Matematica Finanziaria

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matematica Finanziaria"

Transcript

1 Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi

2 Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi fiaziari Della capitalizzazioe composta Della capitalizzazioe semplice Dello scoto commerciale Operazioi fiaziarie complesse Redite Obbligazioi Idici temporali e di variabilità Maturity Scadeza media aritmetica Scadeza media fiaziaria Durata media fiaziaria (duratio e covexity) Costituzioe di capitali e ammortameti Ammortameto italiao Ammortameto fracese Ammortameto tedesco Ammortameto americao

3 Defiizioi itroduttive Matematica Fiaziaria Braca della matematica applicata che modellizza le operazioi fiaziarie Operazioe fiaziaria (o.f.) Ogi atto che produce ua variazioe di capitale per effetto dello scambio o cotemporaeo di almeo due importi. Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca Più i geerale, u operazioe fiaziaria può scriversi come isieme di coppie F = {(I, t ), (I 2, t 2 ),..., (I, t )} Notazioe: Rispetto al soggetto che valuta l o.f., l importo ha sego egativo se costituisce u uscita e sego positivo se costituisce u etrata.

4 Classificazioe delle operazioi fiaziarie Elemetare, se #(F) = 2 (se lo scambio è fra ua sola prestazioe ed ua sola cotroprestazioe) Complessa, se #(F) > 2 (se lo scambio riguarda più prestazioi e/o cotroprestazioi) L operazioe fiaziaria è A proti se il prezzo dell o.f. viee pagato el mometo i cui esso viee cocordato tra le parti A termie se il prezzo dell o.f. viee pagato i u epoca successiva a quella i cui esso è cocordato Certa se etrambi gli elemeti della coppia (I,t) soo determiistici (decisioi fiaziarie i codizioi di certezza) Aleatoria se tale è almeo uo degli elemeti della coppia (I,t) (decisioi fiaziarie i codizioi di icertezza)

5 Il mercato dei capitali Le trasazioi che hao ad oggetto operazioi fiaziarie avvegoo el Mercato dei capitali iteso come luogo di icotro della domada (fiaziameti co vicolo di credito [obbligazioi] e/o di capitale [azioi]) e dell offerta (emissioi e/o egoziazioi di titoli relativi prestiti moetari). Teoria Formulazioe di ipotesi sul comportameto degli partecipati al mercato per defiire u modello: il mercato ideale Aalisi del mercato dei capitali Pratica Valutazioe della coveieza fiaziaria delle opportuità sulla base delle trasazioi el mercato reale

6 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale Competitività (competitive) Ogi operatore: a) usufruisce gratuitamete delle stesse iformazioi b) igora le cosegueze delle proprie azioi sul mercato c) è u massimizzatore di profitti (mira a coseguire il maggior risultato ecoomico co il miimo costo No frizioalità (frictioless) Le trasazioi soo libere da costi aggiutivi (di itermediazioe, fiscali ecc.) Le operazioi: a) soo divisibili (possoo cioè avere ad oggetto importi qualsiasi) b) possoo essere effettuate i ogi istate Soo ammesse vedite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vedere titoli che o si possiedoo) No c è rischio di isolveza (default risk) Asseza di arbitraggi

7 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) Defiizioe di arbitraggio U arbitraggio è u'operazioe fiaziaria che cosete al soggetto che la poe i essere di coseguire u profitto certo seza correre alcu rischio. Distiguiamo tra: Arbitraggio di tipo A Si ha quado l o.f.: ha u costo ullo o egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi, co almeo u pagameto positivo Arbitraggio di tipo B Si ha quado l o.f.: ha u costo egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi

8 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) «Co il termie arbitraggio si itede idicare u'operazioe che cosete di otteere u profitto certo, seza che il soggetto che la mette i essere corra alcu rischio. Solitamete l'arbitraggio cosiste ell'acquisto/vedita di uo strumeto fiaziario (ma ache o fiaziario, come ua commodity) e i ua cotemporaea operazioe di sego opposto sullo stesso strumeto egoziato su u mercato diverso dal precedete, oppure su uo strumeto diverso ma avete le stesse caratteristiche a livello di payout del primo. Appare evidete che ua siffatta operazioe può geerare u profitto solo el caso i cui esista u differeziale di prezzo tra due strumeti pressochè idetici, differeziale determiato da ua iefficieza di tipo iformativo (o ormativo): questo è il presupposto fodametale perché si creio opportuità di questo tipo. U altro presupposto è rappresetato dalla esisteza di strumeti fiaziari perfettamete sostituibili. Questo può avveire el caso i cui si predoo i cosiderazioe strumeti idetici ma scambiati su mercati diversi, oppure i quello relativo a strumeti diversi ma aveti lo stesso payout (ad es. u paiere di titoli azioari ed il future avete lo stesso paiere come sottostate), o acora i quello di cui uo strumeto può essere replicato siteticamete (triagolazioi sul mercato valutario).» Da

9 Il mercato dei capitali reale Diretto Le egoziazioi avvegoo mediate accordi diretti tra le parti, che determiao autoomamete le codizioi di scambio. Es.: operazioi bacarie Mercato dei capitali Mercato moetario (egoziazioe di strumeti a breve scadeza, covezio- almete o superiori a 8 mesi) Aperto Le egoziazioi soo di tipo impersoale ed hao caratteristiche (taglio degli importi, scadeze, tassi, ecc.) stadardizzate. Es: operazioi di cambio Mercato fiaziario (egoziazioe di mezzi fiaziari obbligazioi e/o azioi geeralmete a medio e lugo termie) Mercato dei cambi (egoziazioe di valute estere)

