19. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT

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1 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN 19. IL PROBLE DI SIN VENN Il prolema del solido elasico, lieare, omogeeo, isoropo, che è sao imposao i modo geerale, si paricolaria ai diversi casi che ieressao le sruure (ravi, lasre, cupole, ). Esamiiamo il caso della rave. Dalla eoria delle sruure aiamo appreso la deermiaioe delle caraerisiche di solleciaioe i ua geerica seioe di ua rave, isolaa od appareee ad ua ravaura (elasica). Occorre ora irodurre relaioi che oe le caraerisiche coseao di deermiare esioi, deformaioi e sposamei i ogi puo della seioe. al fie si uiliao, co semplificaioi approssimaioi ed esrapolaioi, i risulai rigorosi forii dalla meccaica dei solidi per alcui suoi prolemi classici. I paricolare, per quao cocere la rave, è di fodameale imporaa il prolema del cilidro elasico, sisemao da dhémar ea laude Barré de Sai Vea, ed usualmee deomiao prolema di Sai Vea. Il meodo di soluioe è semi iverso. Si assumoo a priori alcue proprieà della soluioe e si affida alle equaioi del prolema elasico la sua deermiaioe complea. I ali ermii si aricola il procedimeo origiale di Sai Vea. I ermii rigorosi, il prolema di Sai Vea si poe come segue. Solido elasico, lieare, omogeeo, isoropo aaliao: u cilidro di seioe qualuque, lughea L molo maggiore delle dimesioi di, riferio ad ua era (,, ) co origie el aricero di ua delle asi, l asse coicidee co l asse L del cilidro, gli assi e coicidei co gli assi pricipali d ieria della seioe. odiioi di vicolo: il cilidro è liero. Fore applicae: fore di volume ulle; fore di superficie agei solo sulle asi. Ipoesi di lavoro caraeriae il procedimeo semi iverso: (1) 137

2 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN Fisicamee, ciò equivale a cosiderare il cilidro come u isieme di fire logiudiali che si scamiao aioi muue ageiali ella direioe delle fire sesse. Resao da deermiare,,, (che soo le compoei di esioe ormale e ageiale i u puo della seioe del cilidro) oché le deformaioi e gli sposamei. Il procedimeo semi iverso di Sai Vea, dopo aver ipoiao, cosee di valuare rigorosamee,,, le deformaioi e gli sposamei. iò avviee, però, pagado u preo per quao cocere le fore applicae sulle asi (le sole pari del cilidro caricae). Ifai, o è possiile assegare lieramee le fore i ogi puo delle asi (si pagao le coseguee delle ipoesi (1), che, assegado a priori ua pare della soluioe, semplifica il prolema, ma è gravosa), ma si possoo prescrivere lieramee solo la risulae rispeo al aricero, e cioè le 6 caraerisiche di solleciaioe. Sorge l ierrogaivo dell uilià applicaiva dei risulai, co quese limiaioi. N Z È fodameale a al fie il posulao (o pricipio) di Sai Vea: Sisemi di fore applicai sulle asi che, pur essedo diversi, siao saicamee equivalei (e cioè aiao la sessa risulae e lo sesso momeo risulae) producoo effei la cui differea diviee rascuraile alloaadosi dall immediaa viciaa delle asi. (I praica, ad ua disaa dell ordie di gradea delle dimesioi delle asi). Graie al pricipio di Sai Vea, ecceuae le oe adiacei alle asi (e quidi per u cilidro o roppo oo), è iesseiale la disriuioe puuale delle fore sulle asi, ma è sufficiee assegare le caraerisiche di solleciaioe. Il pricipio può rieersi valido elle geeralià dei casi cocrei. 138

