MATERIALE DIDATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II 1 CAMBIAMENTO DI VARIABILI NEGLI INTEGRALI MULTIPLI

Transcript

1 MATERIALE IATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II CAMBIAMENTO I VARIABILI NEGLI INTEGRALI MULTIPLI I uesti apputi stuieremo alcui teoremi che, i aalogia al Teorema i itegrazioe per sostituzioe per fuzioi i ua ariabile, ci permetterao il calcolo i u itegrale multiplo per mezzo i u cambiameto i ariabili. ormuleremo, iizialmete, u primo Teorema i cambiameto i ariabili per gli itegrali multipli. opo aere ericato che tale Teorema, pur utile, o cosete u uso completo elle trasformazioi piu ote passaggio a cooriate polari, sferiche e ciliriche), formuleremo u altro Teorema i cambiameto i ariabili per gli itegrali multipli, che i u certo seso estee il preceete e che, a iereza el preceete, cosete u uso completo el passaggio a cooriate polari, a cooriate sferiche, a cooriate ciliriche. I ue Teoremi sarao ati seza imostrazioe. Teorema Cambiameto i ariabili per gli itegrali multipli). Siao A u sottoisieme aperto i IR e ~' : A! IR ua fuzioe, tali che: ) ~' C A) ) ~' e iiettia 3) J ~' ~u) 6,per ogi ~u A. Se e u sottoisieme i IR limitato) e PJ-misurabile tale che A e f : ~' )! IR e ua fuzioe limitata e cotiua, si ha: ~' ) PJIR ) e f~x) ~x f~'~u)) jj ~' ~u)j ~u: ~' ) Passaggio a cooriate polari el piao approccio). Cosieriamo la trasformazioe ~' : ' ' ):IR! IR, eita a: x : ' ) : cos y : ' ) : si ~' C IR ). ~' o e iiettiaiuato tutti i puti ell'asse si trasformao i ), ue puti el tipo ) e +) si trasformao ello stesso puto e, ie, cos si ) ; cos + ) ; si + )). Ioltre J ~' ) per ogi IR.

2 Se escluiamo tutti i puti aeti e facciamo ariare i u iterallo el tipo [ +[, IR, otteiamo ua corrispoeza biuioca tra la striscia ] +[[ +[ el piao e il piao xy priato ell'origie, il cui etermiate Jacobiao e: ' ' cos ; si J ~' ) : ' ' si cos >: Per potere utilizzare il Teorema, obbiamo ulteriormete restrigere la striscia al e i reerla aperta. Se, uue, eotiamo co A la striscia ] +[] +[, allora se e u sottoisieme i IR PJ-misurabile tale che A e f : ~' )! IR e ua fuzioe limitata e cotiua, possiamo scriere fx y) xy f cos si ) : ~' ) Tale proceimeto puo essere utile uao si oglia calcolare u itegrale oppio esteso a u isieme piao che sia l'immagie i u isieme el piao aete le caratteristiche preceetemete iicate i particolare ] +[] +[). oe : x xy o x y) IR : jyj x x + y 4. Utilizzao la trasformazioe x : cos y : si otteiamo che e immagie ell'isieme [ ] [; ], sottoisieme PJmisurabile chiuso ella striscia aperta ] +[] ; [. 'altra parte, la fuzioe 4 4 fx y) x e cotiua sul compatto, uii limitata. Possiamo utilizzare il Teorema, otteeo: x xy cos [ ][; 4 4 ] 4 ; 4 cos 7 3p : 4 cos ; 4

