Lezioni di Teoria dei Sistemi. CdL in Ingegneria dell Ambiente e del Territorio (A.A. 2001/02. Bozze). Prof. Saverio Mascolo PARTE N. 1. y 1.

Transcript

1 Iroduzoe al Corso PARTE N. L obevo del corso d Teora de Ssem è quello d forre u seme d srume e meod maemac d caraere geerale e asrao per l aals del comporameo damco d ssem compless. Per ssema s ede u qualsas oggeo che eragsce co l ambee crcosae e/o co alr ssem. Il comporameo damco d u ssema è descro dall adameo emporale delle varabl che lo descrvoo. L ambee agsce sul ssema rame varabl che soo dee varabl d gresso del ssema. Nella Fgura è rappreseao u ssema su cu l ambee esero agsce rame le varabl d gresso u che soo rappreseae da frecce era el ssema. Le varabl che descrvoo l comporameo del ssema soo rappreseae rame le frecce usce y e soo dee varabl d usca. u u u 3 Ssema y y Fg. La descrzoe d u ssema erm d gress ed usce è dea descrzoe gresso usca. La descrzoe maemaca del comporameo d u ssema è dea modello maemaco del ssema. Tpcamee l modello maemaco d u ssema cosse ua equazoe dfferezale che sablsce ua relazoe ra le varabl d gresso e le varabl d usca d u ssema. Il legame maemaco cosee d deermare le usce a parre dagl gress e qud d sudare la damca o l comporameo d u ssema u cero ambee. I ssem a sgolo gresso e sgola usca soo de ssem SISO (sgle-pu sgle-oupu. I ssem a pù gress e a pù usce soo de MIMO (mul-pu mul-oupu. La meodologa maemaca cosee d affroare modo asrao e ufcao lo sudo d ssem d aura dfferee ma accomua dalle sesse propreà maemache. U esempo oo dallo sudo della Fsca è quello de ssem meccac ed elerc. Tal ssem soo descr da equazo dfferezal dello sesso po per cu s parla d ssem aalogh. Esempo: Modello maemaco d u ssema meccaco

2 S cosder l ssema meccaco Fg.. Il ssema è composo da ua massa M che schemazza le propreà d'erza del ssema, ua molla d cosae elasca k che schemazza l'elascà dell acoraggo e uo smorzaore d cosae b che schemazza l movmeo della massa u mezzo vscoso (Fg. ) b M F k x Fg. L ambee agsce sul ssema rame la forza applcaa F(. L usca del ssema è la poszoe x( della massa M. Per rovare ua descrzoe della damca del ssema, coè l suo modello maemaco, vochamo la legge fodameale della damca d Newo. I parcolare la somma delle forze applcae sulla massa M deve essere uguale alla massa per l accelerazoe. Dsgregado l ssema s evdezao le forze applcae su M F k kx F b b x& F k kx F b b x& F k kx F b b x& M F( Proeado l'equazoe d equlbro d Newo lugo la drezoe x: F + F b + F k F - kx - b x& mx& & () s oee u equazoe dfferezale leare a coeffce cosa che rappresea l modello maemaco del ssema. S parla d modello perché è ua rappreseazoe della realà che coee evablmee delle approssmazo. Ad esempo la legge d Hooke Fkx descrva della molla è u approssmazoe leare d ua relazoe o leare. Ad esempo u modello d valdà pù geerale porebbe essere del po Fkx+k x 3. I al caso l modello rappresea ua molla che s'dursce sempre d pù co l'allugameo. L equazoe dfferezale () rappresea u modello damco perchè la relazoe ra le varabl d gresso e d usca dpede ache dalle dervae delle sesse. Quado ale relazoe o dpede dalle dervae l legame è deo saco. Poché è oo che la soluzoe d u equazoe dfferezale dpede dall gresso ma ache dalle codzo zal s dce ache che l comporameo d u ssema damco dpede dal passao, oppure che u ssema damco ha memora.