10 L operazioe fiaziaria elemetare Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), co y x ; x 0,y 0 Schema: A coferisce a B all epoca x l importo P i cambio dell importo M che B coferirà ad A all epoca y, co y > x. P A B x M A B y Esempio : Acquisto oggi (epoca t) u BOT (Buoo Ordiario del Tesoro) al prezzo di 95,87 ed icasserò tra u ao 00. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { ( 95,87, t), (00, t+)} Esempio 2: Preseto oggi (epoca t) all icasso u credito per.000 che maturerà tra 30 giori. Ricevo dalla cotroparte 995. Assumedo il gioro come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { (995, t), (.000, t+30)}

11 L operazioe fiaziaria elemetare (segue) Ipotesi:. Gli importi P ed M soo espressi ella stessa uità di misura 2. I soggetti che attuao lo scambio soo razioali: a) ( I, x) f ( I, x) 2 se I > I 2 b) ( I, x ) f ( I, y ) se x < y Criteri di prefereza assoluta Pricipio di equivaleza fiaziaria «E fiaziariamete equivalete ricevere [corrispodere] u importo immediatamete oppure riceverlo [corrispoderli] i u epoca successiva purché i questa secoda evetualità all importo si aggiuga u iteresse per il differimeto della trasazioe.»

12 L operazioe fiaziaria complessa (esempi) Esempio 3: Acquisto oggi (epoca t) u BTP (Buoo del Tesoro Polieale) co scadeza tra tre ai al prezzo di 0,25 che paga cedole semestrali i base al tasso auo del 4%. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come 3 5 {( 0.25, ), (2, 2), (2, ), (2, 2), (2, 2), (2, 2), (02, 3) } F = t t + t + t + t + t + t + Esempio 4: Acquisto oggi (epoca t) u auto del valore di e la pago co rate mesili di 300 per i prossimi 5 ai (umero di rate = 2 5 = 60). Assumedo il mese come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come {(5.000, ), ( 300, ), ( 300, 2),...,( 300, 60) } F = t t + t + t +

13 L o.f. elemetare: ivestimeto e aticipazioe L operazioe fiaziaria elemetare F = {( P, x),( M, y)} è detta di ivestimeto (o impiego) se, oto P, deve determiarsi M ( se P rappreseta u uscita) I questo caso: x è l epoca di ivestimeto y è l epoca di scadeza P è il capitale impiegato (o ivestito) all epoca x M è il motate alla data y del capitale ivestito alla data x. P x M (icogita) y di aticipazioe (o scoto o fiaziameto) se, oto M, deve determiarsi P ( se P rappreseta u etrata) I questo caso: x è l epoca di aticipazioe y è l epoca di scadeza P è il valore attuale all epoca x dell importo M dispoibile all epoca y M è l importo dispoibile all epoca y P x (icogita) I etrambi i casi, per il pricipio di equivaleza fiaziaria, deve aversi M P y x M y

14 L o.f. elemetare: esempi di ivestimeto e aticipazioe Esempi di operazioi di ivestimeto A presta a B la somma P i cambio della restituzioe, tra u mese, della somma M > P (da determiare ell accordo che itercorre tra A e B). A effettua u versameto di importo P su u coto correte bacario e, seza movimetare il coto, preleva a fie ao l importo M > P. Esempio di operazioi di aticipazioe A cede all epoca x u credito a B di importo M che scade all epoca y ed ottiee i cambio l importo P < M.

15 L o.f. elemetare: iteresse e scoto La differeza (o egativa) M P è detta elle operazioi di ivestimeto, iteresse (sul capitale ivestito P) ed è idicata come I x,y. Pertato elle operazioi di aticipazioe, scoto (sul capitale dovuto M) ed è idicata come D x,y. l iteresse I x,y è la somma che frutta l ivestimeto dell importo P tra le epoche x ed y lo scoto D x,y è la somma che frutta l aticipazioe all epoca x dell importo M dovuto all epoca y M P = I M = P + I x, y x, y M P = D P = M D x, y x, y Il motate dell importo P è pari alla somma dello stesso importo P e dell iteresse da questo prodotto. Il valore attuale dell importo M è pari alla differeza tra lo stesso importo M e lo scoto. Osservazioe. Si cosideri che per defiizioe è x, y, I = D x y

16 L o.f. elemetare: la fuzioe valore Le assuzioi alla base del mercato dei capitali ideale garatiscoo che esiste ua sola fuzioe f che, ota la tera x, y e P, idividua uivocamete M, cioe : Ipotesi sulla fuzioe f Assumeremo che la fuzioe f sia: f : ( P, x, y) M M = f ( P, x, y) cotiua su u isieme costituito da opportui itervalli di defiizioe delle variabili derivabile parzialmete rispetto alle tre variabili State il sigificato fiaziario della fuzioe f, dovrà ache essere P = f ( P, x, x), x 0, P f > 0 P f > 0 y (f crescete al crescere di P) (f crescete al crescere di y) f < 0 x (f decrescete al crescere di x)