3 MATERIALE IATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II 3 Esamiiamo i limiti imposti al Teorema. Ache sia l'immagie, meiate la trasformazioe x : cos y : si i u isieme tale che ] +[] +[ el piao, ee esistere ua semiretta uscete all'origie aete itersezioe uota co la chiusura i. I altre parole, la restrizioe ella trasformazioe ~' alla striscia aperta ] +[] +[ ha per coomiio IR priato i ua semiretta uscete all'origie. Per esempio, gia el semplice caso i cui si oglia calcolare u itegrale oppio esteso a fx y) IR : x + y g, ilteorema o puo essere utilizzato per giusticare il passaggio a cooriate polari i uato, per ogi IR, 6 ] +[] +[). I uesto seso il Teorema, pur utile, e iaeguato per u uso soisfacete el cambiameto i ariabili egli itegrali multipli. Ache el caso i altre trasformazioi molto usate el calcolo itegrale per esempio il passaggio alle cooriate sferiche o alle cooriate ciliriche) il Teorema mostra aaloghe limitazioi che lo reoo o el tutto soisfacete. Il successio Teorema, che i u certo seso estee il Teorema, permette i superare le limitazioi eieziate e cosete u uso soisfacete el cambiameto i ariabili egli itegrali multipli. Teorema Cambiameto i ariabili per gli itegrali multipli). Siao A u sottoisieme aperto i IR e ~' : A! IR ua fuzioe, tali che: ) ~' C A) Sia A aperto) IR, tale che A A e ) ~' ja e iiettia Sia C compatto) A, aete misura ulla secoo Peao-Jora e tale che 3) J ~' ~u) 6,per ogi ~u A C. Se e u sottoisieme i IR limitato) e PJ-misurabile tale che A e f : ~' )! IR e ua fuzioe limitata e cotiua, si ha: ~' ) PJIR ) e f~x) ~x f~'~u)) jj ~' ~u)j ~u: ~' ) Osserazioe: Il Teorema puo essere cosierato, i u certo seso, ua estesioe el preceete Teorema.

4 4 Ifatti, se e u omiio cioe ) per il uale e possibile utilizzare il Teorema, tale utilizzazioe puo essere ista come u caso particolare el Teorema i cui A :, C :. Il Teorema cosete i stabilire le moalita i u utilizzo completo el passaggio a cooriate polari per gli itegrali oppi, el passaggio a cooriate sferiche e el passaggio a cooriate ciliriche per gli itegrali tripli. Passaggio a cooriate polari el piao caso geerale). Cosieriamo la trasformazioe ~' : ' ' ):IR! IR, eita a: x : ' ) : cos y : ' ) : si si chiama MOULO i x y), metre si chiama ANOMALIA o LONGITU- INE) i x y)). Poiamo A IR, A ] +[] +[ ec fg[ +]. ' ' cos ; si J ~' ) : ' ' si cos : Se e u sottoisieme i IR PJ-misurabile tale che A [ +[[ +] e f : ~' )! IR ua fuzioe limitata e cotiua, si puo utilizzare il Teorema otteeo: fx y) xy f cos si ) : ~' ) Tale proceimeto puo essere utile uao si oglia calcolare u itegrale oppio esteso a u isieme el piao xy che sia l'immagie i u isieme el piao aete le caratteristiche preceetemete iicate. Poiche la restrizioe i ~' alla striscia chiusa [ +[[ +] ha come coomiio tutto IR, l'isieme o sara soggetto alle limitazioi imposte all'uso el Teorema. I tal seso, l'uso el Teorema permette u uso soisfacete el passaggio a cooriate polari. x + y x + y xy o oe : x y) IR :x + y y >. Utilizzao il passaggio a cooriate polari:

5 MATERIALE IATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II 5 x cos y si p si ricaa che e l'immagie ell'isieme : [ ] [ ] el piao. 'altra parte, la fuzioe fx y) x+y ecotiua sul compatto, uii limitata. Possiamo utilizzare il Teorema, x +y otteeo: x + y x + y xy cos +si) p [ ][ ] p cos +si) p ; : Passaggio a cooriate sferiche ello spazio. Cosieriamo la trasformazioe ~' : ' ' ' 3 ):IR 3! IR 3, eita a: 8 >< x : ' ) :si cos y : ' ) : si si >: z : ' ) : cos si chiama MOULO i x y z), si chiama LONGITUINE i x y z), si chiama COLATITUINE i x y z)). Poiamo A IR 3, A ] +[] [] [ec fg[ ] [ ]. J ~' ) : ' ' ' 3 ' ' ' 3 ' ' ' 3 si cos ; si si cos cos si si si cos cos si cos ; si ; cos si ; si 3 ; si : Se e u sottoisieme i IR 3 PJ-misurabile tale che A [ +[[ + ] [ ]ef : ~' )! IR ua fuzioe limitata e cotiua, si puo utilizzare il Teorema otteeo: fx y z) xyz ~' ) f si cos si si cos ) si : Tale proceimeto puo essere utile uao si oglia calcolare u itegrale triplo esteso a u isieme ello spazio xyz che sia l'immagie i u isieme ello spazio aete le caratteristiche preceetemete iicate.

