2. FUNZIONE D ONDA, OSSERVABILI QUANTISTICHE ED EQUAZIONE DI SCHROEDINGER Ovvero: Gli strumenti della Meccanica Quantistica

Transcript

1 . FUNZIONE D ONDA OSSERVABILI QUANTISTICHE ED EQUAZIONE DI SCHROEDINGER Ovvero: Gl srume della Meccaca Quasca Ssema d eresse cosderao come solao: aomo/molecola Cofgurazoe del ssema: seme de veor poszoe de compoe elero ucle: r r r3 3 4 N compoe parcelle: srga a 3N eleme. Spazo delle cofgurazo: rappreseazoe geomerca d ue le possbl cofgurazo Descrzoe classca e. d Newo: raeora del ssema Prcpo d deermazoe d Heseberg mpossblà d osservare la raeora ecessà d u dverso srumeo descrvo della damca del ssema raeora Spazo delle cofgurazo Fuzoe d oda

2 Sao del ssema come fuzoe del empo : Meccaca Classca: Meccaca Quasca: Percorso meodologco Appedce e suo sgfcao probablsco Numer compless Probablà Rappreseazoe d Spaz Hlbera Osservabl uasche Operaor e spaz Hlbera Damca d : E. d Schroedger

3 La fuzoe d oda è ua fuzoe a valor compless delle coordae cofgurazoe e del empo Im Re Salvo cas parcolar process d scaerg s suppoe che la fuzoe d oda sa egrable come modulo uadro ello spazo delle cofgurazo dv umero reale defo Im * Re dv ddd3 elemeo fesmo dello spazo delle cofgurazo Salvo dcazo corare deae dalla aura del problema l egrazoe va faa su uo lo spazo: d d Codzoe per l esseza della fuzoe d oda: l ssema deve essere solao 3

4 Daa ad u dao sae ual formazo sul ssema? La fuzoe d oda forsce solo formazo probablsche Regola d Bor: è proporzoale alla desà d probablà per le coordae al empo. p p dv : p probablà che al empo le coordae sao comprese ell elemeo fesmo d volume dv dello spazo delle cofgurazoe cerao su Cosae d proporzoalà dalla ormalzzazoe della desà d probablà dv p p dv ' ' Spesso s cosderao solo fuzo d oda ormalzzae coè co egrale uaro del modulo uadro. Per l momeo o s cosdera ale resrzoe. 4

5 Crca Bohr-Heseberg all erpreazoe d Bor: o s può far rfermeo alla probablà sulle coordae prescdedo dalla loro msura. Ierpreazoe orodossa erpreazoe d Copehage: la fuzoe d oda acusa l sgfcao d probablà solo all ao della msura ad esempo delle coordae ad u dao empo. Co msure replcae sul ssema deche codzo s oegoo cofgurazo ' '' ''' dsrbue casualmee secodo la regola d Bor come ell espermeo della doppa fessura L ao della msura erazoe ssema-apparao d msura modfca la fuzoe d oda osservaa: dopo la msura la fuzoe d oda rsula localzzaa ella cofgurazoe osservaa Nell erpreazoe d Copehage prma della msura la fuzoe d oda è ua eà maemaca prva d valore emprco. La regola d Bor va rfera alla probablà elle msure d poszoe. 5

6 U esempo: parcella ua dmesoe x x Esempo: parcella ua dmesoe S suppoga che ad u dao sae l proflo spazale della fuzoe d oda sa dao come radce uadraa d ua gaussaa ceraa x co larghezza x c G x x c : umero complesso Poszo x p x G x x dx ' x ' x x x molo poco probabl Valore d aesa della poszoe: valore medo delle msure rpeue della poszoe co l ssema codzo deche x : dxp x x dxg x x x x e x : cerezza ella msura della poszoe x x : x x : x 6

7 La fuzoe d oda porebbe prevedere msure della poszoe seza cerezze? Esempo: parcella ua dmesoe Nel lme d ua Gaussaa co lm G x x x x dela d Drac La dela d Drac può essere mmagaa come la forma lme che produce ua fuzoe o ulla solo per ma sempre ad area uara. x x 7

8 Defzoe el caso geerale d valore d aesa d ua fuzoe delle coordae dv f f : dvp f dv f Vcolo d egrablà come modulo uadro della fuzoe d oda Qual mplcazo? dv umero reale defo per Il ssema deve essere cofao: probablà asocamee ulla d rovare suo compoe a dsaze fe 8

9 A pare l vcolo d egrablà del modulo uadro essoo alr vcol che deermao la fuzoe d oda? Come s cofgura l aalogo problema co la Meccaca Classca: ual valor per le coordae del ssema? Noo lo sao zale del ssema coordae e mome allora le coordae ed mome ad og sae successvo soo uvocamee deerma. Però o essoo vcol ella scela delle coordae ed mome zal: ualsas scela d è acceable! Ua suazoe aaloga s rrova Meccaca Quasca Noo lo sao zale allora la fuzoe d oda ad og empo successvo è uvocamee deermaa va soluzoe dell e. d Schroedger. Però o essoo vcol ella scela della fuzoe d oda dello sao zale! 9

