lettroica dello Stato Solido Lezioe 1: ocetrazioe di portatori all equilibrio Daiele Ielmii DI Politecico di Milao

2 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 Outlie Itroduzioe ocetrazioe di portatori ei metalli ffetto fotoelettrico ffetto termoioico ocetrazioe di portatori ei semicoduttori Semicoduttori itriseci Semicoduttori estriseci oclusioi

3 Itroduzioe Per calcolare la desità di correte di elettroi j = -qv ei semicoduttori/metalli abbiamo bisogo di: Velocità v = mf Desità di portatori che partecipao al trasporto bada di coduzioe La desità di portatori si ottiee come prodotto di desità di stati per probabilità di occupazioe, da itegrare sull eergia g( ) f ( ) d D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 3

4 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 4 Metalli F k V g() f()

5 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 5 Metalli Desità di stati: Statistica di occupazioe: ocetrazioe: 3 / m g( ) 3 3 / m f 1 ( ) e FD F ( ) ( ) 3 F 1 1 g f d d e 1

6 Livello di Fermi a T = 0 K Approssimiamo la f FD ad u gradio, quidi: / F 0 m 3 Dove abbiamo posto = 0 e abbiamo itegrato fio a F. Quidi: g() 3 d m / F F m 3 3 F D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 6

7 ergia media a T = 0 K L eergia media del gas di elettroi si ottiee da: 3 / F m ( ) ( ) g f d d m 3 m F / F / D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 7 F g() 3 F 5 F

8 Livello di Fermi a T > 0 K A T>0K, l itegrale (o aalitico) dà u altro risultato: F F( 0) 1 1 ( 0 ) F La correzioe è trascurabile, ed è dovuta al maggiore peso della coda della distribuzioe per alte eergie devo dimiuire F per allocare la stessa g() F D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 8

9 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 9 Livello di Fermi a T > 0 K [cm-3] f(0) [ev] f(300) [ev] Li 4,60+ 4,696 4,695 Na,50+ 3,151 3,150 K 1,30+,009,006 Rb 1,10+ 1,8079 1,8076 s 8,50+1 1,54 1,50 u 8,50+ 7,066 7,066 Ag 5,80+ 5,4768 5,4767 Au 5,90+ 5,5396 5,5395 Nota: è stata usata m*=m 0, questo sarebbe accettabile solo per i metalli alcalii: Li Na K Rb s m*/m0 1,4 0,98 0,94 0,87 0,83

10 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 10 ffetto fotoelettrico rivisitato Nell effetto fotoelettrico avevamo itrodotto la fuzioe lavoro W, uguale all eergia miima per estrarre l elettroe dal metallo. Qual è il suo sigificato fisico? W= 0 - F 0 W h F Na K s Ni Ag W r Z Pt W [ev],3,6 1,8 4,6 4,8 4,5 4,37 4,4 6,

11 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 11 ffetto termoioico I alcui esperimeti (e.g. Brehmsstrahlug) si usao filameti caldi per emettere elettroi effetto termoioico = evaporazioe di elettroi dal metallo ad alta temperatura V W 0 F V

12 orrete termoioica È calcolabile aaliticamete co alcue approssimazioi: studiamo la correte di elettroi che icidoo su ua certa superficie ormale all asse z, co eergia superiore a W: W 0 F 3 dk 3 ( ) ( ) 3 z x y z j qv q f k v k co d k dk dk dk D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 1

13 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 13 Legge di Richardso-Dushma 3 3 d k d k 1 j qv q f ( k) v ( k) q f ( k) 3 3 z d k d d k q dk q d // 1 z // 1 3 z 3 z F zf 0 0 z dk z d dk // // 1 e 1 e 0 // // F W dk// 4 q log // // log 1 q e k dk e W // W // m q m q // log 3 3 // 0 d e d e 0 4m q 3 3 e z z W

14 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 14 Outlie Itroduzioe ocetrazioe di portatori ei metalli ffetto fotoelettrico ffetto termoioico ocetrazioe di portatori ei semicoduttori Semicoduttori itriseci Semicoduttori estriseci oclusioi

15 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 15 Semicoduttori F k V g() f() Itriseco = puro striseco = addizioato co impurezze (drogati) La differeza sta ella posizioe di F

16 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 16 ocetrazioe i B Desità di stati i B: 3 / m g( ) 3 Statistica di occupazioe: ocetrazioe: f 1 ( ) e FD F 1 3 / m 1 g f d d ( ) ( ) 3 F e 1

