LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

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1 LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 0 VALORE ATTUALE Valore attuale (P) è il valore attualizzato/sotato di ua somma (M) he verrà rievuta ad ua data futura, o l attualizzazioe effettuata utilizzado u tasso di iteresse i P M ( i) Qual è il valore attuale di $000 he verrao iassati fra 5 ai, se il tasso di iteresse è uguale a 7%? P $000 ( 0.07) 5 $7.98 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa

2 Proprietà del valore attuale Data ua erta somma he verrà rievuta i futuro, tato più alto è il tasso di iteresse, tato miore è il valore attuale Dato u erto tasso di iteresse, tato più lotaa è la data i ui ua erta somma verrà rievuta, tato miore è il valore attuale Qual è il valore attuale di $000 he verrao iassati fra ai, se il tasso di iteresse è uguale a i%? 5, i 7: P $000 ( 0.07) $ , i 0: P $000 ( 0.0) $ , i 7: P $000 ( 0.07) $ Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa Valore attuale di ua serie di pagameti futuri Il valore attuale di ua serie di pagameti futuri è dato dalla somma dei valori attuali di ogi sigolo pagameto futuro (sia i il tasso di iteresse uguale per ogi sadeza): P i v(0;) ( i)... v(0;) ( i)... Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 3 s s v(0; ) ( i) s s s v(0; s) Qual è il valore attuale di u titolo geerio he paga $00 ogi ao per 5 ai, se il tasso di iteresse è uguale a 8%? 5 P $00 ( 0.08) s s $399.6

3 Titolo obbligazioario A frote del pagameto di u prezzo al tempo 0 da parte dell aquirete, geera ua serie di pagameti futuri a favore dell aquirete stesso Pagameti futuri: edole, a sadeze prefissate (per es., $5 ogi 6 mesi) valore omiale del titolo ($00) alla sadeza fiale Prezzo di u titolo obbligazioario Valore attuale dei pagameti futuri del titolo Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 4 Titolo obbligazioario o edole Qual è il prezzo di u titolo obbligazioario o sadeza 5 ai, he paga ua edola auale di $0 e ha valore omiale di $00, se il tasso di iteresse è uguale a 9%? P($0;5) 5 s $0 ( 0.09) s $00 ( 0.09) 5 $03.89 Titolo obbligazioario zero oupo (seza edole) Qual è il prezzo di u titolo obbligazioario o sadeza ai, he o paga edole e ha valore omiale di $00, se il tasso di iteresse è uguale a 9%? P(0;) $00 ( 0.09) $84.7 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 5

4 TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (T.I.R.) Sopra: soo oti i pagameti futuri, le date di pagameto e il tasso di iteresse: si alola il valore attuale (prezzo) Ora: soo oti i pagameti futuri, le date di pagameto e il prezzo (valore attuale): si alola il tasso di iteresse Il tasso itero di redimeto (T.I.R.) è quel (sigolo) tasso di iteresse he eguaglia prezzo e valore attuale P( ; ) M s... i M i ( ) ( ) i ( i) ( i) s Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 6 Qual è il T.I.R. di u titolo obbligazioario o sadeza 5 ai, he paga ua edola auale di $0 e ha valore omiale di $00, se il prezzo di merato del titolo è $98? $98 5 s s $0 ( i) $00 ( i) s Risposta: i 0.53% Il alolo è semplie per u titolo seza edole i M P(0; ) / Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 7

5 Relazioe egativa tra prezzo e T.I.R Prezzo ,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 T.I.R. La forma della urva prezzo/t.i.r. dipede dalla edola e dal tempo a sadeza del titolo Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 8 Titoli obbligazioari solitamete pagao edole semestrali Relazioe tra T.I.R. auale e T.I.R. periodio i m ( i ) m oppure i / m ( i) m m è la frequeza di pagameti per ao Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 9

6 Qual è il T.I.R. di u titolo obbligazioario o sadeza 5 ai, he paga ua edola semestrale di $5 e ha valore omiale di $00, se il prezzo di merato del titolo è $98? 0 $98 $5 ( i i s s 0 ) $00 ( ) Risposta: il T.I.R. periodio (semestrale) i è uguale a i 5.6% e quidi il T.I.R. auale i è uguale a i (.056) 0.80% Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 0 CURVA DEI RENDIMENTI Dati X titoli obbligazioari esisteti sul merato, o diverse sadeze e diverse edole, si alola il T.I.R. di oguo di questi titoli ( i ( ), i(),..., i( X ) ) e si ostruise u grafio he poe sull asse delle ordiate i T.I.R. otteuti per i vari titoli obbligazioari ( i ( ), i(),..., i( X ) ) e sull asse delle asisse le orrispodeti date di sadeza dei titoli obbligazioari (,,..., X ) Il grafio risultate rappreseta la urva dei redimeti Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa

7 MISURE DI SENSITIVITÀ DEI PREZZI P i ( i) M... ( i) s ( i) M ( i) s Prezzo di u titolo varia i direzioe opposta rispetto alla variazioe del tasso di redimeto i > 0 P < 0 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa RELAZIONE PREZZO - RENDIMENTO relazioe ambia da titolo a titolo, a seoda della edola, della sadeza, del redimeto... per variazioi molto piole el redimeto, relazioe simmetria per variazioi ampie el redimeto, relazioe o simmetria: (aumeto P / P) > (dimiuzioe P / P) dati la sadeza e il redimeto, tato più bassa è la edola, tato maggiore è la sesibilità del prezzo (i termii di %) dati la edola e il redimeto, tato maggiore è il tempo maate alla sadeza, tato maggiore è la sesibilità del prezzo (i termii di %) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 3

8 Titoli o stessa sadeza (0 ai) e diversa edola (5% e %) PREZZO 00 edola % e sadeza 0 ai edola 5% e sadeza 0 ai RENDIMENTO Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 4 Titoli o stessa edola (5%) e diversa sadeza (3 e 0 ai) PREZZO edola 5% e sadeza 3 ai 50 edola 5% e sadeza 0 ai RENDIMENTO Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 5

9 Titolo obbligazioario o sadeza 3 ai, edola semestrale $5, valore omiale $00 e T.I.R. 5% Prezzo orrete: $00 T.I.R. 3% 4.75% 5% 5.5% 7% Prezzo < simmetria > < o simmetria > Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 6 Nuovo tasso (i) edola $6 5 ai Variazioe % del prezzo (T.I.R. i per tutti i titoli) edola $6 0 ai edola $9 5 ai edola $9 0 ai 4% 8.98% 7.36% 8.57% 5.04% 5% 4.38%.55% 4.7%.53% 5.99% 0.04% 0.% 0.04% 0.% 6.0% % - 0.% % - 0.% 7% - 4.6% % % % 8% - 8.% -9.79% -7.75% -8.40% Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 7

10 DURATION (DURATA MEDIA FINANZIARIA) Differeti iterpretazioi Duratio è la media aritmetia poderata del tempo a sadeza degli importi futuri del titolo, o pesi dati dai valori attuali peretuali degli importi futuri: essa misura il tempo medio rihiesto da u titolo, su base sotata, per ripagare l ivestimeto origiale (durata media fiaziaria) Duratio riflette l elastiità del prezzo al redimeto: essa misura la variazioe peretuale del prezzo del titolo data ua variazioe peretuale del redimeto del titolo stesso Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 8 D s P s s ( i) dp ( i) di P 00 ( i) Da dove derivao queste espressioi? ) Si osideri l espressioe per il prezzo di u titolo: P i ( i) ( i) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 9

11 ) Si preda la derivata prima rispetto al redimeto: dp di ( ) ( i) ( ) 3 ( i) i i ( i) ( ) ( 00)... ( i) ( 00)... ( i) 3) Si defiisa: D P i ( i)... ( 00) ( i) 4) Si sostituisa sopra per otteere le due espressioi Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 0 Qual è la duratio di u titolo o sadeza 3 ai, edola auale $5, valore omiale $00 e T.I.R. 5%? Qual è il prezzo di questo titolo? Calolado il valore attuale si ottiee P $ 00 3 s D s s ( 0.05) ( 0.05) Questo implia he: il tempo medio rihiesto dal titolo per ripagare $00 è.86 ai per ua variazioe di 00 puti base el T.I.R. ( i % ), il prezzo varia di ( 0.0/( 0.05)).86%.70% Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa

12 DURATION MODIFICATA Variazioe peretuale del prezzo di u titolo obbligazioario al variare del redimeto DM i D dp di P Qual è la duratio modifiata di u titolo obbligazioario o sadeza 3 ai, edola auale $5, valore omiale $00 e T.I.R. 5%? DM D Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa D e DM di u titolo obbligazioario o edola soo miori del tempo alla sadeza del titolo D di u titolo obbligazioario zero oupo (seza edole) è uguale al tempo alla sadeza del titolo 00 D P P ( i) P DM di u titolo obbligazioario zero oupo (seza edole) è miore del tempo alla sadeza del titolo DM < i Tato miore è la edola di u titolo obbligazioario, tato maggiori soo la D e DM di esso Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 3

13 Due titoli obbligazioari o sadeza 3 ai, uo o edola auale $5 e uo o edola auale $3, etrambi o valore omiale $00 e T.I.R. 5% D.86 DM % D.9 DM % % % Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 4 CONVESSITA Per piole variazioi di i, DM forise ua buoa approssimazioe della variazioe peretuale di P dp DM di P DM ollegata alla liea tagete della relazioe P i PRICE YIELD Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 5

14 Tuttavia, le misure di duratio o atturao l effetto della ovessità di u titolo (effetto di seodo ordie), ovvero le sue variazioi di prezzo quado i redimeti variao di u ammotare o trasurabile DURATION CONVESSITÀ approssimazioe lieare approssimazioe quadratia Miglior approssimazioe al prezzo del titolo utilizzado i primi due termii di u espasioe i serie di Taylor dp dp di di d P ( di) di ε Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 6 Si defiisa la ovessità o l espressioe: CX P s s( s ) ( ) 00 s ( i) ( i) d di P P Misure di duratio e ovessità osiderate isieme forisoo ua migliore approssimazioe della variazioe effettiva del prezzo per ampie variazioi dei redimeti dp P DM di CX ( di) ε Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 7

15 Titolo obbligazioario o sadeza 5 ai, edola auale $0, valore omiale $00 e T.I.R. 9% P 03.89, DM 3. 84, CX ε T.I.R. sale al 0% (%) ( dp) effettiva 3.89 ( DM di) P 3.99 ( P / ) CX ( di) 0.03 errore di approssimazioe ( ) ( 3.89) 0.00 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 8 Titolo obbligazioario o sadeza 5 ai, edola auale $0, valore omiale $00 e T.I.R. 9% Periodo s Importi VA VA s VA s (s) somma Duratio D 434 Duratio modifiata DM Covessità CX (.09) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 9

16 DURATION E CONVESSITÀ DI UN PORTAFOGLIO DI TITOLI OBBLIGAZIONARI Duratio (e DM) di u portafoglio Media poderata duratio (DM) dei titoli del portafoglio D( Π) j w j D j ; DM ( Π) w j j DM j Covessità di u portafoglio Media poderata ovessità dei titoli del portafoglio CX ( Π) j w j CX j Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 30 COPERTURA DAL RISCHIO DI TASSO DI INTERESSE Immuizzazioe Teia Duratio mathig Formare u portafoglio di attività e passività tale he: DM attività DM passività Questo elimia il rishio di tasso di iteresse: variazioi parallele (relativamete piole) dei tassi soo osì perfettamete immuizzate Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 3

17 Esempio di portafoglio immuizzato (i 5%) Passività: Titolo a 4 ai o edola auale 8% ( DM P 3.43) Attività: Titolo a ao o edola auale 6% ( DM A 0.95) Titolo a 5 ai o edola auale 5% ( DM A 4.33) Trovare le quote w e w delle attività tali per ui: DM attività DM passività Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 3 dπ A w w 0.95 w w w 7% e w 73% ( w DM w DM ) ( di) A A ( di) DM P dπ P Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 33

18 STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Tasso itero di redimeto Stesso tasso di iteresse per ogi sadeza s, s,,, i Struttura per sadeza Differete tasso di iteresse per ogi sadeza s, s,,, y(s) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 34 P( ; ) y() ( y()) M... ( y( )) s ( y( s)) M( y( )) s y(s) : tasso a proti per la sadeza s Ogi pagameto futuro dispoibile alla data s viee attualizzato o u tasso di iteresse (tasso a proti) speifio per quella data y(s) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 35