6 6 La restrizioe i ~' alla striscia chiusa [ +[[ +][ ] ha come coomiio tutto IR 3. oe : jzj xyz o x y z) IR 3 : x + y + z x y. Utilizzao il passaggio a cooriate sferiche: 8 >< x si cos y si si >: z cos si ricaa che e l'immagie ell'isieme : [ ] [ ] [ ] ello spazio. 'altra parte, la fuzioe fx y z) jzj e cotiua sul compatto, uii limitata. Possiamo utilizzare il Teorema, otteeo: jzj xyz j cos j si [ ][ ][ ] j cos j si j cos j si cos si 4 : Passaggio a cooriate ciliriche ello spazio. Cosieriamo la trasformazioe ~' : ' ' ' 3 ):IR 3! IR 3, eita a: 8 >< x : ' z) : cos y : ' z) : si >: z : ' z) :z si chiama MOULO i x y z), si chiama ANOMALIA o LONGITUINE) i x y z), z si chiama QUOTA ix y z)). Poiamo A IR 3. ' ' ' z J ~' z) : ' ' ' cos ; si si cos : ' 3 ' 3 z ' 3 z

7 MATERIALE IATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II 7 Se e u sottoisieme i IR 3 PJ-misurabile tale che [ +[[ +] IR e f : ~' )! IR ua fuzioe limitata e cotiua, per la limitatezza i esiste u umero aturale k tale che [ +[[ +]] ; k k[. Si puo uii utilizzare il Teorema co A :] +[] +[] ; k k[ e C : fg[ +] [;k k]. Si ottiee pertato: fx y z) xyz f cos si z) z: ~' ) Tale proceimeto puo essere utile uao si oglia calcolare u itegrale triplo esteso a u isieme ello spazio xyz che sia l'immagie i u isieme ello spazio z aete le caratteristiche preceetemete iicate. La restrizioe i ~' alla striscia chiusa [ +[[ +] IR ha come coomiio tutto IR 3. x + y ) xyz oe : x y z) IR 3 : p o x + y z. Utilizzao il passaggio a cooriate ciliriche: 8 >< x cos y si >: z z si ricaa che e l'immagie ell'isieme : f z) : z g ormale rispetto al piao ) ello spazio z. 'altra parte, la fuzioe fx y z) x + y ecotiua sul compatto, uii limitata. Possiamo utilizzare il Teorema, otteeo: x + y ) xyz 4 3 z 3 z 3 ; 4 ) 5 : Oiamete, le teciche preceetemete esposte arao utilizzate uao il calcolo ell'itegrale elle uoe cooriate sia possibile per esempio per mezzo

8 8 ei Teoremi i riuzioe) e, comuue, sia coeiete rispetto al calcolo iretto ell'itegrale origiario. E' ache oio che, caso per caso, i Teoremi e potrao essere utilizzati su trasformazioi i cooriate speciche al problema a esamiare. xy + x y + xy o oe : x y) IR :xy 3 x y 4x x >. L'isieme e compatto e la fuzioe fx y) xy+ x y + cotiua. Posto u : xy e : y x, si ricaa: x u y p u e i puti i si ottegoo faceo ariare u ) el rettagolo : [ 3] [ 4]. Cio suggerisce i utilizzare la trasformazioe ~' : ' ' ):A! IR,oe A : fu ) IR : u> > g, eita a: x : ' u ) : u y : ' u ) : p u: Si erica facilmete che tale trasformazioe e i classe C A) e iiettia. Ioltre: ' ' J ~' u ) : u p u ; u p u > 8 u ) A: ' u ' p u u p u Si puo uue utilizzare il Teorema. Pertato: xy + x y + xy [ 3][ 4] 3 3 u + u + u u + u + u 4 u 4 u + u + log log 5 + arcta 3 ; 4 :