Esercitazione del 25/11/2011 Calcolo delle probabilità

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1 Esercitazioe el 25//20 Calcolo elle robabilità Covergeza i istribuzioe. Sia {X } N ua successioe i variabili aleatorie reali. Sia X u ulteriore variabile aleatoria reale. Defiizioe. Diremo che la successioe i variabili aleatorie {X } N coverge i istribuzioe alla variabile aleatoria X se er quasi ogi t R vale: lim F X (t) = F X (t) () e scriveremo X X. Si uò imostrare che all itero ella efiizioe soo cose equivaleti: ) verificare la () su u isieme i misura uo. 2) verificare la () su u isieme eso. 3) verificare la () sull isieme ei t R tali che F X è cotiua i t. Euciamo il teorema i uicità ella covergeza i istribuzioe. Theorem. Se X istribuzioe. X e X Y allora X e Y hao la stessa Euciamo ora u criterio er la covergeza i istribuzioe i v.a. iscrete. Theorem 2. Siao (X ) 0 variabili aleatorie iscrete co esità (x,r,,r ) cioè tali che P (X = x,r ) =,r er ogi e r, (co r,r = e x,r x,r2 er ogi e r r 2 ). Se lim + x,r = x 0,r e lim +,r = 0,r allora X X. E imortate otare che ell alicare il teorema 2 è ecessario verificare che r 0,r =. Il rossimo è u teorema che caratterizza la covergeza i istribuzioe i variabili aleatorie ormali. Theorem 3. Siao (X ) 0 ua successioe i v.a. ormali co istribuzioe X Norm(µ, σ 2 ) allora la successioe elle v.a. X coverge i istribuzioe se e solo se i ue segueti limiti esistoo e soo fiiti: lim µ =: µ lim σ =: σ.

2 Ioltre se sigma > 0 allora X coverge i istribuzioe a u istribuzioe ormale i meia µ e variaza σ 2 metre se σ = 0 allora X coverge i istribuzioe alla costate µ. Il teorema 3 giustifica la covezioe i iicare co Norm(µ, 0) la istribuzioe i ua v.a. costate (che vale quasi certamete µ). U ulteriore teorema er la covergeza i istribuzioe è il seguete: Theorem 4. Sia g u alicazioe cotiua a R i R. Siao (X ) 0 ua successioe i v.a. e sia X ua ulteriore variabile aleatoria. Se X X allora g(x ) g(x). Esercizio. Sia (X ) 0 ua successioe i v.a. co istribuzioe { 2 k +3 k er ogi k itero ositivo P (X = k) = (+)4 k 0 altrimeti (a) Dimostrare che l equazioe receete efiisce effettivamete ua variabile aleatoria iscreta. (b) Dimostrare che X coverge i istribuzioe a ua v.a. geometrica i arametro. Quato vale? Esercizio 2. Sia (X ) 0 ua successioe i v.a. co istribuzioe { se k = 0 oure k = P (X = k) = 2 0 altrimeti (a) La successioe (X ) 0 coverge i istribuzioe? (Giustificare la risosta.) Esercizio 3. Sia (X ) 0 ua successioe i v.a. co istribuzioe se k = 0 P (X = k) = se k = 0 altrimeti (a) La successioe (X ) 0 coverge i istribuzioe? (Giustificare la risosta.) Covergeza i robabilità. Sia {X } N ua successioe i variabili aleatorie reali. Sia X u ulteriore variabile aleatoria reale. 2

3 Defiizioe 2. Diremo che la successioe i variabili aleatorie {X } N coverge i robabilità alla variabile aleatoria X se er ogi ɛ > 0 vale: e scriveremo X X. lim P ( X X > ɛ) = 0 (2) Osserviamo iazitutto che affiché la (2) abbia seso le v.a. X e la v.a. X evoo essere efiite tutte sullo stesso sazio i robabilità. Euciamo il teorema i uicità er la covergeza i robabilità. Theorem 5. Se X X e X Y allora P (X = Y ) =. I rossimi ue teoremi mettoo i relazioe la covergeza i robabilità e quella i istribuzioe. Theorem 6. Se X Theorem 7. Sia a R. Se X X allora X X. a allora X a. Nel teorema 7 si sottoitee l ulteriore iotesi che le X siao efiite sullo stesso sazio i robabilità. Theorem 8. Se X X e Y g(x, Y ) g(x, Y ). Esemio. Se X Esemio. Se X X e Y X e allora X k Y e g : R 2 R è cotiua allora Y allora X + Y Xk. X + Y. Covergeza quasi certa. Sia {X } N ua successioe i variabili aleatorie reali. Sia X u ulteriore variabile aleatoria reale. Defiizioe 3. Diremo che la successioe i variabili aleatorie {X } N coverge quasi certamete alla variabile aleatoria X se ( ) P lim X = X = (3) e scriveremo X X. Euciamo il teorema i uicità er la covergeza quasi certa. 3