19 Date sadeze s, s,,,, e i orrispodeti tassi a proti ( y ( ), y(),..., y( ) ) si ostruise u grafio he poe sull asse delle ordiate i tassi a proti alolati per le varie sadeze ( y ( ), y(),..., y( ) ) e sull asse delle asisse le relative sadeze (,,, ) Il grafio risultate rappreseta la struttura per sadeza dei tassi di iteresse Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 36 ( y( s ) s v( 0; s) ) : fattore di attualizzazioe (soto) per la sadeza s Oguo degli fattori di soto può essere iterpretato ome il valore attuale di u titolo zero oupo (seza edole) o sadeza s, valore omiale uitario e T.I.R. y(s), s,,, ( () ) y $ 0 ( ()) y $ 0. e osì via fio alla sadeza Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 37

20 I prezzi di titoli obbligazioari zero oupo relativi alle sadeze s,,, si ottegoo quidi ome: P(0;) ( y()) P(0;) ( y()) P(0; ) ( y( )) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 38 Poihé il valore attuale di ua serie di pagameti futuri è dato dalla somma dei valori attuali di ogi sigolo pagameto futuro, per u titolo obbligazioario o edola ostate e valore omiale M, il prezzo può essere espresso ome: P( ; ) P(0;) P(0;)... P(0; ) M P(0; ) ( y()) ( y())... ( M y( )) Prezzo di u titolo obbligazioario o edole Somma poderata dei prezzi di titoli zero oupo o valore omiale uitario, o pesi dati dalle edole Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 39

21 Tassi a proti y(s), s,,...,, Struttura per sadeza dei tassi di iteresse Relazioe tra T.I.R. di titoli obbligazioari zero oupo (tassi a proti) e tempo alla sadeza dei titoli stessi Struttura per sadeza dei tassi di iteresse piatta Tassi a proti tutti uguali a uio T.I.R. (ostate) y () y()... y( ) i Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 40 Il T.I.R. di u titolo obbligazioario o sadeza 3 ai, he paga ua edola auale di $5, ha u valore omiale di $00 e prezzo orrete $97 è i % 6.5 Per lo stesso titolo si ottiee u idetio prezzo utilizzado, per esempio, i segueti tassi a proti: y( ) 7.5% y( ) 5% y( 3) 6.4% $97 3 s 3 s $5 ( i) $5 s $00 ( i) 3 s ( y( s) ) $00 ( y(3) ) 3 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 4

22 TEOREMA DI NON ARBITRAGGIO I u merato di titoli obbligazioari uo soltato dei segueti asi è vero: Ci soo opportuità di arbitraggio oppure Esiste u isieme omue di tassi a proti (fattori di soto) i grado di uguagliare prezzo e valore attuale per ogi titolo obbligazioario Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 4 Questo implia he, dati X titoli obbligazioari, si ha u isieme uio (ovvero, omue a tutti i titoli) di tassi a proti y(),y(),,y() tale per ui: P( P( A B P( ; ) ; ) X ( A) y() ( B ) y() ( A) ( y()) ( ( B ) y()) ( A) ( ( B ) ( ( X ) ( X ) ; )... y() ( y()) ( ( X ) 00 y( )) y( )) y( )) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 43

23 Asseza di opportuità di arbitraggio implia he o si possoo usare ombiazioi di titoli per repliare i pagameti futuri di altri titoli a mior osto (esempio) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 44 Esempio Pagameti futuri Titolo Prezzo Periodo Periodo A B 00.4 C C è la possibilità di arbitraggio? Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 45

24 Esempio (otiua) Valore attuale pagameti futuri Titolo Prezzo Periodo Periodo A v (0; ) 0 v(0;) B 00.4 v (0; ) v(0;) C v (0; ) 06 v(0;) Per y().% ( v ( 0;) 0. 9) e y().80% ( v ( 0;) 0. 8) prezzo valore attuale per ogi titolo No è arbitraggio Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 46 Esempio Valore attuale pagameti futuri Titolo Prezzo Periodo Periodo A B D No è soluzioe per y() e y() (ovvero per v (0; ) e v (0;)) tale per ui tutti i valori attuali soo uguali ai rispettivi prezzi Arbitraggio Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 47

25 Esempio (otiua) u possibile arbitraggio: usa A e B per repliare D Pagameti futuri Trasazioe Quatità Titolo Periodo 0 Periodo Periodo Aquisto B ( ) (6.000) ( ) Vedita 35 A (3.000) ( ) (0) Saldo Vedita D Profitto di arbitraggio Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 48 TASSI A TERMINE Tasso a termie è il tasso di iteresse fissato alla data 0 per u operazioe fiaziaria he iizia alla data k 0 e termia alla data ks k f ( k; k s) 0 k k s Tassi a termie detti ahe tassi impliiti o tassi forward, perhé, i asseza di arbitraggio, possoo veire impliitamete determiati dai tassi a proti Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 49

