Esercizi per il corso di Matematica Discreta

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1 Esercizi per il corso di Matematica Discreta Alberto Carraro 19 ovembre 2011 DAIS, Uiversità Ca Foscari Veezia Se A è u isieme o vuoto, ua sequeza s di lughezza k ad elemeti i A è ua k-upla (a 1,, a k ) dove a i A, per ogi i = 1,, k I altre parole s A k I ua sequeza sia il umero che l ordie degli oggetti è importate: ad esempio (1, 1) (1, 1, 1) e (1, 2) (2, 1) Nulla vieta che i ua sequeza vi siao elemeti uguali che compaioo i posizioi diverse Si oti la differeza co gli isiemi, i cui ogi elemeto compare ua sola volta e l ordie o cota, cioè {1, 2} = {2, 1} e {1, 1} è u brutto modo di scrivere {1} Facciamo attezioe quado cosideriamo isiemi di sequeze Per quato detto sopra si ha {(1, 2), (2, 1)} = {(2, 1), (1, 2)} e {(1, 1), (1, 1)} è u brutto modo di scrivere {(1, 1)}; ioltre {(1, 2), (2, 1)} {(2, 1), (2, 1)} 01 Disposizioi co ripetizioe Teorema 1 Sia A u isieme di 1 elemeti e sia k u umero aturale tale che 1 k Il umero di sequeze di lughezza k ad elemeti i A è dato da D,k = k I altre parole D,k = Ak Il umero D,k si utilizza per calcolare il cosiddetto umero di disposizioi co ripetizioe di k elemeti scelti tra Ifatti esso modella ua possibile situazioe reale i cui vi soo oggetti distiti (l isieme A) e si voglioo cotare quati modi si hao di formare sequeze di k oggetti effettuado k estrazioi da A ogi volta rimettedo l oggetto estratto a disposizioe per la prossima scelta Quidi le sequeze risultati permettoo la ripetizioe e, essedo sequeze, l ordie di apparizioe degli oggetti i esse è importate quado le si va a cotare Esempio Sia A = {a, b, c} e k = 2 ( = 3) Le sequeze che formiamo sarao duque (a, a), (b, a), (c, a), (a, b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c) Il loro umero è 3 2 = 9 02 Disposizioi co ripetizioe Vi soo altri casi i cui si voglioo escludere dal coteggio le sequeze che cotegoo oggetti ripetuti Vediamo come fare Teorema 2 Sia A u isieme di 1 elemeti e sia k u umero aturale tale che 1 k Il umero di sequeze di lughezza k ad elemeti i A che o cotegoo elemeti ripetuti è dato da D,k = k i=1 i + 1 =! ( k)!

2 2 A Carraro I altre parole D,k = {(a 1,, a k ) A k : 1 i, j k i j a i a j } Il umero D,k si utilizza per calcolare il cosiddetto umero di disposizioi seza ripetizioe di k elemeti scelti tra Ifatti esso modella ua possibile situazioe reale i cui vi soo oggetti distiti (l isieme A) e si voglioo cotare quati modi si hao di formare sequeze di k oggetti effettuado k estrazioi da A ogi volta NON rimettedo l oggetto estratto a disposizioe per la prossima scelta Quidi le sequeze risultati o permettoo la ripetizioe e, essedo sequeze, l ordie di apparizioe degli oggetti i esse è importate quado le si va a cotare Esempio Sia A = {a, b, c} e k = 2 ( = 3) Le sequeze che formiamo sarao duque (b, a), (c, a), (a, b), (c, b), (a, c), (b, c) Il loro umero è 3 2 = 6 Le permutazioi soo u caso particolare delle disposizioi, quado k = I questo caso si ha D, = i=1 i + 1 =! Esempio Sia A = {a, b, c} e k = 3 ( = 3) Le sequeze che formiamo sarao duque (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, b, a), (c, a, b) Il loro umero è 3 2 = 6 03 Combiazioi Teorema 3 Sia A u isieme di 1 elemeti e sia k u umero aturale tale che 1 k Il umero di sottoisiemi di A di cardialità k è dato da C,k = ( ) k =! k!( k)! I altre parole C,k = {X A : X = k} Il umero C,k si utilizza per calcolare il cosiddetto umero di combiazioi di k elemeti scelti tra Ifatti esso modella ua possibile situazioe reale i cui vi soo oggetti distiti (l isieme A) e si voglioo cotare quati modi si hao di formare isiemi di k oggetti effettuado k estrazioi da A ogi volta NON rimettedo l oggetto estratto a disposizioe per la prossima scelta Proceduralmete parlado, ciò corrispode a produrre tutte le sequeze di lughezza k seza ripetizioi e poi alla fie raggruppare isieme quelle che hao gli stessi elemeti, ma posti i ordie diverso, e cotare quati soo questi gruppi Ifatti C,k = D,k k! cioè si è trattato di quozietare lo spazio delle disposizioi seza ripetizioe rispetto alla proprietà di avere gli stessi elemeti ma i ordie diverso Riassumedo, el computo fiale o cota l ordie di apparizioe degli elemeti e o è ammessa la ripetizioe Esempio Sia A = {a, b, c} e k = 2 ( = 3) Gli isiemi che formiamo sarao duque {a, b}, {a, c}, {b, c} Il loro umero è = 3 Ricordiamo che si poe per covezioe 0! = 1 Quidi C,0 = ( 0) = 1 e duque ache per k = 0 l iterpretazioe delle combiazioi come umero di sottoisiemi di A aveti cardialità k è rispettata

3 Esercizi per il corso di Matematica Discreta 3 1 Esercizi Esercizio 1 (Disposizioi co ripetizioe) U ura cotiee 20 pallie umerate da 1 a 20 Si eseguoo 5 estrazioi rimettedo, dopo ogi estrazioe, la pallia ell ura Quati soo gli allieameti che si possoo otteere come risultato dele 5 estrazioi? E quati soo gli allieameti i cui o compare il umero 20? Soluzioe Poiché A = {1,, 20} la risposta alla prima domada sarà D 20,5 = 20 5 essedo = 20 e k = 5 Per la secoda domada basta osservare che gli oggetti dispoibili soo quelli coteuti i {1,, 19} e pertato la risosta sarà D 19,5 = 19 5 Esercizio 2 (Disposizioi seza ripetizioe) U ura cotiee 20 pallie umerate da 1 a 20 Si eseguoo 5 estrazioi seza rimettere, dopo ogi estrazioe, la pallia ell ura Quati soo gli allieameti che si possoo otteere come risultato delle 5 estrazioi? E quati quelli i cui o compare il umero 20? Soluzioe Abbiamo = 20 e k = 5 Poiché si rimettoo le pallie ell ura la prima risposta sarà D 20,5 = Per la secoda risposta avremo D 19,5 = Esercizio 3 (Permutazioi) Abbiamo 30 pallie umerate da 1 a 30e altrettate scatole egualmete umerate I quati modi possiamo disporre le 30 pallie elle 30 scatole? E i quati modi si può farlo quado si richiede che la pallia umerata co u certo fissato 1 m 30, occupi la scatola col umero m? Soluzioe Per la prima domada i modi soo D 30,30 = 30! Per la secoda i modi soo D 29,29 = 29! Esercizio 4 (Combiazioi) Si vuole costituire u comitato di 5 membri scelti tra 10 persoe Quati differeti comitati si possoo formare? Soluzioe Ogua delle persoe può apparire al piú ua volta el comitato e due l ordie delle persoe o cota quidi il umero richiesto è C 10,5 = Esercizio 5 (Disposizioi co ripetizioe) Ua scimmia digita 3 tasti i maiera casuale su ua tastiera per computer co 21 caratteri (alfabeto italiao) Qual è la probabilità che la scimmia digiti ua parola di tre lettere (ache seza seso) che iizia co ua cosoate e fiisce co due vocali?

4 4 A Carraro Soluzioe Tutte le cofigurazioi di lettere che possoo essere scritte dalla scimmia soo D 21,3 = 21 3 Le cofigurazioi buoe soo per oi , perché la prima cosoate può essere scelta i 16 modi diversi, la prima vocale i 5 modi diversi e la secoda vocale acora i 5 modi diversi Qiodi la probabilità richiesta è Esercizio 6 (Permutazioi) Nel sacchetto delle lettere di Scarabeo metto solo le tessere a, a, a, a, a, b, b, c, r, r Qual è la probabilità che compaia la parola abracadabra se le estraggo casualmete mettedole sulla sbarretta del gioco? Soluzioe I casi possibili soo tutte le permutazioi D 11,11 = 11! Se le lettere el sacchetto fossero tutte diverse tra loro allora avremmo u solo caso favorevole Ma o è cosí perché certe lettere occorroo piú volte e quidi certe permutazioi portao alla stessa parola Etichettiamo le tessere co u umero da 1 a 11 Per otteere le permutazioi buoe la lettera a può essere posizioata i 5! modi diversi, la lettera b i 2! modi diversi, la lettera r i 2! modi diversi e la lettera c i u solo modo Tra tutte le permutazioi di tessere umerate quelle buoe soo 5! 2! 2! e quidi la probabilità richiesta è 5! 2! 2! 11! Esercizio 7 (Combiazioi) U ura cotiee 100 pallie di cui 30 biache e 70 rosse Si vuole cooscere la probabilità di estrarre 5 pallie biache i ua successioe di 10 estrazioi seza reimmissioe Soluzioe L ordie o cota quidi posso pesare che la cardialità dello spazio dei risultati possibili sia dato da C 100,10 = ( ) Vi soo poi 30 pallie biache da cui possiamo estrare 5 sicché esse posoo essere selezioate i C 30,5 = ( ) 30 5 modi diversi Per ogi scelta delle pallie biache le 5 rosse possoo essere scelte tra le 70 dispoibili i C 70,5 = ( ) 70 5 modi Pertato il umero degli allieameti che cotegoo 5 pallie biache è ( ) ( ) 5 e la probabilità richiesta è (30 5 ) ( 70 5 ) ( ) U altro modo di risolvere l esercizio è fare riferimeto al umero degli allieameti che tegoo coto ache all ordie i cui si presetao le pallie I questo caso lo spazio degli allieameti possibili ha cardialità D 100,10 Le cique posizioi occupate dalle pallie biache ella successioe delle 10 estrazioi possoo essere scelte i C 10,5 modi Quado ua tale scelta è fatta la prima pallia biaca può essere scelta i 30 modi, la secoda i 29, la terza i 28, la quarta i 27 e la quita i 26 cioè D 30,5 modi i tutto e similmete per le pallie rosse: D 70,5 I defiitiva il umero di allieameti coteeti 5 pallie biache e 5 rosse sarà ) D30,5 D 70,5 e la probabilità (10 ( ) D 30,5 D 70,5 D 100,10

5 Esercizi per il corso di Matematica Discreta 5 Esercizio 8 I quati modi si possoo assegare 20 impiegati a 4 uffici se ad ogi ufficio devoo essere assegati 5 impiegati? Soluzioe Posso assegare ogi impiegato ad ua delle 20 sedie dispoibili Il umero di queste assegazioi è pari alle permutazioi D 20,20 = 20! Tra queste assegazioi (alle sedie) ci soo permutazioi che portao alla stesssa assegazioe i termii di ufficio Per ogi ufficio le permutazioi equivaleti soo D 5,5 = 5! perchè ci soo 5 sedie i ogi ufficio Quidi il umero richiesto è 20! (5!) 4 U altro modo, forse più semplice, è il seguete Per il primo ufficio possiamo scegliere la cofigurazioe di occupati i C 20,5 modi diversi Per ogi tale scelta possiamo cofigurare il secodo ufficio i C 15,5 modi diversi Per ogi tale scelta possiamo cofigurare il terzo ufficio i C 10,5 modi diversi Per ogi tale scelta la composizioe dell ultimo ufficio è uivocamete determiata: ifatti C 5,5 = 1 la risposta cercata duque è C 20,5 C 15,5 C 10,5 C 5,5 Notiamo che i effetti C 20,5 C 15,5 C 10,5 C 5,5 = 20! 5!15! 15! 5!10! 10! 5!5! = 20!15!10! 5!15!5!10!5!5! = 20! (5!) 4 magia!! ;) Esercizio 9 (Combiazioi) Da ua lista di 10 ragazzi e 7 ragazze si deve formare u comitato compredete 5 ragazzi e 3 ragazze Quati possibili comitati si possoo formare? Soluzioe Possiamo scegliere i ragazzi i ( ) 10 5 modi diversi e per oguo di questi modi possiamo scegliere le ragazze i ( 7 3) modi e quidi il umero richiesto è ( ) ( ) Esercizio 10 (Disposizioi) Quati codici si possoo formare utilizzado tre cifre e due lettere dell alfabeto iglese (26 lettere), se le lettere occupao le prime due posizioi e cifre e lettere possoo ripetersi? Quati codici presetao qualche ripetizioe? Soluzioe Per il primo quesito usiamo le disposizioi co ripetizioe e quidi abbiamo D 26,2 D 10,3 = Per il secodo quesito possiamo calcolare facilemte il umero di codici che o presetao ripetizioi: D 26,2 D 10,3 = Quidi i codici co qualche ripetizioe soo D 26,2 D 10,3 D 26,2 D 10,3

6 6 A Carraro Esercizio 11 (Disposizioi) Qual è la probabilità che persoe scelte a caso abbiao tutte compleao diverso? (Si igorio gli ai bisestili) Soluzioe Suppoedo che ogi gioro di ascita sia equiprobabile (cosa che i realtà o è) la probabilità richiesta è D365, D se 365 e 0 altrimeti 365, Esercizio 12 (Combiazioi) Dimostrare che ( ) ( k = k), per ogi 0 k Soluzioe Ci soo due possibili strade Ua è effettuare il calcolo: ( ) ( )! = k k!( k)! =! ( k)!( ( k))! = k L altra è pesare a ( ) ( k e k), rispettivamete, come la cardialità della famiglia S k dei sottoisiemi di A aveti k elemeti e la cardialità della famiglia S k dei sottoisiemi di A aveti k elemeti Quidi si può dimostrare che la fuzioe ϕ(x) = A X è ua biiezioe tra S k ed S k Esercizio 13 (Combiazioi) Dimostrare che k=0 ( k) = 2, per ogi 0 Soluzioe Si può procedere per iduzioe su e dimostrare la formula i maiera stadard Oppure si può pesare a 2 come la cardialità di P(A), dove A è u isieme di elemeti Poiamo S k = {X A : X = k} Allora P(A) = k=0 S k poichè il umero di sottoisiemi di A è uguale al umero dei sottoisiemi di A co 0 elemeti più il umero dei sottoisiemi di A co 1 elemeto più il umero dei sottoisiemi di A co 2 elemeti, ecc fio al umero dei sottoisiemi di A co elemeti ed ioltre S k S h = se k h Siccome per ogi k {0,, } abbiamo che ( k) = Sk, la risposta è immediata