M. TROVATO. Fmatematica. calcolo delle probabilità. attuariale

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1 M. TROVATO 8 calcolo delle probabilità 9 Fmatematica attuariale

2 M. TROVATO 8 calcolo delle probabilità 9 Fmatematica attuariale Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

3 Progetto grafico, impagiazioe e copertia: Ufficio Produzioe della Ghisetti e Corvi Editori I diritti di traduzioe, di memorizzazioe elettroica, di riproduzioe e di adattameto ache parziale, co qualuque mezzo (microfilm, copie fotostatiche, ecc.) soo riservati per tutti i Paesi. L editore potrà cocedere a pagameto l autorizzazioe a riprodurre ua parte, comuque o superiore a u decimo del volume, facedoe richiesta all Associazioe Italiaa per i Diritti di Riproduzioe delle Opere dell igego (AIDRO), Via delle Erbe, 011 Milao, tel. e fax 0/ Gli editori rigraziao tutti coloro che hao cortesemete cocesso i diritti di riproduzioe di brai e di illustrazioi coteuti el presete volume. Si scusao per evetuali errori di citazioe od omissioi, del tutto ivolotari, e si dichiarao comuque dispoibili, i caso di getile segalazioe, ad apportare ogi correzioe ella prossima ristampa. Copyright 001 by spa Ghisetti e Corvi Editori 019 Milao, Corso Cocordia, 7 Proprietà riservata Fotocomposizioe: Mootipia Olivieri, s.r.l. Milao (MI) Stampa: Litolega, Nova Milaese (MI), 001 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

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5 1Coteuti UNITÀ CALCOLO COMBINATORIO collegameti col bieio: disposizioi, permutazioi e combiazioi semplici disposizioi, permutazioi e combiazioi co ripetizioe coefficieti biomiali sviluppo della poteza del biomio Obiettivi ricooscere la atura dei raggruppameti che si possoo fare co oggetti determiare il umero di disposizioi, permutazioi, combiazioi semplici o co ripetizioe sviluppare la poteza (co espoete itero positivo) di u biomio i base alla formula di Newto 1. 1 CHE COSA È IL CALCOLO COMBINATORIO Cosideriamo u isieme di oggetti (elemeti) che idichiamo come segue: a 1 a a 3 a 4 ::::::::: a e suppoiamo che co questi oggetti si vogliao costruire dei raggruppameti o sottoisiemi ciascuo costituito, per esempio, da tre oggetti. È chiaro che questi raggruppameti si possoo otteere i modi diversi. Così, per esempio, possiamo cosiderare i segueti: a 1 a a 3 a a 3 a 1 a 1 a 3 a 4 a 1 a 1 a Come si può vedere, i primi due differiscoo soltato per l ordie secodo il quale gli oggetti soo stati presi; il primo e il terzo differiscoo per u oggetto; el quarto l oggetto a 1 è ripetuto due volte. Queste e altre osservazioi mettoo i evideza il fatto che i raggruppameti possoo essere costruiti seguedo leggi diverse. Ebbee, il calcolo combiatorio studia e isega a cotare i diversi raggruppameti che si possoo otteere da u isieme di oggetti dati prededo ogi volta u certo umero di essi. I geerale, si fa distizioe fra: raggruppameti seza ripetizioi o semplici raggruppameti co ripetizioe. Precisamete: semplici soo quelli ella cui costruzioe o è prevista la possibilità che, all itero di uo stesso raggruppameto, uo stesso oggetto vega ripetuto; co ripetizioe soo quelli ella cui costruzioe è prevista la possibilità che, all itero di uo stesso raggruppameto, uo stesso oggetto vega ripetuto. 6 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

6 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 1. RAGGRUPPAMENTI SEMPLICI Occupiamoci itato dei raggruppameti semplici Disposizioi semplici Si ha la seguete DEFINIZIONE Dati oggetti distiti e detto k u umero itero positivo miore di, si chiamao disposizioi semplici di questi oggetti presi k per volta, cioè di classe k, tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli oggetti dati i modo che ogi raggruppameto cotega k degli oggetti dati e che due raggruppameti qualsiasi differiscao fra loro per almeo uo degli oggetti i essi coteuti oppure per l ordie i cui i k oggetti soo coteuti. Idicado co D,k il umero delle disposizioi semplici di oggetti distiti di classe k si dimostra che risulta: D,k ð 1Þð Þ::::: ð k þ 1Þ ð1þ Verifichiamo la (1) cosiderado il caso particolare di 6 oggetti distiti: a 1 a a 3 a 4 a a 6 Co essi costruiamo le disposizioi di classe 1, di classe, di classe 3 e così via fio ad arrivare a quelle di classe ð < kþ. DISPOSIZIONI DI CLASSE 1. Per quato riguarda le disposizioi di classe 1 i raggruppameti che si ottegoo cotegoo ciascu u solo elemeto. Ne segue che tali raggruppameti soo gli stessi oggetti: a 1 a a 3 a 4 a a 6 DISPOSIZIONI DI CLASSE. Per quato riguarda le disposizioi di classe i raggruppameti di due oggetti, che differiscoo per u oggetto o per l ordie degli oggetti, soo i segueti: a 1 a a a 1 a 3 a 1 a 4 a 1 a a 1 a 6 a 1 a 1 a 3 a a 3 a 3 a a 4 a a a a 6 a a 1 a 4 a a 4 a 3 a 4 a 4 a 3 a a 3 a 6 a 3 a 1 a a a a 3 a a 4 a a a 4 a 6 a 4 a 1 a 6 a a 6 a 3 a 6 a 4 a 6 a a 6 a 6 a Essi soo stati agevolmete otteuti teedo fermo ella prima coloa a 1, ella secoda a e così via aggiugedo, quidi, ogi volta, uo degli oggetti macati ed evitado le ripetizioi (per esempio a 1 a 1 ella prima coloa, a a ella secoda coloa e così via). Così procededo abbiamo otteuto u blocco rettagolare costituito da 6 30 gruppi. 7 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

