Metodi Matematici per l Economia e la Finanza

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1 Meod Maemac per l Ecooma e la Faza Terzo modulo: Eleme d Maemaca Fazara Iformazo Ul/ Docee: Adrea Res, adrea.res@ubg. Lbro d eso Sefa, Torrero e Zambruo, Eleme d Maemaca Fazara e Ce d Programmazoe Leare, Gappchell Oraro d rcevmeo (uffco 04 V. bacheca Iere. Prossm rcevme: mercoledì, ore 4

2 Iformazo Ul/ Oraro d lezoe: luedì, mercoledì, govedì sempre Aula sempre dalle 0.30 alle 3 prma pare: secoda pare: Iformazo Ul / 3 Tuorao (do. Crsa Eps crsa.eps@ubg. Prma lezoe: maredì 8 geao 4.30 per cogom dalla A alla L 6.30 per cogom dalla M alla Z Suppor su Iere hp:// È u breve corso eravo co esercz, e clude ache argome o rches all esame hp://elearg.ubg./lspace0304/646/schedule.sf Esemp svol e es d auovaluazoe Userd: sudsa Password: ssbge

3 Iformazo Ul / 4 Ques lucd : dspoble su ere l edzoe / Facolà d Ecooma segame a precede» Eleme d Maemaca Fazara o sosuscoo la lezoe redoo solo pù facle predere appu soo sogge a svse e correzo se me le segaleree, graze La Maemaca Fazara classca Suda operazo d scambo d moea coro moea che s proraggoo el empo, cosderae codzo d cerezza. Eleme fodameal: Impor Temp a cu gl mpor s redoo dspobl Cerezza Maemaca auarale (es. pagameo caso d more 3

4 Suazo fazare elemear (SFE Ua SFE è ua coppa ordaa (,K che rappresea la dspoblà dell mporo K al empo Due SFE ad es. ( 0, C e (, M soo equvale se s ree equo lo scambo ra le due Es.(0, 00 può essere equvalee a (, 0 D solo > 0 e spesso 0 0 Rappreseazoe grafca delle SFE Impor Prmo modo: pao caresao emp/mpor (, M ( 0, C Temp Secodo modo: asse de emp (mpor solo aoa sopra C 0 M Temp 4

5 Relazoe d dffereza ra SFE S mafesa quado u soggeo s dmosra dsposo a scambare ra loro due SFE, coè le cosdera equvale Scambo coro presazoe fuura capalzzazoe Scambo coro presazoe presee aualzzazoe La Maemaca Fazara Classca rappresea, co srume maemac, le relazo d dffereza acceae da svara sogge ecoomc (dvdu, mprese, gover A al fe elabora legg fazare Propreà della relazoe d dffereza Soo re: Rflessva: og SFE è dfferee a se sessa Smmerca: se ( 0, C è dfferee a (, M, allora ache (, M è dfferee a ( 0, C Trasva: se ( 0, C è dfferee a (, M, e (, M è dfferee a (, Q allora ache ( 0, C è dfferee a (, Q sembrao scoae, ma o lo soo! 5

6 Operazoe fazara (OF Corao che dà orge allo scambo ra SFE Es. preso, acquso d Bo, leasg Dsguamo OF Semplc, che rguardao solo SFE Le par cocordao che quese SFE soo equvale Il corao può rguardare l acpazoe (acpazoe o scoo o la poscpazoe (capalzzazoe o vesmeo el empo d u cero mporo, che verrà rdoo o aumeao per redere le SFE equvale Complesse, che rguardao pù d SFE Ne parlamo elle prossme lezo Legg fazare d capalzzazoe Soo legg che c auao a rovare quel M ( moae che rede equvale quese due SFE: C M? > 0 0 Temp I praca, da C ( capale e ( scadeza, dobbamo sceglere ua fuzoe che resusca l guso M: M f(c,, o breve: M (C, 6

7 Propreà rchese a ua legge d capalzzazoe /. M(C, sa defa ( per og C 0 e ( appareee a [0,T. M(0, 0 0 U mporo ullo geera comuque u moae ullo 3. M(C,0 C C 0 Se la duraa è ulla, l moae cocde col capale Propreà rchese a ua legge d capalzzazoe / 4. Da C > C 0 M(C, > M(C, La fuzoe è sreamee mooòa crescee C 5. Da > M(C, M(C, La fuzoe è debolmee mooòa crescee 6. M(C, C M(, C m(, Il moae è dreamee proporzoale al capale m( prede l ome d faore d moae. 7

