Matematica Finanziaria

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1 Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi

2 Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi fiaziari Della capitalizzazioe composta Della capitalizzazioe semplice Dello scoto commerciale Operazioi fiaziarie complesse Redite Obbligazioi Idici temporali e di variabilità Maturity Scadeza media aritmetica Scadeza media fiaziaria Durata media fiaziaria (duratio e covexity) Costituzioe di capitali e ammortameti Ammortameto italiao Ammortameto fracese Ammortameto tedesco Ammortameto americao

3 Defiizioi itroduttive Matematica Fiaziaria Braca della matematica applicata che modellizza le operazioi fiaziarie Operazioe fiaziaria (o.f.) Ogi atto che produce ua variazioe di capitale per effetto dello scambio o cotemporaeo di almeo due importi. Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca Più i geerale, u operazioe fiaziaria può scriversi come isieme di coppie F = {(I, t ), (I 2, t 2 ),..., (I, t )} Notazioe: Rispetto al soggetto che valuta l o.f., l importo ha sego egativo se costituisce u uscita e sego positivo se costituisce u etrata.

4 Classificazioe delle operazioi fiaziarie Elemetare, se #(F) = 2 (se lo scambio è fra ua sola prestazioe ed ua sola cotroprestazioe) Complessa, se #(F) > 2 (se lo scambio riguarda più prestazioi e/o cotroprestazioi) L operazioe fiaziaria è A proti se il prezzo dell o.f. viee pagato el mometo i cui esso viee cocordato tra le parti A termie se il prezzo dell o.f. viee pagato i u epoca successiva a quella i cui esso è cocordato Certa se etrambi gli elemeti della coppia (I,t) soo determiistici (decisioi fiaziarie i codizioi di certezza) Aleatoria se tale è almeo uo degli elemeti della coppia (I,t) (decisioi fiaziarie i codizioi di icertezza)

5 Il mercato dei capitali Le trasazioi che hao ad oggetto operazioi fiaziarie avvegoo el Mercato dei capitali iteso come luogo di icotro della domada (fiaziameti co vicolo di credito [obbligazioi] e/o di capitale [azioi]) e dell offerta (emissioi e/o egoziazioi di titoli relativi prestiti moetari). Teoria Formulazioe di ipotesi sul comportameto degli partecipati al mercato per defiire u modello: il mercato ideale Aalisi del mercato dei capitali Pratica Valutazioe della coveieza fiaziaria delle opportuità sulla base delle trasazioi el mercato reale

6 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale Competitività (competitive) Ogi operatore: a) usufruisce gratuitamete delle stesse iformazioi b) igora le cosegueze delle proprie azioi sul mercato c) è u massimizzatore di profitti (mira a coseguire il maggior risultato ecoomico co il miimo costo No frizioalità (frictioless) Le trasazioi soo libere da costi aggiutivi (di itermediazioe, fiscali ecc.) Le operazioi: a) soo divisibili (possoo cioè avere ad oggetto importi qualsiasi) b) possoo essere effettuate i ogi istate Soo ammesse vedite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vedere titoli che o si possiedoo) No c è rischio di isolveza (default risk) Asseza di arbitraggi

7 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) Defiizioe di arbitraggio U arbitraggio è u'operazioe fiaziaria che cosete al soggetto che la poe i essere di coseguire u profitto certo seza correre alcu rischio. Distiguiamo tra: Arbitraggio di tipo A Si ha quado l o.f.: ha u costo ullo o egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi, co almeo u pagameto positivo Arbitraggio di tipo B Si ha quado l o.f.: ha u costo egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi

8 Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) «Co il termie arbitraggio si itede idicare u'operazioe che cosete di otteere u profitto certo, seza che il soggetto che la mette i essere corra alcu rischio. Solitamete l'arbitraggio cosiste ell'acquisto/vedita di uo strumeto fiaziario (ma ache o fiaziario, come ua commodity) e i ua cotemporaea operazioe di sego opposto sullo stesso strumeto egoziato su u mercato diverso dal precedete, oppure su uo strumeto diverso ma avete le stesse caratteristiche a livello di payout del primo. Appare evidete che ua siffatta operazioe può geerare u profitto solo el caso i cui esista u differeziale di prezzo tra due strumeti pressochè idetici, differeziale determiato da ua iefficieza di tipo iformativo (o ormativo): questo è il presupposto fodametale perché si creio opportuità di questo tipo. U altro presupposto è rappresetato dalla esisteza di strumeti fiaziari perfettamete sostituibili. Questo può avveire el caso i cui si predoo i cosiderazioe strumeti idetici ma scambiati su mercati diversi, oppure i quello relativo a strumeti diversi ma aveti lo stesso payout (ad es. u paiere di titoli azioari ed il future avete lo stesso paiere come sottostate), o acora i quello di cui uo strumeto può essere replicato siteticamete (triagolazioi sul mercato valutario).» Da