7 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio DISPOSIZIONI DI CLASSE 3. Per costruire le disposizioi di classe 3 coviee procedere come segue: a. prededo a 1 come oggetto fisso al primo posto facciamo iterveire al secodo posto prima a, poi a 3 e così via completado la tera ordiatamete co ciascuo degli oggetti macati. Così procededo otteiamo il seguete blocco rettagolare costituito da 4 0 raggruppameti a 1 a a 3 a 1 a 3 a a 1 a 4 a a 1 a a a 1 a 6 a a 1 a a 4 a 1 a 3 a 4 a 1 a 4 a 3 a 1 a a 3 a 1 a 6 a 3 a 1 a a a 1 a 3 a a 1 a 4 a a 1 a a 4 a 1 a 6 a 4 a 1 a a 6 a 1 a 3 a 6 a 1 a 4 a 6 a 1 a a 6 a 1 a 6 a b. ripetedo il procedimeto teedo fermo a al primo posto otteiamo u uovo blocco rettagolare costituito da 4 0 raggruppameti a a 3 a 1 a a 4 a 1 a a a 1 a a 6 a 1 a a 1 a 3 a a 3 a 4 a a 4 a 3 a a a 3 a a 6 a 3 a a 1 a 4 a a 3 a a a 4 a a a a 4 a a 6 a 4 a a 1 a a a 3 a 6 a a 4 a 6 a a a 6 a a 6 a a a 1 a 6 c. procededo i modo aalogo a quato fatto i a. e b. e poedo, di volta i volta, al primo posto a 3, a 4, a, a 6 otteiamo ogi volta u uovo blocco costituito da 4 0 raggruppameti. Ne segue che i raggruppameti di tre oggetti che differiscoo per almeo u oggetto o per l ordie degli oggetti soo i umero uguale a Si potrebbe procedere ulteriormete aumetado successivamete a 4 e poi a il umero degli oggetti. Ma, i risultati già trovati mostrao che Ebbee, geeralizzado si può scrivere: D 6;1 6 D 6; 6 30 D 6; D 6,k 6 4 ::::::::: ð6 k þ 1Þ co k < 6 e, acora più i geerale, cosiderado, aziché 6 oggetti, > k oggetti I defiitiva: D,k ð 1Þð Þ::::::::: ð k þ 1Þ il umero delle disposizioi semplici di oggetti di classe k è uguale al prodotto di k fattori decresceti a partire da. 8 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

8 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 1 Il umero di disposizioi semplici di 10 oggetti di classe 4 è: D 10, :040 Il umero delle disposizioi semplici di 8 oggetti di classe 6 è: D 8, :160 La giustificazioe della formula (1) può essere otteuta i base al seguete schema logico: si pesa a k scatole che debboo essere riempite come richiesto dalla defiizioe. I ogi scatola va messo u solo oggetto. Allora: la prima scatola può essere riempita i modi (tati quati soo gli oggetti); posto u oggetto ella prima scatola e restao 1 e la secoda scatola può essere riempita i 1 modi; posto u oggetto ella secoda scatola e restao e la terza scatola può essere riempita i modi; e così via. I proposito si può osservare lo schema seguete: scatole 1 a a 3 a... k a modi di riempire 1... k þ 1 le scatole Come si può vedere, le modalità secodo le quali le scatole possoo essere riempite soo ð 1Þð Þ:::::: ð k þ 1Þ Riprededo l esempio 1 si ha: cioè : Per costruire materialmete le disposizioi può essere comodo procedere mediate diagrammi ad albero. Per esempio, el caso di quattro oggetti: e k 3sihaD 4, Ebbee: a 1 a a 3 a 4 per otteere le disposizioi di classe 3 che cotegoo a 1 al primo posto basta dispor- 9 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

9 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio re il seguete diagramma ad albero a 3 a 1 a a 3 a a 4 a 1 a a 4 a a 1 a 3 a a 1 a 3 a 4 a 1 a 3 a 4 a a 1 a 4 a a 4 a 3 a 1 a 4 a 3 allo stesso modo possiamo otteere le 6 disposizioi che cotegoo a al primo posto, le 6 che cotegoo a 3 al primo posto e le 6 che cotegoo a 4 al primo posto. I totale 4 disposizioi. Naturalmete, la costruzioe dei diagrammi ad albero si preseta piuttosto complicata se e k soo elevati. 1.. Permutazioi semplici Si ha la seguete DEFINIZIONE Dati oggetti distiti si chiamao permutazioi semplici degli oggetti tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli oggetti dati prededoli ogi volta tutti. Dalla defiizioe deriva che due permutazioi qualsiasi possoo differire fra loro soltato per l ordie degli oggetti. Idicado co P il umero delle permutazioi di oggetti si ha: i quato Solitamete si poe: P ð 1Þð Þ::: 3 1 P D, ð 1Þð Þ::::: 3 1! che si legge «fattoriale». Pertato, si scrive ache Quidi: P!! è il prodotto di fattori iteri decresceti a partire da. ðþ 1 Il umero delle permutazioi semplici di oggetti è: P! Il umero delle permutazioi semplici di 10 oggetti è: P 10 10! ::::: 3 1 3:68: Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

10 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 Si può scrivere:! ð 1Þ! Combiazioi semplici Si ha la seguete DEFINIZIONE Dati oggetti distiti e detto k u umero itero positivo miore di, si chiamao combiazioi semplici di questi oggetti presi k per volta, cioè di classe k, tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli oggetti dati i modo che ciascu raggruppameto cotega k degli oggetti e che due raggruppameti qualsiasi differiscao per almeo u oggetto. Dalla defiizioe si deduce che, a differeza delle disposizioi per le quali «l ordie cota», per le combiazioi «l ordie o cota»: metre per le disposizioi si cosiderao diversi due raggruppameti purché essi differiscao per almeo u oggetto o per l ordie degli oggetti per le combiazioi due raggruppameti si cosiderao diversi soltato se essi differiscoo per almeo u oggetto. Idicado co C,k il umero delle combiazioi semplici di oggetti distiti di classe k si dimostra che risulta: C,k D,k P k ð 1Þð Þ::: ð k þ 1Þ k! Ache ora, per verificare la (3), cosideriamo il caso particolare di 6 oggetti distiti: a 1 a a 3 a 4 a a 6 Possiamo ripetere u ragioameto aalogo a quello fatto per le disposizioi semplici. Ma, dato che l ordie o cota, coviee partire dai blocchi che foriscoo le disposizioi semplici ed elimiare da essi quei raggruppameti che, per l apputo, differiscoo soltato per l ordie. Procededo i questo modo osserviamo che per quato riguarda i raggruppameti di classe 1 o esiste alcu gruppo da elimiare; per quato riguarda i raggruppameti di classe occorre elimiare tutti i raggruppameti che stao al di sopra della diagoale tratteggiata sicché restao 1 raggruppameti; per quato riguarda i raggruppameti di classe 3, per ciascu blocco, occorre elimiare tutti i raggruppameti che stao al di sopra della diagoale tratteggiata, sicché, per ciascu blocco, restao 10 raggruppameti. Occorre, però, cofrotare i raggruppameti restati i quato esistoo acora raggruppameti che, apparteeti a blocchi diversi, differiscoo soltato per l ordie. Per esempio è il caso del raggruppameto a 1 a a 3 del primo blocco e del raggruppameto a a 3 a 1 del secodo blocco. Orbee, così procededo restao soltato 0 raggruppameti la qual cosa può essere cofermata costruedo direttamete i raggruppameti di 3 oggetti che differiscao per almeo u oggetto. Si trovao i raggruppameti segueti: a 1 a a 3 a 1 a 3 a 4 a 1 a 4 a 6 a a 3 a 6 a 3 a 4 a a 1 a a 4 a 1 a 3 a a 1 a a 6 a a 4 a a 3 a 4 a 6 a 1 a a a 1 a 3 a 6 a a 3 a 4 a a 4 a 6 a 3 a a 6 a 1 a a 6 a 1 a 4 a a a 3 a a a a 6 a 4 a a 6 ð3þ 11 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

