CAP. 2 CALCOLO DELLE PROBABILITA

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1 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso CA. CALCOLO DELLE ROBABILITA. Alcu coce base Il calcolo delle robablà, ao el coeso de goch d azzardo, s è svluao eorcamee fo ad assumere u ruolo arcolarmee rlevae ell aals de feome collev dveado resuoso essezale della eora delle decso e della sasca. La eora delle robablà è ua dscla maemaca asraa e alamee formalzzaa ur coservado l suo orgale e rlevae coeuo emrco; er quesa sua arcolare aura l esoszoe, ecessaramee sommara, de suo coeu rsula faclaa dall roduzoe d defzo eslce relave agl ase e coce che e cosuscoo l coro. Defzoe : S dce esermeo casuale, og oerazoe o avà feomeo l cu rsulao la cu mafesazoe o uò essere revso co cerezza. Rsula charo che l erme esermeo va qu eso seso lao, comrededo esso, sa l caso del laco d u dado, sa l caso dell'esrazoe d ua alla da u'ura, sa l caso della rlevazoe de es de coscr alla leva, sa quello dell eso d ua oerazoe chrurgca, sa l caso della sermeazoe d u uovo farmaco, sa quello del corollo de ezz rodo da u cero maccharo ecc. Defzoe : S dce sazo camoaro d u esermeo casuale, l'seme Ω d u ossbl rsula, esausv e muualmee escludees, dell'esermeo sesso. Se l'esermeo casuale cosse el laco d ua moea a due facce, lo sazo camoaro è dao da Ω {T, C} { ω,ω } dove T ω è l uo camoaro esa e C ω è l uo camoaro croce. I queso esemo s è assuo come s fa d solo che gl uc rsula ossbl sao T e C, e che qud la moea o ossa rmaere equlbro sul bordo. Se vece s ozza che ache queso rsulao sa ossble, allora lo sazo camoaro d queso esermeo casuale è Ω {T, C, B}{ ω, ω ω }, 3

2 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso dove B è l uo camoaro moea equlbro sul bordo. Ua suazoe aaloga al laco della moea s ha el caso cu l'esermeo casuale sa l eso d ua oerazoe d fazameo d ua baca ad ua mresa clee, cu rsula ossbl soo la resuzoe o meo del fazameo cocesso da are dell mresa. I al caso fa lo sazo camoaro Ω è dao da Ω {R, NR} { ω,ω } dove R è l uo camoaro fazameo resuo e NR l uo camoaro fazameo o resuo. Se l'esermeo s svolge araverso l corollo de ezz rodo da u cero maccharo avedo come falà l'accerameo della boà o dfeosà del ezzo rodoo, lo sazo camoaro Ω sarà comoso da sol due eleme u camoar ω e ω, dove ω raresea l ezzo dfeoso ed ω l ezzo o dfeoso. è dao da Se l'esermeo casuale cosse ell'esrazoe d u umero al loo, lo sazo camoaro Ω {,,, 90} { ω, ω ω } cosuo, come è ovvo, da u umer er da a 90.,..., Se l'esermeo cosse ell'esrazoe d ua alla da u'ura che e coee deche a meo del umero rogressvo, da a, sora mresso, lo sazo camoaro resa defo da ω,ω Ω,...,ω,...,ω 90 dove ω,,..., sa ad dcare l uo camoaro cosuo dalla esrazoe della alla corassegaa co l umero. Se l esermeo casuale cosse el coare l umero d access ad u cero so ere oure el coare l umero massmo d ba cardac durae u es d sforzo, lo sazo camoaro è dao da Ω {0,,, } {,,... } ω. coè da u umer er o egav, dao che l umero d dfe è u umero ero e o è ossble sablre a ror l umero massmo. Se l'esermeo casuale cosse el es d duraa d u eumaco, lo sazo camoaro è cosuo da Ω {0 - }, ω

3 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso coè da umer real o egav, dao che la duraa è u umero che o uò essere egavo l emo, come segalao el rmo caolo, vee esresso co ua scala d raoro; s segala rooso che l esremo suerore ar a sa ad dcare che o è ossble sablre la duraa massma che, ovvamee, o orà essere fa. Relogado, allora, lo sazo camoaro è l seme de rsula ossbl dell esermeo camoaro cosderao. Dagl esem rora rsula che lo sazo camoaro uò essere cosuo da u umero fo d u camoar come el caso del laco della moea, de ezz buo/dfeos, delle alle esrae da u ura, oure da u fà umerable d u camoar come el caso del umero d access ad u so ere, o fe da u fà o umerable d u camoar come el caso del es d duraa d u eumaco. Defzoe 3: Se lo sazo camoaro è cosuo da u umero fo o da u fà umerable d u camoar, s dce eveo og sooseme E dello sazo camoaro Ω. Se lo sazo camoaro è cosuo da u fà o umerable d u, o u ossbl soosem d Ω soo eve; quesa sede verrao, comuque, cosdera solao cosde soosem ammssbl d Ω, coè soosem che hao aura d eve. Og eveo sarà erao cosuo da u seme d u camoar. Se, ad esemo, s fa rfermeo al caso dell'esrazoe d ua alla da u'ura che e coee, s uò esare d suddvdere l'ero sazo camoaro due soosaz ed Ω coee, rsevamee, Ω u camoar: a resears d ua alla corassegaa da u umero dsar; b resears d ua alla corassegaa co u umero ar. L'eveo E ω : ω er ar o dsar ω, ω,...,,..., ω ω Ω cocde co l'ero sazo e raresea l'eveo cero; l'eveo coè che ceramee s realzzerà quao effeuado l'esrazoe è cero che s reseerà ua alla o corassegaa co u umero dsar o corassegaa co u umero ar. L'eveo E ω : ω er ar e dsar 3

4 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso è u eveo che o coee u camoar; fa og alla è corassegaa o da u umero dsar o da u umero ar e o esse alla corassegaa da u umero che è dsar e ar allo sesso emo. L'eveo così defo vee deo eveo mossble s raa dell'eveo che o s orà ma realzzare e deoao co l smbolo φ. Gl eve da u solo uo camoaro. E ω, er,,,, vegoo de eve elemear quao cosu Sugl eve s uò rodurre u'algebra, coè u seme d oerazo che soddsfao cere roreà e che geerao, come rsulao delle oerazo sesse, acora degl eve, coè eleme che aaregoo all seme B su qual è saa rodoa l algebra e s arla d ssema chuso rseo alle oerazo rodoe. Se l ssema è chuso rseo ad u umero fo d oerazo, s arla d algebra d Boole o, ù semlcemee, d algebra o camo, se l ssema è chuso rseo ad u fà umerable d oerazo, s arla d algebra d Boole comlea o, ù semlcemee, d -algebra o -camo. L seme B, che uò ache essere defo come sazo degl eve, è u seme chuso rseo alle oerazo d egazoe e d ersezoe e qud ache rseo all uoe e alla dffereza che ossoo essere dervae dalle recede. Il leore a coosceza de rudme della eora degl sem oerà come quao esoso quese oe, rguardo agl eve, o raresea alcuché d uovo o d dverso rseo al gà cooscuo; effe gl eve ossoo essere errea come sem, o meglo, come soosem d u seme dao rareseao dallo sazo camoaro Ω. S ha così che l'eveo cero Ω cocdee co l'ero sazo camoaro o raresea alro che l'seme uversale, mere l'eveo mossble ø corrsoderà all'seme vuoo. 4