17 L o.f. elemetare: la fuzioe valore (segue) Ipotesi sulla fuzioe f (segue) (Ipotesi di proporzioalità o idipedeza dall importo) M = f ( P, x, y) = P f (, x, y) essedo detta f(, x, y) fuzioe di importo uitario. Osservazioi Dal puto di vista ecoomico, l ipotesi assume che l utilità margiale del dearo sia costate L assuto è realistico el caso di importi coteuti o di periodi o molto lughi. Si può iterpretare f(, x, y) come il prezzo all epoca y di ua uità di capitale (p.es.: u euro) dispoibile all epoca x

18 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Richiamo Data la fuzioe y = f(x) cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo I esiste la sua fuzioe iversa f che risulta cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo J, co J = f(i). y f y = f(x) f f f x = f (y) x

19 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Per ipotesi, la fuzioe f è cotiua e strettamete crescete rispetto all importo P. Esiste duque la sua fuzioe iversa (rispetto a P) che idichiamo co g. Pertato M = f(p, x, y) P = g(m, x, y) restituisce l importo M dispoibile all epoca y i cambio dell importo P dispoibile all epoca x restituisce l importo P dispoibile i x i cambio dell importo M dispoibile all epoca y Valedo l ipotesi di proporzioalità si ha ache che M M = P f (, x, y) = f (, x, y) P Per defiizioe poiamo r(x, y) = f(, x, y). P P = M g(, x, y) = g(, x, y) M Per defiizioe poiamo v(x, y) = g(, x, y).

20 L o.f. elemetare: sigificato della fuzioe valore r(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca y i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca x. x r(x,y) y 2. il prezzo all epoca y di u importo uitario dispoibile all epoca x. 3. Il fattore di capitalizzazioe i quato forisce il motate all epoca y per ogi uità di capitale P ivestito all epoca x v(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca x i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca y. v(x,y) x y 2. il prezzo all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. 3. Il fattore di attualizzazioe i quato forisce il valore attuale all epoca x per ogi uità del capitale M dovuto all epoca y

21 L o.f. elemetare: relazioe tra r e v Osservazioe Essedo per defiizioe seguoo baalmete le M P P = r( x, y) e = v( x, y) M r( x, y) v( x, y) = r ( x, y ) = v( x, y) v( x, y) = r( x, y)

22 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 5 Ivesto il u capitale di 00 ed ho i restituzioe il u capitale di 02,5. P = 00 M = 02,5 x = y = M = P r( , ) 02,5 = 00 r( , ) da cui 02,5 r ( , ) = =, Fattore di capitalizzazioe

23 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 6 Disporrò il u importo di 00 e cedo tale dispoibilità i cambio di 90 che mi vegoo corrisposti il P = 90 M = 00 x = y = P = M v( , ) 90 = 00 v( , ) da cui 90 v ( , ) = = 0,90 00 Fattore di attualizzazioe

24 L o.f. elemetare: tasso di iteresse (periodale) Nelle operazioi di ivestimeto, si è defiito l iteresse I x,y come I x,y = M P () essedo M il motate all epoca y dell importo P ivestito all epoca x. Dividedo etrambi i membri della () per P si ottiee Per defiizioe poiamo I x, y M P M = = P P P, i( x, y) = P Il umero puro i(x,y) rappreseta l iteresse prodotto tra le epoche x ed y da ogi uità di capitale ivestito P e prede il ome di tasso effettivo di iteresse Osservazioe Si tega be presete che il tasso sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. I x y

25 L o.f. elemetare: tasso di scoto (periodale) Aalogamete, elle operazioi di aticipazioe, si è defiito lo scoto D x,y come D x,y = M P (2) essedo M il capitale dispoibile all epoca y e P l ivestito aticipato all epoca x. Dividedo etrambi i membri della (2) per M si ottiee Per defiizioe poiamo Dx, y M P P = = M M M, d( x, y) = M Il umero puro d(x,y) rappreseta lo scoto corrisposto per ogi uità di capitale M che, dispoibile all epoca y, viee aticipata all epoca x. Esso prede il ome di tasso effettivo di scoto Osservazioe Come osservato i precedeza, si rammeti che quello sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. D x y

26 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie Defiiti il ed il è ecessario esplicitare: tasso effettivo di iteresse i(x, y) tasso effettivo di scoto d(x,y). le relazioi che legao tali quatità alle altre gradezze già itrodotte (fattore di capitalizzazioe, fattore di scoto) 2. la relazioe esistete tra i(x, y) e d(x, y)

27 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo I M P M P P P x, y (, ) = = = = (, ) i x y r x y i( x, y) = r( x, y) r( x, y) = + i( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue v( x, y) i( x, y) = = v( x, y) v( x, y) ed ache v( x, y) = + i ( x, y )

28 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di scoto e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo d x y I M P P = = M M M x, y (, ) = = v( x, y) d( x, y) = v( x, y) v( x, y) = d( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue r( x, y) d( x, y) = = r( x, y) r( x, y) ed ache r( x, y) = d ( x, y )

29 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie 2) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e tasso effettivo di scoto d( x, y) = r( x, y) r( x, y) Abbiamo appea dedotto che () r( x, y) = + i( x, y) e che (2) Sostituedo la (2) ella () segue immediatamete che i( x, y) d ( x, y ) = + i ( x, y ) v( x, y) i( x, y) = v( x, y) Aalogamete abbiamo ache dedotto che (3) v( x, y) = d( x, y) e che (4) Sostituedo la (4) ella (3) segue immediatamete che d( x, y) i( x, y) = d ( x, y )