9 Il mercato dei capitali reale Diretto Le egoziazioi avvegoo mediate accordi diretti tra le parti, che determiao autoomamete le codizioi di scambio. Es.: operazioi bacarie Mercato dei capitali Mercato moetario (egoziazioe di strumeti a breve scadeza, covezio- almete o superiori a 8 mesi) Aperto Le egoziazioi soo di tipo impersoale ed hao caratteristiche (taglio degli importi, scadeze, tassi, ecc.) stadardizzate. Es: operazioi di cambio Mercato fiaziario (egoziazioe di mezzi fiaziari obbligazioi e/o azioi geeralmete a medio e lugo termie) Mercato dei cambi (egoziazioe di valute estere)

10 L operazioe fiaziaria elemetare Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), co y x ; x 0,y 0 Schema: A coferisce a B all epoca x l importo P i cambio dell importo M che B coferirà ad A all epoca y, co y > x. P A B x M A B y Esempio : Acquisto oggi (epoca t) u BOT (Buoo Ordiario del Tesoro) al prezzo di 95,87 ed icasserò tra u ao 00. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { ( 95,87, t), (00, t+)} Esempio 2: Preseto oggi (epoca t) all icasso u credito per.000 che maturerà tra 30 giori. Ricevo dalla cotroparte 995. Assumedo il gioro come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { (995, t), (.000, t+30)}

11 L operazioe fiaziaria elemetare (segue) Ipotesi:. Gli importi P ed M soo espressi ella stessa uità di misura 2. I soggetti che attuao lo scambio soo razioali: a) ( I, x) f ( I, x) 2 se I > I 2 b) ( I, x ) f ( I, y ) se x < y Criteri di prefereza assoluta Pricipio di equivaleza fiaziaria «E fiaziariamete equivalete ricevere [corrispodere] u importo immediatamete oppure riceverlo [corrispoderli] i u epoca successiva purché i questa secoda evetualità all importo si aggiuga u iteresse per il differimeto della trasazioe.»

12 L operazioe fiaziaria complessa (esempi) Esempio 3: Acquisto oggi (epoca t) u BTP (Buoo del Tesoro Polieale) co scadeza tra tre ai al prezzo di 0,25 che paga cedole semestrali i base al tasso auo del 4%. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come 3 5 {( 0.25, ), (2, 2), (2, ), (2, 2), (2, 2), (2, 2), (02, 3) } F = t t + t + t + t + t + t + Esempio 4: Acquisto oggi (epoca t) u auto del valore di e la pago co rate mesili di 300 per i prossimi 5 ai (umero di rate = 2 5 = 60). Assumedo il mese come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come {(5.000, ), ( 300, ), ( 300, 2),...,( 300, 60) } F = t t + t + t +

13 L o.f. elemetare: ivestimeto e aticipazioe L operazioe fiaziaria elemetare F = {( P, x),( M, y)} è detta di ivestimeto (o impiego) se, oto P, deve determiarsi M ( se P rappreseta u uscita) I questo caso: x è l epoca di ivestimeto y è l epoca di scadeza P è il capitale impiegato (o ivestito) all epoca x M è il motate alla data y del capitale ivestito alla data x. P x M (icogita) y di aticipazioe (o scoto o fiaziameto) se, oto M, deve determiarsi P ( se P rappreseta u etrata) I questo caso: x è l epoca di aticipazioe y è l epoca di scadeza P è il valore attuale all epoca x dell importo M dispoibile all epoca y M è l importo dispoibile all epoca y P x (icogita) I etrambi i casi, per il pricipio di equivaleza fiaziaria, deve aversi M P y x M y

14 L o.f. elemetare: esempi di ivestimeto e aticipazioe Esempi di operazioi di ivestimeto A presta a B la somma P i cambio della restituzioe, tra u mese, della somma M > P (da determiare ell accordo che itercorre tra A e B). A effettua u versameto di importo P su u coto correte bacario e, seza movimetare il coto, preleva a fie ao l importo M > P. Esempio di operazioi di aticipazioe A cede all epoca x u credito a B di importo M che scade all epoca y ed ottiee i cambio l importo P < M.