4 Theorem 9. Se X X e X Y allora P (X = Y ) =. Theorem 0. Se X X allora X X. Theorem. Se X X allora esiste ua sottosuccessioe i X che coverge quasi certamete a X. Theorem 2. Se X X e Y g(x, Y ) g(x, Y ). Esemio. Se X X, Y U utile criterio i covergeza quasi certa: Y e g : R 2 R è cotiua allora Y e Z = X Y allora Z X Y. Theorem 3. Siao (X ) N e X variabili aleatorie se er ogi ɛ > 0 vale P ( X X ɛ) < + allora X X. Nel caso i cui (X ) N sia ua successioe i v.a. teorema 3 uò essere ivertito el seguete seso: iieeti allora il Theorem 4. Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie iieeti. Se (X ) N coverge allora esiste ua costate C R tale X C e er ogi ɛ > 0 vale P ( X X ɛ) < +. Come cosegueza el teorema 4 otteiamo u corollario molto utile se si vuole imostrare che ua successioe i variabili aleatorie iieeti o corverge quasi certamete. Corollario 5. Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie iieeti tale che X C, se er qualche ɛ > 0 si ha P ( X C ɛ) = + allora X o coverge quasi certamete. Il seguete teorema afferma che le successioi i v.a. limitate e mootoe covergoo. Theorem 6. Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie. Suoiamo che X sia mootoa i cioè X X + (ris X X + ) er ogi. Se esiste ua costate C tale che er ogi vale l uguagliaza P (X C) = (ris. P (X C) = ) allora X coverge i istribuzioe, i robabilità e quasi certamete. Il receete teorema vale ache se sostituiamo la costate C co ua fissata variabile aleatoria Y (la v.a. Y o eve ieere a!). 4

5 Covergeza i L. (Covergeza i meia r-esima.) Sia X ua v.a. reale e sia, iremo che X aartiee allo sazio L se X L := E[ X ] < + (4) Sia {X } N ua successioe i variabili aleatorie reali i L e sia X u ulteriore variabile aleatoria reale i L. Defiizioe 4. Diremo che la successioe i variabili aleatorie {X } N (X L ) coverge i L alla variabile aleatoria X L se e scriveremo X L X. lim E[ X X ] = 0 (5) La (5) è equivalete a ire che X X L 0. Euciamo il teorema i uicità er la covergeza i L. Theorem 7. Siao {X } N, X e Y v.a. i L. Se X allora P (X = Y ) =. Theorem 8. Se X L X allora X X. Theorem 9. Se 2 e X L 2 X allora X L X. L X e X L Y U teorema er la covergeza i L aalogo al teorema 6 è il seguete: Theorem 20. Siao (X ) N e Y variabili aleatorie i L. Suoiamo che X sia mootoa i cioè X X + (ris X X + ) er ogi. Se vale l uguagliaza P (X Y ) = er ogi (ris. P (X Y ) = ) allora esiste ua v.a. X i L L tale che X X. Theorem 2. Siao (X ) N e Y variabili aleatorie i L. Se vale l uguagliaza P ( X Y ) = er ogi e X X allora X L X. 5

