Entropia e irreversibilità

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1 Descrvere l rersbltà Le trasformazo che avvegoo atura trasformazo spotaee soo rersbl: È mpossble vertrle cambado solo qualche parametro. d esempo:. trasformazoe d L. passaggo d da alta a bassa ; Le loro verse o avvegoo come uche trasformazo, ma soo accompagate da effett desderat. d esempo:. perdta d a bassa el cclo d Carot. L ecessaro per spostare da bassa a alta. eché atura gl oggett mcroscopc seguao le legg meccache, l rersbltà e la spotaetà o soo cotemplate dalla Meccaca e dal prcpo d coservazoe d E su cu questa s regge. Occorre u uovo prcpo. troduce per questo l cocetto d etropa. L etropa può essere trodotta per va termodamca macroscopca facedo uso d e. Oppure per va termodamca mcroscopca statstca, facedo uso del cocetto d probabltà d uo stato termodamco. I - La va macroscopca termodamca Ccl ersbl Dal cclo d Carot cooscamo le relazo: + I geerale per ccl ersbl: ccl rasformazo ersbl + p V Poché è ersble, s può percorrere al cotraro vertedo seg de ; da qu s rcava: o dpede dal percorso el pao p, V paga

2 L Etropa Come s è fatto per l eerga potezale ella meccaca gravtazoale, poché percorso, ma solo dallo stato zale e fale, s gustfca l troduzoe d : Δ : rf : o dpede dal Dove lo stato d rfermeto co è quello d u crstallo perfetto, costtuto da atom detc tra loro, alla temperatura d K. è ua fuzoe d stato e percò: e ccl Calcolo d Modo el pao, l rettagolo sotto u soterma è l scambato. I geerale l area sotto ua curva è l scambato o L. Il cclo d Carot è u rettagolo. L area tera al cclo è l etto. È mmedato osservare che Per adare da u qualsas stato a u qualsas altro stato, basta segure soterma + adabatca. Lugo l adabatca, qud: 4 3 C soterma / Modo o elemetare Per cremet d molto pccol d s può scrvere gas perfetto mooatomco: u c v rappreseta l calore specfco molare a volume costate. I altre parole la capactà termca a volume costate d ua mole: c v 3 Dall aals matematca s rcaverà che el passaggo da cremet molto pccol ftesm dy d ua varable y, alla varazoe fta che muta y y y, vale la regola: dy d d d du + dl d c d + pdv dx V d cv d pdv d + d dv d cv + V U 3 3 k cv x pv y y y l x x e duque: c + + V l l cv l l V V V V I due mod soo equvalet. paga

3 stema solato rasformazo ersbl Eseguo trasformazoe ersble co cessoe d calore da a che soo alla stessa temperatura. Ma - e duque: - e fe: + e tot. Le trasformazo ersbl o cambao e sstem solat. Ccl rersbl el cclo d Carot, se avvegoo trasformazo rersbl, s ha maggor perso a bassa maggore, e qud < +. I geerale per ccl rersbl: < r ccl ttezoe! I u cclo rersble comuque è fuzoe d stato. rasformazo rersbl I ua trasformazoe rersble, è maggore d r ttezoe! o sgfca che l etropa camba dversamete se vado da a co trasformazoe ersble o rersble; è ua fuzoe d stato e o dpede da come s va da a, la varazoe è sempre la stessa e s calcola solo seguedo le trasformazo ersbl: stema solato rasformazo rersbl e l sstema è solato,. ud, se esso avvegoo trasformazo rersbl: totale fale zale > ltra forma del II prcpo della termodamca: e u sstema chuso avvegoo trasformazo rersbl, aumeta > paga 3 stema stema ' > < I I I < < + I >

4 Esempo. Espermeto del mulello d Joule Il sstema fa u lavoro L sul sstema, che lo coverte. I :,, I : > ud tot > Esempo. Coduzoe termca vee ceduto da ua sorgete a alta ad ua a bassa. I : < I : > Ma poché >, s ottee che tot > bassa stema alta stema Esempo 3. oldfcazoe dell acqua Ua mole d acqua a C ambete a C: soldfcazoe co acqua.75 J/K e ambete +.83 J/K. ud tot +. J/K. Esempo 4. Fusoe del ghacco Ua mole d ghacco a C ambete a + C: fusoe co ghacco +.75 J/K e ambete.67 J/K. ud tot +. J/K. edeza alla massma etropa I u sstema solato co trasformazo real, cresce el tempo. ltra forma del II prcpo: U sstema solato o equlbro tede ad evolvere verso lo stato d massma etropa compatble co l suo valore costate d E I sstema solato, le trasformazo ersbl o cambao le codzo: torado detro lascao l sstema esattamete come prma. I altre parole o lascao tracca temporale: le tracce lascate dalle trasformazo ersbl soo tracce delebl. e eseguamo trasformazo rersbl e toramo allo stato zale, queste lascao modfcazo del sstema. Lascao coè delle tracce delebl. L rersbltà lasca duque tracca d u passato. Le trasformazo rersbl c fao sapere che l tempo passa. L etropa rappreseta u modo del tempo. Oppure, vceversa, l tempo è u modo dell etropa quello che chamamo tempo scorre el verso dell etropa crescete? «Pata re»: o puo etrare due volte ello stesso fume Forma d Eraclto del II prcpo paga 4