26 Dato u isieme di tassi a proti, è possibile alolare i tassi a termie impliiti ella struttura per sadeza f ( k; k s) ( y( k s) ) k ( y( k )) k s s f ( k; k s) 0 k k s y(k) y ( k s) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 50 Qual è il tasso a termie f(;) per u operazioe fiaziaria he iizia tra ao e termia tra ai, dato he i tassi a proti a ao e a ai soo, rispettivamete, y().% e y().80%? I asseza di arbitraggio: f (;) ( 0.80 ) 0..50% Perhé i asseza di arbitraggio? Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 5

27 Asseza di arbitraggio implia he Motate di u operazioe fiaziaria he osiste ell ivestire $00 per ai al tasso y() Motate di u operazioe fiaziaria he osiste ell ivestire $00 per ao al tasso y() e el reivestire il riavato al tasso a termie f(;) per u ulteriore ao $00 (.80) $00 (.) (.50)) $5 Se f(;).50% possibilità di arbitraggio Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 5 Esempio y ( ).% y ( ).80% f ( ;) 4.30% Operazioe Periodo 0 Periodo Periodo Idebitameto ai Ivestimeto ao Re-ivestimeto ao Guadago / Perdita 0 0 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 53

28 STRUTTURA A TERMINE (IMPLICITA) DEI TASSI DI INTERESSE Date sadeze s, s,,,, e i tassi a termie f(;),f(;3),...,f(-,) si ostruise u grafio he poe sull asse delle ordiate i tassi a termie alolati per le varie sadeze e sull asse delle asisse le relative sadeze (,,, ) Il grafio risultate rappreseta la struttura a termie (impliita) dei tassi di iteresse Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 54 TITOLI OBBLIGAZIONARI A TASSO VARIABILE Obbligazioi o edola he varia el tempo, seodo u prefissato meaismo di idiizzazioe. Le edole vegoo determiate all iizio di ogi periodo di riferimeto (ad esempio, ogi 6 mesi oppure ogi ao) sulla base di u tasso di riferimeto (ad esempio, il tasso sui BOT a 6 mesi oppure il tasso sui BOT a ao). Ne osegue he, al mometo dell aquisto, è ota solamete la prima edola he verrà pagata. Le edole suessive diveterao ote i seguito, sulla base dei valori he assumerà il tasso di riferimeto Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 55

29 Esempio di meaismo di idiizzazioe Tasso sui BOT a 6 mesi: y(0;0.5) 5% Calolo della edola da pagarsi tra 6 mesi Tasso sui BOT a 6 mesi: y(0;0.5) 4.8% Calolo della edola da pagarsi tra 6 mesi ( y(0.5) / ) 00 ( y(0.5) / ) Cedola da pagarsi alla sadeza s, s 0.5,,.5,,, determiata sulla base del tasso a 6 mesi registrato sul merato alla sadeza preedete Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 56 Valutazioe di titoli obbligazioari a edola variabile Per determiare il prezzo di u titolo a tasso variabile sarebbe eessario prevedere le edole future da attualizzare, osì da poter appliare lo stesso meaismo di valutazioe he si utilizza per u titolo a edola fissa P y() ( y()) ( s; ) ( y( )) La previsioe delle edole future rihiede ua previsioe ira il valore he assumerà il tasso di riferimeto alle date future i ui sarao fissate le edole Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 57

30 Appliado il priipio di o-arbitraggio, ua previsioe di tale tasso oerete o la struttura per sadeza dei tassi a proti osservata al tempo 0 (data di valutazioe) implia l utilizzo dei tassi a termie Previsore al tempo 0 y() 00 (osservato) f(;) 00 3 f(;3) 00 4 f(3;4) 00 f(-;) 00 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 58 Sostituedo ell equazioe di valutazioe, si ottiee: P y() 00 y() f (;) 00 ( y()) f (;3) 00 ( y(3)) ( s; ) 3 f ( ; ) ( y( )) Data la defiizioe di tasso a termie (per il aso s ) f ( k; k ) ( y( k ) ) k ( y( k )) k Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 59

