1 RESISTENZA DEI MATERIALI (Distillazione verticale)

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1 1 EIEZ DEI EII (Disillazioe vericale) OBIEIVI: ) Cooseza e comresioe dei odamei della resiseza dei maeriali. B) Caacià di rareseare i diagrammi delle caraerisiche di solleciazioi i semlici sruure isosaiche. C) Caacià di veriicare e/o rogeare semlici orgai meccaici. olleciazioi esere (de.) Deormazioe (de.) esioi uiarie iere (de.) ormali (de.) ageziali (de.) Uià di misura egge di HOOKE (euciao) Codizioi di validià egime elasico roorzioale (de.) Omogeeià (de.) Isoroia (de.) rave (de.) Priciio di sovraosizioe degli eei (euciao) Caraerisiche di solleciazioi (de.) isema iao (descr.) Covezioe sui segi (descr.) Carico uiario di roura: esioe di roura (de.) Carico uiario di sicurezza: esioe ammissibile (de.) Uià di misura Grado di sicurezza (de.) OECIZIOI EPICI orzo ormale (de.) Deormazioi (descr.) esioi: io e disribuzioe (descr.) Equazioe di sabilià o di equilibrio (ormula) Calcolo di veriica (ormula) Calcolo di rogeo (ormula) egge di Hooke er esioi ormali (ormula) Calcolo deormazioe (ormula) areseazioe diagramma della solleciazioe (rocedura + calcolo) Comressioe er dilaazioe ermica imedia (al.) Calcolo di veriica (ormula) eciiei cilidrici i ressioe (al.) Calcolo di veriica (ormula) Calcolo di rogeo (ormula)

2 Flessioe rea (de.) Deormazioi (descr.) sse di solleciazioe (de.) sse euro (de.) Codizioi er la lessioe rea (de.) Calcolo deormazioe (dimosr. + ormula) esioi: io e disribuzioe (descr.) Equazioe di sabilià (dimosr. + ormula) odulo di resiseza a lessioe (de. + ormula) er sezioi: reagolare, circolare, circolare cava (calcolo) Calcolo di veriica (ormula) Calcolo di rogeo (ormula) areseazioe diagramma della solleciazioe (rocedura + calcolo) aglio (de.) Deormazioi (descr.) esioi: io e disribuzioe (descr.) Equazioe di sabilià (ormula) Calcolo di veriica e di rogeo: er sezioe reagolare (ormule) er sezioe circolare (ormule) areseazioe diagramma della solleciazioe (rocedura + calcolo) orsioe (de.) Deormazioi (descr. + calcolo) esioi: io e disribuzioe (descr.) egge di Hooke er esioi ageziali (ormula) Equazioe di sabilià (dimosr. + ormula) odulo di resiseza a orsioe (de. + ormula) er sezioi: circolari iee e cave (calcolo) Calcolo di veriica (ormula) Calcolo di rogeo (ormula) areseazioe diagramma della solleciazioe (rocedura + calcolo) OECIZIOI COPOE Flessoorsioe (de.) esioi: io e disribuzioe (descr.) esioe ormale ideale (ormula) omeo leee ideale (ormula) Calcolo di veriica (ormula) Calcolo di rogeo (ormula)