30 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Si cosideri la catea di uguagliaze i( x, y) d( x, y) = = i( x, y) = i( x, y) = i( x, y) v( x, y) + i( x, y) + i( x, y) r( x, y) L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete d( x, y) = i( x, y) v( x, y) il tasso di scoto come valore attuale del tasso di iteresse. i(x, y) v(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

31 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Aalogamete si cosideri la catea di uguagliaze d( x, y) i( x, y) = d( x, y) d( x, y) d( x, y) r( x, y) d( x, y) = d( x, y) = v( x, y) = L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete i( x, y) = d( x, y) r( x, y) il tasso di iteresse come motate del tasso di scoto. d(x, y) r(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

32 L o.f. elemetare: tavola riepilogativa delle relazioi fodametali Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) v( x, y) v(x, y) v(x, y) v( x, y) v( x, y) v( x, y) + i( x, y) i(x, y) + i( x, y) i(x, y) i( x, y) + i( x, y) d( x, y) d( x, y) d( x, y) d(x, y) d( x, y) d(x, y)

33 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 5 era Quidi sarà 02,5 r ( , ) = =, Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y),025 0,9756 0,025 0,02439

34 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 6 era Quidi sarà 90 v ( , ) = = 0,90 00 Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) v(x, y) v( x, y) _, v(x, y) v( x, y) v( x, y) _ v( x, y) 0,90 0, 0,0

35 L o.f. elemetare: esempi Esempio Si deve corrispodere alla scadeza y l importo di.000. Il tasso effettivo di iteresse periodale è del 2,5%. Si determii all epoca x (co x < y) la somma da aticipare, lo scoto ed il tasso effettivo di scoto dell operazioe. P = M v( x, y) = M = + i( x, y) =.000 = 975,6 + 0,025 Dx, y = M P = ,6 = 24,39 D x y, 24,39 d( x, y) = = = 0,02439 M ,6.000 x y

36 Cotratti a proti e cotratti a termie Nell operatività fiaziaria la regolazioe del prezzo avviee solitamete i epoche successive a quella i cui il prezzo stesso viee cocordato dalle parti. Esempio Si acquista oggi u bee che si iizierà a pagare tra sei mesi. Il prezzo del bee è cotrattualmete stabilito oggi dalle parti. L esborso per l acquirete è differito rispetto alla data di stipula del cotratto. Cosegueza E ecessario ampliare lo schema fi qui adottato per descrivere le o.f. semplici. D ora i avati idicheremo co u l epoca i cui viee pattuito il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete l epoca ella quale si stipula il cotratto); x l epoca i cui viee regolato il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete x > u) y l epoca i cui ha termie l operazioe fiaziaria

37 Cotratti a proti e cotratti a termie (segue) durata del cotratto durata dell o.f. u x y Epoca i cui viee pattuito il prezzo Epoca i cui viee regolato il prezzo Epoca i cui ha termie il cotratto Si osservi che y u : durata del cotratto (rileva l epoca di accordo sul prezzo) y x : durata dell operazioe fiaziaria (rileva l epoca di regolameto del prezzo)

38 Cotratti a proti e cotratti a termie: esempio Esempio 8 Il..08 (epoca u) il soggetto A stipula u cotratto co il soggetto B i base al quale si impega a corrispodere a B u importo pari a 870 il.0.09 (epoca x) i cambio di u importo di 000 che B ricooscerà ad A il (epoca y). Schema dell operazioe //08 0/0/09 0/06/09 durata dell o.f. (5 mesi) durata del cotratto (7 mesi).000 = 870 r ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) 870 =.000 v ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) v(0//08, 0/0/09, 0/06/09) = 0,87 è il prezzo a termie di ua uità di capitale che sarà dispoibile il giugo 2009.

39 Cotratti a proti e cotratti a termie: Proprietà Euciamo le proprietà della fuzioe v(u, x, y) (date le relazioi fodametali, proprietà aaloghe possoo essere desute per le fuzioi d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).. E ovviamete u x y 2. Se u = x si ottiee il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a proti 3. La fuzioe v(u,x,y) rappreseta il prezzo, cocordato all epoca u, da pagarsi all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. Pertato è 0 < v(u, x, y) u x y 4.Se x = y la durata dell operazioe fiaziaria è ulla. Pertato v(u, y, y) = 5. Il prezzo di u importo uitario esigibile i y aumeta all avviciarsi alla scadeza dell istate i cui il prezzo viee regolato. Formalmete v( u, x, y) v( u, x, y) se u x x y Tra due importi uitari dispoibili i epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei due che è dispoibile prima. Formalmete v( u, x, y ) v( u, x, y ) se u x y y 2 2

40 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia Cotratti a proti Il prezzo viee corrisposto el mometo i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe r(x, y) x r(x, y) è il fattore di capitalizzazioe a proti (spot) y a termie Il prezzo viee corrisposto i u epoca successiva a quella i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe u r(u, x, y) x r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazioe a termie y Nelle operazioi di attualizzazioe Nelle operazioi di attualizzazioe v(x, y) x v(x, y) è il fattore di attualizzazioe a proti o prezzo a proti (prezzo spot) y u v(u, x, y) x v(u, x, y) è il fattore di attualizzazioe a termie o prezzo a termie y