15 L o.f. elemetare: iteresse e scoto La differeza (o egativa) M P è detta elle operazioi di ivestimeto, iteresse (sul capitale ivestito P) ed è idicata come I x,y. Pertato elle operazioi di aticipazioe, scoto (sul capitale dovuto M) ed è idicata come D x,y. l iteresse I x,y è la somma che frutta l ivestimeto dell importo P tra le epoche x ed y lo scoto D x,y è la somma che frutta l aticipazioe all epoca x dell importo M dovuto all epoca y M P = I M = P + I x, y x, y M P = D P = M D x, y x, y Il motate dell importo P è pari alla somma dello stesso importo P e dell iteresse da questo prodotto. Il valore attuale dell importo M è pari alla differeza tra lo stesso importo M e lo scoto. Osservazioe. Si cosideri che per defiizioe è x, y, I = D x y

16 L o.f. elemetare: la fuzioe valore Le assuzioi alla base del mercato dei capitali ideale garatiscoo che esiste ua sola fuzioe f che, ota la tera x, y e P, idividua uivocamete M, cioe : Ipotesi sulla fuzioe f Assumeremo che la fuzioe f sia: f : ( P, x, y) M M = f ( P, x, y) cotiua su u isieme costituito da opportui itervalli di defiizioe delle variabili derivabile parzialmete rispetto alle tre variabili State il sigificato fiaziario della fuzioe f, dovrà ache essere P = f ( P, x, x), x 0, P f > 0 P f > 0 y (f crescete al crescere di P) (f crescete al crescere di y) f < 0 x (f decrescete al crescere di x)

17 L o.f. elemetare: la fuzioe valore (segue) Ipotesi sulla fuzioe f (segue) (Ipotesi di proporzioalità o idipedeza dall importo) M = f ( P, x, y) = P f (, x, y) essedo detta f(, x, y) fuzioe di importo uitario. Osservazioi Dal puto di vista ecoomico, l ipotesi assume che l utilità margiale del dearo sia costate L assuto è realistico el caso di importi coteuti o di periodi o molto lughi. Si può iterpretare f(, x, y) come il prezzo all epoca y di ua uità di capitale (p.es.: u euro) dispoibile all epoca x

18 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Richiamo Data la fuzioe y = f(x) cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo I esiste la sua fuzioe iversa f che risulta cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo J, co J = f(i). y f y = f(x) f f f x = f (y) x

19 L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Per ipotesi, la fuzioe f è cotiua e strettamete crescete rispetto all importo P. Esiste duque la sua fuzioe iversa (rispetto a P) che idichiamo co g. Pertato M = f(p, x, y) P = g(m, x, y) restituisce l importo M dispoibile all epoca y i cambio dell importo P dispoibile all epoca x restituisce l importo P dispoibile i x i cambio dell importo M dispoibile all epoca y Valedo l ipotesi di proporzioalità si ha ache che M M = P f (, x, y) = f (, x, y) P Per defiizioe poiamo r(x, y) = f(, x, y). P P = M g(, x, y) = g(, x, y) M Per defiizioe poiamo v(x, y) = g(, x, y).

20 L o.f. elemetare: sigificato della fuzioe valore r(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca y i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca x. x r(x,y) y 2. il prezzo all epoca y di u importo uitario dispoibile all epoca x. 3. Il fattore di capitalizzazioe i quato forisce il motate all epoca y per ogi uità di capitale P ivestito all epoca x v(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca x i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca y. v(x,y) x y 2. il prezzo all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. 3. Il fattore di attualizzazioe i quato forisce il valore attuale all epoca x per ogi uità del capitale M dovuto all epoca y

21 L o.f. elemetare: relazioe tra r e v Osservazioe Essedo per defiizioe seguoo baalmete le M P P = r( x, y) e = v( x, y) M r( x, y) v( x, y) = r ( x, y ) = v( x, y) v( x, y) = r( x, y)