10 Problema della scela delle fuzoe d oda zale: esse ua vasssma gamma d forme fuzoal possble per! Esse ua meodologa per caalogare le possbl forme fuzoal della fuzoe d oda? Come è rsolo l aalogo problema della Meccaca Classca? Ad esempo come caalogare le poszo d ua parcella ello spazo ordaro spazo veoale Eucldeo d dmesoe 3? u x Algebra de veor! u z r r rxu x ryu y rzu z u La poszoe r è rappreseaa caalogaa dalla y era d umer real rx ry rz S può operare aalogamee co la Meccaca Quasca? Spazo veorale d Hlber

11 Lo spazo veorale d Hlber cosee rappreseare caalogare la fuzoe d oda secodo u seme d coeffce compless c derva dalla sua espasoe su ua base oroormale u c u c u Queso: Come rovare ua base oroormale? La base oroormale è uvocamee daa? NO! Come per lo spazo ordaro essoo dvers ssem d ass prcpal geerale s possoo cosrure bas oroormal dverse

12 Esempo per l roore l ossdrle od l gruppo mele ua molecola. : agolo d roazoe H Esempo: roore Spazo d Hlber cosuo dalle fuzo perodche v v ed egrabl modulo uadro d v umero reale defo Dall aals d Fourer: suggermeo per la base u c exp Verfca dell orogoalà per ': O C * * * ' ' ' ' e e u u d u u c c d * ' * c c ' d e c c ' d cos[ ' ] d s[ ' ]

13 Esempo: roore Normalzzazoe: u u c d e c d c c Co l roore s può ulzzare la base oroormale u exp per espadere la fuzoe d oda c u c u Esempo. Quale espasoe della fuzoe d oda cos e e e cos s cos u u c u / u u u / u u u u / c per 3

14 Qual soo valor osservabl per mome lear? I Meccaca Classca daa la raeora come: p m d / d mome lear soo da I Meccaca Quasca: p ˆ p : : operaore su : h Cosa soo gl operaor? 4

15 Operaor herma per le osservabl gradezze osservabl prmare Meccaca Classca f reale fˆ f Meccaca Quasca d p ˆ m p d ˆ H p V H pˆ V m m m V Regola d cosruzoe degl operaor: elle osservabl classche F p mome p soo sosu da corrspode operaor uasc p Ĥ è hermao! pˆ u pˆ v pˆ u v V u v u Hˆ v u V v u pˆ v m V / m ˆ ˆ p u v Hu v ˆ 5

16 Teora essezale della msura uasca Caso geerale: daa ua osservable descra da u operaore hermao  Au ˆ u u u ' ' Quale eso d ua msura dell osservable? Cosderamo l caso dell osservazoe/msura su u sgolo ssema uasco molecola Posulao: cascua msura ha u eso casuale dao da uo de possble auovalor real dell operaore  Auovalor dscre uazzazoe dell osservable  Noa: possbl es soo dpede dalla fuzoe d oda! Daa la aura casuale della msura bsoga descrverla erm probablsc P : Prob msura Quale legge d probablà per la msura al empo? dalla fuzoe d oda E deermaa 6

17 Posulao: la probablà che sa l eso della msura è proporzoale al modulo uadro della compoee della fuzoe d oda lugo l corrspodee auoveore c u c u P c Cosae d proporzoalà dalla ormalzzazoe: P P c c ' ' Caso parcolare: la fuzoe d oda è parallela ad ua parcolare auofuzoe u d  m cu c c m m Probablà uara d oeere m P m come eso della msura: msura cera 7

18 Se la fuzoe d oda vesse molplcaa per u faore complesso cosae C C Cc u le prevso sugl es della msura o camberebbero P Prob msura Cc c Cc ' ' ' ' c Fuzo d oda che dfferscoo per u faore cosae descrvoo lo sesso sao fsco! E legmo molplcare la fuzoe d oda per u faore cosae secodo la coveeza. Per semplfcare la oazoe el seguo s assumerà che le fuzo d oda sao ormalzzae basa molplcarle per u opporuo faore c u Ne cosegue che: P Prob msura c u. e che c è lberà d molplcare la fuzoe d oda per u faore d fase C e C 8

19 Valore d aesa A ˆ al empo dell osservable  co l ssema descro dalla fuzoe d oda : valore medo degl es delle msure Aˆ : P * ˆ A c c u c Au ˆ c u Aˆ * * Aˆ Aˆ Aˆ Osservazoe su sgola molecola solo cas molo parcolar Osservazoe su u seme macroscopco d molecole: s rleva solo l valore medo = valore d aesa ormalmee ulzzao per erpreare le msure spermeal 9

20 Esempo: roore Esempo: se ad u cero sae la fuzoe d oda del roore è cos ua è l valore d aesa del momeo agolare Jˆz? cos cos cos d cos d s cos cos cos cos ˆ Jz cos s ds / d Come ma è ullo?