41 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia (segue) Co riferimeto al prezzo v(u, x, y), fissado u e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca x] Evoluzioe del prezzo (dei cotratti che, stipulati i u, hao scadeza i y) u e x [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca y] Evoluzioe per scadeza (dei cotratti che, stipulati i u, vegoo regolati i x) x e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca u] Evoluzioe delle strutture dei prezzi (dei cotratti che, regolati i x, hao scadeza i y)

42 Operatività a proti ed a termie Stati le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, i ogi epoca gli operatori possoo decidere se effettuare u operazioe a proti o a termie. Ci poiamo pertato tre obiettivi:. Costruire uo schema che descriva la struttura a proti 2. Costruire uo schema che descriva la struttura a termie 3. Chiarire la relazioe (fodametale) che itercorre tra operatività a proti e a termie Premessa Per semplificare la otazioe supporremo che il tempo sia rappresetato da u variabile discreta. Deoteremo co t l epoca iiziale e co il aturale il umero di periodi uitari (orizzote) a partire da t. Lo scadezario di riferimeto sarà duque: t t+ t+2... t+k... t+ t+

43 Schema della struttura a proti Lo schema della struttura a proti è particolarmete semplice. All epoca t si osservao el mercato gli prezzi a proti: v(t, t+), v(t, t+2),..., v(t, t+) Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all epoca t che garatisce la dispoibilità di u importo uitario i t + k (k =, 2,, ) Sullo scadezario avremo: v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+

44 Schema della struttura a termie Lo schema della struttura a termie è più articolato. Per dedurlo, el geerico prezzo a termie v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+ e lasciamo che y assuma il valore di ciascua delle epoche rimaeti. Ripetiamo il procedimeto fissado x = t + 2, valore i corrispodeza del quale y assumerà il valore di ciascua delle 2 epoche rimaeti. Procediamo ideticamete fiché sarà x = t +, valore i corrispodeza del quale y potrà valere solo t+. v(u, x, y) u = t ; x = t+ ; y = t+2, y = t+3,..., y = t + ( ) prezzi x = t+2 ; y = t+3, y = t+4,..., y = t + ( 2) prezzi : x = t + 2 ; y = t +, y = t + 2 prezzi x = t + ; y = t + prezzo

45 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+, t+k) v(t, t+, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +: v( t, t +, t + 2), v( t, t +, t + 3),..., v( t, t +, t + )

46 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+2, t+3) t t+ t+2... t+3... t+ t+ : v(t, t+2, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ 2 prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +2. v( t, t + 2, t + 3), v( t, t + 2, t + 4),..., v( t, t + 2, t + ) e così via

47 Schema della struttura a termie (segue) Prezzi N v(t, t+, t+2), v(t, t+, t+3),..., v(t, t+, t+) v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4),..., v(t, t+2, t+) v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5),..., v(t, t+3, t+) : : v(t, t+ 2, t+ ), v(t, t+ 2, t+) 2 v(t, t+, t+) 2 3 Il umero di prezzi a termie che si osserva el mercato all epoca t su u orizzote di periodi uitari è ( ) ( ) + ( 2) = 2 Per ogi epoca t, l isieme di tali prezzi defiisce la struttura a termie del mercato.

48 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Quidi, u operatore che all epoca t voglia assicurarsi u importo uitario all epoca t + i ( i ) può combiare operazioi a termie co operazioi a proti co l uico vicolo rappresetato dalle scadeze dell orizzote temporale sul quale opera. I particolare può scegliere se: oppure stipulare i t u cotratto a proti co scadeza t+i stipulare uo dei possibili cotratti a termie regoladoe il prezzo, i rapporto al cotratto scelto, i ua delle epoche t +, t + 2,..., t + i Problema Che tipo di relazioe esiste tra i due tipi di operatività? Più precisamete, le caratteristiche del mercato ideale cosetoo di stabilire delle codizioi di coereza tra i prezzi a proti e a termie?

49 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Per rispodere ragioiamo sul caso semplificato di u orizzote di due periodi, cioè sullo scadezario i relazioe al quale l obiettivo fiaziario dell operatore, che agisce all epoca t, è di assicurarsi u importo uitario all epoca t+2. Come può procedere l operatore? t t+ t+2. Può stipulare u cotratto a proti che scade i t+2, pagado i t l importo v(t, t+2) 2. Può stipulare u cotratto a termie che scade i t+2, pagado i t+ l importo v(t, t +, t +2) I questo caso, qual è la somma che l operatore deve ivestire all epoca t per assicurarsi la dispoibilità della somma v(t, t +, t +2) all epoca t +? La somma è v(t, t+, t+2) attualizzata dall epoca t+ all epoca t, cioè moltiplicata per il fattore di attualizzazioe v(t, t+) v(t, t +, t +2) v(t, t +)

50 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t dell importo v(t, t+, t+2) all epoca t + Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t + di u importo uitario all epoca t +2 v(t, t+, t+2) v(t, t+) v(t, t+, t+2) t t+ t+2 Riassumedo: Per disporre di u importo uitario all epoca t+2, l operatore all epoca t deve ivestire v(t, t + 2) i u operazioe a proti o v(t, t +, t + 2) v(t, t + ) i u operazioe a termie Possoo i due importi differire?