22 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 5 Ivesto il u capitale di 00 ed ho i restituzioe il u capitale di 02,5. P = 00 M = 02,5 x = y = M = P r( , ) 02,5 = 00 r( , ) da cui 02,5 r ( , ) = =, Fattore di capitalizzazioe

23 L o.f. elemetare: Esempi Esempio 6 Disporrò il u importo di 00 e cedo tale dispoibilità i cambio di 90 che mi vegoo corrisposti il P = 90 M = 00 x = y = P = M v( , ) 90 = 00 v( , ) da cui 90 v ( , ) = = 0,90 00 Fattore di attualizzazioe

24 L o.f. elemetare: tasso di iteresse (periodale) Nelle operazioi di ivestimeto, si è defiito l iteresse I x,y come I x,y = M P () essedo M il motate all epoca y dell importo P ivestito all epoca x. Dividedo etrambi i membri della () per P si ottiee Per defiizioe poiamo I x, y M P M = = P P P, i( x, y) = P Il umero puro i(x,y) rappreseta l iteresse prodotto tra le epoche x ed y da ogi uità di capitale ivestito P e prede il ome di tasso effettivo di iteresse Osservazioe Si tega be presete che il tasso sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. I x y

25 L o.f. elemetare: tasso di scoto (periodale) Aalogamete, elle operazioi di aticipazioe, si è defiito lo scoto D x,y come D x,y = M P (2) essedo M il capitale dispoibile all epoca y e P l ivestito aticipato all epoca x. Dividedo etrambi i membri della (2) per M si ottiee Per defiizioe poiamo Dx, y M P P = = M M M, d( x, y) = M Il umero puro d(x,y) rappreseta lo scoto corrisposto per ogi uità di capitale M che, dispoibile all epoca y, viee aticipata all epoca x. Esso prede il ome di tasso effettivo di scoto Osservazioe Come osservato i precedeza, si rammeti che quello sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. D x y

26 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie Defiiti il ed il è ecessario esplicitare: tasso effettivo di iteresse i(x, y) tasso effettivo di scoto d(x,y). le relazioi che legao tali quatità alle altre gradezze già itrodotte (fattore di capitalizzazioe, fattore di scoto) 2. la relazioe esistete tra i(x, y) e d(x, y)

27 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo I M P M P P P x, y (, ) = = = = (, ) i x y r x y i( x, y) = r( x, y) r( x, y) = + i( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue v( x, y) i( x, y) = = v( x, y) v( x, y) ed ache v( x, y) = + i ( x, y )

28 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di scoto e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo d x y I M P P = = M M M x, y (, ) = = v( x, y) d( x, y) = v( x, y) v( x, y) = d( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue r( x, y) d( x, y) = = r( x, y) r( x, y) ed ache r( x, y) = d ( x, y )

29 L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie 2) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e tasso effettivo di scoto d( x, y) = r( x, y) r( x, y) Abbiamo appea dedotto che () r( x, y) = + i( x, y) e che (2) Sostituedo la (2) ella () segue immediatamete che i( x, y) d ( x, y ) = + i ( x, y ) v( x, y) i( x, y) = v( x, y) Aalogamete abbiamo ache dedotto che (3) v( x, y) = d( x, y) e che (4) Sostituedo la (4) ella (3) segue immediatamete che d( x, y) i( x, y) = d ( x, y )

30 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Si cosideri la catea di uguagliaze i( x, y) d( x, y) = = i( x, y) = i( x, y) = i( x, y) v( x, y) + i( x, y) + i( x, y) r( x, y) L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete d( x, y) = i( x, y) v( x, y) il tasso di scoto come valore attuale del tasso di iteresse. i(x, y) v(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

31 L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Aalogamete si cosideri la catea di uguagliaze d( x, y) i( x, y) = d( x, y) d( x, y) d( x, y) r( x, y) d( x, y) = d( x, y) = v( x, y) = L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete i( x, y) = d( x, y) r( x, y) il tasso di iteresse come motate del tasso di scoto. d(x, y) r(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

32 L o.f. elemetare: tavola riepilogativa delle relazioi fodametali Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) v( x, y) v(x, y) v(x, y) v( x, y) v( x, y) v( x, y) + i( x, y) i(x, y) + i( x, y) i(x, y) i( x, y) + i( x, y) d( x, y) d( x, y) d( x, y) d(x, y) d( x, y) d(x, y)

33 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 5 era Quidi sarà 02,5 r ( , ) = =, Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y),025 0,9756 0,025 0,02439

