Matematica Finanziaria

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matematica Finanziaria"

Transcript

1 Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi

2 Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi fiaziari Della capitalizzazioe composta Della capitalizzazioe semplice Dello scoto commerciale Operazioi fiaziarie complesse Redite Obbligazioi Idici temporali e di variabilità Maturity Scadeza media aritmetica Scadeza media fiaziaria Durata media fiaziaria (duratio e covexity) Costituzioe di capitali e ammortameti Ammortameto italiao Ammortameto fracese Ammortameto tedesco Ammortameto americao

3 Defiizioi itroduttive Matematica Fiaziaria Braca della matematica applicata che modellizza le operazioi fiaziarie Operazioe fiaziaria (o.f.) Ogi atto che produce ua variazioe di capitale per effetto dello scambio o cotemporaeo di almeo due importi. Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca Più i geerale, u operazioe fiaziaria può scriversi come isieme di coppie F = {(I, t ), (I 2, t 2 ),..., (I, t )} Notazioe: Rispetto al soggetto che valuta l o.f., l importo ha sego egativo se costituisce u uscita e sego positivo se costituisce u etrata.

4 Classificazioe delle operazioi fiaziarie Elemetare, se #(F) = 2 (se lo scambio è fra ua sola prestazioe ed ua sola cotroprestazioe) Complessa, se #(F) > 2 (se lo scambio riguarda più prestazioi e/o cotroprestazioi) L operazioe fiaziaria è A proti se il prezzo dell o.f. viee pagato el mometo i cui esso viee cocordato tra le parti A termie se il prezzo dell o.f. viee pagato i u epoca successiva a quella i cui esso è cocordato Certa se etrambi gli elemeti della coppia (I,t) soo determiistici (decisioi fiaziarie i codizioi di certezza) Aleatoria se tale è almeo uo degli elemeti della coppia (I,t) (decisioi fiaziarie i codizioi di icertezza)

5 Il mercato dei capitali Le trasazioi che hao ad oggetto operazioi fiaziarie avvegoo el Mercato dei capitali iteso come luogo di icotro della domada (fiaziameti co vicolo di credito [obbligazioi] e/o di capitale [azioi]) e dell offerta (emissioi e/o egoziazioi di titoli relativi prestiti moetari). Teoria Formulazioe di ipotesi sul comportameto degli partecipati al mercato per defiire u modello: il mercato ideale Aalisi del mercato dei capitali Pratica Valutazioe della coveieza fiaziaria delle opportuità sulla base delle trasazioi el mercato reale

6 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale Competitività (competitive) Ogi operatore: a) usufruisce gratuitamete delle stesse iformazioi b) igora le cosegueze delle proprie azioi sul mercato c) è u massimizzatore di profitti (mira a coseguire il maggior risultato ecoomico co il miimo costo No frizioalità (frictioless) Le trasazioi soo libere da costi aggiutivi (di itermediazioe, fiscali ecc.) Le operazioi: a) soo divisibili (possoo cioè avere ad oggetto importi qualsiasi) b) possoo essere effettuate i ogi istate Soo ammesse vedite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vedere titoli che o si possiedoo) No c è rischio di isolveza (default risk) Asseza di arbitraggi

7 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) Defiizioe di arbitraggio U arbitraggio è u'operazioe fiaziaria che cosete al soggetto che la poe i essere di coseguire u profitto certo seza correre alcu rischio. Distiguiamo tra: Arbitraggio di tipo A Si ha quado l o.f.: ha u costo ullo o egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi, co almeo u pagameto positivo Arbitraggio di tipo B Si ha quado l o.f.: ha u costo egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi

8 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) «Co il termie arbitraggio si itede idicare u'operazioe che cosete di otteere u profitto certo, seza che il soggetto che la mette i essere corra alcu rischio. Solitamete l'arbitraggio cosiste ell'acquisto/vedita di uo strumeto fiaziario (ma ache o fiaziario, come ua commodity) e i ua cotemporaea operazioe di sego opposto sullo stesso strumeto egoziato su u mercato diverso dal precedete, oppure su uo strumeto diverso ma avete le stesse caratteristiche a livello di payout del primo. Appare evidete che ua siffatta operazioe può geerare u profitto solo el caso i cui esista u differeziale di prezzo tra due strumeti pressochè idetici, differeziale determiato da ua iefficieza di tipo iformativo (o ormativo): questo è il presupposto fodametale perché si creio opportuità di questo tipo. U altro presupposto è rappresetato dalla esisteza di strumeti fiaziari perfettamete sostituibili. Questo può avveire el caso i cui si predoo i cosiderazioe strumeti idetici ma scambiati su mercati diversi, oppure i quello relativo a strumeti diversi ma aveti lo stesso payout (ad es. u paiere di titoli azioari ed il future avete lo stesso paiere come sottostate), o acora i quello di cui uo strumeto può essere replicato siteticamete (triagolazioi sul mercato valutario).» Da