6 Esercizi. Esercizio Siao Y e (X ) ( N) u isieme i variabili aleatorie iieeti. Suoiamo che Y abbia istribuzioe beroulliaa i arametro = e le X 6 siao uiformi sull itervallo (0, 3). Siao ifie Z = mi(x, X 2,..., X ), T = mi(y, X ) e W = T T 2 T. (a) Stuiare la covergeza i istribuzioe i Z. (b) Stuiare la covergeza i robabilità quasi certa e i L i Z. (c) Calcolare F T. Qual è il suorto i T? () Quato vale la robabilità P (W Z )? (e) Stuiare la covergeza i istribuzioe, i robabilità e quasi certa i W. (f) Calcolare E[T ]. (a) Per stuiare la covergeza i istribuzioe i Z calco- Svolgimeto liamo F Z. 0 a < 0 a F X (a) = 0 a < 3 3 a F Z (t) = P (Z t) = P (mi(x, X 2,..., X ) t) = = P (mi(x, X 2,..., X ) > t) = P (X > t, X 2 > t,..., X > t) = = P (X > t) P (X 2 > t) P (X > t) = = ( F X (t)) ( F X2 (t)) ( F X (t)) = = ( F X (t)) er t (0, 3) si ha F Z (t) = ( t 3 ). Duque: 0 t < 0 F Z (t) = ( t 3 ) 0 t < t Per stuiare la covergeza i istribuzioe i Z è sufficiete stuiare il limite lim F Z. se t < 0 lim 0 = 0 se t (0, 3) lim ( t 3 ) = se t > 3 lim = lim F Z (t) = 0 t < 0 t (0, 3) t > 3 6

7 { 0 t < 0 Quii alla efiizioe segue che Z Z co F Z (t) = t 0 e uque Z 0. (b) Poiché Z coverge i istribuzioe a ua costate allora (teorema 7) coverge ache i robabilità: Z 0. Per lo stuio ella covergeza quasi certa iazitutto osserviamo che oiché coverge i robabilità a 0 allora (er i teoremi 0 e 5) se coverge i maiera quasi certa eve covergere quasi certamete a zero. Dalla seguete isuguagliaza Z + = mi{z, X + } Z segue che (Z ) N è ua successioe mootoa ioltre P (Z (0, 3)) = uque Z è ache limitata. Per il teorema 6 la successioe Z coverge i maiera quasi certa uque 0. Z L Ifie er il teorema 20 segue che Z 0. (c) Si rocee come er il quesito (a), F T (t) = P (mi(y, X ) t) = P (mi(y, X ) > t) = = P (Y > t, X > t) = P (Y > t) P (X > t) = Poiché 0 t < 0 t F X (t) = 0 t < 3 3 t = ( F Y (t)) ( F X (t)) = 0 t < 0 5 F Y (t) = 0 t < 6 t è oortuo cosierare searatamete i quattro casi: t < 0, t [0, ), t [, 3) e t 3. se t < 0 F T (t) = ( 0)( 0) = 0 se t [0, ) F T (t) = ( 5)( t ) = 5 + t se t [, 3) F T (t) = ( )( t ) = 3 se t 3 F T (t) = ( )( ) = 0 t < 0 5 F T (t) = + t t [0, ) 6 8 t Il suorto i T è l itervallo chiuso [0, ]. () Per risolvere questo quesito occorre utilizzare i risultati receeti: suorto i T uguale all itervallo [0, ] e T X. 7

8 Bisoga calcolare P (W Z ) = P (T T 2... T mi(x, X 2,..., X )). Il suorto i T uguale all itervallo [0, ] ci ice che: T T 2... T mi(t, T 2,..., T ) Metre alla efiizioe T = mi(y, X ) X si ottiee: mi(t, T 2,..., T ) mi(x, X 2,..., X ) Alicao la rorietà trasitiva alle ue receeti isequazioi si ottiee: T T 2... T mi(x, X 2,..., X ) e uque P (W Z ) = Per covicersi el risultato aea otteuto, si uò ache roceere el seguete moo, si suoe che il miimo mi(x, X 2,..., X ) sia realizzato i k cioè mi(x, X 2,..., X ) = X k quii si ha Z = X k W = T T 2... T = (T... T k T k+... T ) T k T k X k ove le ultime ue isuguagliaze seguoo al fatto che (T... T k T k+... T ) [0, ] e T k X k. (e) Il risultato el quesito (c) T [0, ] ci ice che W = T T 2... T è ua successioe mootoa e limitata, uque coverge quasi certamete, i robabilità e i istribuzioe. Per caire qual è la variabile aleatoria a cui coverge si ossoo utilizzare i risultati ei quesito (b), (c) e (). Da () e (c) saiamo che 0 W Z. Da (b) saiamo che Z coverge quasi certamete a zero. Dimostriamo i maiera rigorosa che ache W coverge a zero. Sia (Ω, A, P ) lo sazio i robabilità i cui soo efiite le variabili aleatorie, sia A A l eveto A = {ω Ω : 0 W (ω) Z (ω) e lim Z (ω) = 0} allora er le iotesi receeti si ha: P (A) = metre alla efiizioe i A e al teorema el cofroto si ha che er ogi ω A lim W (ω) = 0 Duque W 0 W 0 W 0 8