5 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso. Algebra degl eve Le oerazo rore della eora degl sem soo quella d rodoo o ersezoe, quella d somma o uoe, quella d comlemeazoe o egazoe E e quella d dffereza -; s raa delle sesse oerazo che, olre al coceo d clusoe, verrao qu cosderae quao cosue are essezale dell'algebra degl eve. S dce che u eveo E è cluso ell'eveo E, e s scrve E E se og uo camoaro aareee ad E aaree ache ad E. Due eve E ed E soo, qud, ugual se e solo se sse coemoraeamee E E ed E E queso caso due eve sarao cosu dagl sess u camoar. S defsce come egazoe comlemeazoe ella eora degl sem d u eveo E, e s scrve E, l'eveo che s realzza quado o s realzza E. L'eveo E sarà erao, cosuo da u u camoar d Ω che o aaregoo ad E. Nella fgura soosae vegoo roos grafcamee facedo rcorso a cosde dagramm d Ve l coceo d eveo cluso e d eveo egao. Ω E E E Fg. 4 - Dagramm d Ve er l clusoe e la egazoe dove l quadrao raresea l ero sazo camoaro Ω e E E. L'ersezoe ra due eve E ed E è l'eveo E 3 E E che s realzza quado s realzzao eramb gl eve E ed E e che resa defo da u camoar che aaregoo sa ad E sa ad E. 5

6 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso L'uoe ra due eve E ed E è l'eveo E 4 E E che resa defo da u u camoar che aaregoo ad E o ad E o ad eramb gl eve E ed E. La rareseazoe grafca rame dagramm d Ve delle due oerazo ersezoe ed uoe è roraa ella fgura soosae Ω Ω E 3 E E E E E 4 Fg. 5 - Dagramm d Ve er l ersezoe e l uoe dove l raeggo vuole evdezare rsevamee, l eveo E 3, ella rma fgura e l eveo E 4 ella secoda fgura. La dffereza fra due eve E ed E l'eveo E 5 E - E che rsula cosuo da u camoar che aaregoo ad E ma o a E. S o che ua vola rodoe le oerazo d egazoe ed ersezoe oerazo base dell algebra d Boole s orebbe fare a meo d'rodurre le due uleror oerazo d uoe e d dffereza o essedo quese ulme oerazo coceualmee uove; fa: E E E E E E E E La relazoe E E E e la relazoe duale E E E E o soo alro che E la formulazoe rame la smbologa relava alla eora degl sem delle legg d de Morga, gà corae el recedee caolo. L'roduzoe d quese due ulme oerazo è gusfcaa dalla semlfcazoe, sa formale sa oerava, che esse comorao. mossble Due eve E e E s dcoo comabl se la loro ersezoe dà luogo all'eveo 6

7 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E E φ s raa d eve che o hao eleme u camoar comu. A queso uo rsula facle verfcare le relazo segue, dove l smbolo raresea la relazoe d mlcazoe dalla rma relazoe derva ecessaramee - è mlcaa - la secoda relazoe: E E > E E E E E > E E E φ Ω Ω φ φ E Ω E φ φ E Ω E E φ E E Ω Ω E E φ E E Ω E E E E E E E E E E E E U ulerore e rlevae coceo è quello d codzoameo degl eve. L'eveo E /E e s legge l'eveo E codzoao dall'eveo E o, ù semlcemee, l'eveo E dao E va aalzzao resuoedo gà verfcao l'eveo codzoae E. Il codzoameo degl eve s rsolve, racamee, ua sora d rdefzoe dello sazo camoaro che da Ω s rasforma ell'eveo codzoae, o, acora meglo, è l'eveo codzoae che assume la aura d sazo camoaro d rfermeo. 7

8 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Ω E E Fg. 6 - Rdefzoe degl saz er eve codzoa Se s cosdera l'eveo codzoao E /E o solo E s rasforma Ω ma ache l'eveo E s rasforma ell'eveo E E, quao, saedo che l'eveo E s è verfcao erdoo d rlevaza u u camoar che ur aareedo ad E o aaregoo ad E. Le oerazo d uoe e d ersezoe ossoo, auralmee, essere alcae ache a > eve. L'ersezoe fra eve E,E,.,E forsce come rsulao l'eveo E E E E... E E che coee u u camoar ω comu a eve E,E,.,E ; mere, l'uoe ra gl sess eve dà come rsulao l'eveo E E E E... E E che coee u u camoar ω che aaregoo ad almeo uo degl eve E. dsrbuva Le oerazo d uoe e d ersezoe soddsfao la roreà assocava e quella E E E 3 E E E 3 E E E 3 E E E 3 E E E 3 E E E 3 E E E 3 E E E E 3 E E E 3 E E E E 3 Le due ulme roreà dsrbuve er eve dao 8

9 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E E E... E E E E E E E E... E E E E E Relavamee agl eserme casual ù semlc o s'corao, usualmee, dffcolà ell'dvduazoe e ella successva eumerazoe de u camoar che e cosuscoo ossbl rsula. I eserme ù comless ossoo rsulare d oevole auslo alcue formule combaore rchamae secamee ell Aedce al caolo che faclao oevolmee l'eumerazoe de u camoar, coè l'esaa defzoe dello sazo camoaro. 9

10 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.3 Coceo d robablà Defzoe 4: S dce robablà d u eveo, la fuzoe a valor real E, defa sulla classe de soosem ammssbl eve dello sazo camoaro che soddsfa secfche roreà. I coce rmv rova o esermeo casuale, eveo e robablà rodo soo lega fra loro dalla seguee frase: "l'esermeo geera l'eveo co ua cera robablà". Dove, auralmee, la robablà va esa come msura alcaa agl eve quado vee codoo u esermeo casuale. I re coce rmv soo os a base della defzoe assomaca d robablà. S raa d ua defzoe che o ha sollevao obezo sosazal da are degl sudos doo la sua formulazoe da are d Kolmogorov. S raa fa d ua defzoe che s reoccua d recsare e charre solao coeu sac su qual è ù facle rovare l'accordo. Ma se da u lao l cosddeo arocco assomaco-formale alla robablà resea dubb vaagg, sa erm d acceablà che d svluo della eora, dall'alro lao l cosderare sol ase formal esclude og oeravà della defzoe sessa quao o cosee la dervazoe umerca della robablà e sgol cas cocre. Quado s vuol far rcorso alla robablà er rsolvere roblem real s dovrà, qud, fare ecessaramee rcorso ad alre defzo elle qual l'aseo semaco vee rvlegao. rma d raare della defzoe assomaca d robablà covee, erao, rodurre alre defzo. Tra le umerevol defzo roose leeraura, quesa sede se e reseao solao re: la defzoe classca, quella frequesa o sasca e la defzoe soggeva. S raa delle re defzo o assomache della robablà ù oe ed alle qual s fa ù sesso rfermeo raca; ue e re le defzo soddsfao a osula os a base della defzoe assomaca d robablà..3. Defzoe classca a ror della robablà La robablà E d u eveo E è daa dal raoro ra l umero E de cas favorevol al verfcars dell'eveo e l umero de cas ossbl, urché u cas sao egualmee ossbl 0