9 Il mercato dei capitali reale Diretto Le egoziazioi avvegoo mediate accordi diretti tra le parti, che determiao autoomamete le codizioi di scambio. Es.: operazioi bacarie Mercato dei capitali Mercato moetario (egoziazioe di strumeti a breve scadeza, covezio- almete o superiori a 8 mesi) Aperto Le egoziazioi soo di tipo impersoale ed hao caratteristiche (taglio degli importi, scadeze, tassi, ecc.) stadardizzate. Es: operazioi di cambio Mercato fiaziario (egoziazioe di mezzi fiaziari obbligazioi e/o azioi geeralmete a medio e lugo termie) Mercato dei cambi (egoziazioe di valute estere)

10 L operazioe fiaziaria elemetare Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), co y x ; x 0,y 0 Schema: A coferisce a B all epoca x l importo P i cambio dell importo M che B coferirà ad A all epoca y, co y > x. P A B x M A B y Esempio : Acquisto oggi (epoca t) u BOT (Buoo Ordiario del Tesoro) al prezzo di 95,87 ed icasserò tra u ao 00. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { ( 95,87, t), (00, t+)} Esempio 2: Preseto oggi (epoca t) all icasso u credito per.000 che maturerà tra 30 giori. Ricevo dalla cotroparte 995. Assumedo il gioro come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { (995, t), (.000, t+30)}

11 L operazioe fiaziaria elemetare (segue) Ipotesi:. Gli importi P ed M soo espressi ella stessa uità di misura 2. I soggetti che attuao lo scambio soo razioali: a) ( I, x) f ( I, x) 2 se I > I 2 b) ( I, x ) f ( I, y ) se x < y Criteri di prefereza assoluta Pricipio di equivaleza fiaziaria «E fiaziariamete equivalete ricevere [corrispodere] u importo immediatamete oppure riceverlo [corrispoderli] i u epoca successiva purché i questa secoda evetualità all importo si aggiuga u iteresse per il differimeto della trasazioe.»

12 L operazioe fiaziaria complessa (esempi) Esempio 3: Acquisto oggi (epoca t) u BTP (Buoo del Tesoro Polieale) co scadeza tra tre ai al prezzo di 0,25 che paga cedole semestrali i base al tasso auo del 4%. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come 3 5 {( 0.25, ), (2, 2), (2, ), (2, 2), (2, 2), (2, 2), (02, 3) } F = t t + t + t + t + t + t + Esempio 4: Acquisto oggi (epoca t) u auto del valore di e la pago co rate mesili di 300 per i prossimi 5 ai (umero di rate = 2 5 = 60). Assumedo il mese come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come {(5.000, ), ( 300, ), ( 300, 2),...,( 300, 60) } F = t t + t + t +

13 L o.f. elemetare: ivestimeto e aticipazioe L operazioe fiaziaria elemetare F = {( P, x),( M, y)} è detta di ivestimeto (o impiego) se, oto P, deve determiarsi M ( se P rappreseta u uscita) I questo caso: x è l epoca di ivestimeto y è l epoca di scadeza P è il capitale impiegato (o ivestito) all epoca x M è il motate alla data y del capitale ivestito alla data x. P x M (icogita) y di aticipazioe (o scoto o fiaziameto) se, oto M, deve determiarsi P ( se P rappreseta u etrata) I questo caso: x è l epoca di aticipazioe y è l epoca di scadeza P è il valore attuale all epoca x dell importo M dispoibile all epoca y M è l importo dispoibile all epoca y P x (icogita) I etrambi i casi, per il pricipio di equivaleza fiaziaria, deve aversi M P y x M y

14 L o.f. elemetare: esempi di ivestimeto e aticipazioe Esempi di operazioi di ivestimeto A presta a B la somma P i cambio della restituzioe, tra u mese, della somma M > P (da determiare ell accordo che itercorre tra A e B). A effettua u versameto di importo P su u coto correte bacario e, seza movimetare il coto, preleva a fie ao l importo M > P. Esempio di operazioi di aticipazioe A cede all epoca x u credito a B di importo M che scade all epoca y ed ottiee i cambio l importo P < M.

15 L o.f. elemetare: iteresse e scoto La differeza (o egativa) M P è detta elle operazioi di ivestimeto, iteresse (sul capitale ivestito P) ed è idicata come I x,y. Pertato elle operazioi di aticipazioe, scoto (sul capitale dovuto M) ed è idicata come D x,y. l iteresse I x,y è la somma che frutta l ivestimeto dell importo P tra le epoche x ed y lo scoto D x,y è la somma che frutta l aticipazioe all epoca x dell importo M dovuto all epoca y M P = I M = P + I x, y x, y M P = D P = M D x, y x, y Il motate dell importo P è pari alla somma dello stesso importo P e dell iteresse da questo prodotto. Il valore attuale dell importo M è pari alla differeza tra lo stesso importo M e lo scoto. Osservazioe. Si cosideri che per defiizioe è x, y, I = D x y