3 3 EIEZ DEI EII - CHED DI EZIOE bbadoado l ioesi di coro rigido, ua qualsiasi sruura vicolaa, sooosa a delle orze esere, er l eeo di ali orze e delle reazioi vicolari si deorma. ali deormazioi che edoo ad allugare o ad accorciare o a are scorrere il maeriale, ao ascere all iero del maeriale delle reazioi elasiche (EIOI IEE) che corasao le deormazioi. d ua siuazioe di solleciazioe esera si ooe uo sao di esioe iera. OECIZIOI EEE: soo le azioi comiue dall isieme dei carichi eseri e delle reazioi vicolari. DEFOZIOE: è la variazioe di orma della sruura causaa dalle solleciazioi esere. EIOI UIIE IEE: soo orze di reazioe elasica che ascoo i ogi uo all iero del maeriale, edei ad oorsi alla deormazioe; vegoo dee uiarie erché soo rierie all uià di suericie (1 mm ). I geerale, le esioi iere hao direzioe qualsiasi, ma si uò esare di scomorre ogi esioe i due comoei: ua eredicolare (ormale) al iao della sezioe della sruura, l alra secodo il iao della sezioe. EIOI OI: soo le comoei delle esioi eredicolari al iao della sezioe, edei ad oorsi agli allugamei/accorciamei; vegoo idicae co la leera greca σ (sigma) e hao l uià di misura di ua orza su ua suericie (/mm ). EIOI GEZII: soo le comoei delle esioi che giaccioo sul iao della sezioe, edei ad oorsi agli scorrimei; vegoo idicae co la leera greca (au) e hao l uià di misura di ua orza su ua suericie (/mm ). EGGE DI HOOKE: le deormazioi soo roorzioali alle orze che le hao rodoe. CODIZIOI DI VIDIÀ: la legge di Hooke esrime u legame di io lieare (equazioe di ua rea) ra deormazioi e esioi iere, ma erché sia valida deve accadere. il maeriale deve lavorare i regime elasico roorzioale, cioè al cessare dei carichi che hao rodoo la deormazioe, rirede la coigurazioe ideormaa, quidi o devoo esserci deormazioi ermaei el maeriale; il maeriale deve essere omogeeo, cioè resea i ogi uo le sesse caraerisiche; il maeriale deve essere isoroo, cioè avere le sesse caraerisiche i qualsiasi direzioe. PICIPIO DI OVPPOIZIOE DEGI EFFEI: l eeo rodoo da iù orze è equivalee alla somma degli eei rodoi dalle sigole orze agedo searaamee. CEIICHE DI OECIZIOI: soo gli eei, i ogi sezioe della sruura, rodoi dalle solleciazioi esere; ossoo essere cosiderae come le azioi (orze geeralizzae: orze e momei) rasmesse araverso ua sezioe geerica di ua delle ari della sruura idealmee agliaa lugo la sezioe er garaire l equilibrio di ogi sigola are. VE: solido di maeriale elasico, omogeeo, isoroo, geerao dalla raslazioe lugo u asse di ua igura iaa di orma qualsiasi, di area cosae o gradualmee variabile. a rave è il modello di calcolo uilizzao ella veriica o el rogeo di ua qualsiasi sruura i cui la misura di ua delle dimesioi è revalee riseo alle alre due.

4 4 CO PZIE: le orze alicae alla sruura giaccioo su iai diversi. F 1 B F Immagiiamo di sezzare idealmee la sruura lugo la sezioe oeedo i due rochi e B. Poiché la sruura el comlesso è i equilibrio, F 3 ache ogi sua are lo deve essere; i aricolare il roco da solo sarà i equilibrio se 1 z aggiugiamo le azioi che, lugo la sezioe, il roco B rasmee al roco. ali azioi soo rorio le caraerisiche della solleciazioe che el caso saziale soo 6 (3 orze + 3 momei): z, x, y, x, y, z x y z sorzo ormale direo lugo l asse della rave. F 1 x y x z z x, y sorzi di aglio direi lugo gli assi agei al iao della sezioe. x, y momei leei che rovocao ilessioi della sruura sui iai vericale e orizzoale. 1 y z momeo orcee che rovoca scorrimei agolari ra le sezioi. CO PIO: le orze alicae alla sruura giaccioo ue sullo sesso iao coeee l asse della rave, er esemio quello vericale coeee l asse della rave. I queso caso le caraerisiche della solleciazioe soo 3 ( orze + 1 momeo):,,. F 1 FOZO OE FOZO DI GIO OEO FEEE. 1 COVEZIOE UI EGI: viee adoaa la seguee covezioe sui segi delle caraerisiche delle solleciazioi. FOZO OE + + OEO FEEE GIO Esemio: guardado a desra della sezioe cosideraa si ha: sorzo ormale osiivo se la orza ha verso che si alloaa dalla sezioe; momeo leee osiivo se ha verso aiorario; aglio osiivo se la orza ha verso verso il basso. Guardado a siisra della sezioe cosideraa si ha: sorzo ormale egaivo se la orza ha verso che si avvicia dalla sezioe; momeo leee egaivo se ha verso aiorario; aglio egaivo se la orza ha verso verso il basso. + +