11 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E E umerodecas favorevol umerodecas ossbl Esemo. L azeda Lace Clohers roduce u ama vareà d ves da uomo, ra cu camce. Ua vola rodoe, le camce vegoo regae e maccheae auomacamee da 0 macche desgae aosamee a ale scoo e, ua vola raccolo l rsulao d cascua maccha caro, vegoo sede clee. A seguo d u sezoe d roue s score che ua d quese 0 macche o è messa a uo adeguaamee e, cosegueemee, crea degl sra og camca sooosa al rocesso d regaura e maccheameo. Aea rma d quesa sezoe, è saa vaa, a 00 cle dvers, ua sedzoe d 00 acch d camce ra cu 0 rovee dal maccharo dfeoso. Qual è la robablà che u clee rceva l acco coeee le camce dfeose? oché cascu clee rceverà uo de 00 acch d camce sed, lo sazo camoaro dell esermeo è cosuo da 00 eleme 00; olre, oché 0 d ques acch coegoo le camce dfeose E, allora, er la defzoe classca d robablà: E 0 E 0,0, 00 dove co E s dca l eveo acco coeee camce dfeose. Alla defzoe classca d robablà soo sae rvole crche d vara aura. La rma crca è d orde logco e rguarda la crcolarà della defzoe: affermare che u cas soo ugualmee ossbl sgfca dre che soo ugualmee robabl o s uò defre u coceo ulzzado lo sesso coceo. Alre due crche rguardao l oeravà della defzoe; ua vola suerao lo scoglo logco, o soo affao rare le suazo real elle qual o è ossble rocedere all eumerazoe de cas favorevol e de cas ossbl, olre, ache elle suazo cu s uò effeuare ua ale eumerazoe, o è frequee la crcosaza cu o u cas soo ugualmee ossbl. er suerare gl covee oerav cu s adrebbe coro se s volesse far rcorso alla defzoe classca d robablà quado le suazo o lo coseoo, è saa rodoa ua dversa defzoe d robablà.

12 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.3. Defzoe frequesa o sasca a oseror della robablà La robablà d u eveo reble E è daa dal raoro ra l umero E delle vole cu l'eveo s è verfcao ed l umero delle rove effeuae ue elle sesse codzo quado l umero delle rove sesse ede ad fo E lm E La robablà secodo quesa defzoe uò essere, erao, esa come ua sora d dealzzazoe della frequeza relava. Talu auor regoo, fa, che robablà e frequeza relava o sao alro che l'aseo eorco e quello emrco d uo sesso coceo ed erreao la frequeza relava d u eveo come msura arossmaa er fo della robablà. Ache alla defzoe frequesa soo sae rvole crche d vara aura quale quella relava al lme rraggugble moso al umero delle rove, ma ad ua ale crca s rsode acceado la frequeza relava d u umero fo ma suffceemee elevao d rove come msura arossmaa della robablà. Molo ù roblemaca è la rsosa alla crca relava alla reblà delle rove esermeo suazo varae e, sorauo, quella che fa rfermeo alle suazo real, e o soo affao freque, elle qual o è ossble rocedere all effeuazoe d alcua rova. Esemo. La Merc Ssems roduce crcu eleroc egra. Occasoalmee, l rocesso roduce u crcuo dfeoso e, saluaramee, l resosable er l corollo della qualà selezoa casualmee 500 crcu dalla lea d roduzoe e l sezoa aeamee. Nell ulma sezoe soo sa rscora 5 crcu dfeos su u oale d 500 sezoa. Qual è la robablà che l rocesso roduca u crcuo dfeoso? La selezoe casuale d u crcuo dalla lea d roduzoe corrsode ad ua sgola rova d u esermeo, qud, 500 selezo rareseao 500 rove, coè 500. S Idch co E l eveo roduzoe d u crcuo dfeoso. oché E s è mafesao 5 vole, la robablà che l rocesso roduca u crcuo dfeoso, sulla base della defzoe frequesa, è arossmaa dalla frequeza relava d E elle 500 rove: 5 E 0, E

13 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Ua defzoe che suera le crche, sa d orde logco che oeravo, rvole alla defzoe classca e alla defzoe frequesa d robablà è la defzoe soo roraa..3.3 Defzoe soggeva della robablà La robablà E d u eveo E vee defa come l grado d fduca che u dvduo razoale arbusce al verfcars d u eveo. La msura soggeva d robablà s derva oedo l'dvduo razoale d froe ad u'oerazoe d scommessa chededo quao è dsoso a uare er rcevere el caso cu l'eveo quesoe s realzz. S deve sooleare che quesa affermazoe vale solo el caso d dvdu co fuzoe d ulà leare; ma sulla fuzoe d ulà s avrà modo d orare el caolo sucessvo. Ache alla defzoe soggeva d robablà soo sae rvole crche. La rma rguarda roro la soggevà sa ella sessa defzoe, la secoda è relava alla dffcolà d raduzoe u valore umerco sgfcavo del grado d fduca. Alla rma crca s rsode osservado che qualuque robablà deve essere esa seso codzoao, coè codzoaamee allo sao d formazoe dell dvduo razoale; erao, ache se aareemee due dvdu dvers arbuscoo ua dversa msura d robablà ad uo sesso eveo, gl sess dvdu s rferscoo a due dvers eve essedo dverso lo sao d formazoe su cu basao l eslcazoe del roro grado d fduca. Alla secoda crca s rsode che, oosae alcue dffcolà oerave, alla msura d robablà s ervee, come gà sooleao, araverso l avazoe d u rocesso relavamee semlce almeo sul ao coceuale che è quello d orre l dvduo d froe ad ua oerazoe d scommessa. Le re defzo rodoe, cu s uò far rcorso er addvere ad ua valuazoe umerca della robablà, o soo ecessare er lo svluo del calcolo delle robablà basado a al fe la defzoe assomaca, ed a quesa defzoe s farà rfermeo egl svlu eorc che seguoo. Alle re defzo o assomache s farà, d vola vola, rfermeo elle esemlfcazo delle argomeazo eorche..3.4 Defzoe assomaca d robablà Gl assom o osula d base del Calcolo delle robablà soo se: l rmo rguarda l coceo rmvo d eveo, gl alr cque l coceo rmvo d robablà. 3

14 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Assoma - Gl eve formao u algebra d Boole comlea. Assoma - La msura d robablà d u eveo E è uca. Assoma 3 - La msura della robablà d u eveo è semre o egava E 0 Assoma 4 - La robablà dell eveo cero è uguale a Ω Assoma 5 - Se due eve E ed E soo comabl, coè se la loro ersezoe è l eveo mossble, allora la robablà della loro uoe è uguale alla somma delle robablà de sgol eve rco delle robablà oal er eve comabl E E E E er E E φ Assoma 6 - La robablà dell eveo codzoao E /E è ar alla robablà dell ersezoe de due eve raoraa alla robablà dell eveo codzoae suosa maggore d 0 E /E E E er E > 0 E L ulma relazoe uò essere rscra rco delle robablà comose come: E E E E /E E E E E /E I realà, saedo che s è realzzao u cero eveo E, o è deo che queso modfch ecessaramee la robablà d realzzars d u alro eveo E, uò accadere coè che E / E E al caso s avrà ache rco delle robablà comose er eve dede E E E E ed due eve E ed E s dcoo dede sascamee o dede socascamee, o dede robablà. ù geerale, eve E, E,..., E s dcoo sascamee o socascamee o robablscamee dede se 4

15 E E B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E E... E E E... E er og sooseme d eve E,E,,E s er s, 3, 4,...,. Ad esemo re eve E, E ed E 3 soo sascamee dede se valgoo le relazo E E E E E E 3 E E 3 E E 3 E E 3 E E E 3 E E E 3 S deve sooleare rooso che le rme re relazo dedeze doe o mlcao la quara dedeza rla. Così come la quara relazoe o mlca le rme re. Avedo defo la robablà come fuzoe da alcare agl eve dove, come recsao, l'eveo è u qualuque sooseme dello sazo camoaro Ω, coè u elemeo dell seme B Algebra d Boole comlea cosrua su Ω, rsula facle dmosrare le relazo eorem segue: E φ 0 E E > E < E E E E E - E E L'ulma relazoe, dea ache mroramee rco delle robablà oal, er eve dvea E Σ E Σ Σ j E E j Σ Σ j Σ h E E j Eh e s rduce al osulao delle robablà oal Assoma 5 E E quado eve E soo ra loro comabl. E 5