51 Relazioe tra operazioi a proti e a termie NO perché etrambe le operazioi fiaziarie dao luogo allo stesso risultato (u importo uitario) all epoca t+2. Per le ipotesi che reggoo il mercato dei capitali ideale, esiste u solo prezzo per l isieme delle operazioi che producoo il medesimo risultato fiaziario. Vale pertato la seguete relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) (5) che deriva dal pricipio di asseza di arbitraggio. Dalla (5) segue immediatamete v( t, t +, t + 2) = v( t, t + 2) v( t, t + ) la quale sottoliea come il prezzo della struttura a termie possa essere calcolato oti i prezzi a proti. La struttura a termie è duque implicita ella struttura a proti.

52 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Esempio Sul mercato all epoca t : u BOT co scadeza u ao (t+) quota V(t, t+) = 95,69 (*); u CTZ co scadeza due ai (t+2) quota V(t, t+2) = 9,57. I ipotesi di asseza di arbitraggio si vuole determiare il prezzo a termie del titolo che, acquistato all epoca t e regolato all epoca t+, paga 00 all epoca t+2. Dalla segue v( t, t +, t + 2) = Pertato il prezzo richiesto è 95,684. v( t, t + 2) v( t, t + ) 9,57 v( t, t +, t + 2) = = 0, ,69 (*) Co v idichiamo il prezzo uitario. Per idicare il prezzo di importi o uitari si è soliti utilizzare la lettera maiuscola.

53 Esempio 9 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,958 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,958 > 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo coprire questo esborso Devo coprire questo esborso t t+ t+2 Vedo i t il cotratto a proti che scade i t+2 Compro i t il cotratto a termie (che regolo i t+) +0,958 0,96 + Compro i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ 0,96 0,98 = 0, ,96 Profitto uitario +0,

54 Esempio 0 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,938 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,938 < 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo azzerare questa etrata Devo azzerare questa etrata t t+ t+2 Compro i t il cotratto a proti che scade i t+2 Vedo i t il cotratto a termie (che viee regolato i t+) 0, ,96 Vedo i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ +0,96 0,98 = + 0,9408 0,96 Profitto uitario +0,

55 Pricipio di asseza di arbitraggio Dagli esempi prima visti, sullo scadezario dato dalle epoche t T s, deduciamo lo schema geerale. Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Vedo allo scoperto il cotratto a proti che scade i s +v(t, s) Compro il cotratto a termie che scade i s v(t,t,s) + Compro v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s)v(t,t) +v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

56 Pricipio di asseza di arbitraggio I maiera aaloga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Compro il cotratto a proti che scade i s v(t, s) + Vedo il cotratto a termie che scade i s +v(t,t,s) Vedo v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario +v(t,t,s)v(t,t) v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

57 Codizioe di o arbitraggio: osservazioi Osservazioe I geerale, come implicitamete appea visto, el mercato ideale deve valere la seguete relazioe, di facile verifica v( t + p, t + s) = v( t + p, t + q) v( t + p, t + q, t + s) (p q s) (6) v( t + p, t + q, t + s) = v( t + p, t + s) v( t + p, t + q) Osservazioe 2 Ricordado che v = + i la relazioe (6), scritta i fuzioe dei tassi di iteresse, diviee i( t + p, t + s) = [ + i( t + p, t + q)][ + i( t + p, t + q, t + s)] (7) + i( t + p, t + s) i( t + p, t + q, t + s) = + i( t + p, t + q) essedo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di iteresse a proti ed i(t + p, t + q, t + s) il tasso di iteresse a termie (etrambi periodali).

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite 4. Metodo seiprobabilistico agli stati liite Tale etodo cosiste el verificare che le gradezze che ifluiscoo i seso positivo sulla, valutate i odo da avere ua piccolissia probabilità di o essere superate,

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard)

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard) Sistemi LTI descrivibile mediate SDE (Equazioi alle Differeze Stadard) Nella classe dei sistemi LTI ua sottoclasse è quella dei sistemi defiiti da Equazioi Stadard alle Differeze Fiite (SDE), dette così

Dettagli

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore 3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla

Dettagli

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO I tre sistemi I cique pilastri

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso

Dettagli

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari . MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ Alcue defiizioi prelimiari I sistemi vibrati possoo essere lieari o o lieari: el primo caso vale il pricipio di sovrapposizioe degli effetti el secodo o. I geerale

Dettagli

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti Motori maxo DC e maxo EC Il motore come trasformatore di eergia Il motore elettrico trasforma la poteza elettrica P el (tesioe U e correte I) i poteza meccaica P mech (velocità e coppia M). Le perdite

Dettagli

L OFFERTA DI LAVORO 1

L OFFERTA DI LAVORO 1 L OFFERTA DI LAVORO 1 La famiglia come foritrice di risorse OFFERTA DI LAVORO Notazioe utile: T : dotazioe di tempo (ore totali) : ore dedicate al tempo libero l=t- : ore dedicate al lavoro : cosumo di

Dettagli

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÁ ) Qual e la probabilita che laciado dadi a facce o esca essu? Studiare il comportameto asitotico di tale probabilita per grade. ) I u sacchetto vi soo 0 pallie biache;

Dettagli

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità La sicurezza sul lavoro: obblighi e resposabilità Il Testo uico sulla sicurezza, Dlgs 81/08 è il pilastro della ormativa sulla sicurezza sul lavoro. I sostaza il Dlgs disciplia tutte le attività di tutti

Dettagli

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010 Idagii sui coregoi del Lago Maggiore: Aalisi sui pesci catturati el 1 Rapporto commissioato dal Dipartimeto del territorio, Ufficio della caccia e della pesca, Via Stefao Frascii 17 51 Bellizoa Aprile

Dettagli

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra?