16 L o.f. elemetare: la fuzioe valore Le assuzioi alla base del mercato dei capitali ideale garatiscoo che esiste ua sola fuzioe f che, ota la tera x, y e P, idividua uivocamete M, cioe : Ipotesi sulla fuzioe f Assumeremo che la fuzioe f sia: f : ( P, x, y) M M = f ( P, x, y) cotiua su u isieme costituito da opportui itervalli di defiizioe delle variabili derivabile parzialmete rispetto alle tre variabili State il sigificato fiaziario della fuzioe f, dovrà ache essere P = f ( P, x, x), x 0, P f > 0 P f > 0 y (f crescete al crescere di P) (f crescete al crescere di y) f < 0 x (f decrescete al crescere di x)

17 L o.f. elemetare: la fuzioe valore (segue) Ipotesi sulla fuzioe f (segue) (Ipotesi di proporzioalità o idipedeza dall importo) M = f ( P, x, y) = P f (, x, y) essedo detta f(, x, y) fuzioe di importo uitario. Osservazioi Dal puto di vista ecoomico, l ipotesi assume che l utilità margiale del dearo sia costate L assuto è realistico el caso di importi coteuti o di periodi o molto lughi. Si può iterpretare f(, x, y) come il prezzo all epoca y di ua uità di capitale (p.es.: u euro) dispoibile all epoca x

18 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Richiamo Data la fuzioe y = f(x) cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo I esiste la sua fuzioe iversa f che risulta cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo J, co J = f(i). y f y = f(x) f f f x = f (y) x

19 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Per ipotesi, la fuzioe f è cotiua e strettamete crescete rispetto all importo P. Esiste duque la sua fuzioe iversa (rispetto a P) che idichiamo co g. Pertato M = f(p, x, y) P = g(m, x, y) restituisce l importo M dispoibile all epoca y i cambio dell importo P dispoibile all epoca x restituisce l importo P dispoibile i x i cambio dell importo M dispoibile all epoca y Valedo l ipotesi di proporzioalità si ha ache che M M = P f (, x, y) = f (, x, y) P Per defiizioe poiamo r(x, y) = f(, x, y). P P = M g(, x, y) = g(, x, y) M Per defiizioe poiamo v(x, y) = g(, x, y).

20 L o.f. elemetare: sigificato della fuzioe valore r(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca y i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca x. x r(x,y) y 2. il prezzo all epoca y di u importo uitario dispoibile all epoca x. 3. Il fattore di capitalizzazioe i quato forisce il motate all epoca y per ogi uità di capitale P ivestito all epoca x v(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca x i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca y. v(x,y) x y 2. il prezzo all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. 3. Il fattore di attualizzazioe i quato forisce il valore attuale all epoca x per ogi uità del capitale M dovuto all epoca y

21 L o.f. elemetare: relazioe tra r e v Osservazioe Essedo per defiizioe seguoo baalmete le M P P = r( x, y) e = v( x, y) M r( x, y) v( x, y) = r ( x, y ) = v( x, y) v( x, y) = r( x, y)

22 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 5 Ivesto il u capitale di 00 ed ho i restituzioe il u capitale di 02,5. P = 00 M = 02,5 x = y = M = P r( , ) 02,5 = 00 r( , ) da cui 02,5 r ( , ) = =, Fattore di capitalizzazioe

23 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 6 Disporrò il u importo di 00 e cedo tale dispoibilità i cambio di 90 che mi vegoo corrisposti il P = 90 M = 00 x = y = P = M v( , ) 90 = 00 v( , ) da cui 90 v ( , ) = = 0,90 00 Fattore di attualizzazioe

24 L o.f. elemetare: tasso di iteresse (periodale) Nelle operazioi di ivestimeto, si è defiito l iteresse I x,y come I x,y = M P () essedo M il motate all epoca y dell importo P ivestito all epoca x. Dividedo etrambi i membri della () per P si ottiee Per defiizioe poiamo I x, y M P M = = P P P, i( x, y) = P Il umero puro i(x,y) rappreseta l iteresse prodotto tra le epoche x ed y da ogi uità di capitale ivestito P e prede il ome di tasso effettivo di iteresse Osservazioe Si tega be presete che il tasso sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. I x y

25 L o.f. elemetare: tasso di scoto (periodale) Aalogamete, elle operazioi di aticipazioe, si è defiito lo scoto D x,y come D x,y = M P (2) essedo M il capitale dispoibile all epoca y e P l ivestito aticipato all epoca x. Dividedo etrambi i membri della (2) per M si ottiee Per defiizioe poiamo Dx, y M P P = = M M M, d( x, y) = M Il umero puro d(x,y) rappreseta lo scoto corrisposto per ogi uità di capitale M che, dispoibile all epoca y, viee aticipata all epoca x. Esso prede il ome di tasso effettivo di scoto Osservazioe Come osservato i precedeza, si rammeti che quello sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. D x y