5 5 CICO UIIO DI OU: è la esioe che rovoca la roura del maeriale quado viee soooso a razioe o a comressioe; si misura i /mm. CICO UIIO DI ICUEZZ: è la massima esioe a cui il maeriale uò essere soooso ero i limii di sicurezza. i calcola dividedo il carico uiario di roura er u coeiciee chiamao grado di sicurezza: a,5 3 er acciai e leghe leggere rodoi co lavorazioi lasiche σ σam. a 3 4 er acciai rodoi er usioe a mm a 5 8 er ghisa e maeriali ragili rodoi er usioe. a esioe massima ammissibile σ am è il rierimeo er i calcoli di veriica e di rogeo. GDO DI ICUEZZ a σ : è il raoro ra il carico uiario caace di rovocare la roura o σ am. iollerabili deormazioi della sruura e il carico uiario massimo revedibile su di essa. FOZO OE U coro è solleciao a sorzo ormale quado le orze agei su di esso (carichi eseri + reazioi vicolari) hao la direzioe dell asse del coro. el caso di orze che rovocao allugamei lo sorzo ormale si chiama ZIOE (caraerisica della solleciazioe assua covezioalmee osiiva); el caso di orze che rovocao accorciamei lo sorzo ormale si chiama COPEIOE (caraerisica della solleciazioe assua covezioalmee egaiva). ello sorzo ormale la disribuzioe delle deormazioi è uiorme (cosiderado valida l ioesi di sezioi che si coservao iae) e quidi è uiorme ache la disribuzioe delle esioi iere sulla sezioe. a orma della sezioe o ha ilueza sul calcolo delle deormazioi e delle esioi. e esioi iere soo solo di io σ e co le orze C s B esere alicae el roco C ormao u sisema di orze equilibrao; quidi er l equilibrio del roco si ha: EQUZIOE DI BIIÀ s Disribuzioe delle esioi iere solleciazioe di sorzo ormale () C σ sezioe σ σ σ esioe ormale iera ( mm ) area della sezioe resisee (mm ) CCOO DI VEIFIC oo oe le dimesioi geomeriche (sezioe) e si accera er coroo che la esioe eeiva sulla sezioe risuli ero i limii di sicurezza, issai co il carico uiario ammissibile. sorzo ormale ella sezioe iù solleciaa () σ σ am. area della sezioe resisee (mm ) σ esioe iera ella sezioe iù solleciaa ( ) mm CCOO DI POGEO celo il maeriale della sruura si calcola l area miima ecessaria (codizioe di ecoomia) imoedo alle esioi iere il massimo valore ammissibile (codizioe di sicurezza). sorzo ormale ella sezioe iù solleciaa () σam. esioe massima ammissibile er il maeriale uilizzao ( mm ) σam. area miima della sezioe resisee (mm )

6 6 CCOO DE DEFOZIOE i raa di allugamei el caso di razioe e di accorciamei el caso di comressioe. Per la legge di Hooke el caso di esioi ormali si ha: σ E ε ( mm ) E modulo di elasicià logiudiale del maeriale ε allugameo uiario σ ma si ha: E E ε a deormazioe è roorzioale allo sorzo ormale e alla lughezza iiziale; è iversamee roorzioale all area della sezioe resisee e al modulo di elasicià logiudiale del maeriale. POCEDU PE I CCOO, EZIOE PE EZIOE, DE OECIZIOE DI FOZO OE (DIG DI OECIZIOE DI FOZO OE). 1) i calcolao le reazioi vicolari. ) i calcola er ogi sezioe il valore dello sorzo ormale cosiderado ue e solo le orze che dao sorzo ormale (orze co liea d azioe coicidee o arallela all asse della sruura) che sao a desra o a siisra della sezioe cosideraa; er le sezioi dove soo alicae orze, è ecessario calcolare lo sorzo ormale i ua sezioe immediaamee a siisra e i ua immediaamee a desra del uo di alicazioe della orza. 3) i disega il diagramma della caraerisica della solleciazioe di sorzo ormale riorado su ua liea di rierimeo arallela all asse della sruura i valori dello sorzo ormale calcolai; si assume, covezioalmee, osiivo e si raresea sora la liea di rierimeo lo sorzo ormale di razioe; si assume, covezioalmee, egaivo e si raresea soo la liea di rierimeo lo sorzo ormale di comressioe. COPEIOE PE DIZIOE EIC IEE IPEDI DIZIOE EIC IEE: è il eomeo isico er cui u coro moodimesioale se riscaldao si alluga e se rareddao si accorcia. COEFFICIEE DI DIZIOE EIC IEE: è l allugameo che subisce ua barrea di lughezza uiaria quado la sua emeraura aumea di 1 C. Ogi maeriale ha u suo coeiciee di dilaazioe ermica lieare. + 1 > 1 EIE acciaio rame allumiio COEFF. DIZIOE EIC IEE a 0, / C a 0, / C a 0, / C ( ) α 1 allugameo o accorciameo mm α coe.dilaazioe ermica lieare lughezza iiziale emeraura iale mm C 1 emeraura iiziale C allugameo causao da u aumeo di emeraura vale: α mm mm C +