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra? CALCOLO COMBINATORIO 1.1 Necessità del calcolo combiatorio Accade spesso di dover risolvere problemi dall'appareza molto semplice, ma che richiedoo calcoli lughi e oiosi per riuscire a trovare delle coclusioi

Dettagli

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15 Apputi di Statistica Matematica Ifereza Statistica Multivariata Ao Accademico 014/15 November 19, 014 1 Campioi e modelli statistici Siao Ω, A, P uo spazio di probabilità e X = X 1,..., X u vettore aleatorio

Dettagli

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo ESERCITAZIONE adsorbimeto su carboe attivo ezioi di riferimeto: Processi basati sul trasferimeto di materia Adsorbimeto su carboi attivi Testi di riferimeto: Water treatmet priciples ad desi, WH Pricipi

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni: N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π

Dettagli

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata Sommario lezioi di Probabilità versioe abbreviata C. Frachetti April 28, 2006 1 Lo spazio di probabilità. 1.1 Prime defiizioi I possibili risultati di u esperimeto costituiscoo lo spazio dei campioi o

Dettagli

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova di accertameto del 4 ovembre 25 ESERCIZIO Si poga a 3 5 + 9 e b 2 4 6 + 6 ( (a Si determii d MCD(a, b e gli iteri m, Z tali che d ma + b co m < b ed

Dettagli

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI Mirta Debbia LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - debbia.m@libero.it Maria Cecilia Zoboli - LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - cherubii8@libero.it

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia i/161 Comportameto delle strutture i C.A. i Zoa Sismica Prof. Paolo Riva Dipartimeto di Progettazioe e ecologie Facoltà di Igegeria Uiversità di

Dettagli

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa? Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario USUFRUTTO 1) Che cos è l sfrtto e come si pò costitire? L sfrtto è il diritto di godimeto ( ovvero di possesso) di bee altri a titolo gratito ; viee chiamato sfrttario chi esercita tale diritto, metre

Dettagli

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1,

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1, NUMERI QUANTICI Le autofuzioi soo caratterizzate da tre parametri chiamati NUMERI QUANTICI e soo completamete defiite dai loro valori: : umero quatico pricipale l : umero quatico secodario m : umero quatico

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine Dall atomo di Bohr alla ostate di struttura fie. INFORMAZIONI SPETTROSCOPICHE SUGLI ATOMI E be oto he ogi sostaza opportuamete eitata emette radiazioi elettromagetihe. Co uo spettrosopio, o strumeti aaloghi,

Dettagli

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario Valutazioe delle prestazioi termiche di sistemi co solai termoattivi i regime o stazioario MICHELE DE CARLI, Ph.D., Ricercatore, Dipartimeto di Fisica Tecica, Uiversità degli Studi di Padova, Padova, Italia.

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto

Dettagli

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi.

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Iroduzioe () Ua defiizioe (geerale) del ermie qualià: qualià è l isieme delle caraerisiche di u eià (bee o servizio) che e deermiao la capacià di soddisfare le esigeze espresse ed implicie di chi la uilizza.

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \ 3,6 56 3,6 TEOR I A SPETTRALE La teoria spettrale degli operatori lieari- eo spazio di Hilbert é f odata, coe per gi spazi f i-ito-dimes ioal j-, sula defiizioe di- risolvete di u operatole' Sia (A,DA)

Dettagli

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso Esercizi Le lei dei as Lo stato assoso Ua certa quatità di as cloro, alla pressioe di,5 atm, occupa il volume di 0,58 litri. Calcola il volume occupato dal as se la pressioe viee portata a,0 atm e se la

Dettagli

Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

FORWARD RATE AGREEMENT

FORWARD RATE AGREEMENT FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato

Dettagli

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1.

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1. Caitolo III VALORI MEDI. SAZIONARIEÀ ED ERGODICIÀ III. - Mdi tatitich dl rimo ordi. Sia f( ) ua fuzio cotiua i aoci al gal alatorio (, t ζ ) la uatità dfiita dalla y f[(, t ζ )]. Ea idividua, a ua volta,

Dettagli

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Valutazioe e riduzioe della vulerailità sismia di ediii esisteti i.a. Roma, 9-0 maggio 00 DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Di Ludovio

Dettagli

Tavola 1 - Popolazione italiana residente alle date dei censimenti generali, riportata ai confini attuali - Anni 1861-2001 (migliaia di unità)

Tavola 1 - Popolazione italiana residente alle date dei censimenti generali, riportata ai confini attuali - Anni 1861-2001 (migliaia di unità) 4 Quai eravamo, quai siamo, quai saremo Che cosa si impara el capiolo 4 er cooscere le caraerisiche e l evoluzioe della popolazioe ialiaa araverso u lugo arco di empo uilizziamo il asso di icremeo medio

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO.