3 Esempo: Modello maemaco d u ssema elerco R v( L C Ache ale caso come el caso precedee s comca dalle descrzo maemache gressousca delle par che compogoo l ssema. Il ressore è descro dalla relazoe saca v( R ( Il codesaore è descro dalla relazoe damca che può essere egraa el seguee modo: L duore è descro dalla relazoe damca dv ( C q( v( ( ) d C τ τ C d v( L Cosderado che gl eleme soo collega sere, coè soo araversa dalla sessa corree, e cosderado legge d Krckhoff delle eso s oee la seguee equazoe egro-dfferezale v( R( + L d + (τ) dτ C dq Pochè la corree è l flusso d carca ell'uà d empo, coè rsula (, s può scrvere: dq d q q( v( R + L + C che è u equazoe dfferezale leare del secod orde. S osserv che sa l ssema elerco sa l ssema meccaco cosdera soo descr da ua sessa equazoe dfferezale del po f ( a& y ( + ay& ( + a y( 3

4 I alre parole ssem soo aalogh. Perao s può dre che l equazoe dfferezale coee u sgfcao che va olre quello parcolare. S raa coè d u oggeo asrao le cu propreà soo comu a ssem d dversa aura. Dal puo d vsa praco cò sgfca che la coosceza delle propreà d u ssema mplca la coosceza delle propreà dell alro ssema e vceversa. Le relazo d aaloga ra le varabl e paramer del ssema meccaco del II orde e del ssema elerco del II orde soo: F v m L b R k / C Cosderamo u crcuo RC sere, coè l precedee co L, e calcolamo la soluzoe aalca. L equazoe dfferezale che descrve l ssema è: q dq q v( R + R + C C q L omogeea Rq& + ha come soluzoe q( q() e -/RC e rappresea l processo d scarca d C u codesaore. Come s può oare la soluzoe è coua el empo (l empo qud apparee all'seme de umer real). Poedo τrc rsula qq e -/τ e qud τ è defa cosae d empo del processo. Ifa esprmedo l empo mulpl d τ s oee: per 3τ: q(q e -3 5% q per 4τ: q(q e -4 % q Rporado su u dagramma q( fuzoe del empo q( q RC 4

5 U equazoe dfferezale esprme ua relazoe ra le varabl d gresso e d usca e ra le dervae delle sesse varabl. Cosderaa ua relazoe maemaca ra varabl, s può decdere arbraramee quale varable sa l'gresso (la causa) e quale sa l'usca (l'effeo). Tale operazoe s chama oreazoe. f( causa S y( effeo Dal puo d vsa operavo u ssema è oreao modo che la coseguee relazoe d causa ed effeo abba u sgfcao fsco-gegersco. Ad es. el caso del ssema meccaco può aver seso assumere la forza come varable d gresso e la poszoe come varable d usca. Esempo: Modello maemaco d u ssema draulco q h Il serbaoo fgura è caraerzzao dalla poraa d gresso q e dall alezza del baee drco h. Assumedo u serbaoo d sezoe cosae A, l volume d lqudo rsula: VAh. Per la legge d coservazoe della massa s ha che dv dah dh q A Ache qu emerge ua legge che è aaloga a quella che regola l flusso d corree u dv codesaore ( C ). Per l ssema draulco s rscorao qud le segue aaloge: q A C h v I ssem empocou lear e empo-vara soo descr dall'equazoe dfferezale: a d ( ) y Ne ssem empodscre l empo apparee all seme de umer aural. Tal ssem soo descr da equazo alle dffereze. I ssem empodscre lear empo-vara soo descr dall'equazoe alle dffereze: 5 m ( ) b d ( ) u ( )

6 y(k)a y(k-) + a y(k-) a y(k-) + b u(k) + b u(k-) + b u(k-) b m u(k-m) S raa evdeemee d u modello damco perché dpede da valor passa d y (l usca) e da valor passa d u (l gresso). Esemp d modell empo-dscre soo quell che descrvoo ssem ecoomc, perché le varabl soo rlevae a scadeza dscrea. Per esempo da d u coo ecoomco possoo essere raccol co cadeza rmesral o auale. Esempo: modello maemaco del PIL L ecooma d uo sao può essere descra dalle segue varabl: Y(k)PIL (prodoo ero lordo) C(k)oale d merc e servz cosuma G(k)spesa pubblca I(k)vesme Fra al gradezze possoo essere sable delle relazo. Ua relazoe d "collegameo" è daa dall'equazoe d blaco Y(k)C(k)+G(k)+I(k) Ua relazoe fora dagl ecooms che collega l PIL al comporameo de cosumaor è la seguee C(k)mY(k) (<m<) dove m è la propesoe al cosumo (equazoe saca) Ife gl ecooms hao sablo ua relazoe ra la cresca del PIL e gl vesme: Y(k+)-Y(k)rI(k) che è u equazoe damca. Esempo: Ssema ecologco Il pù classco esempo è l modello ecologco proposo da Vo Volerra, deo ache modello preda-predaore. Deo N l umero d prede ed N l umero de predaor, l evoluzoe è descra dalle segue equazo dfferezal o lear: 6

