Insieme dei numeri razionali
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- Arnoldo Rota
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1 Isieme ei umeri razioali Q - 1 Isieme ei umeri razioali Per iicare il quoziete fra ue umeri e, si scrive ua frazioe che ha come umeratore il ivieo e per eomiatore il ivisore ella ivisioe. Qualsiasi ivisioe è quii esprimibile come frazioe. Questa scrittura o ha spesso risultato ell'isieme N ei umeri aturali (l ha solo per le frazioi appareti) e quii si opera u ampliameto ai umeri frazioari o razioali, l isieme Q. Occorre teere presete, ioltre, che a ogi umero razioale corrispooo tutte le frazioi apparteeti alla meesima classe i equivaleza. Ogi classe i equivaleza trova precisa collocazioe sulla retta ei umeri. Ua frazioe si ice frazioe ecimale quao ha per eomiatore ua poteza i 10 e è a quii geeralizzabile ella forma: co a, N e co a 0 10 Per le frazioi che o si presetao i forma ecimale, eomiate frazioi oriarie, possoo verificarsi ue casi: la frazioe oriaria è ricoucibile a ua frazioe ecimale, quao riotta ai miimi termii compare ella classe i equivaleza relativa ua frazioe ecimale: E ; ; ; E ; ; ; ; ; ; ; la frazioe oriaria o è ricoucibile a ua frazioe ecimale E ; ; ; ; ; ;... ove esseo i eomiatori tutti multipli i 3 o comparirà mai la forma ecimale. E ; ; ; ; ove esseo i eomiatori tutti multipli i 7 o comparirà mai la forma ecimale E ; ; ; ; ove esseo i eomiatori tutti multipli i 3 (6 = 2x3) o comparirà mai la forma ecimale. Quii ua frazioe è ricoucibile alla forma ecimale quao il suo eomiatore è scompoibile ei fattori 2 o 5 o etrambi. I tutti gli altri casi la frazioe o è ricoucibile a ua frazioe ecimale. Dalla scomposizioe sarà facile ricourre le frazioi alla forma ecimale, quao possibile, moltiplicao per le poteze el 2 e el 5 i moo a completare quella el 10 più prossima. Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
2 Isieme ei umeri razioali Q - 2 La ivisioe I termii ella ivisioe si chiamao rispettivamete ivieo e ivisore, il risultato si chiama quoziete. Il simbolo usato per la ivisioe è il ue puti (:) ma si usa ache la barretta (/). Quoziete esatto Quao esiste u umero aturale che moltiplicato per il ivisore a per risultato il ivieo si ha ua ivisioe co quoziete esatto. Esempio: 20 : 4 = 5 ivieo ivisore quoziete Quoziete approssimato e resto Quao la ivisioe o è possibile perché o esiste u umero aturale che moltiplicato per il ivisore ia per risultato il ivieo si ha ua ivisioe co quoziete approssimato e resto. Il quoziete approssimato è il più grae umero aturale che moltiplicato per il ivisore à come risultato u umero che o supera il ivieo. 33 : 7 = 4 resto 5 ivieo ivisore quoziete 33 : 7 = 4 perché 7 4 = 28 che è il multiplo i 7 più vicio a 28 per ifetto Il resto è la iffereza fra il ivieo e il prootto el ivisore per il quoziete. 33 : 7 = 4 co resto 5 perché 33 (7 4) = = 5 Da quato esposto si euce che:: quoziete x ivisore + resto = ivieo a : b = q co resto r perché b q + r = a Esempio 33 : 7 = 4 resto 5 ivieo : ivisore = quoziete = 33 quoziete ivisore + resto = ivieo Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
3 Isieme ei umeri razioali Q - 3 Le ue facce el moo i Q Esegueo la ivisioe tra umeratore e eomiatore i ua qualsiasi frazioe, o apparete (el qual caso si ottiee u umero aturale) e riotta ai miimi termii, si possoo otteere umeri ecimali fiiti o illimitati a secoa ei casi (i umeri ecimali furoo itrootti solo el 1585 al matematico belga Simo Stevi). Per stabilire quale tipo i umero ecimale risulta all'operazioe i ivisioe tra ue umeri è sufficiete fare, come veremo, alcue cosierazioi sul solo eomiatore ella frazioe geeratrice. Frazioi ecimali ao origie a umeri ecimali fiiti; viceversa u umero ecimale fiito ammette ua frazioe