16 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso La robablà er eve codzoa o, ù semlcemee, la robablà codzoaa E /E soddsfa a rm cque assom; fa gl eve codzoa formao u algebra d Boole, olre E /E 0 E/E E E.../E E /E E /E... se gl eve E, E,... soo comabl. Iolre E E > E /E E /E E /E - E /E E E /E E /E E /E - E E /E Il rco delle robablà comose uò rguardare ache u umero qualsas d eve E, E, E 3,..., s avrà allora E E E 3... E.E /E.E 3 /E E... Esemo.3 La soceà IMA roduce comoe meccache grade quaà er u clee. Sccome lm d olleraza secfca dal clee soo uoso sever, la roduzoe d quese comoe è saa affdaa a due macchs eser, A e B. Al erme d og goraa ue le ar rodoe soo sezoae e classfcae come buoe G - good o dfeose D. La seguee abella rora da relav alla roduzoe d er: Macchsa Codzo A B Toale G D 0 3 Toale

17 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Qud le ar soo sae classfcae base alla codzoe buoa / dfeosa e base al macchsa reoso al rocesso roduvo. I S deermo le segue robablà: A, dove A è l eveo are rodoa dal macchsa A ; B, dove B è l eveo are rodoa dal macchsa B ; G, dove G è l eveo are rodoa secodo le secfche d olleraza del clee ; D, dove D è l eveo are dfeosa. A 00 / 00 0,50 B 00/ 00 0, 50 G 68/ 00 0, 84 D 3/ 00 06, II A G A D B G S deermo le robablà cogue de var eve: 80 / 00 0 / 00 88/ 00 0,40 0,0 0,44 B D / 00 0,06 III G A A D D A B G G B G D S deermo le robablà codzoae de var eve: A G A A D D A D A B G G B G B D G D 0,40 0,80 0,50 0,0 0,65 0,6 0,0 0,50 0,44 0,84 0,44 0,50 0,00 0,6 0,0 0,54 0,88 0,00 IV Ife, s cerch d care se la codzoe buoa / dfeosa d ua are rodoa è dedee dal macchsa che la roduce. Se esse dedeza ra quese caegore, allora gl eve la are è buoa e la are è saa rodoa da A soo sascamee dede. E, duque, ecessaro valuare la relazoe che sussse ra G A e G A. 7

18 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Da recede calcol rsula G A 80 / 00 0,40 G 68/ 00 0,84 A 00 / 00 0,50 G A 0,84 0,50 0,4 Sccome G A G A A e G o soo sascamee dede, qud l macchsa reoso al rocesso d roduzoe flueza la codzoe buoa o dfeosa della are rodoa. Alla sessa coclusoe s ervee cosderado le relazo ra AG e A, dal momeo che AG 80 /00 0,80 e A 00 / 00 0,50 AG A Da da rora abella e da recede calcol ossoo essere verfcae ache le segue uleror relazo: A D A B G B D B B che cofermao la dedeza sasca ra oeraore reoso al rocesso roduvo e rsulao dello sesso. Esemo.4 L azeda Sgma forsce maeral er la cosruzoe d case e aualmee ha u corao co uo de suo cle er evadere u orde ero l 3 luglo. Al momeo sussse ua cera cerezza mero al fao che l azeda resca a rseare l erme moso dal corao, oché o sa se rceverà le maere rme ecessare dal suo forore ero la meà d luglo. Cosderado che adesso samo al luglo, come uò essere smaa l cerezza quesa suazoe? Sa A l eveo che la Sgma resca a rseare la scadeza corauale del 3 luglo e B l eveo che rceva le maere rme ero l 5 luglo dal forore. All zo d luglo l azeda sma che la robablà d oeere le maere rme emo è ar a B /3; olre, se le maere rme soo cosegae er emo, allora la robablà d ermare lavor er la fe del mese è smaa A/B ¾. Qud, alcado l rco delle robablà comose, s oee 8

19 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso A B A B B 3/ 4 / 3 0,50 Esse, qud, ua robablà del 50% che l azeda Sgma oega le maere rme emo e resca a cosegare l maerale al clee er la fe d luglo. uò essere eressae rocedere al calcolo d uleror robablà. Idchamo co B l eveo che le maere rme o arrvo emo; qud, B -/3 /3. Suoedo che la robablà d ermare lavor ero l 3 luglo, dao che foror o hao cosegao ero l 5 le maere rme ecessare sa smaa A/ B /5. D cosegueza, alcado d uovo l rco delle robablà comose, s oee A B A B B / 5 / 3 0,0667, coè la robablà che l maerale o arrv emo, ma lavor sao ugualmee ulma er la scadeza corauale è ar al 6,67%. A queso uo, al maageme dell azeda uò essere ule cooscere la robablà d ermare lavor ero l 3 luglo, dedeemee dal fao che le maere rme sao cosegae ero la meà del mese. oché B e B soo due eve comabl o s verfca l uo o s verfca l alro, allora er l rco delle robablà oal er eve comabl, oeamo A A B A B 0,50 0,0667 0,5667 Qud, c è ua robablà del 56,67% che la soceà Sgma resca a rseare erm d esecuzoe del corao. 9

20 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.4 Teorema d Baes Il eorema d Baes raresea, come gà acceao el rmo caolo, u elemeo eorco fodameale er la Teora sasca delle decso. Esso cosee, fa, al soggeo decsore d revsoare le formazo a ror che lo sesso ossede sul feomeo oggeo d sudo araverso le uleror formazo acquse rame eserme camoar, modo da oeere formazo a oseror ù comlee e, qud, ù ul er l rocesso decsoale. S cosder ua arzoe dello sazo camoaro Ω eve E, E,..., E,..., E ; eve soo ecessar ed comabl, al coè da rseare le codzo E E j φ er j,,..., e Ω. Se E è u eveo aareee ad Ω s ha E E E Ω E E E E e, er l'comablà degl eve E, ache E [ E E] E E. Iolre, valedo le relazo s avrà E E j E j E/ E j E j E E E j /E E j /E E j E/E E j E E / E j E E / E j che vee dea formula d Baes ed assume ua rlevaza arcolare quado eve E ossoo essere errea come ossbl cause dell'eveo E. I ale coeso, E j /E vee dea robablà a oseror della causa E j ; mere, E j raresea la robablà a ror della sessa causa e E/ E j è dea robablà robava o verosmglaza dell'eveo E. 0