31 si ottiee he l espressioe per il prezzo di u titolo a tasso variabile si semplifia otevolmete, ome segue: y() P( s ; ) y() y() ovvero, si riava he il prezzo di u titolo a tasso variabile è dato dal valore, attualizzato per u periodo, della prima edola (ota) e del valore omiale dell obbligazioe. Dalla formula di sopra, si evie he il valore di u titolo a tasso variabile alla data di stao della edola è, i questo aso, pari al suo valore omiale ( 00) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 60 I u qualsiasi altro istate temporale, ompreso tra due date di stao della edola, il valore dell obbligazioe sarà differete dal suo valore omiale. Ad esempio, il valore del titolo a 3 mesi dal pagameto della prossima edola è dato da: 00 P( s ; ) 0. 5 ( y(0.5) ) 00 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 6

32 Il CCT o data di sadeza febbraio 00 prevede il pagameto di edole semestrali idiizzate i base al seguete meaismo: - Tasso BOT a 6 mesi registrato all iizio del periodo di riferimeto ( febbraio e agosto) spread di 0.5%. Cosiderado he il tasso sui BOT a 6 mesi registrato il /8/003 è stato del.0% auo, qual è il prezzo del CCT al ovembre 003, data i ui y(0.5).0%? P( s ;6.5) (.0%/ 0.5% ) ( y(0.5) ).5 00 ( 0.0) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa BOOTSTRAP Teia he permette di estrapolare la struttura per sadeza dei tassi a proti dai prezzi dei titoli obbligazioari osservati sul merato Si ipotizzi di osservare sul merato * titoli zero oupo o sadeza, rispettivamete, 0.5,,.5,,,, ai e *k titoli o edola fissa o sadeza, rispettivamete, 0.5,,.5,,, k ai Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 63

33 I totale, si ipotizza quidi di osservare titoli he oproo tutte le sadeze semestrali omprese tra 0.5 e k ai I tassi a proti relativi alle * sadeze di titoli zero oupo si riavao ivertedo le relazioi di prezzo P(0;0.5) P(0;) ( 00 y(0.5)) 00 ( y()) 00 P(0; ) ( y( )) 0.5 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 64 Si ottegoo osì i tassi a proti relativi alle sadeze omprese tra 0.5 e ai y(0.5) 00 P (0;0.5) y() P (0;) y( ) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 65 P 00 (0; )

34 Questi tassi vegoo utilizzati per alolare i tassi a proti relativi alle suessive sadeze 0.5,,.5,,, k ai mediate ua proedura riorsiva. I partiolare, si proede alolado iizialmete il tasso a proti per la sadeza 0.5 P( 0.5 ; ) 0.5 ( y(0.5)) y() ( y( )) ( y( 0.5)) Ifatti, dato he i tassi y(0;0.5), y(0;),, y(0;) soo già stati alolati, l uia iogita i questa equazioe è rappresetata dal tasso y(0;0.5) Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 66 Esempio Dato u merato omposto da due titoli zero oupo, aveti prezzo di merato P(0;0.5) 99 e P(0;) 97 (ovvero, ), e da u titolo o edola fissa di, sadeza.5 ai e prezzo P(0;.5) 00, si determii la struttura dei tassi a proti per le sadeze dispoibili. Il primo stadio è ostituito dal alolo dei tassi a proti per le sadeze 0.5 e, failmete otteibili ivertedo la relazioe di prezzo per i titoli zero oupo. Nel seodo stadio, si utilizzao i tassi osì alolati ella relazioe di prezzo del titolo o edola per riavare il tasso a proti relativo alla sadeza.5 Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 67

35 y(0.5) % 00 y( ) % y (.5) P ( 0.5 ;.5) ( (.003 ) 00.5 y (0.5)) ( y ()) 3.35 % Fie esempio Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 68 Quidi, si proede utilizzado tale tasso a proti, isieme agli * tassi preedetemete alolati, per determiare il tasso a proti relativo alla sadeza, he è l uia iogita ella seguete equazioe P( ; ) ( ( y( )) y(0.5)) 0.5 ( y( 0.5)) y() ( y( ))... e osì via; si otiua ad appliare la stessa proedura fio a riavare il tasso a proti relativo alla sadeza k Lezioi di Matematia per i Merati Fiaziari 003 Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa 69