17 Appr. Maxwell-Boltzma Per > F +3 la distribuzioe di Fermi può essere approssimata a quella di Maxwell-Boltzma: 3/ 3/ m F m 3 3 F e d e e d 3 3 m m 4 1 x e xe dx 3 3 e Ne 0 F F F N = desità effettiva di stati i bada di coduzioe (*) x t t t t xe dx te dt tde te e dt D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 17 (*)

18 V ocetrazioe p i BV 3 / mp V V 1 p g( ) 1 f ( ) d 3 V d F e 1 3/ 3/ V 3 V 3 V m p mp F V F V e d e e d 3 3 m p m 1 4 x p e xe dx 3 3 e N Ve 0 V F V F V F N V = desità effettiva di stati i bada di valeza Approssimazioe valida solo per V < F -3 livello di Fermi sufficietemete distate dal bordo bada D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 18

19 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 19 Semicoduttori itriseci (puri) F k V g() f() Il prodotto della coda di f() per g() dà ua distribuzioe () i bada di coduzioe Il prodotto della coda di 1-f() per g() dà ua distribuzioe p() i bada di valeza

20 Livello itriseco Livello itriseco = i = livello di Fermi F el semicoduttore itriseco (la posizioe di F cambia el semicoduttore drogato) i = mezzo gap, a parte ua piccola correzioe: i V F V F p N e N e i V NV V log N e e i N N i V 3 4 log m m Ge Si GaAs D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 0 p V -3,68-03 ev -3,17-03 ev 1,75-0 ev

21 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 1 ocetrazioe itriseca Semicoduttori itriseci: F i i N e V F i V i p N e 1 F V F V G i V V i V N N e e N N e N N e N [cm -3 ] N V [cm -3 ] G [ev] i [cm -3 ] Ge 1, , ,66,15+13 Si 3,+19 1, ,1 9,68+09 GaAs 4,1+17 9,5+18 1,4,4+06

22 i [cm -3 ] Dipedeza dalla temperatura 1, , , ,00+14 Ge Si GaAs 1, ,00+1 1, , T [K] Maggiore è T, maggiori soo le code di f ed 1-f sui margii delle bade maggiore i È il risultato di ua maggiore geerazioe termica = promozioe di elettroi da BV a B D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1

23 i [cm -3 ] Grafico di Arrheius 1, , , , , , ,00+1 1,00+11 Ge Si GaAs 1, , ,00+01, , , / [ev -1 ] 1 G 1 G i NNV e logi lognnv D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 3

24 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 4 Le relazioi ocetrazioi da i Ne p N e V Soo ricavate per u geerico semicoduttore itriseco o estriseco. Note le espressioi: i i Posso ricavare e p i fuzioe di i : V N e N e V F F i V i i F i i F i F N e N e e e V V i V F V i i F i F p N e N e e e

25 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 5 Legge di azioe di massa Le relazioi p N e N e V V Soo ricavate per u geerico semicoduttore itriseco o estriseco. Il prodotto p è dato da: ed è idipedete da F validità geerale per semicoduttori. Defiisce la legge di azioe di massa che permette di ricavare agevolmete ua cocetrazioe di portatore ota l altra (e.g. p= i /) F F F V F V V V i p N N e e N N e

26 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 6 Iterpretazioe La legge di azioe di massa è ota i chimica: i ogi reazioe A + B + D, le cocetrazioi di reageti/prodotti all equilibrio soo discipliate da ua costate di equilibrio, ad esempio: [A][B][] -1 [D] -1 = costate Nel ostro caso abbiamo e - + h + 0, quidi p = costate = i

27 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 7 Semicoduttori estriseci striseco = impuro, drogato Itroduzioe di impurezze: popolo la bada di coduzioe o di valeza a secoda del tipo di drogate, doore o accettore Il livello di Fermi si sposta dal livello itriseco per assecodare lo sbilaciameto delle cocetrazioi

28 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 8 sempio: Si itriseco 3p 3s p s 1s Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si = atomo di silicio = legame Si-Si ad opera di u elettroe di valeza

29 Si drogato 3p 3s p s 1s Si Si Si Si Si P Si Si Si Si 3p 3s p s 1s P Di 5 elettroi di valeza del P, 4 vegoo spesi per formare i 4 legami della coordiazioe tetraedrica, metre il quito viee lasciato libero di vagare el cristallo P è drogate doore D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 9