3 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN I siesi: Dao u cilidro: elasico, lieare, omogeeo, isoropo; o vicolao; caricao sulle asi da fore di cui si assegao solo le caraerisiche (limiaioe acceaile per la sosaiale validià del posulao di Sai Vea, esclusa la prossimià immediaa delle asi); il prolema di Sai Vea, faa l ipoesi, cosee di deermiare le alre esioi, le deformaioi, gli sposamei. I paricolare, il prolema forisce le relaioi fra esioe, deformaioe, sposameo i u puo di ua geerica seioe e le caraerisiche di solleciaioe i quella seioe. Queso risulao è fodameale per le applicaioi. Ifai ali relaioi si esrapolao (e l esperiea coferma che ciò è acceaile) alle ravi vicolae e caricae el volume e sulla superficie laerale. No svilupperemo l iera soluioe, ma ci limieremo ai sigoli casi paricolari di fora assiale, flessioe, aglio, orsioe. Riporiamo iao le relaioi fra risulai e momei risulai delle esioi e caraerisiche: N d; d; d d; d; ( )d 139

4 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN FORZ NORLE E FLESSIONE N Suppoiamo che ella geerica seioe agiscao fora ormale N e momei fleei,. Dalla soluioe del prolema di Sai Vea si ha che l uica compoee di esioe o ulla è, che varia ella seioe co legge lieare: a a1 a ( a,a1, a, cosai) (1) Per oeere le relaioi fra e N,,, impoiamo: d N; d ; d ; da cui: a a a a 1 d a d a d a 1 1 d a d a d N d d () a poiché (, ) soo assi aricerici e pricipali d ieria della seioe: d d d ; d ; d (, a N a a 1,momei d ieria della seioe rispeo a, ), per cui le () diveao: N a a a 1 14

5 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN e la (1) si esplicia come segue: N (3) ( area;, momei d ieria rispeo a, ) asi paricolari. N ; (fora ormale) N (cosae) N ; N (flessioe rea) (lieare) ma per e/o per Poso W ; W (moduli di resisea della seioe) si ha: ma ; mi (se > ) W W La esioe camia sego. Si ha per e cioè su ua rea (asse euro) che coicide co l asse aricerico. ; ; N (flessioe deviaa) (lieare) La coppia risulae di e giace i u piao che icora il piao della seioe co ua rea (asse di asse di solleciaioe solleciaioe) che forma co l asse u agolo α ale che g α. 141

6 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN Si ha sulla rea (asse euro) che forma co l asse u agolo β ale che gβ NB. L asse euro o è perpedicolare all asse di solleciaioe. asse euro N ; ; (fora ormale e flessioe rea) N (lieare) asse euro Si ha sulla rea: N (asse euro) che è parallela all asse e può agliare asse euro - N oppure o la seioe (per ua daa seioe, ciò dipede dal rapporo ) N aso geerale. N ; ; (fora ormale e flessioe deviaa) N (lieare) Si ha N sulla rea, ossia: N 1 (asse euro) N asse euro che forma co l asse u agolo β ale che gβ e può agliare oppure o la seioe (per ua daa seioe ciò dipede dai rappori fra, ed N). 14

7 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN La coppia risulae di e giace i u piao che icora il piao della seioe co ua rea (asse di solleciaioe) che forma co l asse u agolo α ale che g α. sse euro ed asse di solleciaioe o soo muuamee orogoali. asse di solleciaioe Equaioe dell asse euro: 1 N N Osserviamo che: ρ ; ρ ( ρ ; ρ e che, poso: raggi pricipali d ieria) asse euro ;, N N,, soo le coordiae di u puo (cero di solleciaioe) ale che il complesso {,, } N è saicamee equivalee a N raslaa i. L equaioe dell asse euro divea: 1 (4) ρ ρ N N La (4) è l equaioe di ua polarià fra i pui (, ) ceri di solleciaioe ed i pui (, ) corrispodei assi euri. La coica fodameale è l ellisse a pui immagiari 1. Se cosideriamo ivece l aipolarià, la ρ ρ coica fodameale: 1 è l ellisse cerale d ieria della ρ ρ seioe. Quidi ceri di solleciaioe ed assi euri si corrispodoo come aipoli e aipolari rispeo all ellisse cerale d ieria. È imporae il luogo dei pui la cui aipolare è agee alla seioe 143