9 (f) La variabile aleatoria W è mista P (T = 0) = 5, P (T 6 = ) = 9 { t F t (0, ) T (t) = 8 0 t / [0, ] a cui si ricava E[T ] = 0 P (T = 0) + P (T = ) + 0 t 8 t = = 5 36 Esercizio 2 Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie iieeti. Suoiamo che ciascua X abbia istribuzioe beroulliaa i arametro, co α > 0. α Siao ifie S = X +X X e W = max{x, X 2,..., X }. (a) Per quali valori i α > 0 la successioe (X ) N coverge i istribuzioe. Per i valori i α i cui coverge iicare il limite. (b) Per quali valori i α > 0 la successioe (X ) N coverge i robabilità. Per i valori i α i cui coverge (i robabilità) iicare il limite. (c) Per quali valori i α > 0 la successioe (X ) N coverge quasi certamete. Per i valori i α i cui coverge (quasi certamete) iicare il limite. () Per quali valori i α > 0 la successioe (X ) N coverge i L. Per i valori i α i cui coverge (i L ) iicare il limite. (e) Stuiare la covergeza quasi certa i (W ) N. (f) Calcolare E[S ]. (Lasciare il risultato sotto forma i sommatoria (g*) Calcolare lim E[S ]. (h) Stuiare la covergeza i robabilità i (S ) N. (Utilizzare il risultato el questito (g) e la isuguagliaza i Markov: Per ogi T v.a. E[T ] x ) (a) F X (x) = lim F X (x) = o egativa e er ogi x > 0 si ha P (T > x) 0 x < 0 x [0, ) α x { 0 x < 0 x 9 X 0 α > 0

10 (b) Poiché coverge i istribuzioe a ua costate allora (teorema 7) coverge ache i robabilità. X 0 α > 0 (c) Vogliamo utilizzare il criterio i sommabilità (teorema 3 e corollario 5) Nel ostro caso C = 0. Dobbiamo stimare la serie P ( X > ɛ) se ɛ è maggiore i allora la stima è baale. Cosieriamo il caso ɛ (0, ) P ( X > ɛ) = { = se α α < se α > L 0 er ogi α > 0. U metoo uque X 0 se e solo se α >. () Poiché X é uiformemete limitata e coverge i robabilità allora (teorema 2) coverge ache i L uque X alterativo uò essere quello i alicare la efiizioe i covergeza i L (efiizioe 4) lim E[ X X ] = lim E[ X ] = lim = 0 α uque coverge (X ) N coverge a zero er ogi e er ogi α > 0. (e) (W ) N è ua successioe limitata e mootoa uque (teorema 6) coverge quasi certamete a ua variabile W. W W. Dalla efiizioe elle W{ è chiaro che W è efiita el moo seguete: Se X = er qualche N W = 0 Se X = 0 er ogi N I aggiuta alle richieste el testo è ossibile osservare che P (W = 0) = P (X = 0 ) = ( ) α P (W = 0) = 0 Duque er α (0, ] si ha P (W = ) =. (f) E[S ] = X +X X = i= i α (g) lim E[S ] = lim i= i α Se m < allora E[S ] = m i= i α + i=m+ lim E[S ] lim su E[S ] lim su α = α i m α + m (m + ) α m + m (m + ) = α ( + m) α 0

11 Duque er ogi m vale la isuguagliaza a cui segue lim su E[S ] ( + m) α lim su E[S ] 0 oiché ifie E[S ] 0 si ha lim E[S ] = 0. (h) Poiché E[S ] tee a zero, u tetativo ragioevole è quello i rovare a imostrare che il limite i robabilità i S sia rorio lo zero. Alichiamo la efiizioe i covergeza i robabilità, obbiamo mostrare che il limite lim P (S 0 > ɛ) è uguale a zero er ogi ɛ > 0. Dalla isuguagliaza i Markov abbiamo P (S > ɛ) E[S] uque ɛ lim P (S 0 > ɛ) ɛ lim su E[S ] = 0 a cui si ottiee S U metoo alterativo er risolvere il quesito (h) uò essere quello i calcolare rima la covergeza i L co =. Ifatti er = si ha lim E[ S 0 ] = lim E[ S ] = 0 uque S coverge i L e quii coverge ache i robabilità. U terzo metoo è quello i usare la legge ei grai umeri er v.a. o correlate e equilimitate i variaza. Dalla legge forte ei grai umeri segue che: a (g) saiamo che E[S ] S E[S ] 0 0 e uque S 0. Esercizio 3 Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie i.i.. co istribuzioe X Uif(, 5) e siao ioltre (Z ) N e (T ) N efiite come segue: Z := X + X X T := mi{x, X 2,..., X } (a) Calcolare F X, E[X ] e F T. (b) Stuiare la covergeza i istribuzioe, i robabilità e quasi certa i