geeratrice ecimale. I questo caso, ati ue umeri qualsiasi a e b, esegueoe la ivisioe ell orie ato si avrà, opo aver applicato u certo umero i volte l algoritmo i ivisioe, resto zero, quii: q b = a esseo il resto pari a 0 Esempio: 6 : 2 = 3 resto 0, quii 3 2 = 6 Esempio: 12 : 5 = 2,4 resto 0, quii 2,4 5 = 12,0 Frazioi o ecimali ao origie a umeri ecimali illimitati perioici e le cifre che si ripetoo costituiscoo il perioo, metre le cifre comprese fra la virgola e il perioo si icoo atiperioo. Se c'è l'atiperioo il umero si ice perioico misto (el umero 1, 243, per esempio, 1 è la parte itera, 2 l atiperioo e 43 il perioo), i caso cotrario si ice perioico semplice (el umero 1, 3, per esempio, il umero 1 è la parte itera e il 3 il perioo, maca l atiperioo). Ache i questo caso si può risalire alla frazioe geeratrice co qualche semplice euzioe. I questo caso, ati ue umeri qualsiasi a e b, esegueoe la ivisioe ell orie si avrà opo aver applicato u certo umero i volte l algoritmo i ivisioe u resto che iuce la ripetizioe i ua sequeza i ua o più cifre, quii: Esempi: q. b + r = a quoziete x ivisore + resto = ivieo 1 : 3 = 0,3 resto 0,1, quii 0, ,1 = 1 17 : 5 = 3 resto 2, quii = 17 Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
4 Isieme ei umeri razioali Q - 4 Esempio 1 Sia / la frazioe geeratrice i, 3 1, moltiplicao per 10 i ue umeri eve essere 10 13,3 sottraeo / (ricora che / = 1, 3 ) e il umero ai ue termii otterremo quii a cui 10 13,3 1, per arrivare a 12 9 Esempio 2 Sia / la frazioe geeratrice i 3, 12, moltiplicao per 100 i ue umeri eve essere , 12 sottraeo / e il umero ai ue termii otterremo quii a cui per arrivare a , 12 3, Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
5 Isieme ei umeri razioali Q - 5 Esempio 3 Per i umeri ecimali perioici misti sarà sufficiete esteere il ragioameto fatto per quelli semplici opo aver moltiplicato per ua poteza i 10 il umero i moo a trasformarlo i uo semplice ( la poteza arà quii al eomiatore): Sia / la frazioe geeratrice i 312,, moltiplicao per 10 i ue umeri eve essere: 10 31, 2 e abbiamo ricootto l'aalisi al caso preceete. Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
6 FRAZIONE geeratrice Isieme ei umeri razioali Q - 6 eseguo la ivisioe Numero ecimale limitato eomiatore solo co i fattori 2 e/o 5 umeri ecimali illimitati. seza virgola (tati quati le cifre ecimali) Numero ecimale perioico semplice eomiatore seza il 2 e/o 5 Numero ecimale perioico misto eomiatore co ache il 2 e/o 5 (. seza virgola) - (o perioo*) (tati quati le cifre el perioo) (. seza virgola) - (o perioo*) (tati quati le cifre el perioo) e 0 (tati quati le cifre ell'atiperioo) FRAZIONE geeratrice eseguo la ivisioe Numero ecimale limitato 3/4 5/2 umeri ecimali illimitati perioici , ;, 10 2 semplice 2/3 16/3 misto 5/6 97/ , ;, * comprese quelle ell atiperioo e ella parte itera , ;, Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
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Def. Se f(x) è una funzione derivabile infinite volte in un intorno di un punto c, ed esiste R > 0 o R = + tale che f(x) = f (n) (c)
Apputi sul corso i Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 5: Riferimeti: R.Aams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate i fare gli esercizi el testo. Cap. 9.5 - Serie i Taylor,
α 2 fem BdA dt fem = dt quando la spira è in parte immersa e in parte no (caso 2). = B Elettrodinamica
Elettroiamica ue spire piae i filo couttore AB, AE, hao forma i settore circolare co agolo al vertice α e soo poste ua opposta all altra rispetto al vertice A (vei figura) Il vertice A giace sulla retta
Si estendono, in modo non banale, le operazioni di somma e prodotto da Q ad R; con queste operazioni R e un campo.
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