8 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN (occiolo cerale d ieria). Se è iero al occiolo, l asse euro o aglia la seioe e o camia sego. Deformaioe. N (3) Essedo solo diversa da ero, è immediao ricavare ε : N ε (4) E E E E La (4) è lieare i, (equaioe di piao) e quidi la seioe si coserva piaa. Esamiiamo alcui aspei della deformaioe dovua a aso di solo : ε. E e. Dalla figura: E d d r r urvaura el piao () causaa da 1 κ ; r E : alogamee, per la curvaura i () causaa da 1 κ ; r E compoedo: κ κ κ ; κ iolre κ. L iflessioe avviee i u piao che ha come raccia i (, ) ua rea (asse di flessioe) che forma co l asse l agoloψ ale che : d d d E asse euro asse di flessioe g ψ ed è perpedicolare all asse euro, ma o è parallelo all asse di solleciaioe (flessioe deviaa). La flessioe è asse di solleciaioe asse di flessioe rea solo se l asse di solleciaioe è u asse 144

9 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN pricipale d ieria ( o ). Ifai si ha: agolo ψ dell asse di flessioe co l asse : gψ agolo β dell asse euro co l asse : gβ quidi: gψ gβ 1 e l asse di flessioe è perpedicolare all asse euro agolo α dell asse di solleciaioe co l asse : gα e quidi l asse di flessioe o è parallelo all asse di solleciaioe, se queso o è u asse pricipale d ieria (, oppure ). Uica ecceioe, le seioi i cui risuli. NB. È sempre uile ricordare che gli assi,, sempre disegai per semplicià orioali e vericali, soo gli assi pricipali d ieria della seioe, i quali, come avviee per la seioe idicaa i figura, possoo o essere orioali e vericali. 145

10 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN GLIO raaioe approssimaa. Nelle ravi il aglio è sempre accompagao da momeo fleee. Ifai sea solo i sigole seioi: d d. Si può avere _ È ivece possiile avere i ceri casi, campae o rai di campaa co momeo sea aglio (quado si ha cos.). Esempio: _ cos _ Il prolema di Sai Vea mosra che la presea di aglio i ua seioe geera esioi ageiali,. d esempio, el caso di u aglio : N.B. Risulae N.B. Risulae La raaioe rigorosa delle esioi ageiali dovue al aglio foria dal prolema di Sai Vea è molo complicaa e di solio o viee uiliaa, perché risulai soddisfacei soo forii da semplici formule ricavaili da ua raaioe approssimaa dovua a ourawski ed usualmee deomiaa eoria approssimaa del aglio. 146

11 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN d B d Seioe geerica di ua rave prismaica soggea a e. Suppoiamo per semplicià la seioe simmerica rispeo all asse (il risulao si applica ache a seioi o simmeriche). osideriamo ua corda parallela all asse ; sia la sua lughea. Isoliamo u volumeo dv d compreso fra due piai perpedicolari all asse e disai d ed il piao parallelo all asse avee come raccia i (, ) la corda (vedi figura). Impoiamo l equilirio alla raslaioe secodo del volumeo. Poiché el prolema di Sai Vea o ci soo fore di volume, é fore sulla superficie laerale, esso è soggeo solamee alle esioi e agei sul suo cooro iero. Quidi: d ( d ) d db ; ma e quidi: d d d B (NB. d d ) pprossimaioe fodameale: suppoiamo cosae sulla corda S S d d ( S d ) 147

12 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN La raaioe approssimaa di ourawski ha forio la seguee formula per la esioe i ua seioe soggea a. Daa ua geerica corda parallela all asse, di lughea. ssuo approssimaivamee che sia cosae su. Si ha: dove: aglio S S d momeo saico rispeo all asse della pare (NB. È idifferee calcolare S oppure S della pare resae aricerico, S d d d, e quidi di soosae la corda., rispeo ad. Ifai, essedo d d S S. Il sego è iesseiale, perché i quesa raaioe il verso di è assuo a priori coicidee co quello di ). d momeo d ieria dell iera seioe rispeo ad. lughea della corda. S L espressioe approssimaa di è acceaile ella geeralià dei casi ed è correemee usaa. Poiché assume cosae sulla corda, l approssimaioe è ao migliore quao più la lughea è piccola (seioe soile). La esioe provocaa da è eamee iferiore a e spesso viee rascuraa. (Fra l alro, le hao risulae ulla). omuque, si può oeere u espressioe approssimaa di co cosideraioi di equilirio. 148