12 Z. (c) Stuiare la covergeza i L i Z. () Stuiare la covergeza i istribuzioe e i robabilità i T. (e) Stuiare la covergeza i L i T. Svolgimeto (a) Per le variabili aleatorie uiformi su (a, b) valgoo le formule: E[X] = a + b 0 x < a x a F X (x) = a x < b b a 2 x b uque 0 x < x+ E[X ] = 2 F X (x) = x < 5 6 x 5 Calcoliamo F T utilizzao la efiizie i fuzioe i riartizioe. F TN (t) = P (T t) = P (mi{x, X 2,..., X } t) = assao al comlemetare... = P (mi{x, X 2,..., X } > t) = P (X > t, X 2 > t,..., X > t) = utilizzao l iieeza = P (X > t) P (X 2 > t) P (X > t) = ( F X (t)) ( F X2 (t)) ( F X (t)) = ( F X (t)) Duque 0 x < F T (x) = ( ) x+ ( 6 = 5 x ) x < 5 6 x 5 (b) Le (X ) N soo v.a. i.i.. co E[X ] = 2 uque er la legge forte ei grai umeri si ha: Duque Per il teorema 0 X + X X Z E[X ] = 2 2 Z. 2 2

13 Per il teorema 6 Z. 2 (c) Vogliamo mostrare che er (Z ) N valgoo le iotesi el teorema 2.. Saiamo già a (b) che Z 2 obbiamo mostrare che (Z ) N è uiformemete limitata. X ha istribuzioe uiforme su (, 5) uque vale X 5 Z = X + X X X + X X volte {}}{ Z = 5 = 5 Le coizioi el teorema 2 soo soisfatte (co Y = 5) uque Z L 2 () Comiciamo co lo stuio ella covergeza i istribuzioe. Bisoga calcolare il lim F T. 0 t < F T (t) = ( ) t+ ( 6 = 5 t ) t < 5 6 t 5 Se t < allora lim F T (t) = lim 0 = 0 Se t = allora lim F T (t) = lim = 0 Se < t < 5 allora lim F T (t) = lim t (, 5) imlica che 0 < 5 t 6 < e uque I coclusioe lim F T (t) = Se t 5 allora lim F T (t) = lim = { 0 t lim F T (t) = t > ( 5 t Duque T coverge i istribuzioe a ua variabile aleatoria T co istribuzioe: { 0 t < F T (t) = t 3 6 )

14 ovvero Per il teorema 7 allora T. T. Vogliamo ioltre mostrare che soo soisfatte le iotesi el teorema 6 e che uque vi è ache covergeza quasi certa (questa arte o è esressamete richiesta al testo). T + = mi{x, X 2,..., X, X + } = mi{t, X + } Duque T + T ioltre X imlica T er ogi. Per il teorema 6 allora T coverge quasi certamete. Per l uicità el limite si ha: T (e) Per mostrare la covergeza i L sarà sufficiete verificare le iotesi el teorema 2 er T. ) T è v.a. limitata ifatti P (T 5) =. 2) T segue al quesito (). Esercizio 4 Sia (X ) N ua successioe i variabili aleatorie iieeti. Suoiamo che ciascua X abbia istribuzioe assolutamete cotiua co esità f X ata a: { 0 x 0 f X (x) = 2 ( 2 x+) 2 x > 0 (a) Calcolare la fuzioe i riartizioe F X. (b) Stuiare la covergeza i istribuzioe e i robabilità i (X ) N. (c) Stuiare la covergeza quasi certa i (X ) N. () Quato vale E[X]? 2 Cosa si uò ire ella covergeza i meia r-esima ella successioe (X ) N se r = 2? (Sugg.: Per il calcolo i E[X] 2 uò essere utile cosierare il limite: lim x x 2 f X (x).) Svolgimeto I aula. 4