Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria

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Cornelio Ferrario
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1 Esercizi Svolti di Matematica Finanziaria Esercizio. Nel mercato obbligazionario italiano del 0 Novembre 009 si osservano i seguenti prezzi: - prezzo 96, per un titolo il cui valore a scadenza in T è 0, - prezzo 98,5, per un titolo il cui valore a scadenza in S è 00, con T = 0 Febbraio 0 cioè tra anno e 3 mesi) e S = 5 Luglio 00 cioè tra 8 mesi e mezzo). Dire qual è il prezzo a termine stabilito oggi, per consegna in S, per ricevere 50 ein T. v0, S) = 98, 5 = 0, e 96 v0, T ) = 0 Allora, dal teorema dei prezzi impliciti si ha: = 0, 94. v0, S, T ) = v0, T ) v0, S) = 0, 94 0, 985 = 0, 955. Per cui, per ricevere 50 ein T, oggi stabilisco che in S è giusto pagare: 50 v0, T, S) = 50 0, 995 = 43, 5e. Esercizio. Si consideri un obbligazione al 4%, con cedole semestrali, vita a scadenza di anno e mezzo, rendimento del 3, 4%. Relativamente a tale obbligazione, calcolare: il valore attuale, la scadenza media aritmetica, la duration di Macaulay. Inoltre senza calcolare i nuovi prezzi) dire approssimativamente qual è il prezzo dell obbligazione se il rendimento aumenta dello 0, 5%, e qual è il prezzo dell obbligazione se il rendimento diminuisce dello 0, 5%. Calcoliamo i fattori di sconto necessari: v 0, k ) = + λ k, k =,..., m. n n) In questo caso abbiamo: n = numero di cedole in un anno), m = 3 periodi di pagamento rimasti), λ = 3, 4% rendimento). Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono: v 0, ) = + v0, ) = Per cui il prezzo dell obbligazione è: P = v 0, ) + v 0, 3 ) = + ) = 0, 983 ) = 0, 967 ) 3 = 0, 95 + v0, ) + 0 v 0, 3 ) = 00, 870

scadenza in S è 00, con T = 0 Febbraio 0 cioè tra anno e 3 mesi) e S = 5 Luglio 00 cioè tra 8 mesi e mezzo). Dire qual è il prezzo a termine stabilito oggi, per consegna in S, per ricevere 50 ein T.

2 e la duration di Macaulay è: D = v ) 0, + v0, ) v ) 0, 3 P Mentre la scadenza media aritmetica è: SMA = =, 47 anni. =, 47 anni. La variazione del prezzo ΔP è legata alla variazione del rendimento Δλ nel seguente modo dove D M è la duration modificata ΔP P D M Δλ, D M = D + λ n =, 446 anni. Per cui se il rendimento aumenta dello 0, 5%, cioè Δλ = 0, 005, allora la variazione di prezzo è approssimata da ΔP P D M Δλ = 00, 870, 446 0, 005 = 0, 79 per cui il nuovo prezzo approssimativamente è P + ΔP 00, 870 0, 79 = 00, 4. Mentre se il rendimento diminuisce dello 0, 5%, cioè Δλ = 0, 005, allora la variazione di prezzo è approssimata da ΔP P D M Δλ = 00, 870, 446 0, 005 = +0, 79 e il nuovo prezzo approssimativamente è P + ΔP 00, , 79 = 0, 599. Esercizio 3. Scrivere il piano di ammortamento a posteriori, cioè dopo che si sono osservati tutti i tassi sul mercato) per il rimborso di un prestito di ein 4 rate semestrali immediate posticipate, a quota capitale costante e interesse variabile indicizzato ai tassi EURIBOR osservati sul mercato. Dai tassi osservati sul mercato si ricavano i seguenti tassi da applicare al debito residuo tassi semestrali, con tempi espressi in semestri): i ) 0, ) =, 4%, i ), ) =, 6%, i ), 3) =, 5%, i ) 3, 4) =, 58%. Scrivere inoltre il piano di ammortamento sempre a posteriori) per il rimborso dello stesso prestito, con le stesse condizioni dette sopra, e con l unica differenza che ora si stabilisce un tasso massimo da pagare pari al, 55%. Per ogni periodo k, indichiamo con C k = la quota capitale, con I k la quota interessi, con R k la rata, con M k il debito resido, ottenendo:

Per cui se il rendimento aumenta dello 0, 5%, cioè Δλ = 0, 005, allora la variazione di prezzo è approssimata da ΔP P D M Δλ = 00, 870, 446 0, 005 = 0, 79 per cui il nuovo prezzo approssimativamente

3 semestri C k I k R k M k dove abbiamo usato: I = 0, =.440 I = 0, =.70 I 3 = 0, = 750 I 4 = 0, = 387. Mentre nel secondo caso otteniamo: semestri C k I k R k M k ,5 6.47, ,5 5.38,5 0 dove abbiamo usato: I = 0, =.440 I = 0, =.47, 5 I 3 = 0, = 750 I 4 = 0, = 38, 5. Esercizio 4. Vendiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [, 6] espresso in anni), sul capitale di ead un tasso FRA 6) = 4, %, e comperiamo un contratto FRA relativo al periodo forward [, 4] espresso in anni), sul capitale di ead un tasso FRA 4) = 3%. Dopo anno si osserva un tasso spot annuo i, 4) = 3, %, e dopo anni si osserva un tasso spot annuo i, 6) = 3, 9%. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio. Si consideri inolre il caso in cui dopo anno si osserva un tasso spot annuo i, 4) =, 8%, e dopo anni si osserva un tasso spot annuo i, 6) = 4%. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio. Per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo , 04 0, 039) 4 = Per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo Per cui il flusso del nostro portafoglio è , 03 0, 03) 3 = {0.000, 0.000} {4, 6}. 3

38,5 0 dove abbiamo usato: I = 0, 04 60.000 =.440 I = 0, 055 45.000 =.47, 5 I 3 = 0, 05 30.000 = 750 I 4 = 0, 055 5.000 = 38, 5. Esercizio 4.

4 Nel secondo caso, per il contratto FRA che vendiamo, in 6 riceviamo , 04 0, 04) 4 = mentre per il contratto FRA che acquistiamo, in 4 paghiamo , 03 0, 08) 3 = Per cui il flusso del nostro portafoglio è { , } {4, 6}. Esercizio 5. Comperiamo 3 PUT sul sottostante S con strike K = 50 e scadenza T = anni, e vendiamo PUT sul sottostante S con strike K = 80 e scadenza T = 3 anni. Descrivere il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei seguenti casi: a) Tra anni si osservano i valori S = 40, S = 60 e tra 3 anni i valori S 3 = 50, S 3 = 90. b) Tra anni si osservano i valori S = 55, S = 80 e tra 3 anni i valori S 3 = 60, S 3 = 85. Descrivere inoltre il flusso monetario generato dal nostro portafoglio nei casi a) e b) se invvece di PUT si considerano opzioni CALL. Caso a), con opzioni PUT: P = K S ) + = 50 40) + = 0, P = K S 3) + = 80 90) + = 0, Caso b), con opzioni PUT: {3 P, P } {, 3} = {30, 0} {, 3}. P = K S ) + = 50 55) + = 0, P = K S 3) + = 80 85) + = 0, Caso a), con opzioni CALL: {3 P, P } {, 3} = {0, 0} {, 3}. C = S K ) + = 40 50) + = 0, C = S 3 K ) + = 90 80) + = 0, Caso b), con opzioni CALL: {3 C, C } {, 3} = {0, 0} {, 3}. C = S K ) + = 55 50) + = 5, C = S 3 K ) + = 85 80) + = 5, {3 C, C } {, 3} = {5, 0} {, 3}. 4

Comperiamo 3 PUT sul sottostante S con strike K = 50 e scadenza T = anni, e vendiamo PUT sul sottostante S con strike K = 80 e scadenza T = 3 anni.

5 Esercizio 6. Vendiamo uno swap su ea un tasso SW= 3% nel periodo [, 5; 3, 5] espresso in anni), con pagamenti a cadenza semestrale. Descrivere il flusso del nostro portafoglio nel caso in cui si osservino i seguenti tassi spot annui: i;, 5) =, 9%, i, 5; 3) = 3, %, i3; 3, 5) =, 95%, i3, 5; 4) = 3, %. In 3 riceviamo e in 3, 5 riveviamo , 03 0, 03) = , 03 0, 095) =, 5 { 45;, 5} {3; 3, 5}. 5

Descrivere il flusso del nostro portafoglio nel caso in cui si osservino i seguenti tassi spot annui:

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