21 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E E 3 E 4 Ω E E E 5 Fg. 7 - arzoe dello sazo camoaro Ω cque eve E, E, E 3, E 4 ed E 5 La formula d Baes esrme maera molo semlce l rocesso d aredmeo dall'esereza coes o deermsc. Della realà s ossede ua coosceza robablsca, che vee esressa erm d robablà a ror E j, quese robablà s rasformao, al verfcars dell'eveo E acquszoe d uleror formazo, elle robablà a oseror E j /E. Le robablà codzoae s usao, qud, er rassegare le robablà agl eve ua vola che sao sae acquse uleror formazo relave ad ua realzzazoe arzale d u esermeo casuale. S cosder l caso cu u soggeo debba assumere ua decsoe d vesmeo d breve erodo; s suoga, olre, che gl eve E, E,., E rareseo u ossbl sa ra loro comabl che l mercao fazaro uò assumere ell arco d ua semaa. S suoga, fe, che l soggeo decsore o coosca la quoazoe odera del MIB30. Se l soggeo è mossblao a rocurars l valore odero del MIB30, allora egl sceglerà l vesmeo ù ooruo sulla base delle sole formazo a ror che ossede relavamee agl eve E, E,., E, vale a dre le robablà soggeve E, E,, E, che dederao dall adameo degl ulm gor del MIB30, oché da alre cosderazo soggeve sull adameo ecoomco e socale del ssema. Se, vece, l decsore ha la ossblà d rocurars uleror formazo su ad esemo collegados va Iere co la Borsa Valor d Mlao, uò sfruare quesa formazoe agguva er raggorare, sulla base della formula d Baes, le robablà a ror che egl aveva arbuo agl eve E, E,., E, oeedo così le robablà a oseror E. Esemo.5 Da u corollo d qualà effeuao sul rocesso roduvo dell azeda Alfa rsula che l 40% delle ar dfeose rodoe è dovuo a error meccac, mere l resae 60% è dovuo ad

22 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso error uma. S sa, olre, che dfe causa da error meccac ossoo essere rleva, occasoe d u sezoe d qualà, co u asso d accuraezza del 90%, asso che scede al 50% er dfe rsula da error uma. S suoga che a seguo d u sezoe d qualà sa sao rovao u ezzo dfeoso. Qual è la robablà che ale dfeo sa sao causao da u errore meccaco? meccaco; meccaco; Se s assume che: E m 0,40 è la robablà a ror che ua are dfeosa sa causaa da u errore E u 0,60 è la robablà a ror che ua are dfeosa sa causaa da errore umao; D/E m 0,90 è la robablà d reseza d ua are dfeosa causaa da errore D/E u 0,50 è la robablà d reseza d ua are dfeosa causaa da errore umao; E m /D? la robablà che la are dfeosa rlevaa al corollo sa saa rovocaa da errore meccaco. Alcado l Teorema d Baes s ha: E D m E m D D E D E E D E E D E m m m u m u 0,40 0,90 0,55 0,40 0,90 0,60 0,50 Qud, la robablà che l ezzo dfeoso sa sao causao da errore meccaco è ar al 55%. D cosegueza, la robablà che u ezzo dfeoso sa sao causao da errore umao è ar al 45% - 0,55. La seguee abella mosra le fas dell alcazoe del Teorema d Baes: Causa rob. a ror rob. rob. cogue rob.a E E codzoae E D/E oseror D/E E /D Meccaca m 0,40 0,90 0,36 0,55 Umaa u 0,60 0,50 0,30 0,45 Toale,00 0,66*,00 * robablà margale Esemo.6 Aualmee u azeda che roduce ar eleroche dsoe d 4 macchar: A, A, A 3, A 4, oguo co ua caacà roduva d ezz a semaa. I lea geerale, s uò reere che quao ù u maccharo è uovo ao ù basso è l umero d ar dfeose che lo

23 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso sesso roduce. U corollo effeuao dall azeda rvela segue ass d ar dfeose rodoe da cascua maccha: 0% er A oché è uova; % er A che è saa acqusaa u ao fa; 5% er A 3 che è saa acqusaa due a fa; 0% er A 4 che è oerava gà da re a. Al erme del quaro ao d avà og maccharo vee rmazzao co uo uovo. er effeuare u corollo agguvo, l resosable della roduzoe selezoa casualmee u ezzo gà roo er la sedzoe al clee. Tale ezzo rsula dfeoso: qual è la robablà che l ezzo esrao casualmee sa sao rodoo dalla maccha A, dao che rsula essere dfeoso? S oga: D robablà che sa osservaa ua are dfeosa A robablà che ua are sa rodoa dal maccharo -esmo D/A robablà codzoaa che sa selezoaa casualmee ua are dfeosa, dao che è saa rodoa dal maccharo -esmo. I base a da del roblema rsula: D/A 0,00 D/A 0,0 D/A 3 0,05 D/A 4 0,0 Iolre, oché cascua maccha roduce lo sesso umero d ar eleroche, la robablà a ror che l camoe esrao rovega da ua delle 4 macche è semre uguale al 5%, coè: A A A 3 A 4 0,5 Qud, D A A D A A D D A D A A A4 0,5 0,00 0,5 0,0 0,5 0,05 0,5 0,0 0,040 A queso uo s uò alcare l Teorema d Baes er deermare la robablà a oseror che l camoe esrao rovega dal maccharo A, essedo oo che è dfeoso: A D A D A 0,5 0,0 0,065 6,5% 0,04 D La seguee abella mosra l deaglo de assagg svol: 3

24 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Causa A rob.a ror A rob.codzoae D/A rob.cogue A D/A A 0,5 0,00 0,0000 0,0000 A 0,5 0,0 0,005 0,065 A 3 0,5 0,05 0,05 0,35 A 4 0,5 0,0 0,050 0,650 Toal,00 0,0400*,0000 * robablà margale rob.a oseror A /D E eressae cofroare l eleco delle robablà a ror co quello delle robablà a oseror, er valuare l effeo rovocao dall mego dell formazoe agguva dao camoaro sul rsulao del roblema. Effevamee s ossoo oare delle dffereze oevol: doo che la robablà a ror è saa modfcaa dall formazoe camoara, la robablà che ua are dfeosa vega rodoa dalla maccha A 4 cresce oevolmee dal 5% al 6,5%, mere la robablà che ua are dfeosa rovega dalla maccha A scede dal 5% allo 0%. Fao queso del uo ragoevole se s ee coo della crcosazac che l umero d dfe dede dall eà del maccharo. Doo la sommara dcazoe delle oerazo rore del calcolo delle robablà e doo aver recsao che la rlea Ω, B,. [dove: Ω è lo sazo camoaro coè l seme d u u camoar ω,... ossbl rsula d u esermeo casuale, B è l algebra d Boole, ω comlea cosrua su Ω e. è ua fuzoe defa su B che gode d arcolar roreà], vee dea sazo d robablà o sazo robablsco, s uò rocedere all'roduzoe d due uleror coce che ossoo essere reu fodameal ello svluo sa del calcolo delle robablà sa della sasca. Il rmo coceo è quello d "varable casuale", l secodo è quello d "fuzoe d dsrbuzoe". 4

25 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.5 Varabl casual Defzoe 5: S dce varable casuale, ua fuzoe. a valor real defa sullo sazo camoaro Ω; coè og fuzoe che, soddsfacedo ad oorue codzo al da reservare la sruura d B, assoca ad og uo dello sazo camoaro u umero reale. I erm ù rgoros, la fuzoe uvoca ω defa su Ω è ua varable casuale o varable socasca, o varable aleaora o umero aleaoro se vale la relazoe A { ω Ω / ω } B coè se l seme A, cosuo da u gl eve elemear ω er qual l valore assuo dalla fuzoe ω è more od uguale ad u umero reale qualsas, è u elemeo d B, coè u eveo aareee all algebra. Le varabl casual s dsguoo : a dscree, se l rago della fuzoe è cosuo da u umero fo o da u'fà umerable d umer real; b coue, se l rago della fuzoe è cosuo da u seme couo e qud o umerable d umer real. Defzoe 6: S dce fuzoe d dsrbuzoe o fuzoe d rarzoe, o fuzoe delle robablà cumulae della varable casuale, la fuzoe F defa dalla relazoe F dove: raresea u umero reale qualuque; msura la robablà co cu la varable casuale uò assumere u valore ferore od uguale al umero reale. La fuzoe d dsrbuzoe o raresea alro che la robablà dell eveo A defo recedeza; fa: A [ Ω / ω ] [ ω ] ω. Se co,,...,, s dcao le ossbl deermazo dse, ordae modo crescee, d ua cera varable casuale dscrea e co,,...,, le robablà rseve, s avrà 5