34 L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 6 era Quidi sarà 90 v ( , ) = = 0,90 00 Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) v(x, y) v( x, y) _, v(x, y) v( x, y) v( x, y) _ v( x, y) 0,90 0, 0,0

35 L o.f. elemetare: esempi Esempio Si deve corrispodere alla scadeza y l importo di.000. Il tasso effettivo di iteresse periodale è del 2,5%. Si determii all epoca x (co x < y) la somma da aticipare, lo scoto ed il tasso effettivo di scoto dell operazioe. P = M v( x, y) = M = + i( x, y) =.000 = 975,6 + 0,025 Dx, y = M P = ,6 = 24,39 D x y, 24,39 d( x, y) = = = 0,02439 M ,6.000 x y

36 Cotratti a proti e cotratti a termie Nell operatività fiaziaria la regolazioe del prezzo avviee solitamete i epoche successive a quella i cui il prezzo stesso viee cocordato dalle parti. Esempio Si acquista oggi u bee che si iizierà a pagare tra sei mesi. Il prezzo del bee è cotrattualmete stabilito oggi dalle parti. L esborso per l acquirete è differito rispetto alla data di stipula del cotratto. Cosegueza E ecessario ampliare lo schema fi qui adottato per descrivere le o.f. semplici. D ora i avati idicheremo co u l epoca i cui viee pattuito il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete l epoca ella quale si stipula il cotratto); x l epoca i cui viee regolato il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete x > u) y l epoca i cui ha termie l operazioe fiaziaria

37 Cotratti a proti e cotratti a termie (segue) durata del cotratto durata dell o.f. u x y Epoca i cui viee pattuito il prezzo Epoca i cui viee regolato il prezzo Epoca i cui ha termie il cotratto Si osservi che y u : durata del cotratto (rileva l epoca di accordo sul prezzo) y x : durata dell operazioe fiaziaria (rileva l epoca di regolameto del prezzo)

38 Cotratti a proti e cotratti a termie: esempio Esempio 8 Il..08 (epoca u) il soggetto A stipula u cotratto co il soggetto B i base al quale si impega a corrispodere a B u importo pari a 870 il.0.09 (epoca x) i cambio di u importo di 000 che B ricooscerà ad A il (epoca y). Schema dell operazioe //08 0/0/09 0/06/09 durata dell o.f. (5 mesi) durata del cotratto (7 mesi).000 = 870 r ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) 870 =.000 v ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) v(0//08, 0/0/09, 0/06/09) = 0,87 è il prezzo a termie di ua uità di capitale che sarà dispoibile il giugo 2009.

39 Cotratti a proti e cotratti a termie: Proprietà Euciamo le proprietà della fuzioe v(u, x, y) (date le relazioi fodametali, proprietà aaloghe possoo essere desute per le fuzioi d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).. E ovviamete u x y 2. Se u = x si ottiee il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a proti 3. La fuzioe v(u,x,y) rappreseta il prezzo, cocordato all epoca u, da pagarsi all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. Pertato è 0 < v(u, x, y) u x y 4.Se x = y la durata dell operazioe fiaziaria è ulla. Pertato v(u, y, y) = 5. Il prezzo di u importo uitario esigibile i y aumeta all avviciarsi alla scadeza dell istate i cui il prezzo viee regolato. Formalmete v( u, x, y) v( u, x, y) se u x x y Tra due importi uitari dispoibili i epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei due che è dispoibile prima. Formalmete v( u, x, y ) v( u, x, y ) se u x y y 2 2

40 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia Cotratti a proti Il prezzo viee corrisposto el mometo i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe r(x, y) x r(x, y) è il fattore di capitalizzazioe a proti (spot) y a termie Il prezzo viee corrisposto i u epoca successiva a quella i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe u r(u, x, y) x r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazioe a termie y Nelle operazioi di attualizzazioe Nelle operazioi di attualizzazioe v(x, y) x v(x, y) è il fattore di attualizzazioe a proti o prezzo a proti (prezzo spot) y u v(u, x, y) x v(u, x, y) è il fattore di attualizzazioe a termie o prezzo a termie y