13 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN Dalla era equaioe di equilirio, per fore di volume ulle:. a:, o dipede da, o dipede da (ipoesi faa) Quidi, o deve dipedere da e perciò è lieare i. a sul cooro: ( ) e quidi, dao l adameo lieare i, i u puo geerico della corda (vedi figura): gα (NB. Se i lai o soo icliai la formula forisce ). Q Q 149

14 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN 15 B h B FLESSIONE E GLIO - ESEPI (NB. I diagrammi di e o soo i scala) Si cosiderao re esempi i cui agiscoo e ; S ; B 1 4 B B S 1 B ( ) 3 B 3 ; B 6 ma mi ma/ ± ± ( ) ( ) ( ) ( ) ma h h Bh h h Bh h Bh h Bh B ( ) h Bh h Bh B I I I ma II II h

15 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN OENO ORENE Il momeo orcee che agisce su ua seioe provoca ella seioe sessa esioi ageiali,. ali esioi devoo dar luogo ad u momeo risulae uguale a (1) ( ) d, per cui deve essere: Per ricavare, dal prolema di Sai Vea, ricordiamo che el prolema è saa faa l ipoesi: () cui aggiugiamo ora: (3) Le equaioi idefiie di equilirio si riducoo a ( F F F ) (4) (5) (6) Dalle equaioi di legame elasico, lieare, omogeeo, isoropo, si ha poi: (7) ε ε ε ; ε ; ε ; ε G G Le equaioi di cogruea foriscoo: u u u u u (8) ; ; ; ; 1 u u ε ; Dalle (4) e (5): (, ) ; (, ) ; ε u u 1 Dalle prime re delle (8): u u (, ) ; u u (, ) ; u u (, ). Sviluppado la raaioe (omeiamo gli sviluppi) si arriva a: u κ ; u κ ; u κ ω(, ) (9) dove κ è ua cosae da deermiare e ω (, ) ua fuioe da deermiare. 151

16 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN Dalla (9) si deduce, ricordado la (8): 1 ω 1 ω ε κ ; ε κ ; ε ε ε ε (1) Uiliado il legame elasico, lieare, omogeeo, isoropo si oiee allora: ω ω Gκ ; Gκ ; (11) Si può dimosrare ache che la fuioe icogia ω (, ) deve soddisfare l equaioe differeiale: ω ω (1) e cioè deve essere ua fuioe armoica. Per avere ache ua codiioe al cooro per ω, scriviamo le equaioi di equilirio sulla superficie laerale ( f f f ; ): da cui, ricordado la (11): ω ω (13) La (1) e la (13) foriscoo ω (, ). Noa ω, la cosae κ si ricava dalla (1): ω ω ( ) d Gκ d Gκ D( ω ) ( ) avedo poso: ( )d momeo d ieria polare della seioe rispeo al aricero. ω ω D( ω ) d iegrale di Dirichle della fuioe ω (, ). Quidi: κ (14) G D ω ( ( )) Riassumedo, daa ua seioe di cooro, soggea a momeo orcee oo, le esioi ageiali (, ), (, ) i u puo geerico della seioe, si oegoo rigorosamee come segue: 15