7 7 d 10 d ma oiché ale allugameo risula imedio, si uò aragoare ad u accorciameo causao da ua solleciazioe di sorzo ormale di comressioe : E α dividedo ambo i membri er E α α E ma σ E σ α E esioe ormale di comressioe dovua a essedo uguali i rimi membri, sarao uguali i secodi membri Per la veriica deve essere σ α E σam. ECIPIEI CIIDICI I PEIOE ia la ressioe iera del reciiee i / mm ; D il suo diamero iero i mm; s lo sessore del reciiee i mm; la sua lughezza i mm. e orze di ressioe hao direzioe eredicolare alla suericie su cui agiscoo e soo diree verso l esero. Cosideriamo u iao logiudiale diamerale qualsiasi; ale iao divide i due ari simmeriche il reciiee cilidrico. comoedo ue le orze secodo le direzioi vericale e orizzoale (el caso di iao diamerale orizzoale), si oa che er la simmeria della sruura, le orze orizzoali si aullao. a FOZ che ede a saccare i due semicilidri è daa dalla somma delle orze vericali che vale: Fy D a EZIOE EIEE che si ooe a ale disacco vale: ( s ) a EIOE cui è soooso il maeriale del reciiee vale: σ D D s s σ D Per la veriica deve essere: σam. s D Per il rogeo si calcola: s σam. Per ressioi o molo elevae, il valore di s calcolao risula molo iccolo e ciò uò rovocare deormazioi ella messa i oera; i mauali ecici cosigliao di aggiugere al valore s calcolao 1 3 mm er reciiei i acciaio 6 10 mm er reciiei i ghisa o brozo. F y F x F x F y s

8 8 FEIOE E Ua sruura è soggea a lessioe semlice quado i carichi eseri soo cosiuii da due coie uguali e oose di momeo giacei i u iao che coiee l asse logiudiale della sruura. PIO DI OECIZIOE: è il iao su cui giaccioo i carichi che rovocao lessioe. E DI OECIZIOE: è la rea iersezioe ra il iao di solleciazioe e il iao della sezioe della sruura. FEIOE E: se la sezioe ha u asse di simmeria e l asse di solleciazioe coicide co esso. a solleciazioe di lessioe rovoca u icurvameo della rave: le sezioi ruoao, resado iae; le ibre i are si allugao, i are si accorciao, quidi ci sarà uo srao che o subirà alcua deormazioe. O EUO: è lo srao di ibre che o subisce deormazioi. E EUO: è l asse geerao dall iersezioe dello srao euro co il iao delle sezioe; aoro a ale asse ruoa ogi sezioe e le ibre collocae su di esso o subiscoo e allugamei e accorciamei. ella lessioe rea, asse di solleciazioe e asse euro soo eredicolari e si iersecao el baricero della sezioe. asse euro sezioe sse di solleciazioe G asse euro ibra eura iao della sezioe sse di solleciazioe DEFOZIOI icurvameo della rave a sì che il suo asse e ogi sua ibra diveio archi di circoereza. Cosideriamo u rao di rave deormaa di lughezza uiaria (la lughezza si maiee uiaria solo lugo il iao euro). ia y la disaza di ua ibra geerica dalla ibra eura. + y ϕ 1 ϕ 1 + ε ϕ + y 1 + ε 1 ε ε + y ; 1+ + y ; + y 1 ε y y ε a deormazioe uiaria di allugameo o accorciameo delle varie ibre è roorzioale alla disaza y dall asse euro e alla curvaura 1/ dell asse deormao della rave (IE EIC).

9 9 EIOI a solleciazioe di lessioe rovoca i ogi sezioe esioi ormali (σ), veriicadosi ella sruura deormazioi di allugameo (razioe) e deormazioi di accorciameo (comressioe). Dee esioi soo massime egli srai iù loai dall asse euro erché soo massime le deormazioi e ulle i corrisodeza dell asse euro erché soo ulle le deormazioi. Per l equilibrio ra esioi iere e solleciazioi si ha: Fibre comresse σ max sse σ max ezioe euro σ0 a y Disribuzioe delle esioi iere σ geerica Fibre ese σ max σ max Per l equilibrio alla raslazioe: σ a 0 ma σ E ε E y sosiuedo ciò vuol dire che il momeo saico E y a 0 ; E y a 0 y a 0 Per l equilibrio alla roazioe: σ a y ma σ E y sosiuedo della sezioe riseo all asse euro vale zero, quidi l asse euro è baricerico. E y a y ; E a y ma a y J momeo d'ierzia della sezioe riseo all'asse euro E J ; 1 E J E y E y σ E J y J equazioe di deormazioe ; sosiuedo ale esressioe si ha: σ y J equazioe che esrime il valore della esioe i u uo della sezioe a disaza y dall'asse euro σ max y J max esioe massima ella sezioe ODUO DI EIEZ FEIOE: è dao dal raoro ra il momeo d ierzia della sezioe riseo all asse euro e la disaza dall asse euro delle ibre iù ese o iù comresse: diede solo dalla geomeria della sezioe ed ha le dimesioi di ua lughezza al cubo (mm 3 ). J 3 ( mm ) y Quidi σ max max y max J