26 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie Defiiti il ed il è ecessario esplicitare: tasso effettivo di iteresse i(x, y) tasso effettivo di scoto d(x,y). le relazioi che legao tali quatità alle altre gradezze già itrodotte (fattore di capitalizzazioe, fattore di scoto) 2. la relazioe esistete tra i(x, y) e d(x, y)

27 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo I M P M P P P x, y (, ) = = = = (, ) i x y r x y i( x, y) = r( x, y) r( x, y) = + i( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue v( x, y) i( x, y) = = v( x, y) v( x, y) ed ache v( x, y) = + i ( x, y )

28 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di scoto e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo d x y I M P P = = M M M x, y (, ) = = v( x, y) d( x, y) = v( x, y) v( x, y) = d( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue r( x, y) d( x, y) = = r( x, y) r( x, y) ed ache r( x, y) = d ( x, y )

29 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie 2) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e tasso effettivo di scoto d( x, y) = r( x, y) r( x, y) Abbiamo appea dedotto che () r( x, y) = + i( x, y) e che (2) Sostituedo la (2) ella () segue immediatamete che i( x, y) d ( x, y ) = + i ( x, y ) v( x, y) i( x, y) = v( x, y) Aalogamete abbiamo ache dedotto che (3) v( x, y) = d( x, y) e che (4) Sostituedo la (4) ella (3) segue immediatamete che d( x, y) i( x, y) = d ( x, y )

30 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Si cosideri la catea di uguagliaze i( x, y) d( x, y) = = i( x, y) = i( x, y) = i( x, y) v( x, y) + i( x, y) + i( x, y) r( x, y) L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete d( x, y) = i( x, y) v( x, y) il tasso di scoto come valore attuale del tasso di iteresse. i(x, y) v(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

31 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Aalogamete si cosideri la catea di uguagliaze d( x, y) i( x, y) = d( x, y) d( x, y) d( x, y) r( x, y) d( x, y) = d( x, y) = v( x, y) = L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete i( x, y) = d( x, y) r( x, y) il tasso di iteresse come motate del tasso di scoto. d(x, y) r(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

32 L o.f. elemetare: tavola riepilogativa delle relazioi fodametali Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) v( x, y) v(x, y) v(x, y) v( x, y) v( x, y) v( x, y) + i( x, y) i(x, y) + i( x, y) i(x, y) i( x, y) + i( x, y) d( x, y) d( x, y) d( x, y) d(x, y) d( x, y) d(x, y)

33 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 5 era Quidi sarà 02,5 r ( , ) = =, Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y),025 0,9756 0,025 0,02439

34 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 6 era Quidi sarà 90 v ( , ) = = 0,90 00 Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) v(x, y) v( x, y) _, v(x, y) v( x, y) v( x, y) _ v( x, y) 0,90 0, 0,0

35 L o.f. elemetare: esempi Esempio Si deve corrispodere alla scadeza y l importo di.000. Il tasso effettivo di iteresse periodale è del 2,5%. Si determii all epoca x (co x < y) la somma da aticipare, lo scoto ed il tasso effettivo di scoto dell operazioe. P = M v( x, y) = M = + i( x, y) =.000 = 975,6 + 0,025 Dx, y = M P = ,6 = 24,39 D x y, 24,39 d( x, y) = = = 0,02439 M ,6.000 x y

36 Cotratti a proti e cotratti a termie Nell operatività fiaziaria la regolazioe del prezzo avviee solitamete i epoche successive a quella i cui il prezzo stesso viee cocordato dalle parti. Esempio Si acquista oggi u bee che si iizierà a pagare tra sei mesi. Il prezzo del bee è cotrattualmete stabilito oggi dalle parti. L esborso per l acquirete è differito rispetto alla data di stipula del cotratto. Cosegueza E ecessario ampliare lo schema fi qui adottato per descrivere le o.f. semplici. D ora i avati idicheremo co u l epoca i cui viee pattuito il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete l epoca ella quale si stipula il cotratto); x l epoca i cui viee regolato il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete x > u) y l epoca i cui ha termie l operazioe fiaziaria

37 Cotratti a proti e cotratti a termie (segue) durata del cotratto durata dell o.f. u x y Epoca i cui viee pattuito il prezzo Epoca i cui viee regolato il prezzo Epoca i cui ha termie il cotratto Si osservi che y u : durata del cotratto (rileva l epoca di accordo sul prezzo) y x : durata dell operazioe fiaziaria (rileva l epoca di regolameto del prezzo)

38 Cotratti a proti e cotratti a termie: esempio Esempio 8 Il..08 (epoca u) il soggetto A stipula u cotratto co il soggetto B i base al quale si impega a corrispodere a B u importo pari a 870 il.0.09 (epoca x) i cambio di u importo di 000 che B ricooscerà ad A il (epoca y). Schema dell operazioe //08 0/0/09 0/06/09 durata dell o.f. (5 mesi) durata del cotratto (7 mesi).000 = 870 r ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) 870 =.000 v ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) v(0//08, 0/0/09, 0/06/09) = 0,87 è il prezzo a termie di ua uità di capitale che sarà dispoibile il giugo 2009.