5 II - La va mcroscopca statstca Esempo. Orde e dsorde. Oggetto moto dsco d co eerga cetca K d ed eerga tera U d. mbete co eerga tera U a. Gl attrt fermao l moto. U zale U d + K d + U a U fale U d + U a K d E ordata è dvetata U E dsordata: s tratta comuque sempre d eerge cetche. L verso è altamete mprobable, o mpossble: l agtazoe termca, ordatamete, rmette movmeto l dsco? Dove asce l rersbltà? Gà co la temperatura l puto d vsta mcroscopco c aveva autato. lardo deale seza attrt co boccette. e vedo u flmato del solo urto o so dre se è proettato el verso del tempo o quello opposto: l feomeo appare ersble. lardo deale co 6 boccette. u se vedo l flm so rcooscere l verso del tempo. Il verso del tempo e qud l rersbltà è ua propretà de sstem compless. o esste dffereza e vers del tempo sstem semplc solat. paga 5

6 als mcroscopca Mcrostato: stato descrtto da poszo e veloctà d tutte le molecole 6 parametr Macrostato: tato descrtto da 3 parametr: p, V e. d og mcrostato corrspode uo e u solo macrostato. d og macrostato corrspodoo W mcrostat dvers. catola co 8 molecole, dvsa part. Macrostato C D E F G H I Dstrbuzoe delle molecole umero W d mcrostat che lo realzzao* * Il umero d mcrostat che realzzao u macrostato soo le combazo d oggett k post:! C, k 8, k,,,...,8 k k! k! Il sstema evolve cambado cotuamete l suo stato per effetto dell agtazoe termca casuale. e facco osservazo stataee dverse del sstema quate presumblmete troverò lo stato? I quate lo stato E? Og mcrostato ha la medesma probabltà. o così per og macrostato. La probabltà d u macrostato è data dal umero W d mcrostat che lo realzzao. Osservamo come vara la probabltà del macrostato co zero molecole a sstra, per dvers umer d molecole: umero d molecole *. d mcrostat co zero molecole a sstra, W. totale mcrostat, W tot ** Probabltà d, π * molecole soo coteute g d H, oppure 8 g d H O, comuque sempre.4 l d gas perfetto C, atm. ** Il umero W tot totale de mcrostat è dato dalle dsposzo co rpetzoe d oggett post: D Esempo. molecole celle. Cosderamo partcelle da dstrburs tra celle. Calcolamo la probabltà d avere partcelle ella cella, ella, 3 ella 3, ella cella. Il umero W d mcrostat che lo realzzao vale: 3 W,, ! 3!...! che soo le permutazo delle partcelle co rpetzoe elle partzo tere,. Il umero totale de mcrostat possbl vale. La probabltà del macrostato è duque: p,, 3,...!! 3!...! ', opzoale L esempo s può applcare a partcelle stat eergetc, caratterzzat dalle eerge E, E, E 3, E. può dmostrare che l valore massmo d W s ottee co la relazoe d oltzma: e E E k E E E E 3 E 4 E 5 E 6 E paga 6

7 Esempo 3. L ara dell aula. L aula ha dmeso m³. Gl studet soo sedut uformemete elle due metà della staza. Poché tutt mcrostat soo ugualmete probabl, quato tempo devo attedere affché s verfch l macrostato che pede tutta l ara presete ella metà d sstra dell aula e la metà d destra vuota, se cosdero che og mcrostato esste per s? Il volume è 47 m³. Corrspode a crca 656 mol C e qud a crca 4 7 molecole d gas. La cofgurazoe che le vede tutte a sstra ha ua probabltà d 7 4 7, che qud s verfca per s og 4 s. uato tempo è? Operado sul logartmo decmale del umero e po rtorado alla poteza base s ottee: la cfra seguta da 7 zer, coè mlardo d mlard d mlard d zer cosder che l tempo massmo che cooscamo, l età dell Uverso par a crca.4 a, corrspode a s la cfra 4 seguta da sol 6 zer. Dobbamo attedere 7 6 vte dell'uverso. scrvamo prcp d Clausus e d Kelv co «È altamete mprobable» vece d «È mpossble» Duque l evoluzoe verso la massma etropa compatble co lo stato eergetco d u sstema o è altro che l elevata probabltà d trovarlo que macrostat che corrspodoo a pù mcrostat. ltra forma del II prcpo, che rvela l suo carattere tautologco ell aals mcroscopca: U sstema solato o equlbro tede ad evolvere verso macrostat cu corrspodoo l maggor umero d mcrostat Poché l massmo umero d mcrostat corrspode a macrostat d maggor dsorde, u ultma forma del II prcpo potrebbe essere: U sstema solato o equlbro tede ad evolvere verso l massmo dsorde paga 7

8 Calcolo d tede al suo valore massmo compatble co la E del sstema. Cotemporaeamete l sstema tede al macrostato co l massmo valore d W umero de suo mcrostat. Esste ua relazoe tra e W? Predamo stema stema stema C. Duque: W W W C + C ud la fuzoe W che dà l etropa d u sstema uo stato termodamco macrostato fuzoe del umero d mcrostat deve rspettare la codzoe: W W W C W + W C L uca fuzoe che la soddsfa è la fuzoe logartmo k costate d oltzma: k l W L etropa è ua msura del umero d stat mcroscopc del sstema. Esempo 4. L espermeto d Joule dell espasoe lbera. Calcolare l aumeto d etropa quado mol d gas perfetto raddoppao l loro volume u espasoe lbera espermeto d Joule. Cosderamo ua scatola a due scompart co la stuazoe zale d molecole tutte a sstra e quella fale co le molecole dvse, metà per parte e calcolamo due valor e. k l W k l k l! k l W k l!!! k l Per calcolare fattoral d umer grad s usa l approssmazoe d trlg: l l coè : e Duque per abbamo: l l l! l l! l e qud: k l l l l! La tomba d Ludwg oltzma a Vea co la sua equazoe paga 8