10 Per le sezioi iù ricorrei si calcolao: 10 h d d D H h b b b h d π π 3 3 ( D - d ) 3 B B H - b h 6H 3 3 CCOO DI VEIFIC oo oe le dimesioi geomeriche (sezioe e lughezza) e si accera er coroo che la esioe eeiva sulla sezioe risuli ero i limii di sicurezza, issai co il carico uiario ammissibile. σmax σam. esioe massima di razioe σ' σ' am ' max. esioe massima di comressioe CCOO DI POGEO celo il maeriale della sruura si calcola l area miima ecessaria (codizioe di ecoomia) imoedo alle esioi iere il massimo valore ammissibile (codizioe di sicurezza). oo il valore di si calcolao le dimesioi della sezioe σam. Per la veriica e er il rogeo si cosidera semre la sezioe iù solleciaa, cioè la sezioe dove è massimo il momeo leee. Quidi risula ecessario cooscere quao vale la solleciazioe di momeo leee i ogi sezioe della sruura. Ciò è ossibile rareseado il diagramma della solleciazioe di momeo leee della sruura. POCEDU PE I CCOO, EZIOE PE EZIOE, DE OECIZIOE DI OEO FEEE (DIG DI OECIZIOE DE OEO FEEE). 1) i calcolao le reazioi vicolari. ) i calcola er ogi sezioe il valore del momeo leee cosiderado ue e solo le orze che dao momeo che sao a desra o a siisra della sezioe cosideraa; er le sezioi dove soo alicai momei, è ecessario calcolare il momeo leee i ua sezioe immediaamee a siisra e i ua immediaamee a desra del uo di alicazioe della coia. 3) i disega il diagramma della caraerisica della solleciazioe di momeo leee riorado su ua liea di rierimeo arallela all asse della sruura i valori dei momei calcolai; si assume, covezioalmee, osiivo e si raresea soo la liea di rierimeo il momeo leee che ede le ibre ieriori; si assume, covezioalmee, egaivo e si raresea sora la liea di rierimeo il momeo leee che comrime le ibre sueriori. GIO i ha solleciazioe di aglio quado sulla sruura soo alicae orze co direzioe eredicolare al suo asse, giacei sul iao della sezioe e assai er il suo baricero. a solleciazioe di aglio roduce uo scorrimeo (raslazioe) ra sezioi coigue. e esioi iere, dovedo oorsi a ale deormazioe, giaccioo sul iao della sezioe, quidi soo delle esioi ageziali. a solleciazioe di aglio è ormalmee accomagaa dalla lessioe.

11 11 Cosideraa ua sezioe qualsiasi di ua sruura soggea a aglio, er l equilibrio alla raslazioe vericale deve accadere che a i dimosra che le esioi iere lugo ua corda di lughezza b arallela all asse euro, hao valore * EQUZIOE DI BII' b J esioe ageziale sulle areole a della sezioe lugo la corda di lughezza b. solleciazioe di aglio ella sezioe. * momeo saico, riseo all asse euro, della are di sezioe che sa al di sora o al di soo della corda cosideraa. b larghezza della sezioe all alezza dell areola a. J momeo d ierzia della sezioe riseo all asse euro. e esioi o soo disribuie i modo uiorme sulla sezioe; la disribuzioe delle sulla sezioe è di io arabolico er sezioi reagolari e circolari. i dimosra che er EZIOE EGOE: la esioe di aglio è massima lugo l asse euro e si dimosra che vale a b G max max max 3 media sorzo di aglio ella sezioe () area della sezioe resisee (mm ) esioe media di aglio ella sezioe b EZIOE CICOE: la esioe di aglio è massima lugo l asse euro e si dimosra che vale max max max 4 3 media sorzo di aglio ella sezioe () area della sezioe resisee (mm ) esioe media di aglio ella sezioe e esioi da aglio hao geeralmee u imoraza secodaria i reseza di alre esioi, er cui o è i base ad essa che vegoo dimesioai gli orgai meccaici. E suiciee ua veriica coroado la max co la am.. σam. max am. co am. 3 ei ochi casi di sruure soggee a aglio uro (chiodaure, collegamei co liguea), si iroduce l ioesi semliicaiva di disribuzioe uiorme delle esioi da aglio sulla sezioe, ciò equivale a cosiderare la media e quidi er la VEIFIC: media am. POGEO: am.

