- una sorgente di campo magnetico a simmetria cilindrica in regime quasistatico sinusoidale,

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1 Icertezza ella misura el campo magetico a bassa frequeza - Valutazioe i massima ell errore ovuto alle imesioi fiite el sesore i u campo isomogeeo Daiele Areuccetti, IFAC-CNR, Fireze, icembre 018 Vi soo, com è oto, limitazioi alla possibilità i effettuare misure accurate i campi elettrici, magetici e elettromagetici i puti posti molto vicio alla sorgete. Queste limitazioi, che spesso si traucoo i ua maggiore icertezza i misura, ipeoo a vari fattori, tra cui: - le imesioi el sesore (iteeo, co questo termie, la parte sesibile ella soa i misura), poiché o è materialmete possibile avviciare oltre u certo limite il cetro elettrico el sesore alle strutture ella sorgete; - la possibilità che l accoppiameto iretto tra sesore e sorgete alteri la istribuzioe i cariche e/o correti sulle strutture i quest ultima, moificaoe le caratteristiche i emissioe; - la rapiità i variazioe ell itesità el campo i fuzioe ella istaza alla sorgete, a causa ella quale il campo può risultare otevolmete isomogeeo ella porzioe i spazio occupata al sesore. - ua sorgete i campo magetico a simmetria cilirica i regime quasistatico siusoiale, I questa ota tecica si vuole aalizzare l ultimo ei fattori appea elecati, ovvero iagare l errore i misura ovuto alle imesioi el sesore, quao questo sia immerso i u campo fortemete isomogeeo. Si cosiererà, i particolare, la misura el campo magetico i coizioi quasistatiche, faceo riferimeto al seguete sceario (veere ache la Figura 1), sufficietemete semplice a poter essere trattato aaliticamete: rappresetata geometricamete a u couttore rettilieo iefiito; - u sesore a spira sigola i forma quarata i lato L, giacete su u piao coteete ache il couttore sorgete e allieato co ue lati paralleli a esso; il cetro ella spira si trova a ua istaza al couttore stesso. Figura 1 Questo sceario per quato estremamete semplificato può forire iformazioi iteressati sull errore cercato (quato meo ai fii ella formulazioe i ua raccomaazioe i massima), ache perché è possibile sosteere che alcue elle semplificazioi preseti el moello (forma

2 quarata el sesore e isposizioe allieata co la sorgete) vao ella irezioe i forire ua stima approssimata per eccesso ell errore stesso. Per quato riguara l aameto ell itesità el campo i fuzioe ella istaza al couttore sorgete, faremo riferimeto a tre casi particolari. Caso 1 - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r allotaaosi al couttore sorgete Il primo caso corrispoe al campo i Biot-Savart e è l uico a rigore fisicamete possibile se si ha a che fare co u couttore rettilieo iefiito moopolare; altra parte, questo caso a solo o è sufficiete a esaurire l argometo, perché elle situazioi reali si ha quasi sempre a che fare co campi che ecaoo più rapiamete e quii ao luogo a u errore maggiore i quello stimabile ell ipotesi ell aameto 1/r. Caso - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r allotaaosi al couttore sorgete Nel secoo caso supporremo i aver a che fare co u campo che si atteua i moo iversamete proporzioale al quarato ella istaza allotaaosi al couttore sorgete, pur mateeo la simmetria cilirica. I realtà, o può esistere ua sorgete che si comporta esattamete i questo moo; il caso reale che più si avvicia a questa situazioe è quello i u oppio bifilare rettilieo iefiito il cui campo magetico sebbee o preseti ua simmetria cilirica si atteua apputo come 1/r, almeo a partire a ua istaza sufficietemete grae rispetto all iteristaza tra la coppia i couttori. Caso 3 - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r 3 allotaaosi al couttore sorgete Nel terzo caso supporremo ifie che il campo si atteui i moo iversamete proporzioale al cubo ella istaza allotaaosi al couttore sorgete. Ache questa situazioe o è fisicamete realizzabile co simmetria cilirica, ma è utile a rappresetare il moo co cui il campo ecae ei pressi i molte sorgeti reali (per esempio quelle cofiate i ua regioe i spazio la cui estesioe lieare massima sia piccola rispetto alla istaza a cui si valuta il campo). I tutti e tre i casi, la graezza che costituisce il risultato ella misura è la iffereza i poteziale (p) iotta ella spira, pari (i moulo) alla erivata el flusso i iuzioe magetica φ cocateato co la spira stessa. Il valore ieale V 0 i questa p corrispoe al campo i iuzioe magetica omiale B 0 al suo cetro, pesato omogeeo su tutta la spira: k B 0 Eq.1 co 1,,3 ei tre casi che abbiamo coveuto i stuiare. La p V 0 misurata i coizioi ieali vale quii: V 0 0 k 8 f kl πf B0 L πf 4L Eq. t Il valore reale V ella p iotta si ottiee calcolao il flusso φ come itegrale ell effettivo valore i campo B(,y) sull area ella spira, ovvero sceglieo come asse X la perpeicolare al couttore sorgete giacete sul piao el sesore e passate per il cetro i quest ultimo:

3 k, y B Eq.3 Quii: V t ovvero: V k y πf B, yy πf y f k Eq.4 +L L spira +L f k y 4 f kl L +L L spira Eq.5 Poiamo aesso: +L V f kl L e calcoliamo l espressioe ell errore relativo i misura ε: spira 4 Eq.6 ε V V0 V 4 f kl V0 V0 8 f kl L Eq.7 Caso 1 - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r I questo caso, all Eq.6 e Eq.7 co 1 otteiamo: +L L 1 l Eq.8 L L e quii: + L 1 l 1 1 L L L ε Eq.9 posto ρ /L si può scrivere: ρ ρ+ 1 l 1 ρ 1 ε Eq.10 Immagiiamo per esempio i avere a che fare co u sesore i circa 100 cmq i superficie, per il quale quii L 10 1 cm. Avremo il seguete aameto ell errore i fuzioe ella istaza el cetro al couttore sorgete:

4 (cm) ε per L 5 cm ε per L 5.5 cm ε per L 6 cm % N/A N/A % 140% N/A % 64% 144% 7 5% 35% 50% 8 17% 3% 30% 9 13% 16% 1% % 1% 16% 1 6.5% 8.0% 9.9% % 5.7% 6.9% % 4.% 5.1% 18.7% 3.3% 4.0% 0.%.6% 3.% Da questa tabella si vee come per limitare l errore etro il 10% occorre che il cetro el sesore si trovi a almeo 10 1 cm al couttore sorgete (ua istaza paragoabile al lato el sesore stesso). Caso - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r () I questo caso, all Eq.6 e Eq.7 co otteiamo: e quii: +L L 1 L Eq.11 L L L ε L 1 1 Eq.1 L L L posto ρ /L si può scrivere: 1 1 ε Eq.13 Co la stessa ipotesi preceete riguaro alle imesioi el sesore, avremo il seguete aameto ell errore i fuzioe ella istaza el cetro al couttore sorgete:

5 (cm) ε per L 5 cm ε per L 5.5 cm ε per L 6 cm % N/A N/A % 75% N/A % 435% 975% 7 104% 161% 77% 8 64% 90% 19% 9 45% 60% 80% 10 33% 43% 56% 1 1% 7% 33% 14 15% 18% % 16 11% 13% 16% % 10% 1% 0 6.7% 8.% 9.9% Gli errori, come si vee, soo u po maggiori rispetto al caso preceete: per restare sotto al 10% occorrerebbe porre il cetro elettrico el sesore a almeo 18 0 cm al couttore sorgete (ua istaza pari a circa ua volta e mezzo il lato el sesore stesso). Caso 3 - Iuzioe magetica che si atteua come 1/r 3 (3) I questo caso, all Eq.6 e Eq.7 co 3 otteiamo: 3 E quii: +L L 1 L 3 L L Eq.14 L L 3 4 ε Eq.15 L posto ρ /L si può scrivere: 4 L L ε Eq Co la stessa ipotesi preceete riguaro alle imesioi el sesore, avremo il seguete aameto ell errore i fuzioe ella istaza el cetro al couttore sorgete:

6 (cm) ε per L 5 cm ε per L 5.5 cm ε per L 6 cm % N/A N/A % 79719% N/A % 758% 94469% 7 317% 583% 131% 8 169% 60% 4% 9 109% 155% 4% 10 78% 106% 144% 1 46% 60% 78% 14 31% 40% 50% 16 3% 9% 35% 18 17% % 7% 0 14% 17% 1% 11% 14% 17% 4 9.3% 11% 14% 6 7.8% 9.6% 1% 8 6.7% 8.% 9.9% % 7.1% 8.5% I questo caso quii, per restare sotto al 10%, occorrerebbe porre il cetro elettrico el sesore a almeo 4 8 cm al couttore sorgete. Le coclusioi a cui siamo giuti ei tre casi resterebbero valie ache se si cosierasse u sesore a spira circolare aziché quarata; i questo caso, ifatti, ci possiamo aspettare u errore miore rispetto al caso ella spira quarata, perché le aree ella spira esposte a u valore i campo iverso al valore omiale B 0 hao u estesioe più piccola. Le stesse coclusioi resterebbero valie ache se il sesore o giacesse su u piao coteete il couttore sorgete; i questo caso, ifatti, l escursioe massima ell itesità el campo a u puto all altro el sesore sarebbe miore rispetto al caso cosierato (cioè il sesore sarebbe esposto a u campo meo isomogeeo).

7 Figura Il caso più iteressate a u puto i vista pratico è probabilmete il terzo, perché aatto a rappresetare molte situazioi reali e quii a are supporto a ua raccomaazioe operativa i massima. A esso si riferisce la Figura, ella quale l errore stimato viee riportato i fuzioe ella istaza el cetro el sesore al couttore sorgete, ormalizzata alla lughezza L el lato el sesore stesso. Come si vee, l iicazioe i massima che si può are, per coteere l errore etro il 10%, è quella i mateere il cetro el sesore a ua istaza alla sorgete pari a almeo ue volte e mezzo la sua massima imesioe lieare.