26 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso F j j j j dove j j. La fuzoe f che derva dalla relazoe f F - F - vee dea fuzoe d massa d robablà e, ovvamee, forsce la robablà che l eà varable ha d assumere la secfca deermazoe ; fa F - F er,,...,. Nel caso cu la varable sa coua, e la F sa ua fuzoe assoluamee coua s suorrà, da ora o e er ue le F che ale codzoe sa soddsfaa, esserà la dervaa d F f d S rcorda rooso che le fuzo assoluamee coue soo fuzo coue e dervabl quas ovuque. La fuzoe f così defa vee dea fuzoe d desà d robablà o ù semlcemee fuzoe d desà. S avrà qud ache f d df { d} f d F; olre raresea la robablà co cu ua varable casuale coua assume valor all'ero dell'ervallo fesmo d. Va rlevao che le fuzo d dsrbuzoe, e qud le corrsode corrsodeza buvoca fuzo d massa d robablà, el dscreo, d desà d robablà, el couo, che defcao comleamee le varabl casual cu s rferscoo, soo caraerzzae da secfc valor eà d rfermeo dee aramer. er evdezare ale fao, s usa la oazoe F; θ ;θ,...,θ ; f; θ ;θ,...,θ dove smbol θ ;θ,...,θ dcao aramer caraersc della fuzoe modello robablsco. Rercorredo l rocesso che ha orao alla defzoe della fuzoe d dsrbuzoe, della fuzoe d massa e d desà d robablà, rsula mmedaa l dvduazoe delle roreà che al fuzo soddsfao. 6

27 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso S suoga che la varable casuale dscrea ossa assumere le deermazo,,...,,...,, dove: < e uò ache edere al valore e che la varable casuale coua rsul defa ell ervallo dell asse reale a b dove: a < b, a uò edere al valore - e b edere al valore, allora la fuzoe d dsrbuzoe F:. assume valor ell ervallo uaro 0 F. l lme ssro assume valore zero lm F 0 3. l lme desro assume valore uo lm F 4. è moooa o decrescee 5. è coua a desra el caso dscreo u d dscouà s collocao corrsodeza de valor,,..., assu dalla varable ed è assoluamee coua coua e dervable quas ovuque el caso couo. La fuzoe d massa d robablà f, essedo ua robablà gode delle roreà gà cosderae relavamee a ale eà, olre f. La fuzoe d desà f soddsfa le codzo f 0 b f d a Da quao è sao deo, rsula che ua varable casuale rmae dvduaa comleamee dalla sua fuzoe d dsrbuzoe o d massa o d desà d robablà e che essa raresea ua formalzzazoe asraa modello dell'seme delle ossbl mafesazo d u cero feomeo avee aura aleaora. 7

28 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.6 Valore aeso e mome d varabl casual er arcolar esgeze scefche ed oerave s uò essere eressa all effeuazoe d ua rareseazoe seca delle mafesazo d u cero feomeo medae dc caraersc. uò, coè, rsulare coveee, o suffcee, descrvere ua varable casuale co degl dc caraersc, azché rocedere ad ua sua rareseazoe comlea medae la fuzoe d dsrbuzoe, la fuzoe d massa o la fuzoe d desà d robablà. U modo d ervere alla ses d ua varable casuale è quello d rocedere al calcolo del valore aeso E. d arcolar rasformazo Y g della varable casuale sessa. I quesa sede s cosderao solo le rasformazo che orao alla defzoe d ua uova varable casuale Y; se, ad es., è ua v.c. coua co fuzoe d desà f, ache Y g è ua varable casuale, dscrea o coua, la cu fuzoe d desà f o d massa d robablà f orà essere dervaa araverso arorae rasformazo della fuzoe d desà f. Defzoe 7: S defsce valore aeso d ua rasformazoe g d ua varable casuale, co fuzoe d dsrbuzoe F, la quaà defa dalla relazoe E [ g ] g f el dscreo [ g ] g f E d el couo dove f valore è la fuzoe d massa d robablà della varable casuale dscrea che assume l co robablà f, er,,..., ; mere f è la fuzoe d desà d robablà della varable casuale coua, defa ell ervallo a b. S uò osservare come l oeraore valore aeso o rcheda la dervazoe della fuzoe d desà o d massa d robablà della varable casuale rasformaa Y g e goda della roreà d learà; fa, er qualuque varable, co fuzoe f el dscreo, f el couo, dae due cosa a, b e due rasformazo g e g acora varabl casual { ag bg } ae[ g ] be[ g ] E come s uò verfcare faclmee osservado le relazo soo rorae 8

29 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E { ag bg } [ ag bg ] f [ g ] be[ g ] ag f bg f ae el dscreo e el couo. b E b [ ag bg ] [ ag bg ] f d a b [ g ] be[ g ] a g f d b g f d ae a a Esemo.7 Ua comaga d vesme sa cosderado se vesre u rogeo d esrazoe merara Caada oure ua sedzoe d rvellazoe del erolo Alasa. U aals relmare mosra che l vesmeo el rogeo d esrazoe merara geererà u rofo eo d $, ell oes cu vega rovao l oro; alrme la comaga erderà $. D alra are, la comaga oerrà u rofo eo d $ o ua erda d $ ell affare erolfero, a secoda che vega scoero o meo l erolo. Suoedo che u geologo abba smao ua robablà del 70% che sa scoero l oro e ua robablà del 50% che sa scoero l erolo e assumedo che eramb roge rchedoo lo sesso ammoare d caale zale e che solo uo de due roge uò essere rareso, qual è l vesmeo ù coveee er la comaga? I queso caso s assume che l crero d scela della comaga sa l maggor valore aeso erm moear, coè la comaga roverà ù coveee l vesmeo che resea l ù alo valore aeso. Il valore aeso de due roge è dao, base alla recedee defzoe, da: - rogeo d esrazoe merara : 0 E , , $, dove co s dca l rsulao dell eveo successo 0 o successo del rogeo e co le rseve robablà. La seguee abella rassume quao deo: 9

30 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Eveo robablà Rsulao Valore Aeso Successo 0, Isuccesso 0, Valore Aeso del rogeo esrazoe merara rogeazoe d rvellazoe erolfera Y: 0 E Y , , $, dove co s dca l rsulao dell eveo successo 0 e successo del rogeo e co le relave robablà. La seguee abella rassume quao deo: Eveo robablà Rsulao Valore Aeso Successo 0, Isuccesso 0, Valore Aeso del rogeo rvellazoe erolfera I coclusoe, oché l rogeo relavo all esrazoe merara resea u rofo aeso maggore, la decsoe oma er la comaga d vesmeo è vesre ale affare uoso che quello relavo alla rvellazoe erolfera. Esemo.8 L azeda Gamma sa esado d acqusare u uovo maccharo, che dovrebbe cosere ua oevole rduzoe de cos d roduzoe rseo al maccharo aualmee megao. La uova maccha cosa euro e c s aede u rsarmo d crca 0,50 euro/ora; qud. Il rsarmo comlessvo R è dao da R , 50, dove dca l umero d ore-maccha megae. Il maageme o coosce acora l ammoare esao d ore durae le qual l maccharo sarà fuzoe, duque esrme la sua cerezza erm della seguee dsrbuzoe d robablà 30