41 Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia (segue) Co riferimeto al prezzo v(u, x, y), fissado u e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca x] Evoluzioe del prezzo (dei cotratti che, stipulati i u, hao scadeza i y) u e x [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca y] Evoluzioe per scadeza (dei cotratti che, stipulati i u, vegoo regolati i x) x e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca u] Evoluzioe delle strutture dei prezzi (dei cotratti che, regolati i x, hao scadeza i y)

42 Operatività a proti ed a termie Stati le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, i ogi epoca gli operatori possoo decidere se effettuare u operazioe a proti o a termie. Ci poiamo pertato tre obiettivi:. Costruire uo schema che descriva la struttura a proti 2. Costruire uo schema che descriva la struttura a termie 3. Chiarire la relazioe (fodametale) che itercorre tra operatività a proti e a termie Premessa Per semplificare la otazioe supporremo che il tempo sia rappresetato da u variabile discreta. Deoteremo co t l epoca iiziale e co il aturale il umero di periodi uitari (orizzote) a partire da t. Lo scadezario di riferimeto sarà duque: t t+ t+2... t+k... t+ t+

43 Schema della struttura a proti Lo schema della struttura a proti è particolarmete semplice. All epoca t si osservao el mercato gli prezzi a proti: v(t, t+), v(t, t+2),..., v(t, t+) Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all epoca t che garatisce la dispoibilità di u importo uitario i t + k (k =, 2,, ) Sullo scadezario avremo: v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+

44 Schema della struttura a termie Lo schema della struttura a termie è più articolato. Per dedurlo, el geerico prezzo a termie v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+ e lasciamo che y assuma il valore di ciascua delle epoche rimaeti. Ripetiamo il procedimeto fissado x = t + 2, valore i corrispodeza del quale y assumerà il valore di ciascua delle 2 epoche rimaeti. Procediamo ideticamete fiché sarà x = t +, valore i corrispodeza del quale y potrà valere solo t+. v(u, x, y) u = t ; x = t+ ; y = t+2, y = t+3,..., y = t + ( ) prezzi x = t+2 ; y = t+3, y = t+4,..., y = t + ( 2) prezzi : x = t + 2 ; y = t +, y = t + 2 prezzi x = t + ; y = t + prezzo

45 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+, t+k) v(t, t+, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +: v( t, t +, t + 2), v( t, t +, t + 3),..., v( t, t +, t + )

46 Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+2, t+3) t t+ t+2... t+3... t+ t+ : v(t, t+2, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ 2 prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +2. v( t, t + 2, t + 3), v( t, t + 2, t + 4),..., v( t, t + 2, t + ) e così via

47 Schema della struttura a termie (segue) Prezzi N v(t, t+, t+2), v(t, t+, t+3),..., v(t, t+, t+) v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4),..., v(t, t+2, t+) v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5),..., v(t, t+3, t+) : : v(t, t+ 2, t+ ), v(t, t+ 2, t+) 2 v(t, t+, t+) 2 3 Il umero di prezzi a termie che si osserva el mercato all epoca t su u orizzote di periodi uitari è ( ) ( ) + ( 2) = 2 Per ogi epoca t, l isieme di tali prezzi defiisce la struttura a termie del mercato.

48 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Quidi, u operatore che all epoca t voglia assicurarsi u importo uitario all epoca t + i ( i ) può combiare operazioi a termie co operazioi a proti co l uico vicolo rappresetato dalle scadeze dell orizzote temporale sul quale opera. I particolare può scegliere se: oppure stipulare i t u cotratto a proti co scadeza t+i stipulare uo dei possibili cotratti a termie regoladoe il prezzo, i rapporto al cotratto scelto, i ua delle epoche t +, t + 2,..., t + i Problema Che tipo di relazioe esiste tra i due tipi di operatività? Più precisamete, le caratteristiche del mercato ideale cosetoo di stabilire delle codizioi di coereza tra i prezzi a proti e a termie?