7 co a,b,c,d>. S osserva che: dn a N ( - b N (N ( dn -c N ( + d N (N ( ) se l umero zale d predaor è ullo N (), la popolazoe d prede aumea all fo. Ifa la soluzoe della prma equazoe dvea N N () e a ovvero s ha ua cresca espoezale; ) se l umero d prede zal è ullo N (), predaor soo desa all eszoe. Ifa la soluzoe della secoda equazoe dvea N (N () e -c ovvero s ha u decadmeo espoezale; 3) la coemporaea preseza d prede e predaor roduce erm o lear rappresea dal prodoo de umer delle due spece. Il prodoo N N rappresea la possblà dell'coro ra preda e predaore. Tale coro per la preda s rsolve ua dmuzoe d umero (sego egavo al coeffcee b) mere per la popolazoe de predaor u aumeo d umero (sego posvo al coeffcee d). U ssema può essere descro co ua relazoe ra gresso e usca rame ua black box (scaola era) che rappresea l comporameo gresso/usca del ssema sesso. u( S y( Ssem lear, olear, empo-vara, empo-vara I geerale la relazoe che lega gresso ed usca o è leare, è coè ua fuzoe del po du d u dy d y f(u,,,...,y(,,,...) S è olre vso che se l ssema è couo, leare e empovarae (o pù brevemee LTI) allora la forma geerale d ale relazoe è: a d ( ) y m ( ) I realà u modell aural soo o lear e empovara; uava è spesso possble effeuare ua learzzazoe el caso d ssem o lear oppure, se ssem soo empovara, è possble approssmarl come ssem empovara se la gradezza empovarae vara leamee ell ervallo d empo d'eresse. 7 b d ( ) u ( ) ()

8 Propreà de ssem LTI Sovrapposzoe degl effe Da due gress u ( ed u ( che geerao rspevamee le usce y ( e y ( allora l'gresso u(u (+u ( produce l'usca y(y (+y (. u ( y ( u ( y ( Iffa le coppe gresso-usca (u (,y () soddsfao le relazo d y ( ) m a ( ) b d ( ) ( ) u d y ( ) m a ( ) b d ( ) ( ) u Sommado membro a membro le due espresso precede: d ( y + y ( ) m a ( ) ) b d ( ) ( u + u ( ) ) coè ache la coppa ((u +u ),(y +y )) è soluzoe della relazoe gresso-usca. Allo sesso modo s può dmosrare che se gl gress u e u soo molplca rspevamee per due coeffce α e α ache le rspeve usce y e y sarao molplcae per gl sess coeffce. S defsce operaore fuzoale u operaore che rasforma la fuzoe gresso u( ella fuzoe d'usca y( e s dca co T(u()y(. S dce ache che ssem LTI soo operaor fuzoal lear. Ifa per ess s può scrvere T(α u +α u ) α T(u )+ α T(u ) Tempovaraza Rardare ua fuzoe u( d τ sgfca cosderare la fuzoe u(-τ). Prededo come esempo u'oda ragolare rsula u( u(-τ) τ Se u ssema empovarae rspode all gresso u( co l usca y( allora esso rspoderà all gresso rardao u(-τ) co l usca rardaa y(-τ). La dmosrazoe è mmedaa e aaloga al caso precedee. 8

9 Se vece l ssema è LTV (leare-empovarae) ale propreà o è pù valda. S cosder ad esempo l caso cu coeffce a e b ella () o soo pù cosa. I al casso rardado d τ l'gresso u( l'usca o sarà pù y(-τ) perché l valore de coeffce è cambao. Esempo Cosderao u crcuo cosuo da u geeraore d esoe susodale e( s (, dove ( è la fuzoe grado uaro cosderaa l usca ( rsula: ( ), chuso su ua resseza d valore cosae R, e < e( s ( ( R R Cosderado l gresso rardao d τ, coè la esoe e(-τ)s(-τ) (-τ) la rsposa sarà ach essa rardaa e varrà: s( τ)( τ) ( τ) R Cosderamo ora u ressore empovarae, varable secodo la legge R( R per < R per Applcado l'gresso e( s (, l'usca sarà come raffgurao ella fgura seguee. ( co R <R s ( ( per < e R s ( ( per R R cosae RR( 9