17 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN Deermiaioe di ua fuioe ω (, ) che risolva il seguee prolema (di Dii-Neuma): ω ω, i ω ω Deermiaioe della cosae κ :, su (15) κ, dove: G ( D( ω )) momeo d ieria polare della seioe rispeo al aricero D iegrale di Dirichle della fuioe ω (, ) ( ) ω Deermiaioe delle esioi, : ω ω Gκ ; Gκ Deermiaioe delle deformaioi ε, ε : ε ; ε G G Deermiaioe degli sposamei u,u, u : u κ ; u κ ; u κ ω(, ) Osservaioe imporae: u è proporioale a ω (, ), che è soluioe del prolema (15), dipedee dalla forma della seioe, e o ha moivi per essere lieare i,. iò sigifica che i geerale ua seioe soggea a si igoa. u lra osservaioe: La (14), poedo D( ω ) GK K, si può scrivere κ (16) 153

18 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN alogia co la flessioe. La (16): κ, è aaloga alla relaioe momeo curvaura della flessioe, (per esempio GK ): E κ, i cui κ è la curvaura flessioale e E è la rigidea flessioale, prodoo di (dipedee dalla forma della seioe) per E (dipedee dal maeriale). Similmee, GK è deomiaa rigidea orsioale, prodoo di seioe) per G (dipedee dal maeriale). K (dipedee dalla forma della κ ha le dimesioi di curvaura come κ. Si può dimosrare che essa rappresea l agolo di roaioe muua, ioro a, fra due seioi a disaa uiaria. κ viee deomiaa orsioe. Faore di orsioe. Ricordiamo l espressioe di K : D( ω ) K Nelle applicaioi si iroduce il faore di orsioe: q (17) D ω ( ) K può scriversi allora: K q e la (16) divea: G q κ Il faore adimesioale q risula sempre 1 ( 1 per seioe circolare) eciche per espliciare la soluioe. La difficolà el deermiare la soluioe risiede el prolema (15). Si hao allora: Soluioi aaliiche oe, per alcui casi; Soluioi umeriche, per ui i casi; Soluioi approssimae oe, per diversi casi. Seioe circolare. La seioe circolare cosiuisce uo dei casi per i quali esise la soluioe aaliica. Sui pui del cooro si ha: ; R R R 154

19 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN La codiioe al cooro (13) divea: ω ω ω ω R R R R L equaioe differeiale (1) impoe: ω ω, i., su si vede immediaamee che ω è soluioe del prolema (15). Ne risula: D ( ω ) ; κ ; Gκ G ; κ ; ε ; ε ; G κ κ u κ ; u κ ; u Quidi ella seioe circolare: Il faore di orsioe q ( 1) vale 1; Le esioi,, soo lieari; La esioe ageiale complessiva τ G κ varia liearmee col raggio; u, e quidi la seioe rimae piaa. La seioe circolare è l uica a o avere igoimeo a causa di La esioe è massima sul cooro. ; NB. I seioi o circolari,, o soo più lieari, ma sempre ma su. 155

20 apiolo19 IL PROBLE DI SIN VENN raaioe approssimaa per seioi uolari. La raaioe è dovua a Bred. La codiioe di equilirio al cooro: su esprime il fao che la esioe ageiale oaleτ è rigorosamee orogoale alla ormale e quidi parallela al cooro iero ed esero. Ipoesi semplificaiva: poedoci el caso di paree soile, suppoiamo che τ sia cosae sullo spessore s ed ivi aia direioe cosae. cceaa ale ipoesi, si dimosra che il 1 1 prodoo τ s è cosae su ua la seioe. s1 Ricordado l uguagliaa delle esioi ageiali agei su 1 giaciure orogoali ( ), l equilirio alla raslaioe ij ji s logiudiale di u elemeo di rave compreso fra due piai rasversali disai 1, e due piai logiudiali, forisce: τ 1 τ s 1, e quidi τ s cos a e, ella seioe. 1 s1 r s L equilirio alla roaioe della seioe forisce: τ s r d, da cui τ s rd d sd a rd Ω, essedo Ω l area racchiusa dalla liea media fra i coori iero ed esero. Quidi s τ (18) formula di Bred Ωs τ è massima dove lo spessore s è miimo. Se lo spessore o è piccolo, va euo presee che la esioe ageiale è maggiore della (18), che dà la media sullo spessore, i corrispodea del cooro esero. 156