11 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Potremmo procedere ulteriormete ma i risultati fio a ora trovati idicao che Geeralizzado si può scrivere: C 6,k C 6,1 6 C 6, 1 6 C 6, ::::::::: ð6 k þ 1Þ kðk 1Þ::::::::: 1 co k < 6 e, acora più i geerale, cosiderado, aziché 6 oggetti, > k oggetti C,k ð 1Þð Þ::::: ð k þ 1Þ kðk 1Þðk Þ::::: Il umero delle combiazioi semplici di 10 oggetti di classe 4 è: C 10,4 D 10,4 P Il umero delle combiazioi semplici di 8 oggetti di classe 6 è: C 8,6 D 8,6 P La giustificazioe della (3) si può otteere ragioado come segue: sia D,k il umero delle disposizioi semplici di oggetti di classe k ec,k il umero delle combiazioi semplici di oggetti di classe k. Sappiamo, per defiizioe, che metre le disposizioi soo raggruppameti che differiscoo per almeo u oggetto oppure per l ordie, le combiazioi soo raggruppameti che differiscoo soltato per u oggetto almeo. Orbee, se cosideriamo ua combiazioe e permutiamo i k oggetti i essa coteuti otteiamo k! permutazioi. Si tratta, ifatti, di raggruppameti che differiscoo soltato per l ordie e i ogi raggruppameto itervegoo tutti i k oggetti della particolare combiazioe cosiderata. Naturalmete, aaloga operazioe possiamo fare per ciascua delle altre C,k combiazioi. I totale otteiamo C,k P k raggruppameti, ciascuo di k oggetti, i quali differiscoo fra loro o per l ordie (raggruppameti otteuti dalla stessa combiazioe) o per u elemeto almeo (raggruppameti otteuti da combiazioi diverse). Ma, allora, i raggruppameti così otteuti o soo altro che le disposizioi semplici di oggetti di classe k. Cioè, si ha: D,k C,k P k da cui C,k D,k P k Osservazioi ed esempi vari I geere, dovedo calcolare il umero di raggruppameti che si possoo formare co oggetti, prededoe ogi volta k, occorre dedurre, dal particolare problema che si co- 1 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

12 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 sidera, se si tratta di disposizioi, di permutazioi o di combiazioi semplici. A tale scopo occorre fare buoa abitudie al modo di ragioare che sta alla base del calcolo combiatorio. Per raggiugere questo obiettivo itroduciamo gli esempi che seguoo. 1 Determiare i quati modi diversi 8 persoe possoo occupare i 6 posti di uo scompartimeto ferroviario di prima classe. L occupazioe può essere effettuata da gruppi che differiscoo per almeo ua persoa (ua persoa occupa u solo posto) oppure dal medesimo gruppo i modo diverso. Si ota allora che l ordie cota sicché si tratta di fare le disposizioi (semplici) di 8 elemeti di classe 6. Pertato i possibili modi i cui le 8 persoe possoo occupare i 6 posti soo i umero pari a: D 8, :160 Determiare quati umeri di tre cifre fra loro diversi, le cui cifre o si ripetoo, si possoo formare co i umeri 3, e 7. Gli elemeti soo tre fra loro distiti; si voglioo formare gruppi di tre cifre e o si voglioo ripetizioi. Si tratta allora delle permutazioi dei tre elemeti: I umeri richiesti soo: P 3 3! Determiare il umero delle quatere che si possoo formare co i 90 umeri del lotto. Osserviamo che, ai fii del gioco del lotto, dire, per esempio, quatera 8, 60, 48, 3 oppure quatera 3, 60, 8, 48 è la medesima cosa. Ciò vuol dire che l ordie o cota e che due gruppi si cosiderao diversi solamete i quato differiscao per u elemeto almeo. Allora, teedo coto del fatto che i 90 umeri del lotto costituiscoo elemeti distiti, e segue che il umero delle quatere che si possoo formare co i 90 umeri del lotto è pari al umero delle combiazioi semplici di 90 elemeti presi 4 per volta. Cioè: C 90, ::190 4 Determiare quati soo i umeri di tre cifre tutte fra loro diverse. I umeri cosiderati si ottegoo facedo le disposizioi semplici degli elemeti: ð1þ a tre a tre. Ciò che iteressa è che o vi siao cifre ripetute. Per il resto i umeri possoo differire per u elemeto almeo o semplicemete per l ordie. Così, per esempio, cosideriamo sia il gruppo 37, sia il gruppo 73 e sia il gruppo 73. Si ha pertato D 10, Occorre, però, otare che fra i umeri così otteuti vi soo ache quelli la cui prima cifra è zero, per esempio 09. Tali umeri vao ovviamete scartati i quato si tratta di umeri di due e o di tre cifre. Ora, per otteere i umeri aveti zero come prima cifra possiamo supporre di togliere zero dall isieme (1) sicché rimagoo solo 9 umeri. Di questi 9 elemeti facciamo le disposizioi a due a due: D 9, Se pesiamo adesso di ateporre zero a ciascuo dei 7 umeri di due cifre diverse otteute troviamo tutti i umeri che comiciao per zero i quali soo peraltro acora 7. La coclusioe è 13 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

13 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio duque che i umeri di tre cifre tutte diverse soo: D 10,3 D 9, È opportuo osservare che o è possibile scartare zero a priori. Se così si facesse si elimierebbero i umeri come 10, 10, ecc. Determiare quate parole si possoo formare, a prescidere dal sigificato, co le quattro lettere A, I, V, N prededole ogi volta tutte. Poiché ogi volta le quattro lettere vao prese tutte ed esse soo tutte distite, a parte il sigificato, si possoo formare tate parole quate soo le permutazioi di 4 elemeti: P Fra tali parole, per esempio, avremo le parole IVAN e NAVI. 6 I uo Stato i cui si verificao cotiue crisi di govero esistoo 0 partiti. Poiché le crisi soo realmete all ordie del gioro si decide, ode evitare iutili cosultazioi e per evitare il gioco politico delle cotrattazioi, di procedere mediate estrazioe a sorte dei 1 miistri previsti dalla Costituzioe fra i 0 leaders, teuto coto del fatto che ogi miistro o può reggere più di u miistero. Determiare quate soo le possibili dozzie di miistri estraibili a sorte». Ogi dozzia o può presetare ripetizioi e, ioltre, posto i corrispodeza l isieme dei 1 miistri co l isieme dei 1 miisteri, l ordie o cota (dire miistri A, B,... è come dire miistri B, A,...). Le possibili dozzie di miistri soo allora i umero pari alle combiazioi semplici di 0 elemeti di classe 1: C 0, ::: 9 1! 1:970 7 Sapedo che a u toreo calcistico partecipao 0 squadre, determiare quati soo gli icotri che verrao disputati fra primo e secodo giroe. I questo caso occorre cosiderare tutti i gruppi di per volta teedo presete che ache l ordie cota. Ifatti occorre predere, per esempio, i cosiderazioe sia l icotro A/B (primo giroe) sia l icotro B/A (secodo giroe). Si tratta duque delle disposizioi semplici (le ripetizioi o possoo cotare!) di 0 elemeti di classe e si ha: D 0, Cosiderado i 90 umeri del lotto calcolare quate soo le ciquie che, i ua data estrazioe, realizzao u determiato ambo. Cosideriamo, per esempio, l ambo 8, 1. Se immagiiamo di togliere dall ura i cui soo coteuti i 90 umeri il umero 8 e il umero 1 e restao 88. Co questi 88 umeri si possoo fare tere i umero pari a (cfr. precedimeto di cui all esempio 3): D 88, :736 Se ora pesiamo di aggiugere alle tere otteute l ambo 8, 1 otteiamo tutte le ciquie che cotegoo l ambo voluto. I defiitiva, co riferimeto a ua data estrazioe, il umero delle ciquie coteeti u determiato ambo è pari a Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

14 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità RAGGRUPPAMENTI CON RIPETIZIONE Occupiamoci ora dei raggruppameti co ripetizioe Disposizioi co ripetizioe Si ha la seguete DEFINIZIONE Dati oggetti distiti, si dicoo disposizioi co ripetizioe di classe k tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli oggetti dati, i ciascuo dei quali lo stesso oggetto può essere ripetuto fio a k volte i modo che due raggruppameti differiscao per u elemeto almeo oppure per l ordie oppure per la ripetizioe. Idicado co D ðr Þ,k il umero delle disposizioi di oggetti distiti di classe k, co ripetizioe, si dimostra che risulta: D ðr Þ,k k ð4þ La verifica della (4) può essere fatta riprededo i cosiderazioe quato già detto a proposito della costruzioe delle disposizioi semplici di 6 oggetti. Ifatti, basta osservare quato segue: costruedo le disposizioi semplici di oggetti di classe k abbiamo cosiderato come raggruppameti diversi quelli che differiscoo per u elemeto almeo oppure per l ordie. Ora, se alle disposizioi semplici aggiugiamo quei raggruppameti che derivao dalla ripetizioe di uo stesso oggetto otteiamo le disposizioi co ripetizioe. Pertato: a. per k 1 i raggruppameti soo, ovviamete, acora 6 (gli oggetti stessi); b. per k ai raggruppameti idicati ell apposito blocco di 1..1 occorre aggiugere i segueti a 1 a 1 a a a 3 a 3 a 4 a 4 a a a 6 a 6 c. per k 3 occorre cosiderare separatamete ciascuo dei 6 blocchi otteuti di cui abbiamo parlato i I particolare, per il primo blocco occorre aggiugere i segueti raggruppameti a 1 a 1 a 1 e a 1 a 1 a a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 4 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 6 Ma, poiché cota ache l ordie, occorre aggiugere ache i raggruppameti che si ottegoo permutado gli oggetti dei precedeti, cioè i segueti raggruppameti: a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 4 a 1 a 4 a 1 a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 6 a 1 a 6 a 1 a 1 I totale, ai raggruppameti del primo blocco occorre aggiugere 16 uovi. Il ragioameto fatto per il primo blocco deve essere ripetuto per ciascuo dei restati e, quidi, el complesso occorre aggiugere uovi raggruppameti. 1 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

15 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Stado a quato sopra detto osserviamo che e così via. I geerale, si ha: D ðr Þ 6,1 6 D ðr Þ 6, 30 þ D ðr Þ 3 6,3 10 þ D ðr Þ,k k ed è molto importate otare che il umero k può essere qualuque rispetto a, purché itero positivo, e quidi ache k >. La possibilità della ripetizioe rede ifatti ioperate l ovvia codizioe k < euciata a suo tempo per il caso delle disposizioi semplici. La giustificazioe della (4) si può ache otteere i base allo schema logico delle scatole: teedo presete che ogi oggetto può essere ripetuto e segue che ogi scatola può essere riempita i modi diversi. Pertato, lo schema si realizza come segue: scatole 1 a a 3 a... k a modi di riempire... le scatole Come si può vedere, i modi secodo i quali le scatole possoo essere riempiti soo: :::::::: k 1 Il umero delle disposizioi co ripetizioe di 10 oggetti di classe 4 è: D ðrþ 10, :000 Il umero delle disposizioi co ripetizioe di 8 oggetti di classe 6 è: D ðrþ 8, :144 3 Determiare il umero di coloe diverse che si possoo giocare al Totocalcio. I questo caso gli oggetti distiti soo tre. Si tratta dei segi X, 1, co cui si eucia il proostico. Ioltre ua coloa chiede 13 risposte. Orbee, poiché è possibile la ripetizioe di uo stesso sego ella medesima coloa per 13 volte e coloe diverse si cosiderao ache quelle che differiscoo solamete per l ordie, si tratta di calcolare il umero delle disposizioi co ripetizioe di 3 oggetti di classe 13. Pertato: D ðrþ 3, :94:33 è il umero delle coloe diverse che si possoo giocare al Totocalcio. 16 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

16 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 4 Determiare quati soo i diversi possibili risultati otteibili laciado ua moeta per 10 o 0 volte. I questo caso possiamo pesare ai due oggetti «testa» e «croce». Poiché l ordie cota e soo possibili le ripetizioi si tratta di calcolare il umero delle disposizioi di oggetti di classe 10 oppure di classe 0. Quidi, otteiamo, rispettivamete: D ðrþ, :04 D ðrþ,0 0 1:048: Permutazioi co ripetizioe Nel caso i cui k e degli oggetti dati soo idetici ð Þ si parla di permutazioi co ripetizioe. I tal caso si ha: P ðþ!! Più i geerale, se degli oggetti dati soo idetici fra loro, fra loro, fra loro,..., risulta: co þ þ þ :::. Omettiamo la dimostrazioe. P ð,,,::::þ!!!! ::: ðþ 1 Il umero delle permutazioi di 10 oggetti di cui 4 fra loro idetici e 3 acora fra loro idetici è uguale a: P ð4,3þ 10 10! 4! 3! :00 Determiare il umero degli aagrammi che, a prescidere dal sigificato, si possoo formare co le parole segueti: FINALE, TORINO, GEROGLIFICO, MINIMIZZARE. Si tratta i ogi caso di fare le permutazioi degli elemeti (lettere dell alfabeto) che compogoo le parole date. Precisamete: a. per la parola FINALE si tratta delle permutazioi di 6 elemeti distiti le quali soo i umero pari a P 6 6! 70 b. per la parola TORINO si tratta delle permutazioi di 6 elemeti di cui due idetici: lettera O; risulta quidi P ðþ 6 6!! 360 c. per la parola GEROGLIFICO, gli elemeti soo 11 di cui due G, due O e due I; risulta allora P ð,,þ 11 11!!!! 39:916:800 4:989:600 8 d. per la parola MINIMIZZARE gli elemeti soo 11 di cui due M, tre I e due Z; si ha quidi P ð,3,þ 11 11!! 3!! 1:663:00 17 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

17 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Combiazioi co ripetizioe Si ha la seguete DEFINIZIONE Dati oggetti distiti, si chiamao combiazioi co ripetizioe degli oggetti di classe k (ache maggiore di ) tutti i raggruppameti di k oggetti ciascuo ei quali u oggetto può essere ripetuto fio a k volte i modo che due raggruppameti differiscao fra loro per u elemeto almeo oppure per la ripetizioe. Dalla defiizioe risulta chiaro che, per esempio, possoo predersi i raggruppameti: a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a a a ma o si può predere il raggruppameto a 1 a a 1 dato che questo differisce dal secodo soltato per l ordie. Questo raggruppameto, ivece, coterebbe ai fii della determiazioe delle disposizioi co ripetizioe. Idicado co C ðr Þ,k il umero delle combiazioi di oggetti distiti di classe k co ripetizioe si dimostra (omettiamo la dimostrazioe) che risulta: Vale la relazioe seguete: C ðr Þ ð þ 1Þð þ Þ::: ð þ k 1Þ,k k! C ðr Þ,k C þk 1,k ð6þ 1 Le combiazioi co ripetizioe di 6 elemeti di classe soo i umero pari a: C ðrþ 6, 6 7 1! Determiare il umero delle diverse schedie di due coloe che si possoo giocare al Totocalcio. Abbiamo già visto (esempio 3 di 1.3.1) che le possibili schedie di ua coloa soo i umero pari a D ðrþ 3;13 1:94:33. Osserviamo ora che le schedie di due coloe si ottegoo combiado le schedie di ua coloa a a (aturalmete l ordie o cota: realizzare 13 sulla prima coloa e 1 sulla secoda, per esempio, comporta gli stessi risultati che ivertedo le due coloe). Poiché si possoo fare ache ripetizioi si tratta di fare le combiazioi co ripetizioe delle D ðrþ 3,13 a a. Si ha pertato: C ðrþ 3 13, C 3 13 þ 1, C 3 13 þ1, ð3 13 þ 1Þ3 13 1:70:933:711:36 Se, ivece, si pesa di evitare le ripetizioi si trova: o, più semplicemete C 13, 3 13 ð3 13 1Þ C ðrþ ðrþ D 3 13, 3,13 1:70:93:117:003 dato che le ripetizioi soo i umero pari alle schedie di ua coloa. 18 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

18 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità COEFFICIENTI BINOMIALI Per idicare le combiazioi semplici di oggetti di classe k si usa ache il simbolo: che si legge «su k» k Quidi si ha: ð 1Þð Þ::: ð k þ 1Þ C,k k k! I umeri iteri che si ottegoo da «su k» per k 1,,..., si chiamao coefficieti biomiali. I particolare, si ha: 1 1 Si dà ache u seso al caso i cui k 0 coveedo che sia: 1 0 I coefficieti biomiali godoo di alcue particolari proprietà o leggi. LEGGE DEI TRE FATTORIALI. Si ha: k! k! ð kþ! Per dimostrare la (7) prediamo le mosse da: ð 1Þð Þ::: ð k þ 1Þ : k k! Moltiplicado umeratore e deomiatore per ð kþ! si ottiee: ð 1Þð Þ::: ð k þ 1Þð kþ! k k! ð kþ! cioè ð 1Þð Þ::: ð k þ 1Þð kþð k 1Þ::: 1 k k! ð kþ! ossia la (7). Dalla (7), posto k, si ha: e, poiché risulta!! 0! 1, si deduce che deve essere 0! 1. LEGGE DELLE CLASSI COMPLEMENTARI. Si ha: k k ð7þ ð8þ 19 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

19 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Per la dimostrazioe, partedo dalla legge dei tre fattoriali, si ha:! k ð kþ! ð þ kþ!! ð kþ! k! k I particolare, dalla (8), poedo k si trova: 0 Ne segue che, essedo: 1 deve essere, come già ammesso per covezioe 1 0 La legge delle classi complemetari agevola otevolmete il calcolo dei coefficieti biomiali quado la classe k supera la metà dell ordie :: ! I base alla legge delle classi complemetari, ella sequeza di umeri: ::::: i termii estremi e quelli equidistati dagli estremi risultao uguali fra loro. Per si ha: 0 e LEGGE DI STIEFEL. Si ha: k 1 k þ 1 k 1 Tralasciado la dimostrazioe ci limitiamo a cosiderare l esempio che segue: þ 3 6 Primo e secodo membro assumoo lo stesso valore 3. 0 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

20 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 LEGGE DI RICORRENZA. Si ha: k þ 1 k k k þ 1 Tralasciado la dimostrazioe ci limitiamo a cosiderare l esempio che segue: Primo e secodo membro assumoo lo stesso valore SVILUPPO DELLA POTENZA DEL BINOMIO Come oto, si ha: ða þ bþ 1 a þ b ða þ bþ ðaþbþða þ bþ a þ ab þ b ða þ bþ 3 ðaþbþ ða þ bþ a 3 þ 3a b þ 3ab þ b 3 ða þ bþ 4 ða þ bþ 3 ða þ bþ a 4 þ 4a 3 b þ 6a b þ 4ab 3 þ b 4 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: e si può scrivere rispettivamete come segue 1 a þ 0 a þ b ab þ 1 b a 3 þ a b þ ab þ b a 4 þ a 3 bþ a b þ ab 3 þ b I geerale, si ha la seguete formula di Newto: ða þ bþ a þ a 1 b þ 1 þ ab 1 þ b 1 I defiitiva: a b þ ::: þ a k b k þ :::þ k sviluppado la poteza ða þ bþ, essedo itero positivo, si ottiee u poliomio omogeeo e completo di grado. Esso ha þ 1 termii i a e b ordiati secodo le poteze decresceti di a e cresceti di b i cui coefficieti umerici soo i ordie i coefficieti biomiali :::::: 1 1 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

21 Modulo 8 Uità 1 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio essedo 0 1 Il termie geerale del poliomio è: a k b k k 1 Osservazioe. Il termie geerale sopra idicato è quello che occupa il posto k þ 1. Il termie che occupa il k-esimo posto è: a kþ1 b k 1 k 1 1 Per ða þ bþ 4 calcoliamo, seza eseguire lo sviluppo per esteso, il quito termie, il termie cetrale e il termie che cotiee b 16. Si ha: a. per il quito termie, posto k : 4 4 a 4 þ1 b 1 4 a 0 b 4 4 b. per il termie cetrale, dato che lo sviluppo di ða þ bþ 4, ha termii, occorre porre k 13. Ifatti, il termie cetrale è proprio il tredicesimo. Si ha, quidi: 4 a 4 13þ1 b a 1 b c. il termie che cotiee b 16 è: 4 a 8 b a 8 b 16 8 Per ða þ bþ 6 si ha: ða þ bþ 6 6 a 6 6 þ a 6 b þ a 4 b 6 þ a 3 b 3 6 þ a b 4 þ þ ab 6 þ b 6 a 6 þ 6a b þ 1a 4 b þ 0a 3 b 3 þ 1a b 4 þ 6ab þ b Per ða bþ si ha: ða bþ a þ a 4 ð bþþ a 3 ð bþ þ a ð bþ 3 þ þ að bþ 4 þ ð bþ a a 4 b þ 10a 3 b 10a b 3 þ ab 4 b 4 4 ða 3 3b Þ ða 3 Þ þ ða 3 Þ 4 ð 3b Þþ ða 3 Þ 3 ð 3b Þ þ 1 þ ða 3 Þ ð 3b Þ 3 þ ða 3 Þð 3b Þ 4 þ ð 3b Þ 3 4 3a 1 40a 1 b þ 70a 9 b 4 1:080a 6 b 6 þ 810a 3 b 8 43b a 1 1 a þ a 3 3a þ 1 4 4a a 1 a þ a 1 3a 1 þ 1 4a a Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

22 Calcolo delle probabilità Calcolo combiatorio Modulo 8 Uità 1 Se hai dubbi o trovi qualche difficoltà rivedi il paragrafo idicato ella terza coloa test par. 1 Chiarisci la differeza fra raggruppameti semplici e raggruppameti co ripetizioe. Dati 1 oggetti distiti se e fao le disposizioi di classe 3. Quate soo tali disposizioi? Per che cosa differiscoo due disposizioi? 3 Quati raggruppameti di 7 oggetti si possoo fare co 7 oggetti distiti? Come si chiamao questi raggruppameti? Per che cosa differiscoo due di essi? 4 Dispoedo di 1 oggetti distiti quate combiazioi si possoo fare prededoe ogi volta 4? Per che cosa differiscoo due combiazioi? I che cosa differiscoo le combiazioi dalle disposizioi di 7 oggetti distiti di classe 3? 6 D,k è defiito per > k metre D ðr Þ 7 Idica quale fra le segueti relazioi è errata: 1! ! ! 7 7! 13! 8 Idica quale fra le segueti relazioi è errata: þ ,k TEST DIAUTOVERIFICA 9 Idica qual è il quarto termie dello sviluppo di 3 8 a 4 b a b 3 16 a 3 b è defiito ache per < k a b 7 : Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

23 SCHEDA STORICA QUALCHE NOTIZIA SUL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ I fodameti del calcolo delle probabilità risalgoo al 160 circa: suggerito dal gioco delle carte, dei dadi e del lacio di ua moeta ci si poeva il quesito di calcolare la probabilità di otteere u certo esito o di vicere ua partita. La defiizioe di probabilità, già chiara i uo scritto di Galileo ( ) dal titolo «Sulle scoperte dei dadi» veiva ripresa i tempi diversi da matematici e filosofi fra cui Pascal ( ). Il primo trattato di calcolo delle probabilità è dovuto, però, a G. Beroulli ( ) co l opera «Ars cojectadi», cioè l arte del cogetturare. Fra l altro, a Beroulli va il merito di avere itravisto la possibilità di estedere il cocetto di probabilità allo studio di feomei di tipo sociale e biologico (per esempio, determiazioe della probabilità di vita o di morte di ua persoa avete ua certa età). La prima sistemazioe classica, avete carattere geerale, del calcolo delle probabilità è dovuta a Laplace ella sua «Théorie aaylitique des probabilités» (181). Afferma Laplace che «... i fodo, la teoria della probabilità è soltato seso comue espresso i umeri». L evoluzioe della teoria del calcolo delle probabilità è legata i particolare ai segueti omi:. RICHARD VON MISES che, el 1919, accato alla defiizioe classica proposta da Laplace, collocava la sua defiizioe frequetista.. F.P. RAMSEY e BRUNO DE FINETTI che, el 1931, sosteevao, idipedetemete l uo dall altro, la ecessità di itrodurre ua defiizioe di probabilità i seso soggettivo.. A.N. KOLMOGOROV che, el 1933, formulava ua trattazioe assiomatica del calcolo delle probabilità. Cosegueza dell evoluzioe alla quale abbiamo appea acceato è il fatto che oggi gioro otevoli applicazioi di calcolo delle probabilità si hao, o si redoo possibili, i qualsiasi campo della ricerca. 4 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

24 UNITÀ EVENTI, FREQUENZA, PROBABILITÀ Coteuti collegameti co il bieio: eveti e relative operazioi frequeza teoria classica teoria frequetista: legge empirica del caso teoria soggettivista approccio alla teoria assiomatica Obiettivi idividuare la atura di u eveto; attivare le pricipali operazioi fra eveti; cooscere le proprietà fodametali di cui godoo tali operazioi valutare le probabilità di u eveto i base alla teoria classica cooscere la legge empirica del caso oché le implicazioi di carattere applicativo a essa coesse valutare la probabilità di u eveto i base alla teoria frequetista cooscere il sigificato di probabilità i base alla teoria soggettivista capire le esigeze che portao alla formalizzazioe di ua teoria assiomatica della probabilità. 1 EVENTI Diamo la seguete DEFINIZIONE Si dice eveto qualsiasi etità logica per la quale ci si chiede se è «vera» oppure «falsa». I geerale, per idicare u eveto si usa il simbolo E. E: l aereo è arrivato putualmete Ebbee, cofrotado l orario effettivo di arrivo co l orario previsto di arrivo si può stabilire se l eveto cosiderato è vero oppure falso. Come si può otare, l euciazioe di u eveto si traduce ell euciazioe di ua proposizioe logica. Ne segue che, aalogamete a quato visto el bieio per le proposizioi logiche, ache per gli eveti si costruisce u apposita algebra. IMPLICAZIONE. Diamo la seguete DEFINIZIONE Dati due eveti E 1 e E si dice che E 1 implica E se dalla verità di E 1 deriva la verità di E. Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