12 1 OIOE EE EZIOI CICOI PIEE E CVE U solido è soggeo a orsioe quado su di esso soo alicai, alle esremià, momei uguali e oosi aoro al suo asse logiudiale e quidi giacei sul iao della sezioe. DEFOZIOE: le sezioi ruoao ua riseo all alra aoro all asse logiudiale dell agolo di orsioe Θ e si maegoo iae (vale solo er sezioi circolari iee e cave), mere ogi ibra si deorma secodo u rao di elica. γ B B Θ Θ agolo di orsioe esressi i radiai γ agolo di scorrimeo arco B B' γ Θ γ Θ γ arco B B' Θ EIOI: dovedo oorsi a deormazioi di scorrimeo, giaccioo sul iao della sezioe, quidi soo delle esioi ageziali e oiché le deormazioi crescoo dal cero alla erieria, le esioi sarao massima lugo il bordo della sezioe e ulle sul cero della sezioe. Dalla legge di Hooke er esioi ageziali G γ co G 5 E modulo di elasicià ageziale mm Per ua area uiaria geerica della sezioe a osa a disaza r dal cero si ha: a r G γ r γ Θ G r Θ Poiché ell esressioe di varia solo r (disaza ra area a elemeare e cero della sezioe), la esioe ageziale varia liearmee dal cero dove è ulla, io al bordo, dove è massima e ali esioi soo disose secodo direzioi agei a circoereze coceriche. Per l equilibrio alla roazioe a r ma G r Θ sosiuedo G r Θ a r ; G Θ a r ma a r J momeo d'ierzia olare della sezioe riseo al suo baricero Θ G J ; Θ G J i è viso che G r Θ Disribuzioe delle esioi max ma Θ G J G r G J max r J GOO DI OIOE max sosiuedo ; r J J EQUZIOE DI BII' co raggio della sezioe

13 13 ODUO DI EIEZ OIOE: è dao dal raoro ra il momeo d ierzia olare della sezioe riseo al suo baricero e il suo raggio: diede solo dalla geomeria della sezioe ed ha l uià di misura di ua lughezza al cubo (mm 3 ). J 3 ( mm ) Quidi max Per le sezioi circolari iee e cave si calcolao: J J D d D 4 4 ( D - d ) 4 π D π ( ) J 3 3 D J 4 4 π 3 π D - d D 16 D 16 D CCOO DI VEIFIC oo oe le dimesioi geomeriche (sezioe) e si accera er coroo che la esioe massima sulla sezioe risuli ero i limii di sicurezza, issai co il carico uiario ammissibile. σ max am. co am. am. 3 CCOO DI POGEO celo il maeriale della sruura si calcola l area miima ecessaria (codizioe di ecoomia) imoedo alle esioi iere il massimo valore ammissibile (codizioe di sicurezza). oo il valore di si calcola il diamero della sezioe am. Per la veriica e er il rogeo si cosidera semre la sezioe iù solleciaa, cioè la sezioe dove è massimo il momeo orcee. FEOOIOE EE EZIOI CICOI PIEE E CVE E la iica solleciazioe comosa cui soo sooosi gli alberi che rasmeoo oeza. e sezioi del solido soo sooose coemoraeamee a esioi σ ormali dovue alla lessioe e a esioi ageziali dovue alla orsioe. Da sudi sulla elasicià dei maeriali, si dimosra che è ossibile calcolare ua esioe ormale ideale σ id che è equivalee, cioè che ha gli sessi eei, delle due esioi agei coemoraeamee. σid σ + 3 el caso di sezioi resisei circolari iee o cave, è oo che il modulo di resiseza a orsioe è il doio del modulo di resiseza a lessioe. Da ciò è ossibile calcolare u momeo leee ideale id che ha gli sessi eei del momeo leee e del momeo orcee agei coemoraeamee id oo il momeo leee ideale, sia er la veriica che er il rogeo, si rocede esaamee come el caso della lessioe.