39 Cotratti a proti e cotratti a termie: Proprietà Euciamo le proprietà della fuzioe v(u, x, y) (date le relazioi fodametali, proprietà aaloghe possoo essere desute per le fuzioi d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).. E ovviamete u x y 2. Se u = x si ottiee il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a proti 3. La fuzioe v(u,x,y) rappreseta il prezzo, cocordato all epoca u, da pagarsi all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. Pertato è 0 < v(u, x, y) u x y 4.Se x = y la durata dell operazioe fiaziaria è ulla. Pertato v(u, y, y) = 5. Il prezzo di u importo uitario esigibile i y aumeta all avviciarsi alla scadeza dell istate i cui il prezzo viee regolato. Formalmete v( u, x, y) v( u, x, y) se u x x y Tra due importi uitari dispoibili i epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei due che è dispoibile prima. Formalmete v( u, x, y ) v( u, x, y ) se u x y y 2 2

40 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia Cotratti a proti Il prezzo viee corrisposto el mometo i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe r(x, y) x r(x, y) è il fattore di capitalizzazioe a proti (spot) y a termie Il prezzo viee corrisposto i u epoca successiva a quella i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe u r(u, x, y) x r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazioe a termie y Nelle operazioi di attualizzazioe Nelle operazioi di attualizzazioe v(x, y) x v(x, y) è il fattore di attualizzazioe a proti o prezzo a proti (prezzo spot) y u v(u, x, y) x v(u, x, y) è il fattore di attualizzazioe a termie o prezzo a termie y

41 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia (segue) Co riferimeto al prezzo v(u, x, y), fissado u e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca x] Evoluzioe del prezzo (dei cotratti che, stipulati i u, hao scadeza i y) u e x [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca y] Evoluzioe per scadeza (dei cotratti che, stipulati i u, vegoo regolati i x) x e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca u] Evoluzioe delle strutture dei prezzi (dei cotratti che, regolati i x, hao scadeza i y)

42 Operatività a proti ed a termie Stati le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, i ogi epoca gli operatori possoo decidere se effettuare u operazioe a proti o a termie. Ci poiamo pertato tre obiettivi:. Costruire uo schema che descriva la struttura a proti 2. Costruire uo schema che descriva la struttura a termie 3. Chiarire la relazioe (fodametale) che itercorre tra operatività a proti e a termie Premessa Per semplificare la otazioe supporremo che il tempo sia rappresetato da u variabile discreta. Deoteremo co t l epoca iiziale e co il aturale il umero di periodi uitari (orizzote) a partire da t. Lo scadezario di riferimeto sarà duque: t t+ t+2... t+k... t+ t+

43 Schema della struttura a proti Lo schema della struttura a proti è particolarmete semplice. All epoca t si osservao el mercato gli prezzi a proti: v(t, t+), v(t, t+2),..., v(t, t+) Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all epoca t che garatisce la dispoibilità di u importo uitario i t + k (k =, 2,, ) Sullo scadezario avremo: v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+

44 Schema della struttura a termie Lo schema della struttura a termie è più articolato. Per dedurlo, el geerico prezzo a termie v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+ e lasciamo che y assuma il valore di ciascua delle epoche rimaeti. Ripetiamo il procedimeto fissado x = t + 2, valore i corrispodeza del quale y assumerà il valore di ciascua delle 2 epoche rimaeti. Procediamo ideticamete fiché sarà x = t +, valore i corrispodeza del quale y potrà valere solo t+. v(u, x, y) u = t ; x = t+ ; y = t+2, y = t+3,..., y = t + ( ) prezzi x = t+2 ; y = t+3, y = t+4,..., y = t + ( 2) prezzi : x = t + 2 ; y = t +, y = t + 2 prezzi x = t + ; y = t + prezzo

45 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+, t+k) v(t, t+, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +: v( t, t +, t + 2), v( t, t +, t + 3),..., v( t, t +, t + )

46 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+2, t+3) t t+ t+2... t+3... t+ t+ : v(t, t+2, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ 2 prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +2. v( t, t + 2, t + 3), v( t, t + 2, t + 4),..., v( t, t + 2, t + ) e così via

47 Schema della struttura a termie (segue) Prezzi N v(t, t+, t+2), v(t, t+, t+3),..., v(t, t+, t+) v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4),..., v(t, t+2, t+) v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5),..., v(t, t+3, t+) : : v(t, t+ 2, t+ ), v(t, t+ 2, t+) 2 v(t, t+, t+) 2 3 Il umero di prezzi a termie che si osserva el mercato all epoca t su u orizzote di periodi uitari è ( ) ( ) + ( 2) = 2 Per ogi epoca t, l isieme di tali prezzi defiisce la struttura a termie del mercato.