25 Modulo 8 Uità Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità Per idicare che E 1 implica E si scrive E 1! E e si legge «E 1 implica E». Siao: E 1 il puto che si realizza laciado u dado è 3 E : il puto che si realizza laciado u dado è dispari I questo caso E 1! E i quato se è vero E 1 è vero ache E : se il puto che si realizza è 3 esso è ache dispari. Da otare che, se E 1! E, dalla verità di E 1 deriva la verità di E. Se, però, E 1 è falso ulla si può dire a priori sulla verità o falsità di E. Riprededo l esempio precedete osserviamo che se o si realizza 3 l eveto E 1 è falso. I questo caso l eveto E è falso se il puto che si realizza è, 4 o 6 metre è vero se il puto che si realizza è 1 oppure. I particolare: se E 1! E e E! E 1 i due eveti soo uguali. I questo caso l apparete differeza fra E 1 e E può derivare dal fatto che le corrispodeti proposizioi soo formulate i modo diverso. Gli eveti: soo uguali: essi si implicao vicedevolmete. E 1 : o tutti i preseti i aula soo uomii E : fra i preseti i aula c è qualche doa INTERSEZIONE O PRODOTTO LOGICO. Si dice itersezioe o prodotto logico fra due eveti quell eveto che è vero se etrambi gli eveti soo veri ed è falso se almeo uo di essi è falso. Per idicare l itersezioe fra due eveti E 1 e E si scrive E 1 \ E e si legge «E 1 itersezioe E». Se: si ha E 1 : il treo i arrivo è i orario E : il treo i arrivo proviee da Parigi E 1 \ E : il treo i arrivo è i orario e proviee da Parigi L eveto cosiderato è falso se il treo i arrivo o è i orario ma viee da Parigi, oppure arriva i orario ma o viee da Parigi oppure o è i orario e o arriva da Parigi. L itersezioe può essere estesa a tre (o più eveti). I geerale, si scrive: E 1 \ E \ E 3 \ :::::::::: \ E Questo eveto è vero se tutti gli eveti soo veri ed è falso se almeo uo di essi è falso. 6 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

26 Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità Modulo 8 Uità UNIONE O SOMMA LOGICA. Si dice uioe o somma logica fra due eveti quell eveto che è vero se almeo uo dei due eveti è vero ed è falso se etrambi gli eveti soo falsi. Per idicare l uioe fra due eveti E 1 e E si scrive E 1 [ E e si legge «E 1 uioe E». Se: E 1 : el lacio di u dado esce il umero 3 E : el lacio di u dado esce il umero si ha E 1 [ E : el lacio di u dado esce il umero 3 oppure il umero L eveto cosiderato è falso se el lacio del dado o esce il umero 3 e eppure il umero. L uioe può essere estesa al caso di tre (o più) eveti. I geerale, si scrive: E 1 [ E [ E 3 [ :::::::: [ E Questo eveto è vero se almeo uo degli eveti è vero ed è falso se tutti gli eveti soo falsi. NEGAZIONE. Dato u eveto E se e può fare la egazioe: questa viee idicata col simbolo E che si legge «o E». Se: E: el lacio di u dado esce il umero 4 si ha E: el lacio di u dado o esce il umero 4 Quidi. se E è vero E è falso; se E è falso E è vero Alcue proprietà fodametali delle operazioi sugli eveti Per le operazioi sugli eveti valgoo le segueti proprietà fodametali (aaloghe a quelle viste el bieio per le operazioi fra proposizioi logiche). PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA. Si ha: E \ E E E [ E E cioè: u eveto o muta per itersezioe o uioe co se stesso. PROPRIETÀ COMMUTATIVA. Si ha: E 1 \ E E \ E 1 E 1 [ E E [ E 1 Si tratta, rispettivamete, della proprietà commutativa dell itersezioe e dell uioe. PROPRIETÀ DELLA COMPLEMENTARIETÀ. Si ha ðe ÞE cioè: la egazioe della egazioe di u eveto è l eveto stesso. 7 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

27 Modulo 8 Uità Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità PROPRIETÀ ASSOCIATIVA. Si ha: E 1 \ðe \ E 3 ÞðE 1 \ E Þ\E 3 E 1 [ðe [ E 3 ÞðE 1 [ E Þ[E 3 Si tratta, rispettivamete, della proprietà associativa dell itersezioe e dell uioe per le quali si scrive: E 1 \ðe \ E 3 ÞðE 1 \ E Þ\E 3 E 1 \ E \ E 3 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA. Si ha: E 1 [ðe [ E 3 ÞðE 1 [ E Þ[E 3 E 1 [ E [ E 3 E 1 \ðe [ E 3 ÞðE 1 \ E Þ[ðE 1 \ E 3 Þ E 1 [ðe \ E 3 ÞðE 1 [ E Þ\ðE 1 [ E 3 Þ Si tratta, rispettivamete, della proprietà distributiva dell itersezioe rispetto all uioe e dell uioe rispetto all itersezioe. PROOPRIETÀ DI DE MORGAN. Si ha: E 1 \ E E 1 [ E E 1 [ E E 1 \ E cioè la egazioe dell itersezioe è uguale all uioe delle egazioi; la egazioe dell uioe è uguale all itersezioe delle egazioi..1. Casualità di u eveto È evidete che esistoo eveti certi ed eveti impossibili. Precisamete: u eveto è certo se esso si verifica sicuramete. Per esempio, l eveto: E: laciado u dado si preseta u umero compreso fra 1 e 6 è certo; u eveto è impossibile se o può verificarsi. Per esempio, l eveto E: laciado u dado si preseta il umero 7 è impossibile. Occorre, però, aggiugere subito che, ella realtà, oltre agli eveti certi e agli eveti impossibili esistoo gli eveti casuali o aleatori. Precisamete: eveto casuale o aleatorio è qualsiasi eveto per il quale o si può dire se è vero oppure falso. Per esempio, l eveto: E: laciado u dado si preseta il umero è casuale: esso può verificarsi ma o è certo che si verifichi. 8 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