30 Si drogato p 3p 3s p s 1s Si Si Si Si Si B Si Si Si Si 3p 3s p s 1s B Il B dispoe di soli 3 elettroi di valeza: rimae 1 stato di valeza (legame) o riempito da elettroe = lacua, libera di vagare el cristallo muovedosi i BV B è drogate accettore D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 30

31 Neutralità o l aggiuta di doori, la cocetrazioe di elettroi i bada di coduzioe aumeta, metre quella di lacue dimiuisce a causa della ricombiazioe (vale p= i ) Il semicoduttore drogato è eutro, e.g. el caso di doori l elettroe i eccesso si bilacia co la carica fissa positiva del doore ioizzato (=N D+ ) Idem per l accettore: la carica della lacua aggiuta si bilacia co la carica fissa egativa dell accettore ioizzato (p=n A- ) L elettroe o rimae legato al doore: l eergia di legame è talmete esigua che a temperatura ambiete quasi tutti i doori soo ioizzati D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 31

32 Iterazioe elettroe doore L elettroe iteragisce co lo ioe positivo del doore come u elettroe co il protoe i u atomo d idrogeo Modello: equilibrio di forze su u orbita circolare Pricipio di idetermiazioe Dal sistema si ottiee R a 0 = raggio di Bohr = 0.53 Å + mv 1 q R 4e R pr mvr 4e er a 0 mq m * / m co Adottado m=m* c =0.6m 0 (massa efficace di coduzioe el Si) e e r =11.7 (costate dielettrica relativa i Si) si ottiee R =.4 m D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 3 0

33 ergia di legame L eergia di legame si ottiee da: Da cui: 1 1 q 1 K U mv 4e R 8e R 4e R mq 4 mq m / m 4e e Dove Ry = ev = eergia di legame dell elettroe ell atomo d idrogeo = 5.8 mev per il silicio Per cofroto, i valori misurati i ev per doori ( - D ) e accettori ( A - V ) i Si soo: r Li Sb P As B Al Ga I 0,033 0,039 0,045 0,054 0,045 0,067 0,07 0,16 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido Ry q

34 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 34 Ioizzazioe del drogate Si Si Si Si Si Si Si P Si Si B Si Si Si Si Si Si Si A temperatura ambiete il drogate è i massima parte ioizzato Più avati calcoleremo la frazioe o ioizzata di drogate

35 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 35 ocetrazioe portatori Semicoduttore drogato : =N D (drogate quasi iteramete ioizzato) p= i /= i /N D << if Livello di Fermi ie p i Semicoduttore drogato p: p=n A = i /p= i /N A <<p F è calcolato come sopra Per la validità dell approssimazioe MB è ecessario che V +3< F < -3 (semicoduttori o degeeri) e i F F i log i F i log p i

36 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 36 Semicoduttore drogato F k V g() f() sempio: N D = cm -3 i Si p = i /N D 10 cm -3 F = i + logn D / i = i ev 1.04 ev

37 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 37 Semicoduttore drogato p F k V g() f() sempio: N A = cm -3 i Si = i /N A 10 3 cm -3 F = i - logn A / i = i ev 0.14 ev

38 ergy [ev] Adameto di F 1,0+00 1, , , ,00-01 i, , , , , , ,00+19 N A, N D [cm -3 ] Nota: o è sempre verificato > F +3 e V < F -3, ecessarie per applicare l approssimazioe di Maxwell-Boltzma V D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 38

39 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 39 Ioizzazioe del drogate Le eergie di legame dell elettroe al doore e della lacua all accettore soo dell ordie di 0-70 mev quasi totale ioizzazioe a temperatura ambiete Più precisamete come si calcola la probabilità di ioizzazioe, e.g. alle basse temperature? Necessario cofrotare la probabilità di occupazioe dello stato doore/accettore rispetto a quella (f FD ) i bada di coduzioe/valeza

40 Stati doori e accettori N D N D + ND0 G D N N N D D0 D N A0 N A - A V N N N A A0 A N A N D = cocetrazioe di atomi doori N D0 = c. a. d. eutri = elettroi i stato doore N D + = c. a. d. ioizzati N A = cocetrazioe di atomi accettori N A0 = c. a. a. eutri = lacue i stato accettore N A - = c. a. a. ioizzati D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 40

41 ofigurazioi di elettroi i doori I quati modi si possoo allocare N D0 elettroi i N D stati? G N D0 D Il primo i N D modi, il secodo i N D - 1, l ultimo i N D -N D0 +1 Posso mettere ogi elettroe co spi o (ma ua volta messo, lo stato a spi opposto o cota più per repulsioe coulombiaa!) Idistiguibilità degli elettroi D D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 41 V N D N D! N N 0 D N! D0 N 0 D N! N N D0 D W N! N N! D D D0 D D0!!