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO. elazoe d laboratoro d Fsca corso M-Z Laboratoro d Fsca del Dpartmeto d Fsca e Astrooma dell Uverstà degl Stud d Cataa. Scala Stefaa. AGOMENTO: MSUA DELLA ESSTENZA ELETTCA CON L METODO OLT-AMPEOMETCO. NTODUZONE:

Dettagli

3M Prodotti per la protezione al fuoco. Building & Commercial Services

3M Prodotti per la protezione al fuoco. Building & Commercial Services 3M Prodotti per la protezioe al fuoco Buildig & Commercial Services Idice Sviluppi e treds...4-5 3M e le soluzioi aticedio...6-7 Dispositivi di attraversameto...8-19 Giuti di costruzioe...20-21 Sistemi

Dettagli

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE DISPENSE DI: FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Testo di riferieto E. Fuaioli ed altri Meccaica applicata alle acchie vol. e - Ed. Patro BOZZA Idice. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA APPLICATA

Dettagli

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano L4 Iterpolazioe L4 Prologo Co iterpolazioe si itede il processo di idividuare ua fuzioe, spesso u poliomio, che passi per u isieme dato di puti: (x,y). y x L4 2 Fii dell iterpolazioe 1. Sostituire u isieme

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it) I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 www.cludioccelli.it Dec. 0 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA

Dettagli

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA Quado s vuole valutare u parametro θ ad esempo: meda, varaza, proporzoe, oeffete d regressoe leare, oeffete d orrelazoe leare, e) d ua popolazoe medate u ampoe asuale,

Dettagli

Curve caratteristiche meccaniche di motori elettrici C.C.

Curve caratteristiche meccaniche di motori elettrici C.C. Motoi 1 Idie ue aatteistihe meaihe di motoi elettii.. osideazioi geeali Motoi ad eitazioe idipedete 1 Opeazioi o oete d eitazioe ostate Opeazioi o oete d eitazioe aiabile e tesioe d amatua ostate Motoi

Dettagli

AcidSoft. Le nostre soluzioni. Innovazione

AcidSoft. Le nostre soluzioni. Innovazione AiSoft AiSoft ase alla passioe per l'iformatio teology e si oretizza i ua realtà impreitoriale, ua perfetta reazioe imia tra ooseza teia e reatività per realizzare progetti i grae iovazioe. Le ostre soluzioi

Dettagli

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi;

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi; Capitolo 3 Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni Per poter affrontare lo studio dei prodotti derivati occorre fare delle ipotesi sul mercato finanziario che permettono di semplificare dal punto

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI APPROFONDIMENTI SUI NUMERI. Il sistem di umerzioe deimle Be presto, ll operzioe turle del otre, si è ggiut l esigez di «rppresetre» i umeri. I sistemi di umerzioe possiili soo molti; per or i limitimo

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno Idc d Poszoe Gl dc s poszoe soo msure stetche ( valor caratterstc ) che descrvoo la tedeza cetrale d u feomeo La tedeza cetrale è, prma approssmazoe, la modaltà della varable verso la quale cas tedoo a

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

La ricerca operativa

La ricerca operativa S.S.I.S. PUGLIA Anno Accademico 2003/2004 Laboratorio di didattica della matematica per l economia e la finanza La ricerca operativa Prof. Palmira Ronchi (palmira.ronchi@ssis.uniba.it) Gli esercizi presenti

Dettagli

La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell ingegneria.

La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell ingegneria. La ecessità di tasmettee poteza ta ogai i moto otatoio è u poblema fequetissimo e di gade impotaza ell igegeia. Gli assi di otazioe ta i quali deve essee tasmesso il moto possoo essee paalleli I questo

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio del tempo

Analisi dei segnali nel dominio del tempo Appui di Teoria dei Segali a.a. / Aalisi dei segali el domiio del empo L.Verdoliva I quesa prima pare del corso sudieremo come rappreseare i segali empo coiuo e discreo el domiio del empo e defiiremo le

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE.

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE. Compatibilità totale con ogni apparato. Si usa con pulsanti normalmente chiusi. ella linea dei pulsanti c'è il 24Vcc. Insensibile alle interruzioni di rete. Insensibile agli sbalzi di tensione. Realizzazione

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

CORSO DI CONTABILITA E BILANCIO 2

CORSO DI CONTABILITA E BILANCIO 2 CORSO DI CONTABILITA E BILANCIO 2 La valutazione delle IMMOBILIZZAZIONI MATERIALI Prima lezione di Alberto Bertoni 1 IMMOBILIZZAZIONI Definizione Cod. Civ. art. 2424-bis, 1 c. Le immobilizzazioni sono

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE

LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE Pof. Agelo Ageletti -.s. 006/007 1) COME SI SCRIVE IL RISULTATO DI UNA MISURA Il modo miglioe pe espimee il isultto di u misu è quello di de,

Dettagli

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione Il monitoraggio della gestione finanziaria nei fondi pensione Prof. Università di Cagliari micocci@unica.it Roma, 4 maggio 2004 1 Caratteristiche tecnico - attuariali dei fondi pensione Sistema finanziario

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Il regime fiscale degli interessi e degli altri redditi derivanti dai Titoli di Stato domestici

Il regime fiscale degli interessi e degli altri redditi derivanti dai Titoli di Stato domestici Il regime fiscale degli interessi e degli altri redditi derivanti dai Titoli di Stato domestici Il presente documento ha finalità meramente illustrative della tassazione degli interessi e degli altri redditi

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

La compensazione impropria nei rapporti di dare avere quale rimedio al maggior danno nei contratti di mutuo. ANALISI TECNICA

La compensazione impropria nei rapporti di dare avere quale rimedio al maggior danno nei contratti di mutuo. ANALISI TECNICA La compensazione impropria nei rapporti di dare avere quale rimedio al maggior danno nei contratti di mutuo. ANALISI TECNICA Per un proficuo approccio alla problematica presa in esame si propone, qui di

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli