MAPPE DI MATEMATICA PER LA PRIMA LICEO

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1 MAPPE DI MATEMATICA PER LA PRIMA LICEO Gli insiemi numerici (pagina ) Le operazioni (pagina ) I criteri di divisibilità (pagina ) Le frazioni e le loro operazioni (pagina 5) Percentuali e proporzioni (pagina 6) I monomi e le loro operazioni (pagina 7) I polinomi (pagina 8) Le operazioni con i polinomi (pagina ) Scomposizione dei polinomi (pagina ) Le equazioni (pagina ) MCD e mcm (pagina )

2 GLI ISIEMI UMERICI I numeri possono essere REALI IMMAGIARI Presentano l unità immaginaria i (es i) UMERI ATURALI umeri interi senza segno (incluso ) Insieme discreto UMERI ITERI RELATIVI Z umeri interi con il segno Insieme discreto UMERI RAZIOALI ASSOLUTI Q 5 7 umeri con le frazioni senza segno UMERI RAZIOALI RELATIVI Q umeri con le frazioni con segno UMERI IRRAZIOALI umeri con infinite cifre dopo la virgola, tutte diverse ,56..., , e, REALI ITERI RELATIVI ATURALI IRRAZIOALI RAZIOALI RELATIVI RAZIOALI ASSOLUTI, MILIARDI MILIOI MILA centinaia decine unità decimi centesimi millesimi

3 LE QUATTRO OPERAZIOI ADDIZIOE SOTTRAZIOE MOLTIPLICAZIOE DIVISIOE da come risultato da come risultato da come risultato da come risultato SOMMA DIFFEREZA PRODOTTO QUOTO (no resto) QUOZIETE (resto) ADDEDI SOMMA MIUEDO DIFFEREZA FATTORI PRODOTTO 8 : SOTTRAEDO DIVIDEDO QUOTO DIVISORE RESTO : DIVIDEDO DIVISORE QUOZIETE RESTO umero neutro: zero umero neutro: zero umero neutro: uno umero neutro: uno + :. - ( ) Le seguenti PROPRIETA ha ELEVAMETO A POTEZA è 8 : impossibile : indeterminata Una moltiplicazione ripetuta dello stesso numero A A A A : A K A B K K A A A K A K K A K A A A A A K A : B A : A

4 U UMERO E PRIMO Se è divisibile solo per e per se stesso 7 DIVISIBILE PER Se l ultima cifra è pari 8 DIVISIBILE PER Se la somma delle sue cifre è multiplo di + + DIVISIBILE PER Se le ultime due cifre sono divisibili per 6 DIVISIBILE PER 5 Se l ultima cifra è 5 oppure 55 DIVISIBILE PER Se la somma delle sue cifre è divisibile per DIVISIBILE PER Se l ultima cifra è I UMERI FIO A UMERI PARI UMERI DISPARI UMERI PRIMI

5 LE FRAZIOI umero senza la virgola, diviso per seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali, DECIMALI FIITI umero senza la virgola meno la parte intera, diviso per tanti quante sono le cifre del periodo, - DECIMALI PERIODICI SEMPLICI umero senza la virgola meno la parte intera, diviso per tanti quante sono le cifre dell antiperiodo seguiti da tanti quante sono le cifre del periodo 6, - DECIMALI PERIODICI MISTI SEMPLIFICAZIOE RAZIOALIZZAZIOE ADDIZIOE e SOTTRAZIOE 8 : : 6 : : Il denominatore non deve mai essere una radice Tramite il minimo comune multiplo Dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero si ottiene una FRAZIOE EQUIVALETE Quando non è più possibile semplificare, la frazione è RIDOTTA AI MIIMI TERMII Si moltiplicano numeratore e denominatore per la radice + - sono Coppie ordinate di numeri naturali che danno origine ai UMERI RAZIOALI Con i quali Si possono fare alcune OPERAZIOI MOLTIPLICAZIOE e DIVISIOE ella moltiplicazione è possibile semplificare ad incrocio : : : 8 : : 6 : : UMERATORE DEOMIATORE ELEVAMETO A POTEZA ( ) 6 Si elevano a potenza sia il numeratore che il denominatore + - 5

6 PERCETUALI E PROPORZIOI sono Uguaglianze tra rapporti 6 : : 6 : : 6 che seguono ATECEDETI COSEGUETI ESTREMI MEDI Alcune proprietà Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi 6 PROPRIETA DEL COMPORRE ( + ) : ( + 6) : ( + ) : ( + 6) : 6 PROPRIETA DELLO SCOMPORRE ( - ) : ( - 6) : ( - ) : ( - 6) : 6 PROPRIETA DEL PERMUTARE Scambio dei medi o degli estremi : : : : PROPRIETA DELL IVERTIRE Scambio degli antecedenti e dei conseguenti : : : : OPERAZIOI CO LE PROPORZIOI TROVARE IL TERMIE ICOGITO PROBLEMI CO LA PERCETUALE MEDIO o ESTREMO M M E E X E E M MEDIO PROPORZIOALE E : M M : E E E M E : X X : E % di % di X 5 X % di 5 X 5 X X 6

7 I MOOMI sono -5 a b c Espressioni letterali in cui compaiono solo MOLTIPLICAZIOI di: Un numero (chiamato COEFFICIETE) Potenze di lettere con numeri naturali per esponenti (chiamata PARTE LETTERALE) il cui GRADO è Grado: 6 La somma degli esponenti di tutte le lettere possono essere MOOMI UGUALI MOOMI OPPOSTI MOOMI SIMILI -5 a b c -5 a b c -5 a b c -5 a b c +5 a b c a b c Stesso coefficiente Stessa parte letterale Coefficienti uguali e opposti Stessa parte letterale Diverso coefficiente Stessa parte letterale OPERAZIOI CO I MOOMI ADDIZIOE e SOTTRAZIOE MOLTIPLICAZIOE DIVISIOE ELEVAMETO A POTEZA si può fare si può fare si può fare si può fare Solo tra monomi simili sempre se il num ha tutte le lettere del den sempre Si sommano/sottraggono solo i coefficienti La parte letterale rimane invariata a c - 5a c - a c a c + 5a c 8 a c Si moltiplicano i coefficienti Ogni lettera compare con esponente pari alla somma degli esponenti ( a c) (- 5bc ) -5 a bc Si dividono i coefficienti Ogni lettera compare al numeratore con esponente pari alla differenza degli esponenti 5 a bc 5-5bc - a c Si elevano i coefficienti Ogni lettera compare con esponente pari al prodotto degli esponenti (-ac ) a c 6 7

8 I POLIOMI sono Somme algebriche di monomi, chiamati TERMII DEL POLIOMIO -5 a +b c - a + si classificano in base a Termine noto (l esponente delle lettere è ) UMERO DI TERMII COEFFICIETI GRADO è BIOMIO () x - POLIOMIO ULLO Tutti i coefficienti sono nulli Il maggiore tra i gradi dei termini presenti TRIOMIO () x -x + QUADRIOMIO () x -x -x + POLIOMI UGUALI Composti dagli stessi termini POLIOMI OPPOSTI Composti da termini opposti x x + x x + x x + -x + x POLIOMIO OMOGEEO Tutti i termini hanno lo stesso grado POLIOMIO ORDIATO I termini sono scritti con grado crescente o decrescente x + a -bx x -x + POLIOMIO COMPLETO Per una certa lettera ci sono tutte le potenze x -x -x + LE FUZIOI POLIOMIALI sono Polinomi in cui compare una sola lettera si indicano con P (x) P(x) x -x -x + hanno degli x O è uno zero del polinomio P(x) x - perché: P() () - - ZERI (valori della x che rendono il polinomio nulllo) x è uno zero del polinomio P(x) x - perché: P() () - 8

9 ADDIZIOE e SOTTRAZIOE ADDIZIOE (x - ) + (a -x -6) x - +a -x -6 SOTTRAZIOE (x - ) - (a -x -6) x - -a +x +6 OPERAZIOI CO I POLIOMI MOLTIPLICAZIOE DIVISIOE TRA U MOOMIO E U POLIOMIO (-x) (x -6) -6x +x SEMPLIFICAZIOE Se al denominatore c è un monomio ab -b -b ab -b + -b -b -a + b TRA DUE POLIOMI (-x +) (x -6) -6x +x -x - RUFFII (x +6x -5x -):(x -) Se il denominatore ha forma (x±a) CO I PRODOTTI OTEVOLI +_ +_ ( a b ) a ab b +_ +_ a b ( a b )( a ab a b ( a b )( a b ( a b ) a a b ab b ) b ) ALGORITMO +_ Vale sempre (x +6x -5x -):(x +) Soluzione: x +x +5 Resto: 7 TEOREMA DEL RESTO: il resto si trova sostituendo il divisore nella x: () +6() -5()-7 x +6x -5x - x + x -x -x +6x -x - -6x - -x -5 x +6 x x 6x x 6 Soluzione: x +6 Resto: -x -5

10 SCOMPOSIZIOE I FATTORI Serve per Scrivere un polinomio come prodotto di FATTORI PRIMI che possono essere Costanti Polinomi di primo grado Polinomi di grado superiore non riducibili si esegue provando a (x-)(x +) ) FARE U RACCOGLIMETO TOTALE (se ci sono elementi in comune a tutti i termini): ax +ax -a a(x +x-) -x - -(x +) -8x-x -x( + 7x ) ) FARE U RACCOGLIMETO PARZIALE (se ci sono un numero pari di elementi): ax +bx -az -bz x(a+b) -z(a+b) (a+b)(x-z) b -x -7ab +ax 7b(-a) -x(-a) (-a)(7b-x) ) UTILIZZARE RUFFII E IL TEOREMA DELL ALGEBRA (solo per funzioni di e grado): ax +bx +c (x-x )(x-x ) - MODE/5/ x, b b ac a ax +bx +cx +d (x-x )(x-x )(x-x ) - MODE/5/ ) UTILIZZARE I PRODOTTI OTEVOLI: a a a +_ b ab b ( a b a +_ b a b a b ab b ( a b +_ ) ( a b)( a b) ( a +_ b)( a c +_ ab b abbcac( abc) ) )

11 EQUAZIOI x + 5-6x MEMBRO MEMBRO sono UGUAGLIAZE tra due ESPRESSIOI LETTERALI verificate se possono essere DETERMIATE IDETERMIATE IMPOSSIBILI x D x x x + è verificata per x perché + O è verificata per x perché + Un UMERO/LETTERA sostituito all incognita la rende VERA si risolvono Trovano il valore della x che rende vera l equazione tramite PRIMO PRICIPIO DI EQUIVALEZA SECODO PRICIPIO DI EQUIVALEZA Aggiungendo o sottraendo ai membri una stessa quantità, il risultato non cambia Moltiplicando o dividendo i membri per una stessa quantità, il risultato non cambia REGOLA DEL TRASPORTO x + x - REGOLA DEL CAMBIO DI SEGO x - -x + - REGOLA DI CACELLAZIOE x - x - x x x - + x + x x + LEGGE DI MOOTOIA x + x (x +) (x) x + x (x +): (x): LEGGE DI MOOTOIA x + x x + + x + LEGGE DI AULLAMETO DEL PRODOTTO Per risolvere un equazione formata da più fattori, bisogna annullare tutti i fattori A B C A B C (x+)(x-)(x+) x + x - x - x x + x -

12 MCD mcm è è Il più grande tra i divisori comuni Il più piccolo tra i multipli comuni si cerca tra si cerca tra 5 5 UMERI MOOMI POLIOMI 5 7 a 5 x -6a xy a 5 a x x y 5 5 UMERI MOOMI POLIOMI 5 7 a 5 x -6a xy a 5 a x x y umero: prodotto dei fattori COMUI, presi una sola volta, con il più PICCOLO esponente Lettere: prodotto di tutte le lettere COMUI, prese una sola volta con il più PICCOLO esponente umero: prodotto dei fattori COMUI e O COMUI, presi una sola volta, con il più GRADE esponente Lettere: prodotto di tutte le lettere COMUI e O COMUI, prese una sola volta con il più GRADE esponente MCD (a 5 x ; -6a xy ) a x mcm (a 5 x ; -6a xy ) 8a 5 x y