42 Massimo W D W D è da moltiplicare per W già otteuto per gli stati i bada ella lezioe 11. alcolo il logaritmo di W D (formula di Stirlig): logwd ND0 log ND lognd ND0 lognd 0 ND ND0 lognd ND0 Lo massimizzo co la tecica dei moltiplicatori di Lagrage: N D0 logwd a bd ND0 0 ND0 logw log logn log N N a b D D0 D D0 D N N N e D D0 abd D0 D ND0 ND 1 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 4 e 1 F 1

43 Appr. Maxwell-Boltzma =N D + N D0 D F N D elettroi si distribuiscoo tra stati doori (N D0 ) e bada di coduzioe () Assumiamo che D >> F +3 (come ache ), allora vale (approssimazioe MB): N D D0 DF 1 e N 1 N e D D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 43 D F V

44 Probabilità di o-ioizzazioe =N D + N D0 D F Frazioe di elettroi i stati doori: D 0 ND Ne D 1 DF F D N D0 N NDe Ne 1 e ND N f D Drogaggi o degeeri N D <<N : D N sempio: N D = cm -3, N = 3x10 19 cm -3, - D = 50 mev f D = 4.6x10 - N D D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 44 F V e D

45 ofigurazioi di lacue i accettori I quati modi si possoo allocare N A0 lacue i N A stati? G N A0 Il primo i N A modi, il secodo i N A -1, l ultimo i N A -N A0 +1 Posso mettere ogi lacua (i.e. togliere u elettroe) co spi o I realtà gli stati da cosiderare soo 4 e o, perché ho due diverse masse della lacua m* lh e m* hh e ciò dà luogo a due diversi livelli legati A V D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 45 N N A N A! N A0 N 0 4 A N! A N A A0!!

46 ofigurazioi di lacue i accettori D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 46 Idistiguibilità delle lacue N 0 4 A N! A WA N! N N! sprimo W A i termii di N A, N A-, (N A0 = N A - N A- ) per poter icludere W A el umero di cofigurazioi elettroiche W (vedi lezioe 11) NANA W A 4 N! A N N! N! A A A A0 A A0

47 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 47 Massimo W A alcolo il logaritmo di W A (formula di Stirlig): 4 logw N N log N logn N logn N N log N N A A A A A A A A A A A Lo massimizzo co la tecica dei moltiplicatori di Lagrage: N A N A logwa a ba NA logw log4 logn log N N a b A A A A A N N N A A aba A e A 4NA NA 0 1 F 4e 1

48 Appr. Maxwell-Boltzma N A lacue si distribuiscoo tra stati accettori (N A0 ) e bada di valeza (p) Assumiamo che A << F -3 (come ache V ), allora vale (approssimazioe MB): N N A A A F 4e 1 N A0 p=n A - F A V 4e N N 4N e A0 A AF A 4e 1 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 48 A F A F

49 Probabilità di o-ioizzazioe F A V N A0 p=n A - Frazioe di lacue i stati accettori: NA0 4Ne A 1 A F V F V A NA0 p N V 4NAe NVe 1 e 4 N Drogaggi o degeeri N A <<N V : A F A f A 4N N V A e V A Verificare che ache i questo caso p N A D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 49

50 Dipedeza dalla temperatura D Frazioe o-ioizzata del doore: fd e N È data dal prodotto di u termie etropico N D /N <<1 (descrive il umero di stati dispoibili, quidi il disordie) e da uo D eergetico e 1 (descrive l eergia per strappare l elettroe dallo stato doore) All aumetare della temperatura, il termie eergetico pesa sempre meo sempre maggiore ioizzazioe Aalogamete la probabilità di o ioizzazioe dell accettore 4 V A N N D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 50 f A N V A e D