28 Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità Modulo 8 Uità La casualità di u eveto può dipedere da diverse circostaze. I geere, essa è legata alle iadeguate iformazioi che si hao sull eveto ed è proprio sulla base della quatità e della qualità delle iformazioi che quell eveto viee cosiderato poco probabile o molto probabile. Quado si parla di eveti casuali si pesa, di solito, a eveti futuri i quato è tipicamete per tali eveti che o si sa dire se soo veri oppure falsi. Ma, il fatto che l eveto sia futuro o è codizioe ecessaria perché esso sia casuale. Eveto casuale può ache essere u eveto passato: ciò che iteressa è che o se e coosca il risultato. Per esempio, eveto casuale può essere cosiderato il seguete eveto futuro: «l icotro di calcio che verrà disputato domeica prossima tra le squadre A e B verrà vito dalla squadra A». Ma, l eveto la squadra A vice può essere cosiderato casuale ache dopo che l icotro è avveuto purché o se e coosca l esito. I questo caso è possibile formulare acora delle scommesse sul fatto che la squadra A abbia vito. I particolare: due eveti si dicoo fra loro icompatibili se il verificarsi di uo di essi esclude il verificarsi dell altro. I sostaza, dire che due eveti soo icompatibili sigifica che essi o possoo verificarsi cotemporaeamete. Così, per esempio, soo icompatibili gli eveti: Da otare che E 1 : laciado u dado si preseta il umero 1 E : laciado u dado si preseta u umero pari l eveto itersezioe fra due eveti icompatibili è u eveto impossibile.. FREQUENZA Quado si parla di eveti occorre fare distizioe fra eveti uici, detti ache eveti sigoli, ed eveti ripetibili: eveti sigoli soo quelli per i quali si può fare, o almeo si può pesare di fare, ua sola prova. Per esempio, l eveto E: Giovai, che ha l età 40, muore all età 60 è sigolo (o muore o o muore; i ogi caso o si può riprovare!); eveti ripetibili soo quelli per i quali si possoo fare, o almeo si può pesare di fare, u qualsiasi umero di prove. Per esempio, l eveto E: laciado u dado si preseta il umero è ripetibile i quato si può pesare di riprovare quate volte si vuole. Il carattere di ripetibilità di u eveto o sempre costituisce ua qualità itriseca ell eveto stesso. Molto spesso, ifatti, il cosiderare u eveto come sigolo o come ripetibile dipede dal modo i cui l eveto stesso viee pesato. I questo seso si può dire che u eveto è ripetibile quado viee pesato i astratto metre è sigolo quado vie- 9 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

29 Modulo 8 Uità Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità e pesato co riferimeto a ua be precisa prova. Per chiarire questo fatto cosideriamo gli eveti segueti: E 1 : el lacio di u dado si preseta il umero E : el prossimo lacio di u dado si preseta il umero Ebbee, metre E 1 è pesato i astratto ed è u eveto ripetibile, E è pesato co riferimeto alla prossima prova (quella e o u altra) ed è u eveto sigolo. I sostaza, possiamo pesare di laciare u dado quate volte vogliamo. Ma se cosideriamo la prossima prova questa è la prima prova che faremo a partire da questo mometo: si tratta di ua prova che o può essere ripetuta perché qualsiasi prova successiva o sarebbe la prossima. Al cocetto di eveto ripetibile è legato il cocetto di frequeza. Cosideriamo u eveto ripetibile e suppoiamo di fare prove (tutte elle stesse codizioi). Ovviamete, i ciascua prova, l eveto può verificarsi (successo) o o verificarsi (isuccesso). Ammettiamo allora che esso si verifichi s volte elle prove eseguite. Ebbee: il rapporto fra il umero di successi s e il umero di prove eseguite costituisce la frequeza. Pertato, si ha: f s Cosideriamo l eveto: E: el lacio di ua moeta si preseta testa e suppoiamo che, eseguedo 0 laci, l eveto testa si preseti 7 volte. I questo caso, essedo 0 ed s 7, si ha f 7=0. Notiamo che la frequeza assume valori compresi fra zero e 1. Si ha f 0 quado l eveto o si preseta i alcua delle prove eseguite ðs 0Þ; si ha f 1 quado l eveto si preseta i tutte le prove eseguite ðs Þ.. 3 PROBABILITÀ I pratica, accade molto spesso di affermare che u eveto casuale è molto probabile o poco probabile. Per esempio, si dice «ritego molto probabile che domai piova» oppure «ritego poco probabile che Giovai possa vicere la gara». È, però, evidete che quado si dice «molto probabile» oppure «poco probabile» o si dà ua misura della probabilità ma si maifesta soltato u giudizio sommario e impreciso. Ovviamete, l uica via per uscire da questa situazioe precaria è quella di fissare regole be precise che servao a misurare la probabilità. Per molto tempo il problema che riguarda la misura della probabilità è adato di pari passo co quello che riguarda l euciazioe della defiizioe di probabilità. Quest ultima è stata formulata i diversi modi e, quidi, esistoo diverse defiizioi di probabilità. 30 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara

30 Calcolo delle probabilità Eveti, frequeza, probabilità Modulo 8 Uità La molteplicità di defiizioi di probabilità trae origie dal fatto che, ei diversi periodi storici che hao visto l evolversi della teoria della probabilità, la defiizioe di probabilità è stata cosiderata come l espediete ecessario per risolvere i problemi tipici di ciascu periodo. I particolare, possiamo evideziare tre periodi storici ciascuo caratterizzato da be precisi iteressi applicativi: il primo periodo è caratterizzato dall iteresse per i giochi d azzardo (giochi co le carte o co i dadi): per risolvere i problemi probabilistici coessi viee formulata, a opera di Laplace (181), la defiizioe classica di probabilità; il secodo periodo è caratterizzato dall iteresse per le ricerche assicurative, biologiche, astroomiche, fisiche: per risolvere i problemi probabilistici coessi viee formulata, a opera di Richard vo Mises (1919), la defiizioe frequetista; il terzo periodo è caratterizzato dall iteresse per le ricerche di tipo sociale ed ecoomico: per risolvere i problemi probabilistici coessi viee formulata, specialmete a opera di Bruo De Fietti (1931), la defiizioe soggettivista. Si deve a Adrei Nikolavic Kolmogorov l idea di svicolare il problema che riguarda la misura della probabilità da quello che riguarda la defiizioe di probabilità. Viee così formulata, el 1933, la teoria assiomatica la quale o si preoccupa di defiire il cocetto di probabilità ma soltato di forire le regole per il calcolo di essa. Ebbee, ei paragrafi che seguoo ci occuperemo delle diverse defiizioi di probabilità rededoci meglio coto di quato abbiamo appea detto.. 4 DEFINIZIONE CLASSICA Si ha la seguete DEFINIZIONE La probabilità è il rapporto fra il umero dei casi favorevoli e il umero dei casi possibili, supposto che essi siao tutti ugualmete possibili. I geerale, idicado co p la probabilità, il umero dei casi possibili (supposti tutti ugualmete possibili) e v il umero dei casi favorevoli, si ha: p v Per rederci coviti dell esatto sigificato della defiizioe cosideriamo gli esempi che seguoo. 1 Determiiamo la probabilità che el lacio di ua moeta si preseti testa. I casi possibili (che suppoiamo ugualmete possibili) soo due: testa e croce. Il caso favorevole è uo: testa. Quidi, si ha v 1ed. Pertato, dalla defiizioe si ricava che p 1=. casi possibili T C caso favorevole 31 Moduli di matematica geerale e applicata F - Ghisetti e Corvi 009 De Agostii Scuola S.p.A. - Novara