Delimitazioni inferiori e superiori alla complessita di un problema

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1 Delimitazioi iferiori e superiori alla complessita di u problema Alcue teciche Nozioi prelimiari Ua ozioe prelimiare: albero k-ario completo U U albero k-ario è completo se se tutti i i odi iteri hao k figli, e tutte le le foglie soo sullo stesso livello Quati odi sul livello m?

2 U U albero k-ario è completo se se tutti i i odi iteri hao k figli, e tutte le le foglie soo sullo stesso livello Livello 0: (la radice) Livello : k (i figli della radice) Livello : k k = k Livello m: k m La prova è per iduzioe su m U U albero k-ario è completo se se tutti i i odi iteri hao k figli, e tutte le le foglie soo sullo stesso livello Proprieta : le le foglie di di u u albero k-ario completo di di altezza h soo k hh se se u u albero k-ario completo ha ha foglie, allora ha ha altezza h = log k k Quati soo i odi iteri se l altezza è h? U U albero k-ario è completo se se tutti i i odi iteri hao k figli, e tutte le le foglie soo sullo stesso livello h Nodi iteri = = h h i k k k K k k = = 0 k Allora la cardialità di u albero k-ario completo di altezza h è k h + k i

3 U altra ozioe prelimiare: albero biario quasi completo Qual è l altezza se le foglie soo? U albero biario quasi completo è completo sio al peultimo livello h h < quidi h = log Delimitazioi iferiori e superiori alla complessita di u problema Delimitazioe superiore alla complessità di u problema Qual è u tempo di calcolo sufficiete alla risoluzioe di u dato problema? Cofie superiore alla complessità di di u u problema: u u cofie superiore per il il tempo di di calcolo (el caso peggiore) di di u ualgoritmo che risolve il il problema

4 g T T. T ( ) O( g( )) Cofie superiore alla complessità di di u u problema: u u cofie superiore per il il tempo di di calcolo (el caso peggiore) di di u ualgoritmo che risolve il il problema U esempio importate : il problema dell ordiameto Il tempo di IsertSort el caso peggiore è O( ): questo è allora u cofie superiore per il problema dell Ordiameto! No si può fare di meglio? Delimitazioe iferiore alla complessita di u problema Qual è u tempo di calcolo ecessario alla risoluzioe del problema dell Ordiameto? Delimitazioe iferiore alla complessità di di u u problema: u u cofie iferiore per i i tempi di di calcolo (el caso peggiore) di di tutti gli gli algoritmi che risolvoo il il problema

5 T T k f T. T ( ) Ω( f ( )) i i Delimitazioe iferiore alla complessità di di u u problema: u u cofie iferiore per i i tempi di di calcolo (el caso peggiore) di di tutti gli gli algoritmi che risolvoo il il problema Alcue teciche di base Dimesioe dei dati: quado è ecessario esamiare tutti i dati i igresso, ovvero geerare tutti i dati i uscita. Es. La moltiplicazioe di due matrici quadrate di ordie richiede l ispezioe di = Ω( ) etrate. Eveti cotabili: quado c è u eveto la cui ripetizioe u umero cotabile di volte sia ecessaria alla soluzioe del problema. Es. La determiazioe del massimo tra elemeti richiede = Ω() cofroti, i cui altrettati elemeti o massimi risultio miori. La tecica dell albero delle decisioi I molti problemi u albero può rappresetare u algoritmo che risolve il problema: i odi iteri rappresetao operazioi di cofroto o comuque di scelta tra (o piu ) alterative possibili, le foglie rappresetao i possibili output (determiati i base ad ua sequeza di scelte). I rami rappresetao quidi particolari esecuzioi. L albero di decisioe che miimizza l altezza forisce u cofie iferiore al umero di decisioi ecessarie el caso peggiore.

6 Esempio: usiamo la tecica dell albero delle decisioi per il problema dell ordiameto di 3 elemeti () a < b a:b b < a = 3 b < c b:c c < b b < c b:c c < b a, b, c a < c a:c c < a a < c a:c c < a b, c, a a, c, b c, a, b b, a, c b, c, a h = 3 Esempio: usiamo la tecica dell albero delle decisioi per il problema dell ordiameto di 3 elemeti () a < b a:b b < a = 3 b < c b:c c < b b < c b:c c < b a, b, c a < c a:c c < a a < c a:c c < a c, b, a a, c, b c, a, b b, a, c b, c, a h = log 3! = 3 Ua delimitazioe iferiore per il problema dell ordiameto Le permutazioi di oggetti soo! L albero delle decisioi per il problema dell ordiameto ha allora! foglie, ed ha altezza miima se è quasi completo Duque u cofie iferiore per l Ordiameto è Ω(log!) Che cos e log(!)?

7 Che cos è log(!)? La formula di Stirlig ( π ( / e) ) = log π + log ( / ) log! log e Allora log(!) Θ( log ) Ve la ricordavate la formula di Stirlig? Algoritmi ottimi U U algoritmo è ottimo se se il il suo tempo di di calcolo è O(f()) ed ed il il problema che risolve è Ω(f()) Domade U cofie iferiore per il problema dell ordiameto è Ω( log ). U cofie superiore è O( ). Possiamo colmare questa distaza? Se tra qualche gioro qualcuo vi dicesse che ha trovato u algoritmo di ordiameto che permettere di ordiare l isieme {,,} co complessita O() el caso pessimo, che cosa gli rispodereste?

8 Ua disgressioe (per chi o si ricorda della formula di Stirlig) Disgressioe: rispodiamo alla domada Che cos è log(!)? seza usare la formula di Stirlig () log (!) = log ( K ( ) ) = log + log + K+ log ( ) + log log + K+ log Allora log(!) O( log ) Disgressioe: rispodiamo alla domada Che cos è log(!)? seza usare la formula di Stirlig () log (!) Se lim = l < allora log(!) Θ( log log ) Proviamolo!

9 Disgressioe: rispodiamo alla domada Che cos è log(!)? seza usare la formula di Stirlig (3) 5 4 log x dx log k k= + log x dx 3 x log k = log k = log(!) Si cosideri ad es. =4 Disgressioe: rispodiamo alla domada Che cos è log(!)? seza usare la formula di Stirlig (4) log x dx = x log x x log e = F( x) Itegrado per parti log x dx = F( ) F() = log d + d log(!) + log x dx = F( + ) F() = ( + )log ( + ) ( ) d Usado il teorema fodametale del Calcolo Posto d = log e Disgressioe: rispodiamo alla domada Che cos è log(!)? seza usare la formula di Stirlig (5) log d + d log(!) ( + )log( + ) ( ) d se e solo se, dividedo per log d d log(!) ( + )log( + ) d + + log log log log log log log( + / ) = ( + / ) + log log(!) etrambi se quidi lim = log log log(!) Θ( log ) d + log