21 ˆ e Jzu u cos e e u u Esempo: roore J Rsula delle msure d ˆz : valor oppos e co uguale probablà P P / J P P P P z Ovvamee co ua fuzoe d oda dversa s oerrebbe u dfferee valore d aesa.

22 Ruolo prmaro dell operaore momeo leare per ale forma maemaca? p ˆ : uale orge Posulao che cosee d defcare gl operaor per le alre osservabl. Gusfcazoe a poseror della scela d : parcella ua dmesoe x descra al empo dall auofuzoe d p x co auovalore p valore cero del momeo leare pˆ x x x p x x p x x x c e px / x Se c è reale: pˆ Re x c cos xp / Im x c s xp / oda co lughezza: h p / p p Relazoe d De Brogle

23 Coclusoe: el caso d ua msura cera del momeo leare l ssema è descro da u oda accordo co la relazoe d De Brogle Se s msurasse la coordaa co la sessa fuzoe d oda s oerrebbe ua dsrbuzoe casuale della poszoe corrspodee ad u oda. Dualsmo oda-parcella ella Meccaca Quasca Problema: x cexp px/ o descrve uo sao localzzao o è egrable come modulo uadro! 3

24 Meod fodameal della Meccaca Quasca Daa osservabl del ssema al empo Daa : euazoe d Schroedger L euazoe d Schroedger svolge lo sesso ruolo dell euazoe d Newo ella Meccaca Classca Euazoe d Schroedger per u dao ssema co Hamloao Ĥ: Hˆ Hˆ da rsolvers rspeo a per ua daa codzoe zale Teorema: l e. d Schroedger coserva la orma della fuzoe d oda ˆ H Hˆ Hˆ > cosae 4

25 Propreà formale maemaca dell e. d Schroedger: è ua euazoe leare rspeo alla fuzoe coga fuzoe d oda: Combazo lear d soluzo dell e. d Schroedger soo acora soluzo della sessa euazoe Dae le soluzo e dell e. d Schroedger rsolve l e. d Schroedger : c c c c Verfca: ˆ ˆ ˆ ˆ H c c H H c H c c c La learà dell e. d Schroedger cosee d dvduare le sue soluzo geeral.

26 Meodo geerale d soluzoe dell e. d Schroedger Soluzoe del problema agl auovalor per l Hamloao deo alvola e. d Schroedger dpedee dal empo E ˆ H E ' ' auovalor: eerge uazzae possbl per l ssema auofuzo: auosa del ssema E E : sao fodameale co eerga E Espasoe della fuzoe d oda sulla base degl auosa c c : e calcolo della dpedeza emporale de coeffce dc : ˆ H d ˆ E H E c 6

27 c exp E / c c e Varado coeffce E / c c : s oegoo ue le possbl soluzo! La fuzoe d oda è cosua da ua somma d erm osclla a orma cosae E / E / E / c e c e c e c dpedee dal empo La dpedeza emporale è dovua a sol faor d fase learmee dpede dal empo E e / : fas L euazoe d Schroedger al coraro dell e. d Newo possede la soluzoe aalca esplca. Tuo facle? No! Bsoga prma calcolare gl auosa. 7

28 Msura dell eerga: E = possbl valor msura co probablà dpedee dal empo dee popolazo degl auosa E / c c e c P Valore d aesa dell eerga dpedee dal empo ˆ E : H E E c E P E Caso parcolare: msura cera dell eerga ssema el -esmo auosao E / e c Sao sazoaro: desà d probablà sulle coordae dpedee dal empo E / e p Idpedeza dal empo delle msure d ualsas osservable Aˆ u u Prob msura E / u e u u dpedee dal empo u e E / Â 8

29 Spesso ell aals de ssem molecolar s assume che l ssema sa codzo d sazoareà corrspodeza d u dao auosao e E / Vee arbua ua be defa eerga E al ssema S eva d dover sceglere lo sao zale Però: rappreseazoe saca delle propreà del ssema! Se vece la fuzoe d oda è ua combazoe d auosa allora le osservabl acusao ua esplca dpedeza emporale Esempo: fuzoe d oda come combazoe co ugual peso de prm due auosa E / / E e e S cosder ua osservable  co valor real per suo eleme d marce sulla base degl auosa ˆ * A ' : A ' A ' A' 9

30 3 Dpedeza emporale del valore d aesa E E E E E E E E E E E E A A A A A A A A A A A A A A ] / cos[ ˆ ˆ ˆ ˆ / / / / / / e e e e e e / / E E e e Il valore d aesa osclla co ua freueza deermaa dalla dffereza d eerga ra due auosa h E E v E E Feome d coereza uasca