Elementi. di Calcolo Combinatorio. Paola Giacconi

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1 Elemeti di Calcolo Combiatorio di Paola Giaccoi

2 Premessa Co la Meccaica Quatistica Il cocetto di probabilità è etrato a fare parte itegrate della FISICA e quidi della ostra vita La visioe determiistica dell'uiverso è svaita per sempre! Si può solo prevedere la probabilità co la quale u determiato eveto si verificherà Il Calcolo Combiatorio è propedeutico al cocetto di probabilità

3 Calcolo Combiatorio I umeri co il puto esclamativo Defiizioe di fattoriale di u umero aturale N!=N(N-1)(N-2)(N-3)...1 0!=1 1!=1

4 Coefficiete Biomiale (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2 a b (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3a 2 b+3 a b 2... (a+b) = k=0 ( ) k a k b k ( ) = k! ( k )! k!

5 Coefficiete Biomiale Dimostriamo che: (2) = k=0 ( ) k ( ) = ( 1 ) + ( 1 ) k k k 1 ( ) = ( ) k+1 k k k+1 ( ) = ( ) k k

6 Dimostrazioe per Iduzioe Dimostriamo che vale la seguete relazioe, Formula di Gauss k=1 k = (+1) 2 10 k=1 k = =55

7 dimostrazioe La dimostrazioe per iduzioe cosiste el verificare che 1) la relazioe è valida per =1, 2) suppore che la relazioe sia valida per k che va da 1 a umeri 3) dimostrare che allora la relazioe è valida ache per k che va da 1 a (+1) quidi

8 dimostrazioe 1) puto 1 k=1 k = 1(1+1) 2 2) puto assumiamo che =1 k=1 k = (+1) 2

9 dimostrazioe 3) dimostriamo che +1 (+1)(+2) k = k=1 2 ifatti: +1 (+1) k = +(+1) k=1 2.= (+1)(+2) 2

10 Esercizi Usado il metodo di iduzioe dimostra che k=1 k 2 = (+1)(2+1) 6 progressioe geometrica: k=1 q k 1 = q 1 q 1

11 Permutazioi Semplici Permutazioi co Ripetizioi Quati soo gli aagrammi, o importa se abbiao o meo sigificato, della parola MATEMATICA o della parola FISICA? Quati umeri di 4 cifre posso scrivere usado le cifre suppoedo che essi abbiao tutte le 4 cifre differeti? Oppure quati umeri di 5 cifre suppoedo che cotegao 2 volte 1? Suppoedo che cotegao 2 volte 3? I quati modi si possoo disporre 3 persoe su 3 sedie umerate?

12 Permutazioi Semplici Pk 3 persoe su 3 poltroe umerate Ci soo 3! = 6 possibilità

13 Permutazioi Semplici 5 amici i pizzeria discutoo sulla disposizioe dei posti co cui debboo sedersi attoro al tavolo, alla fie si accordao: ogi sera cambierao posto!! Quate sere soo ecessarie per esaurire tutte le possibilità? Permutazioi Semplici: P5 = 5!= 120 Dopo circa 4 mesi hao esaurito tutte le possibilità!!

14 Permutazioi co Ripetizioi Pk;k k;k1, 1,.. E se tra i 5 amici ci fossero 2 gemelli moozigoti assolutamete idistigubili quato tempo ci vorrebbe? Permutazioi co Ripetizioi: P5;2 = 5!/2!=60 Aagrammi della parola FISICA Permutazioi co ripetizioe: 6!/2!=360 Aagrammi della parola MATEMATICA Permutazioi co ripetizioe: P10;2,2,3 =10!/(2!3!2!)=151200

15 Defiizioi Permutazioi Semplici di u isieme fiito di elemeti soo tutti i possibili raggruppameti che si possoo costruire co gli elemeti cosiderado distiti i raggruppameti formati da elemeti disposti i ordie diverso Permutazioi Semplici Permutazioi co Ripezioe di u isieme fiito di elemeti di cui k1, k2,... uguali soo tutti i possibili raggruppameti che si possoo costruire co gli elemeti cosiderado distiti i raggruppameti formati da elemeti disposti i ordie diverso diviso il umero delle permutazioi degli elemeti uguali.

16 Disposizioi Semplici D,k >k 1elemeto 2elemeto... k-1 elemeto Scelte possibili -1 Scelte possibili -(k-2) Scelte possibili K elemeto -(k-1) Scelte possibili Le Disposizioi Semplici idicao il umero di modi el quale si possoo raggruppare oggetti presi k a k rispettado l'ordie

17 Disposizioi Semplici D,k >k I quati modi diversi possoo essere disposti su di ua libreria 7 libri presi da u gruppo di 20 libri differeti? I ua corsa partoo 10 cavalli, quati soo i possibili ordii di arrivo elle prime tre postazioi? I u toreo co 16 squadre quate partite adata e ritoro si debboo disputare?

18 Disposizioi Semplici D,k Sappiamo che le partite di campioato soo 16x15, si giocao 240 partite. Come si procede per otteere questo dato? Cosideriamo u toreo a 5 squadre le possibili coppie soo: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) Cioè D5,2= 5x4 = 5 (5-2+1)= 5! / (5-2)! =5! / 3! D,k = (-1)...(-k+1) =! / (-k)!

19 Disposizioi Semplici D,k...I libri della libreria si possoo disporre i D20,7 = 20(20-1)...(20-7+1) = 20!/ (20-7)!= 20!/13!= elle corsa dei cavalli I possibili ordii soo D10,3 = 10x9x8 = 720 Nelle Disposizioi Semplici di > k elemeti presi k a k è importate l'ordie Se =k allora = D, P

20 Disposizioi co Ripetizioe D' D',k e k qualsiasi 1elemeto 2elemeto... k-1 elemeto K elemeto Scelte possibili Scelte possibili Scelte possibili Scelte possibili

21 Disposizioi co Ripetizioe D' D',k D ', k = k Le D',k idica il umero di modi el quale si possoo raggruppare oggetti presi k a k rispettado l'ordie MA ogi elemeto può essere ripetuto el gruppo k volte Quate coloe si debboo giocare al totocalcio per essere sicuri di fare 13? D ' 3,13 =3 13

22 Combiazioi Semplici C,k Nelle Composizioi Semplici di elemeti presi k a k NON cota l'ordie C, k = C,k = k Quidi! = D / K!,k D,k k! k!

23 Combiazioi Semplici C,k I quati modi possibili si possoo estrarre 5 umeri al Lotto? C90,5 I ua classe di 22 persoe si debboo eleggere 2 rappresetati i quati modi diversi si può fare la scelta? C22,2 Nel gioco del poker ogi giocatore riceve 5 carte da u mazzo di 32. I quati modi diversi si possoo ricevere le carte? C32,5

24 Combiazio co Ripetizioi C',k e k qualsiasi Le combiazioi di oggetti di classe k soo i raggruppameti che si possoo formare co gli elemeti di u isieme Ogi gruppo e cotiee k, k gli elemeti el gruppo possoo essere ripetuti Due gruppi differiscoo tra loro per almeo u elemeto C ', k = k 1 = k 1! k k! k!

25 Combiazio co Ripetizioi C',k Quale è il umero massimo di termii che può comparire i u poliomio di 3^ grado omogeeo elle variabili x y z t? C'4,3 I quati modi diversi si possoo distribuire 12 pee a sfera i 5 cassetti differeti? C'5,12,12 E se i ogi comparto deve essere presete almeo ua pea?