48 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Quidi, u operatore che all epoca t voglia assicurarsi u importo uitario all epoca t + i ( i ) può combiare operazioi a termie co operazioi a proti co l uico vicolo rappresetato dalle scadeze dell orizzote temporale sul quale opera. I particolare può scegliere se: oppure stipulare i t u cotratto a proti co scadeza t+i stipulare uo dei possibili cotratti a termie regoladoe il prezzo, i rapporto al cotratto scelto, i ua delle epoche t +, t + 2,..., t + i Problema Che tipo di relazioe esiste tra i due tipi di operatività? Più precisamete, le caratteristiche del mercato ideale cosetoo di stabilire delle codizioi di coereza tra i prezzi a proti e a termie?

49 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Per rispodere ragioiamo sul caso semplificato di u orizzote di due periodi, cioè sullo scadezario i relazioe al quale l obiettivo fiaziario dell operatore, che agisce all epoca t, è di assicurarsi u importo uitario all epoca t+2. Come può procedere l operatore? t t+ t+2. Può stipulare u cotratto a proti che scade i t+2, pagado i t l importo v(t, t+2) 2. Può stipulare u cotratto a termie che scade i t+2, pagado i t+ l importo v(t, t +, t +2) I questo caso, qual è la somma che l operatore deve ivestire all epoca t per assicurarsi la dispoibilità della somma v(t, t +, t +2) all epoca t +? La somma è v(t, t+, t+2) attualizzata dall epoca t+ all epoca t, cioè moltiplicata per il fattore di attualizzazioe v(t, t+) v(t, t +, t +2) v(t, t +)

50 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t dell importo v(t, t+, t+2) all epoca t + Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t + di u importo uitario all epoca t +2 v(t, t+, t+2) v(t, t+) v(t, t+, t+2) t t+ t+2 Riassumedo: Per disporre di u importo uitario all epoca t+2, l operatore all epoca t deve ivestire v(t, t + 2) i u operazioe a proti o v(t, t +, t + 2) v(t, t + ) i u operazioe a termie Possoo i due importi differire?

51 Relazioe tra operazioi a proti e a termie NO perché etrambe le operazioi fiaziarie dao luogo allo stesso risultato (u importo uitario) all epoca t+2. Per le ipotesi che reggoo il mercato dei capitali ideale, esiste u solo prezzo per l isieme delle operazioi che producoo il medesimo risultato fiaziario. Vale pertato la seguete relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) (5) che deriva dal pricipio di asseza di arbitraggio. Dalla (5) segue immediatamete v( t, t +, t + 2) = v( t, t + 2) v( t, t + ) la quale sottoliea come il prezzo della struttura a termie possa essere calcolato oti i prezzi a proti. La struttura a termie è duque implicita ella struttura a proti.

52 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Esempio Sul mercato all epoca t : u BOT co scadeza u ao (t+) quota V(t, t+) = 95,69 (*); u CTZ co scadeza due ai (t+2) quota V(t, t+2) = 9,57. I ipotesi di asseza di arbitraggio si vuole determiare il prezzo a termie del titolo che, acquistato all epoca t e regolato all epoca t+, paga 00 all epoca t+2. Dalla segue v( t, t +, t + 2) = Pertato il prezzo richiesto è 95,684. v( t, t + 2) v( t, t + ) 9,57 v( t, t +, t + 2) = = 0, ,69 (*) Co v idichiamo il prezzo uitario. Per idicare il prezzo di importi o uitari si è soliti utilizzare la lettera maiuscola.

53 Esempio 9 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,958 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,958 > 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo coprire questo esborso Devo coprire questo esborso t t+ t+2 Vedo i t il cotratto a proti che scade i t+2 Compro i t il cotratto a termie (che regolo i t+) +0,958 0,96 + Compro i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ 0,96 0,98 = 0, ,96 Profitto uitario +0,

54 Esempio 0 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,938 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,938 < 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo azzerare questa etrata Devo azzerare questa etrata t t+ t+2 Compro i t il cotratto a proti che scade i t+2 Vedo i t il cotratto a termie (che viee regolato i t+) 0, ,96 Vedo i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ +0,96 0,98 = + 0,9408 0,96 Profitto uitario +0,

55 Pricipio di asseza di arbitraggio Dagli esempi prima visti, sullo scadezario dato dalle epoche t T s, deduciamo lo schema geerale. Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Vedo allo scoperto il cotratto a proti che scade i s +v(t, s) Compro il cotratto a termie che scade i s v(t,t,s) + Compro v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s)v(t,t) +v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

56 Pricipio di asseza di arbitraggio I maiera aaloga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Compro il cotratto a proti che scade i s v(t, s) + Vedo il cotratto a termie che scade i s +v(t,t,s) Vedo v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario +v(t,t,s)v(t,t) v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