10 Per ssem o lear o vale l prcpo d sovrapposzoe degl effe. Ess soo descr da equazo dfferezal o lear l cu sudo è solamee oevolmee pù complesso rspeo al caso leare. Nel caso d ssem o lear la dzoe empovarae è sosua dal erme auoomo mere la dzoe "empovarae" è sosua dal erme "o auoomo". U meodo semplce, ache se d valdà lmaa, per lo sudo de ssem o lear è l meodo della learzzazoe oro al puo d equlbro. Co ale meodo s rova l ssema leare che approssma quello o leare per pccole varazo delle varabl. U esempo proposo può essere la relazoe ra lo sforzo ormale e l allugameo d u maerale elasco. La forza elasca ha geerale u adameo del po fgura. F k x x' Tuava ell ervallo dell orge la relazoe può essere approssmaa rame ua legge leare che è qud ua valda se la zoa d fuzoameo della molla è era a queso ervallo. De ssem LTI esse la soluzoe aalca esplca mere per ssem LTV o o lear la soluzoe s può rovare spesso solo per va umerca. I ssem o lear o godoo della propreà d sovrapposzoe degl effe, u esempo è l'operazoe d elevare al quadrao. Cosdera due gress u e u rsula fa: u + u ( u + u ) Rsoluzoe umerca d equzo dfferezal e Smulazoe Spesso s rcorre all'ulzzo d u calcolaore per effeuare delle smulazo. I al cas l calcolaore rsolve umercamee l equazoe dfferezale che modella l ssema e dsega la soluzoe. La meodologa usaa è la seguee. Cosderaa l equazoe dfferezale o leare y & y + 3y s cosdera u pccolo passo d egrazoe e s esplca la dervaa ella forma y( y() -y() / +3y()

11 da cu s oee y( (-y() / +3y() ) + y() I queso modo s è calcolao l valore della soluzoe al passo dopo l sae ; erado l procedmeo lugo l ervallo d'eresse s oee la soluzoe. L esempo cosderao è u ssema o leare auoomo. Se al poso del coeffcee 3 c fosse u coeffcee a( fuzoe del empo sarebbe u esempo d ssema o auoomo.

12 SEGNALI CANONICI I segal caoc soo forme d oda elemear (de ache "segal d prova") dalla cu combazoe leare s possoo geerare segal pù compless. Impulso d Drac S cosder u ragolo d area uara d base τ ed alezza /τ come fgura. Facedo edere la base τ a zero maeedo l area cosae, la forma d oda ede ad assumere u alezza fa e ua base fesma. Tale segale rappresea ua fuzoe d gresso d duraa breve e valore elevao. S defsce mpulso d Drac e s dca co δ( la fuzoe che s oee facedo edere τ a zero. δ( lm h(, τ) τ h(, τ) δ( /τ τ Grafc d: (a) h (, τ) ; (b) δ ( Vale la propreà d selezoe dell'mpulso per cu I parcolare β δ α f ( τ ) se τ ( α, β) ( τ ) f ( se τ ( α, β) + δ ( f ( f () La fuzoe Grado Uaro < S dca co ( e vale ( ). S oee egrado l mpulso d Drac: ( δ ( z) dz (

13 La fuzoe Rampa Uara S oee egrado l grado e s dca co r( ( ( z) dz r( La fuzoe Rampa Parabolca S oee egrado la rampa uara e s dca co p( p( ( r( z) dz Alre fuzo caoche soo segal seo e coseo. 3

14 LA TRASFORMATA DI LAPLACE Abbamo vso che mol ssem apparegoo alla classe de ssem lear empo-vraa. Tal ssem soo descr maemacamee da u equazoe dfferezale leare a coeffce cosa. La rasformaa d Laplace è uo srumeo maemaco molo effcace per la soluzoe e per lo sudo delle propreà delle soluzo d ua equazoe dfferezale leare a coeffcce cosa. La rasformaa d Laplace cosee d rasformare u equazoe dfferezale u equazoe algebrca, la cu soluzoe o è pù ua fuzoe del empo ma è u semplce umero complesso. Ce replogav su umer compless U umero complesso s può essere rappreseao ella forma caresaa sa+jb oppure ella forma polare s Me jϕ o polare. La fgura mosra ua rappreseazoe d u umero complesso el pao d Gauss e le relazo ra l modulo e la fase e le compoe caresae. S rcorda ache la uguaglaza d Eulero e jϕ cosϕ+jsϕ. M a + b ϕ bmsϕ amcosϕ La rasformaa d Lapalce è ua rasformazoe fuzoale che assoca ad ua fuzoe d varable reale f( ua fuzoe d varable complessa F(s). I parcolare la rasformaa d Lapalce è defa come: L( f ( ) F( s) f ( e s L operazoe d rasformazoe è buvoca, coè è sempre possble passare da f( a F(s) e vceversa. L operazoe versa è dea arasformaa, ed è dcaa co L ( F( s)) f (. Come s può oare, la fuzoe f( è prma molplcaa per u espoezale e po egraa. Iuvamee queso può rovare spegazoe el fao che l egrale d f( su u ervallo fo porebbe o covergere. Ifa, l'egrale ra e del grado uaro o coverge, mere l'egrale d (e -s coverge per valor d s al che Re{s}>. I valor d s per cu esse la 4

15 rasformaa cosuscoo l domo d defzoe della rasformaa. Tale domo è u sempao delmao da ua rea vercale. L'ersezoe della rea co l'asse reale è dea ascssa d covergeza ed dcaa co σ c. I coclusoe, cosderao l pao complesso, la rea parallela all asse delle ordae d equazoe s σ c dvde l pao due sempa: l sempao a desra dell ascssa d covergeza è deo pao d covergeza poché esso esse la rasformaa d Laplace. Propreà della rasformaa d Laplace Teorema della dervaa Cosderaa ua fuzoe f(, la rasformaa della sua dervaa rsula df L sf( s) f () Applcado l eorema della dervaa alla fuzoe dervaa s oee d f L s[ sf ( s) f ()] f '() s F( s) sf () f '() e geeralzzado d f L s F( s) s f () s f '()... f () Assumedo codzo zal ulle, coè f()f '() f (-) () rsula d f L s I alre parole s usa dre che l operazoe d dervazoe el domo del empo corrspode a molplcare per s el domo complesso. F (s) Propreà d learà e sovrapposzoe della rasformaa d Laplace Cosderae due geerche fuzo f ( ed f ( vale la seguee propreà d learà L[a f (+a f (] a L[f (] + a L[f (] La dmosrazoe segue dreamee dalla defzoe d rasformaa d Laplace (l operazoe d egrazoe e leare). Per gl approfodme s rmada a es specfc sulla Trasformaa d Laplace 5

16 Teorema dell'egrale Cosderaa ua geerca fuzoe f(, la rasformaa della fuzoe egrale L[ϕ(] F ( s) s La dmosrazoe segue dreamee dal eorema della dervaa. ϕ ( f ( τ) dτ vale DEFINIZIONE DI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Assumedo codzo zal ulle e rasformado secodo Laplace l'equazoe dfferezale leare a coeffce cosa rsula, vrù della propreà d learà, e per l eorema della dervaa d y a L m d u b L m a s Y ( s) b s U ( s) S defsce fuzoe d rasfermeo (f.d..) e s dca solamee co G(s) l rapporo b s Y( s) G( s) () U( s) m a s La f.d.. è l rapporo ra la rasformaa dell'usca Y e la rasformaa dell'gresso U. La f.d.. è defa assumedo codzo zal ulle coè assumedo u ssema zalmee codzoe d quee. La f.d.. G(s) è u rapporo ra polom, coè è ua fuzoe razoale. Trasformae d segal caoc I segal caoc possoo essere L-rasforma. Calcolamo la rasformaa dell'mpulso: L[ δ ( ] + s s s s δ ( e δ ( e + δ ( e e + Ifa l'egrale ra + e è ullo essedo ulla ale ervallo la fuzoe egrada. I queso caso, come u cas d fuzo mpulsve, occorre specfcare l esremo ferore d egrazoe. Ifa ale caso l'egrale forsce u rsulao dverso se calcolao a parre da - o da +. S parla rspevamee d rasformaa L - o L +. Se la fuzoe rasformada o è mpulsva allora L - L + coè o occorre dsguere - da +. Il smbolo sgfca per defzoe uguale a 6

17 Cosderamo la fuzoe grado e provamo prma a calcolare la rasformaa base alla defzoe e po usado l eorema dell'egrale. ( j ) L[( ] ( e e σ + ω s s s co sσ+jω L'egrale precedee coverge per σ>. Ifa: e -s e -(σ+jω) e -σ e -jω e -σ e -σ pochè e -jω. Perao l'ascssa d covergeza del grado è σ c e qud l sempao d covergeza è cosuo dagl s per cu Re{s}>σ c. Osservado che l grado è l egrale dell mpulso, possamo ulzzare l eorema dell'egrale: L[( ] L ( ) d δ τ τ s Aalogamee s possoo oeere le rasformae della rampa uara /s e della rampa parabolca /s 3. Essoo po alr rsula che vale la pea rcordare perché ul per esegure semplcemee operazo d rasformazoe e arasformazoe. ) L[f(e k ] F(s-k) Ifa k s ( s k) f ( e e f ( e F ( s k U caso parcolare del precedee è L[e k (] s k Acora, se kjω, allora L[e jω ] co j uà mmagara s jω Possamo qud rovare la rasformaa del coseo come jω ω + j e e s + jω + s jω s L[cosω] L + ω ω ω s j s + j s + s + ω e aalogamee quella del seo jω ω j e e s + jω s + jω ω L[sω] L ω ω ω j j s j s + j j s + s + ω ) L[f(-τ)] F(s) e -τs ) Ifa poedo (-τ)z e qud dz l'egrale s f ( τ ) e dvea f s( z + τ ) sτ ( z ) e dz e F ( s U esempo è L[(-τ)] e s τs ) 7

18 3) L[ e p! ] + ( s p) o equvaleemee L p e +! ( s + p) S osserv che erm e p, e p edoo a zero per che ede all'fo se Re{p}<. Nel caso cu p è a pare reale (sreamee) egava s dce polo (asocamee) sable. Nel caso cu p è a pare reale posva s dce polo sable. U segale complesso può essere espresso come combazoe leare d segal caoc. Cosegueemee la rsposa ad u segale complesso può essere oeua come somma d rspose caoche. Esempo Esprmere le fuzo f e f fgura come combazo lear d segal caoc.,5 f f,5, f ( ( - (-) + (-3) (-4); f ( ( - (-) (-) + (-4) (-4); F (s) /s - /s e -s + /s e -3s /s e -4s F (s) /s - /s e -s + /s e -4s Prodoo d covoluzoe Cosderae due geerche fuzo f( e g(, s defsce l prodoo d covoluzoe come segue: g f f ( τ ) g( τ) dτ co g(f( per < affché la rasformazoe d Laplace sa buvoca. Per τ> rsula g( e qud possamo scrvere che f ( τ ) g( τ) dτ + f ( τ) g( τ) dτ f ( τ) g( τ) dτ gacché è ullo l secodo egrale a prmo membro. S dmosra che la rasformaa del prodoo d covoluzoe è uguale al prodoo delle rasformae. L[g*f] F(s)G(s) L[f(]L[g(] 8

19 Fuzoe d rasfermeo come rasformaa della rsposa mpulsva S cosder u ssema LTI geerco descro dalla fuzoe d rasfermeo G(s). S cerch la rsposa y( al segale d gresso u( δ(. L[u(] L[δ(] U(s); L[y(] Y(s) G(s)U(s) G(s) Qud la fuzoe d rasfermeo G(s) è la L-rasformaa della rsposa del ssema all mpulso d Drac. La rsposa mpulsva è qud l'arasformaa d G(s), coè g(l - [G(s)]. Esempo Cosderamo ora u crcuo RC sere cu l gresso u(e( e l'usca y(v c (. R E(s) V c (s) S C e( v c ( S o che la scela della varable d'gresso e della varable d'usca è l rsulao d u'operazoe d oreazoe d u ssema, quao mplca la scela d ua varable "causa" ed ua varable "effeo". Lo schema a blocch raffgurao evdeza l'gresso/causa e l'usca/effeo. Cosderado gl eleme crcual come ssem sgol, ess soo descr dalla fuzoe d rasfermeo I( s) ressore : v(r ( V(s) R I(s) G(s) relazoe saca V ( s) R dv codesaore : (C c I(s)sC V(s) G(s) sc relazoe damca S defsce mpropro l ssema cu l grado del deomaore della G(s) è more del grado del umeraore; al ssem soo fscamee rrealzzabl. Ifa u codesaore reale avrà ua sua resseza. S defsce propro l ssema per l quale l grado del deomaore della G(s) è maggore o uguale al grado del umeraore (sreamee propro se l grado del deomaore è maggore del grado del umeraore). I ssem real soo sreamee propr o u'al pù propr. Se s modellao gl effe duv seredo u duore, l modello dvea ua rappreseazoe pù fedele della realà. I parcolare s oee l seguee modello 9

20 R e( C v c ( d q e ( R + L + C L de d d R + L + C da cu s rcava la f ra esoe applcaa e corree I( s) sc G( s) E( s) + src + s LC e la f ra esoe applcaa e esoe sul codesaore Vc ( s) G ( s) E( s) + src + s LC