49 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Per rispodere ragioiamo sul caso semplificato di u orizzote di due periodi, cioè sullo scadezario i relazioe al quale l obiettivo fiaziario dell operatore, che agisce all epoca t, è di assicurarsi u importo uitario all epoca t+2. Come può procedere l operatore? t t+ t+2. Può stipulare u cotratto a proti che scade i t+2, pagado i t l importo v(t, t+2) 2. Può stipulare u cotratto a termie che scade i t+2, pagado i t+ l importo v(t, t +, t +2) I questo caso, qual è la somma che l operatore deve ivestire all epoca t per assicurarsi la dispoibilità della somma v(t, t +, t +2) all epoca t +? La somma è v(t, t+, t+2) attualizzata dall epoca t+ all epoca t, cioè moltiplicata per il fattore di attualizzazioe v(t, t+) v(t, t +, t +2) v(t, t +)

50 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t dell importo v(t, t+, t+2) all epoca t + Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t + di u importo uitario all epoca t +2 v(t, t+, t+2) v(t, t+) v(t, t+, t+2) t t+ t+2 Riassumedo: Per disporre di u importo uitario all epoca t+2, l operatore all epoca t deve ivestire v(t, t + 2) i u operazioe a proti o v(t, t +, t + 2) v(t, t + ) i u operazioe a termie Possoo i due importi differire?

51 Relazioe tra operazioi a proti e a termie NO perché etrambe le operazioi fiaziarie dao luogo allo stesso risultato (u importo uitario) all epoca t+2. Per le ipotesi che reggoo il mercato dei capitali ideale, esiste u solo prezzo per l isieme delle operazioi che producoo il medesimo risultato fiaziario. Vale pertato la seguete relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) (5) che deriva dal pricipio di asseza di arbitraggio. Dalla (5) segue immediatamete v( t, t +, t + 2) = v( t, t + 2) v( t, t + ) la quale sottoliea come il prezzo della struttura a termie possa essere calcolato oti i prezzi a proti. La struttura a termie è duque implicita ella struttura a proti.

52 Relazioe tra operazioi a proti e a termie Esempio Sul mercato all epoca t : u BOT co scadeza u ao (t+) quota V(t, t+) = 95,69 (*); u CTZ co scadeza due ai (t+2) quota V(t, t+2) = 9,57. I ipotesi di asseza di arbitraggio si vuole determiare il prezzo a termie del titolo che, acquistato all epoca t e regolato all epoca t+, paga 00 all epoca t+2. Dalla segue v( t, t +, t + 2) = Pertato il prezzo richiesto è 95,684. v( t, t + 2) v( t, t + ) 9,57 v( t, t +, t + 2) = = 0, ,69 (*) Co v idichiamo il prezzo uitario. Per idicare il prezzo di importi o uitari si è soliti utilizzare la lettera maiuscola.

53 Esempio 9 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,958 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,958 > 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo coprire questo esborso Devo coprire questo esborso t t+ t+2 Vedo i t il cotratto a proti che scade i t+2 Compro i t il cotratto a termie (che regolo i t+) +0,958 0,96 + Compro i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ 0,96 0,98 = 0, ,96 Profitto uitario +0,

54 Esempio 0 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,938 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,938 < 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo azzerare questa etrata Devo azzerare questa etrata t t+ t+2 Compro i t il cotratto a proti che scade i t+2 Vedo i t il cotratto a termie (che viee regolato i t+) 0, ,96 Vedo i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ +0,96 0,98 = + 0,9408 0,96 Profitto uitario +0,

55 Pricipio di asseza di arbitraggio Dagli esempi prima visti, sullo scadezario dato dalle epoche t T s, deduciamo lo schema geerale. Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Vedo allo scoperto il cotratto a proti che scade i s +v(t, s) Compro il cotratto a termie che scade i s v(t,t,s) + Compro v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s)v(t,t) +v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

56 Pricipio di asseza di arbitraggio I maiera aaloga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Compro il cotratto a proti che scade i s v(t, s) + Vedo il cotratto a termie che scade i s +v(t,t,s) Vedo v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario +v(t,t,s)v(t,t) v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

57 Codizioe di o arbitraggio: osservazioi Osservazioe I geerale, come implicitamete appea visto, el mercato ideale deve valere la seguete relazioe, di facile verifica v( t + p, t + s) = v( t + p, t + q) v( t + p, t + q, t + s) (p q s) (6) v( t + p, t + q, t + s) = v( t + p, t + s) v( t + p, t + q) Osservazioe 2 Ricordado che v = + i la relazioe (6), scritta i fuzioe dei tassi di iteresse, diviee i( t + p, t + s) = [ + i( t + p, t + q)][ + i( t + p, t + q, t + s)] (7) + i( t + p, t + s) i( t + p, t + q, t + s) = + i( t + p, t + q) essedo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di iteresse a proti ed i(t + p, t + q, t + s) il tasso di iteresse a termie (etrambi periodali).