57 Codizioe di o arbitraggio: osservazioi Osservazioe I geerale, come implicitamete appea visto, el mercato ideale deve valere la seguete relazioe, di facile verifica v( t + p, t + s) = v( t + p, t + q) v( t + p, t + q, t + s) (p q s) (6) v( t + p, t + q, t + s) = v( t + p, t + s) v( t + p, t + q) Osservazioe 2 Ricordado che v = + i la relazioe (6), scritta i fuzioe dei tassi di iteresse, diviee i( t + p, t + s) = [ + i( t + p, t + q)][ + i( t + p, t + q, t + s)] (7) + i( t + p, t + s) i( t + p, t + q, t + s) = + i( t + p, t + q) essedo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di iteresse a proti ed i(t + p, t + q, t + s) il tasso di iteresse a termie (etrambi periodali).

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria MERCATO DEI MUTUI A.A. 2015/2016 Prof. Alberto Dreassi adreassi@uits.it DEAMS Uiversità di Trieste ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumeto Tipologie di mutui Il mercato secodario e il ruolo svolto

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08 Serie umeriche Lorezo Pisai Facoltà di Scieze Mm.Ff.N. A.A. 2007/08 Il problema di sommare i iti addedi è uo dei problemi classici dell aalisi matematica. Azi si tratta di u problema che ell atichità ha

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Indici COMIT Metodologia di calcolo

Indici COMIT Metodologia di calcolo Il presete documeto riassume le regole fodametali per il calcolo e la gestioe degli idici elaborati da Itesa Sapaolo per l itero Mercato Telematico Azioario italiao (MTA) ed il vecchio Nuovo Mercato. Gli

Dettagli

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico 212-13 Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a.

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia

Dettagli

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA Architetture dei sistemi itegrati digitali Alessadro Bogliolo Esercitazioe 2 Progetto e realizzazioe di u semplice sitetizzatore musicale basato su FPGA (A) Defiizioe della specifica ed esperimeti prelimiari

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity)

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria

Appunti di Matematica e tecnica finanziaria LIUC ebook Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui Luca Ghezzi LIUC ebook, 2 Apputi di Matematica e tecica fiaziaria Ettore Cui, Luca Ghezzi LIUC Uiversità Cattaeo Castellaza 2013 Apputi di

Dettagli

Matematica finanziaria

Matematica finanziaria C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Materiale didattico Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Matematica fiaziaria A cura di Fracesco

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Approfondimenti di statistica e geostatistica

Approfondimenti di statistica e geostatistica Approfodimeti di statistica e geostatistica APAT Agezia per la Protezioe dell Ambiete e per i Servizi Tecici Cos è la geostatistica? Applicazioe dell aalisi di Rischio ai siti Cotamiati Geostatistica La

Dettagli

Complessità Computazionale

Complessità Computazionale Uiversità degli studi di Messia Facoltà di Igegeria Corso di Laurea i Igegeria Iformatica e delle Telecomuicazioi Fodameti di Iformatica II Prof. D. Brueo Complessità Computazioale La Nozioe di Algoritmo

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre Uiversità Boccoi. Ao accademico 00 00 Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi email: fabrizio.iozzi@ui-boccoi.it Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme

Dettagli

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO PARAMETRI DEL MOTO SISMICO Attività microsismica: caratterizzata da vibrazioi di debole ampiezza e periodi molto gradi tali da o essere percepiti dai più comui strumeti di registrazioe (importate soprattutto

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

A = 10 log. senϕ = n n (3)

A = 10 log. senϕ = n n (3) CORSO DI LABORATORIO DI FISICA A Misure co fibre ottiche Scopo dell esperieza è la misura dell atteuazioe e dell apertura umerica di fibre ottiche di tipo F-MLD-500. Teoria dell esperieza La fisica sulla

Dettagli

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.

Dettagli

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato

Dettagli

Alcuni appunti per il corso di FINANZA MATEMATICA Giovanna Nappo A.A. 2008/2009

Alcuni appunti per il corso di FINANZA MATEMATICA Giovanna Nappo A.A. 2008/2009 Uiversità degli Studi di Roma La Sapieza Ao Accademico 28-29 Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali Master Calcolo Scietifico Alcui apputi per il corso di FINANZA MATEMATICA Giovaa Nappo A.A.