51 Freeze-out e geerazioe termica D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 51 I Freeze-out II Itervallo estriseco III Itervallo itriseco N D i I. Temperatura isufficiete alla ioizzazioe, << N D II. Temperatura sufficiete alla quasi completa ioizzazioe, N D >> i (T) III. Temperatura sufficiete alla geerazioe dalla bada di valeza = i >> N D T

52 Dipedeza di F dalla temperatura D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 5 I Freeze-out II Itervallo estriseco III Itervallo itriseco N D i T D F i V

53 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 53 Popolameto degli stati I Freeze-out II Itervallo estriseco III Itervallo itriseco N D i T D F i V

54 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 54 Desità di carica N D + D p N A - La carica locale è data dal bilacio dei portatori i bada e delle cariche spaziali: r = q(p-+n D+ -N A- ) Utile ad esempio per il calcolo della carica ella regioe svuotata del diodo o el caale del MOSFT Neutralità: p-+n D+ -N A - = 0 F A V

55 Semicoduttore, regioe I e II N D + D F N D >>N A trascuro N A - e p ai fii della carica Temperatura o troppo alta i << N D F Bada: N e Doore ioizzato: p N D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 55 V ND N N 1 e 1 1e D D D D F D F

56 ocetrazioe i bada Per la eutralità si ha: =N D + F N e Quidi: Allora: F e e N N D ND D 1 e 1 N N ' N ' N ' ND dove 1 e D D ssedo ormalmete (regioe II) N >> N D, vale: 0 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 56 N' N ' N ' N ' 4N ' 1 1 N D ND ' N N ' ND 1 1 N N ' D N N e F D

57 Livello di Fermi Il precedete risultato è più completo della probabilità di o ioizzazioe f D (il popolameto degli stati doori è trattato secodo Fermi, o approssimato secodo MB) Dalla cocetrazioe si può ricavare F : N ' 4 ND F log log 1 1 N ' N N Aalogamete per semicoduttore p si ricava la cocetrazioe di lacue: N' 4N co V A V A p 1 1 NV ' N' V e N V 4 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 57

58 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 58 Regioe I Bassa T N << N D N' N e D N ' 4 N NND 1 1 N ' ND e D Quidi: N ' che tede a zero per T 0 D Livello di Fermi: N e D D D D F log log log N N N N

59 ocetrazioe ergia Risultati 1,0+00 1,00+00 D 8,00-01 F 6, ,00-01, , , , , , , , , ,00+1 1, ,00+10 Si co N D = cm -3 e D = -45 mev D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 59 i N T

60 Semicoduttore, itervallo II e III D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 60 A temperature o troppo basse N A - = N A, N D + = N D (ioizzazioe totale) Dalla eutralità si ottiee: i p NA ND NA ND N N 0 D A i 0 ND NA ND NA i p i NA ND NA ND i

61 Approssimazioi Semicoduttore : N D >> N A striseco (II): N D >> i Semicoduttore p: N A >> N D striseco (II) N A >> i ND ND i N i i Itriseco (III) N A << i, N D << i : p i L espressioe completa va utilizzata solo per i cofrotabile co N D -N A D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 61 p N D NA NA i p N i i p N A D A

62 ocetrazioe ergia ofroto formule I-II e II-III 1,0+00 1,00+00 D 8, , ,00-01,00-01 i F (II-III) F (I-II) 0, , , , N (II-III) (I-II) 1, ,00+15 Si co N D = cm -3 e D = -45 mev T D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 6

63 ocetrazioe ergia ofroto co N D = cm -3 1,0+00 1,00+00 D 8, , ,00-01 i F (II-III),00-01 F (I-II) 0, , , N (II-III) 1, , ,00+15 Si co N D = cm -3 e D = -45 mev T (I-II) D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 63

64 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 64 Nota I grafici precedeti o tegoo i cosiderazioe: La dipedeza del gap dalla temperatura (riduzioe di circa 0.15 ev da 0 a 600K) ambiameti di fase del silicio (fusioe a 1687K = 1414 )

65 D. Ielmii lettroica dello Stato Solido 1 65 oclusioi Desità di stati e distribuzioe di Fermi permettoo il calcolo della cocetrazioe di portatori i: Metalli ( F i bada di coduzioe) Semicoduttori ( F el gap) Nota la temperatura e la cocetrazioe di drogati, è possibile ricavare le cocetrazioi e p ed il livello di Fermi, distiguedo tra regioi di freeze-out (I), estriseca (II) ed itriseca (III)