31 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Ore d uso robablà , , , ,0 I base a da a dsoszoe, è coveee er l azeda acqusare l maccharo? Il maageme dovrebbe decdere er l acquso del uovo maccharo ell oes cu l rsarmo aeso dello sesso sa osvo: E R E ,50 E E0, ,50E , ,50 [ ] 0, , , , oché l rsarmo aeso assume u valore osvo d euro, l azeda dovrebbe acqusare l uovo maccharo. Fora abbamo cosderao l caso ù semlce cu g : queso caso arcolare, come sarà uualzzao seguo, l valore aeso vee ache deo momeo rmo rseo all orge o meda armeca della v.c.. Mome rseo all orge oedo g r er r 0,,,... s ha E r [ g ] E r b r a r f f d eldscreo elcouo che vee deo momeo r-esmo rseo all orge o momeo d orde r rseo all orge. Da rlevare che l momeo d orde 0 0 E 0 b a f eldscreo f d elcouo 3

32 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso è assoluamee o sgfcavo rsulado, almeo elle codzo qu refgurae, semre uguale ad uo er qualuque varable casuale. arcolare rlevaza assume l momeo d orde uo. E [ g ] E b a f f d che vee deo ache meda armeca della varable casuale ed è l dce seco dce caraersco ù ulzzao er meere evdeza quao c è d co ella varable casuale. Alr mome d u cero rlevo soo l momeo secodo, l momeo erzo 3 ed l momeo quaro 4 che evdezao, come s avrà modo d sooleare elle rghe successve, la loro rlevaza coes dvers d ses delle varabl casual. Esemo.9 Idcado co la domada er ua arcolare marca d deersvo u suermercao e co f la rseva robablà secodo l seguee schema f 0,05 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,05 S deerm la domada meda. E f 0 0,0 0,5 3 0,5 4 0,0 5 0,0 6 0,0 7 0,05 3, 40 Mome rseo alla meda o mome ceral oedo g r, er r 0,,..., dove E è l momeo rmo rseo all orge meda armeca della varable casuale, s avrà r E r [ g ] E[ ] b a r r f f d el dscreo el couo che vee deo momeo cerale r-esmo o momeo d orde r rseo alla meda armeca. uo; fa Olre al momeo d orde zero, o resea alcua rlevaza ache l momeo d orde 3

33 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso [ g ] E[ ] E 0 E E dove o s è ù roceduo, essedo fao orma acquso, alla eslcazoe del valore aeso erm d sommaora o d egrale. La rasformazoe g s rsolve co ua raslazoe dell orge el uo medo. La varable casuale rasformaa s dca usualmee co l smbolo S e vee dea varable casuale scaro. Qualuque varable casuale scaro ha, erao, l momeo rmo semre uguale a zero; coè la meda armeca d ua qualuque varable casuale scaro è uguale a zero. Il momeo cerale d orde due [ g ] E[ ] E E E E E vee deomao varaza ed assume ua rlevaza ua arcolare quao è l dce ù ulzzao er sezzare la varablà d ua varable casuale. Da sooleare che l momeo cerale d orde due, coè la varaza, è uguale al momeo secodo rseo all orge meo l quadrao del momeo rmo rseo all orge Essedo la meda armeca e la varaza gl dc caraersc ù ulzza er sezzare u solo valore, rsevamee, la cà e la varablà d ua varable casuale, s corao sesso suazo cu eressa valuare l effeo sulla meda e sulla varaza d arcolar rasformazo d varabl casual. Ieressa, ad esemo, mol coes d rcerca rocedere ad ua rasformazoe leare cambameo del ssema d rfermeo che s rsolve ella raslazoe dell orge e el cambameo dell uà d msura co cu è esressa la varable della varable Y a b Se co e s dcao rsevamee la meda e la varaza della varable casuale, la meda e la varaza della varable casuale rasformaa Y rsulao dalla relazoe 33

34 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso E Y E a b a b coè, la meda d ua rasformazoe leare d ua varable casuale è uguale alla rasformazoe leare della meda della varable casuale orgara. [ Y ] E[ a b a b ] E E [ b b ] b E[ ] b coè, la varaza d ua rasformazoe leare d ua varable casuale è ar alla varaza della varable casuale orgara mollcaa er l quadrao del coeffcee agolare della rasformazoe. Mome sadardzza oedo g r dove: è l momeo rmo meda armeca della varable casuale e la radce quadraa osva della sua varaza, s ha r r f el dscreo [ ] r E g E er r,,... r b f d elcouo a che vee deo momeo sadardzzao r-esmo o momeo sadardzzao d orde r. La rasformazoe leare, sadardzzazoe Z è arcolarmee rlevae quao, olre a rocedere alla raslazoe el uo medo, s ulzza come uova uà d msura l valore assuo dall dce caraersco d varablà che rede l ome d scosameo quadraco medo. Olre a mome sadardzza d orde zero 0 e d orde uo 0 momeo sadardzzao d orde due è del uo rrlevae; fa ache l 34

35 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso [ ] E E coè, er qualuque varable casuale l secodo momeo sadardzzao è uguale a uo. arcolare rlevaza assumoo, vece, l momeo erzo sadardzzao 3 [ ] 3 E 3 3 E γ 3 3 che msura la smmera rseo al valore cerale delle dsrbuzo, ed l momeo quaro sadardzzao 4 [ ] 4 E 4 4 E γ 4 4 che msura la curos aameo rseo alla dsrbuzoe ormale che verrà aalzzaa elle age successve della dsrbuzoe. Su due dc d smmera γ e d curos γ s avrà modo d orare successvamee, doo aver arlao della varable casuale ormale, mere rsula coveee defre alr due dc caraersc molo usa er sezzare gl ase d cà delle varabl casual. Il rmo dce caraersco che s cosdera è la moda d ua varable casuale. S defsce come moda M o d ua dsrbuzoe l valore della modalà cu corrsode la robablà el caso dscreo o la desà d robablà el caso couo ù elevaa. Quado l massmo o è uco s arla d dsrbuzo lurmodal; coceo queso che uò essere eseso ache a suazo cu s cosderao o solo l massmo assoluo della robablà o della desà d robablà ma ache massm relav massm local. Il secodo dce caraersco che serve ad evdezare la cà delle varabl casual è la medaa. S defsce come medaa M e d ua varable casuale coua l valore cerale della dsrbuzoe sessa; coè l valore della modalà rseo al quale s regsra ua robablà ar a 0,50 d valor feror e ar a 0,50 d valor sueror. S uò aver eresse alla dvduazoe d alr valor segalec arcolar. Se la varable casuale è coua, l valore che è receduo dal 5% de cas e seguo dal 75% de cas quello receduo dal 75% de cas e seguo dal 5% de cas Q3. I valor Q e Q 3 vegoo de, Q e 35

36 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso rsevamee, rmo e erzo quarle; ovvamee l secodo quarle Q è uguale alla Medaa. I geerale l -esmo quale, co 0 < <, è l valore, usualmee dcao co Q, che soddsfa la relazoe [ Q ]. er le varabl casual coue è ossble oerare la suddvsoe co ua roorzoe esaa d cas a ssra ed ua roorzoe - esaa d cas a desra d Q, mere cò o è semre ossble er le varabl casual dscree. Ifa, er le varabl casual dscree la massa d robablà del uo Q uò essere dversa da zero, erao, la roorzoe d valor a ssra d Q uò essere e la roorzoe d valor a desra d Q uò essere -. uò accadere, coè, che o essa alcu valore er l quale F, l quale vee comuque faclmee dvduao corrsodeza del valore Q el quale s rscora l salo della fuzoe d dsrbuzoe da u valore ferore a ad u valore suerore a. Iolre, semre er le varabl casual dscree uò accadere che la relazoe F valga er u ervallo d valor d, queso caso l quale s oee calcolado la semsomma degl esrem dell ervallo. Mome sadardzza oedo s oegoo mome faoral d orde r: g r r E[ g ] E[ - r ]. Tra mome faoral ed mome rseo all orge valgoo le relazo soo rorae; relazo che coseoo d dervare mome rseo all orge qualche caso d dffcle comuo da mome faoral Fuzoe Geerarce de Mome oedo g e, er og valore d comreso ell ervallo h<<h co h>0, s ha m E e e f, se è ua v.c. dscrea; 36