Dettagli

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di Apputi di Ecoomia Capitolo 9 Aalisi degli ivestimeti Itroduzioe: defiizioe di ivestimeto... 2 Pricipali tipi di ivestimeti... 3 Problemi decisioali... 3 Cei alla metrica dei flussi di cassa... 4 Defiizioe

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 Usufrutto L'usufrutto è il diritto di godimeto da parte di ua persoa detta USUFRUTTUARIO di u bee altrui; il proprietario del bee

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

Analisi Fattoriale Discriminante

Analisi Fattoriale Discriminante Aalisi Fattoriale Discrimiate Bibliografia Lucidi (materiale reperibile via Iteret) Lauro C.N. Uiversità di Napoli Gherghi M. Uiversità di Napoli D Ambra L. Uiversità di Napoli Keeth M. Portier Uiversity

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI Ig. Nio Di Fraco ENEA, Ete per le Nuove Tecologie, l Eergia e l Ambiete io.difraco@casaccia.eea.it Idice 1 Premessa 2 Logica dell'aalisi costi-beefici

Dettagli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico 03 04 f b y prof. Daiele Ritelli f a a b

Dettagli

Appunti sulle SERIE NUMERICHE

Appunti sulle SERIE NUMERICHE Apputi sulle SERIE NUMERICHE Michele Bricchi I queste ote iformali parleremo di serie umeriche, foredo i criteri stadard di covergeza che si è soliti itrodurre i ua trattazioe elemetare della materia.

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()

Dettagli

MiFID. Gruppo Deutsche Bank Finanza & Futuro

MiFID. Gruppo Deutsche Bank Finanza & Futuro Gruppo Deutsche Bak Fiaza & Futuro MiFID Traspareza, fiducia, protezioe dell ivestitore. Soo i pricipi a cui Fiaza & Futuro Baca si è sempre ispirata. Pricipi saciti dalla direttiva europea MiFID (Market

Dettagli

STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi appunti di testo in bozza] 1) Scelta tra progetti economico-finanziari (generalità)

STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi appunti di testo in bozza] 1) Scelta tra progetti economico-finanziari (generalità) UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA Dipartieto di Scieze Ecooiche e Aziedali Via S. Felice, 7-271 Pavia Tel. 382/986268 - Fax 382/22486 STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi apputi di testo

Dettagli

MiFID. A Passion to Perform.

MiFID. A Passion to Perform. MiFID Traspareza, fiducia, protezioe dell ivestitore. Soo i pricipi a cui Deutsche Bak si è sempre ispirata. Pricipi saciti dalla direttiva europea MiFID (Market i Fiacial Istrumets Directive). Deutsche

Dettagli

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory Demad-Side Maagemet i a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based o Bayesia Game Theory Matteo Sola e Giorgio M. Vitetta Dipartimeto di Igegeria Ezo Ferrari Uiversità degli Studi di Modea e Reggio

Dettagli

L investimento del proprio patrimonio tra illusioni, promesse e realtà. Un approccio ragionevole per scelte equilibrate

L investimento del proprio patrimonio tra illusioni, promesse e realtà. Un approccio ragionevole per scelte equilibrate L ivestimeto del proprio patrimoio tra illusioi, promesse e realtà U approccio ragioevole per scelte equilibrate marzo 2005 Ivestimeti mobiliari e immobiliari U ottica di lugo periodo: gli USA 1600 800

Dettagli

Capitolo 6 Teoremi limite classici

Capitolo 6 Teoremi limite classici Capitolo 6 Teoremi limite classici Abstract I Teoremi limite classici, la legge dei gradi umeri e il teorema limite cetrale, costituiscoo il ucleo del Calcolo delle Probabilità, per la loro portata sia

Dettagli

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre

Dettagli

Medici Specialisti e Odontoiatri

Medici Specialisti e Odontoiatri ALLEGATO B BOLLO 16,00 P A R T E P R I M A DOMANDA DI INCLUSIONE NELLA GRADUATORIA art. 21 dell Accordo Collettivo Nazioale per la disciplia dei rapporti co i Medici specialisti ambulatoriali, Medici Veteriari

Dettagli

Deutsche Bank. MiFID

Deutsche Bank. MiFID Deutsche Bak MiFID Traspareza, fiducia, protezioe dell ivestitore. Soo i pricipi a cui Deutsche Bak si è sempre ispirata. Pricipi saciti dalla direttiva europea MiFID (Market i Fiacial Istrumets Directive).

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 1 Itroduzioe

Dettagli

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,

Dettagli

Il test parametrico si costruisce in tre passi:

Il test parametrico si costruisce in tre passi: R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica

Dettagli

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite 4. Metodo seiprobabilistico agli stati liite Tale etodo cosiste el verificare che le gradezze che ifluiscoo i seso positivo sulla, valutate i odo da avere ua piccolissia probabilità di o essere superate,

Dettagli

Distribuzione di un carattere

Distribuzione di un carattere Distribuzioe di u carattere Dopo le fasi di acquisizioe e di registrazioe dei dati, si passa al loro cotrollo e quidi alle loro elaborazioe. Si defiisce distribuzioe uitaria semplice di u carattere l elecazioe

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di Soluzioe del tema di Iformatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Sessioe ordiaria Esame di Stato 2011 Tema di Iformatica - Progetto: Mercurio Soluzioe proposta da: Co il termie Web 2.0 si

Dettagli