37 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso e m E e f d, se è ua v.c. coua. che vee dea fuzoe geerarce de mome rasformaa d Lalace della v.c.. La fuzoe geerarce de mome, quado esse, gode d mora roreà, ra quesa ua delle ù rleva è quella d cosere l comuo mmedao de mome rseo all orge; fa, se s svlua sere e s ha: da cu e e! 3 3! 3 3 m E E... 3.! 3!! 3! r d r m r 0 er r,,. d 3... Coè, se s calcola la dervaa r-esma della fuzoe geerarce de mome el uo 0 s oee l momeo r-esmo rseo all orge. Ragoado modo aalogo, s ossoo defre la fuzoe geerarce de mome ceral e la fuzoe geerarce de mome sadardzza. La roreà ù rlevae della fuzoe geerarce de mome è l uvocà; coè, essedo corrsodeza buvoca co la fuzoe d dsrbuzoe e qud co la fuzoe d massa o d desà d robablà quella d defcare modo uvoco la v.c. d rfermeo. Ua ulerore morae roreà è quella della coservazoe del lme. Sa,,,., ua successoe d v.c. co fuzoe d dsrbuzoe F e fuzoe geerarce de mome m ; allora, se s dmosra che F lm F * lm m m * Iolre se è la fuzoe geerarce de mome della v.c., allora b è la m fuzoe geerarce de mome della v.c. Y a b. m 37

38 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Esemo.0 Sa ua varable casuale coua defa ell ervallo co fuzoe d desà d robablà f λe λ v.c. d o esoezale s ha: m E e I mome rseo all orge soo da da: dm m' d dm' m' ' d λ λ λ λ 3, qud 0 e e m ' 0 E λ d λ λ λ er <λ λ, qud m ' '0 E λ Mere l secodo momeo cerale varaza è daa da λ λ λ Fuzoe Geerarce de Mome Faoral oedo g, dove assume valor u oro d, s ha m m E f, se è ua v.c. dscrea; E f d, se è ua v.c. coua. che vee dea fuzoe geerarce de mome faoral della v.c.. La dervaa r-esma d quesa fuzoe, quado esse, el uo geera l momeo faorale d orde r. d d r r m / E[ - - r ] r Fuzoe Caraersca Traado della fuzoe geerarce de mome è saa a ù rrese aggua la recsazoe: se esse ; effe ale fuzoe orebbe o essere sa er v.c. dscree che ossoo assumere ua fà umerable d valor dvers sa er v.c. coue o essedo covergee la somma d f erm o l egrale. Ua raazoe ù uuale della dsrbuzoe esoezale verrà roosa elle age successve. 38

39 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso Se s oe g e, er og valore d comreso ell ervallo h< <h co h > 0 e è l uà mmagara, la fuzoe soo defa esse semre m E m E e e f el caso dscreo e e f d el caso couo fa, se s cosdera, ad esemo l caso couo s ha E e E cos se cos f d se f d m essedo cos e se assoluamee lmae, l egrale sora scro è assoluamee covergee s uò qud calcolare er qualuque valore d comreso ra - e. La fuzoe sora rodoa vee dea fuzoe caraersca rasformaa d Fourer della v.c. e gode d ue le roreà della fuzoe geerarce de mome ma, rseo a ques ulma fuzoe, ha l ulerore roreà d essere semre. 39

40 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso.7 Varabl casual dscree Alcu modell robablsc secfc d varabl casual s soo dmosra arcolarmee ul var cam della rcerca alcaa. Tra ques, e vegoo resea alcu, ra quell ù comuemee usa, facedo rfermeo al o d dsrbuzoe ad ess assocaa..7. Dsrbuzoe Bomale La dsrbuzoe Bomale s usa quado s è eressa al umero delle vole co cu u cero eveo E s resea rezo dede d u esermeo casuale. Essa uò, qud, essere cosderaa u'eccellee modello robablsco er mole suazo sermeal. Ifa, ale dsrbuzoe uò servre er sudare ad es. l'aeggameo de cad e cofro d u deermao rovvedmeo legslavo favorevol o corar alla elezoe drea del resdee della reubblca, er aalzzare la roduzoe d u deermao maccharo ezz regolar e ezz dfeos ecc. Serve coè, geerale, ello sudo d u que feome che ossoo essere caraerzza da u eveo che uò realzzars o meo: "successo" o "successo"; dove, successo vuol dre esrazoe d alla baca, essere favorevole alla elezoe drea del resdee, ezzo regolare, ecc., mere successo vuol dre esrazoe d alla era, essere corar alla elezoe drea, ezzo dfeoso, ecc. Se co E s dca la robablà che ha l'eveo d resears ua sgola rova, - q rareseerà la robablà corara, coè la robablà del o verfcars dell'eveo. S cosder ora la varable casuale ω umero delle vole cu l'eveo E s resea rove dede. er s avrà che la varable casuale ω, dea varable casuale d Beroull, orà assumere ucamee due valor 0 e, co robablà rseve 0 q - ; La corrsodee fuzoe d massa assume valor f0 q e f, e uò essere esressa dalla formula f f; q - er 0, 40

41 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso er qualsas, s avrà che la varable casuale umero d success rove dede orà assumere valor 0,,,...,, s raa coè d ua fuzoe che assoca ad og ossble sequeza d success ed success rove dede, l umero d success che elle rove s soo verfca. La robablà d success f, coè la fuzoe d massa d robablà è daa da dove f f;, q raresea l umero d ermuazo co rezoe d ogge d cu e - soo ugual ra loro che cocde co l umero delle combazo d ogge a, coè!!! L'erreazoe della formula della fuzoe d massa d robablà della varable casuale bomale è mmedaa: la robablà d ua secfca successoe d success e - success dede è ar a rco delle robablà comose er eve dede q q q vole vole q ; o essedo eressa all'orde d reseazoe de success, ma solo al loro umero, al robablà dovrao essere sommae rco delle robablà oal er eve comabl ae vole quae soo le ermuazo d ogge d cu ed - soo ugual ra loro. Il ome d varable casuale bomale derva dal fao che valor della fuzoe f rareseao erm dello svluo del bomo d Newo. Ovvamee la somma delle robablà relave a u ossbl valor assu dalla varable casuale bomale come er qualuque varable dscrea è uguale ad uo; fa 0 q q 4

42 B. Chadoo Versoe 006 Sasca er le decso La meda e la varaza della dsrbuzoe bomale soo dae rsevamee dalle uguaglaze q f 0 0, ; q q f 0 0, ; Dmosrazoe: [ ] [ ] 0 0!!!, ; q q f E oso - m e -, allora q q m m m m Newo d o B m!!! 0 om C.V.D. Dmosrazoe: q [ ] [ ] q q m m q m m q q q q E m Newo d Bomo m m m !!!!!!!!! dove - e m -. da cu: q q La fuzoe geerarce de mome della v.c. bomale è daa da 4