8 Propreà rchese a u faore d moae m(. m( sa defa [0,T. No applcable (rfera a C 3. m(0 M(,0 Se la duraa è ulla, l faore d moae è 4. No applcable (rfera a C 5. Da > m( m( La fuzoe è debolmee mooòa crescee Se è dervable, allora m ( 0 [0,T 6. Iule (è la defzoe d m I praca U faore d moae è ua qualuque fuzoe Defa u ervallo [0,T Che vale quado la duraa dell OF è ulla Debolmee crescee Il rascorrere del empo o può far dmure l capale La dervaa se esse può essere usaa per verfcare quesa codzoe Suderemo parcolare re famgle d legg d capalzzazoe Lear, espoezal, perbolche (v. prossme lezo ma qualuque fuzoe rspe requs pos sopra è u faore d moae 8

9 Esemp d esame/ Sablre se la fuzoe f( ( /0 èu faore d moae per T. Esemp d esame / a Dre se la seguee fuzoe f( è u faore d moae [0, f( 9

10 Esemp d esame / b Dre se la seguee fuzoe f( è u faore d moae [0, f( Esemp d esame / c Dre se la seguee fuzoe f( è u faore d moae [0, f( x 0

11 Esemp d esame / d Dre se la seguee fuzoe f( è u faore d moae [0, f( Esemp d esame / e Dre se la seguee fuzoe f( è u faore d moae [0, T f( T

12 Esemp d esame / 3 Sablre per qual valor del paramero reale β la fuzoe f( - β*l( è u faore d moae per 0 T Termologa: capalzzazoe Capale zale C 0, (0 M ( Moae d C Temp Ieresse I M - C Tasso d eresse: I M C ( 0, C C Duraa: 0 (-0 Faore d moae: M m ( 0, C relav all ervallo ra 0 e

13 Esemp d esame / 4 Sablre se la fuzoe f( ( 0,05 co 0 è u faore d moae. Rappreseare grafcamee. Suppos: C 00 Euro e a, deermare l moae M, l'eresse I e l asso d eresse (. m( ( 0,05 0,005 0, m( E ua parabola, Sudable co le cosuee formule. -0 3

14 Legg fazare d aualzzazoe Soo legg che c auao a rovare quel C che rede equvale quese due SFE: C? M 0 Temp Aezoe al verso della frecca: graze alla smmera delle relazo d dffereza samo orado dero da M a C, e cerchamo u C f(m,, o breve: C (M, Faore d aualzzazoe (o faore d scoo Daa qualuque legge d capalzzazoe: M ( C, C m( possamo rcavare M C M m( M v( m( Faore d scoo che esprme la legge d aualzzazoe assocaa, o cougaa a m( Noa: v( è u faore d scoo valdo solo se l suo m( cougao rspea le re codzo vse precedeza. I alerava, possamo verfcare dreamee le re 4

15 Propreà rchese a u faore d scoo v( /m( Faore d moae. m( defa [0,T. m(0 M(,0 3. Da > m( m( Se è dervable, allora m ( 0 [0,T Faore d scoo. v( defa e posva [0,T. v(0 / m(0 3. Da > v( v( Se è dervable, allora v ( 0 [0,T (gà vse (uove Esemp d esame/5 Sablre se la fuzoe f( 0,8 è u faore d scoo per T. 5

16 Termologa: aualzzazoe Scoo Valore auale d M D M - C Capale a scadeza C M 0, (0 ( Temp Duraa: 0 (-0 Tasso d scoo: D d( 0, M M C M Faore d scoo o d aualzzazoe: C v( 0, d M relav all ervallo ra 0 e Esemp d esame/5bs Dao l faore d moae m( 0,8 -, deermare dopo quao empo u capale C d 3000 geera u moae M d Calcolare olre l asso d eresse e d scoo 6

17 Da Segue che E allora: Relazoe fodameale m m v M C v d M C C M C M ( ( d d d d d Daa ua cera duraa, > d sempre Esercz d cosoldameo Sablre per qual valor del paramero reale α la fuzoe f( α, co 0, è u faore d moae. Sablre per qual valor d a e b (a, b R la fuzoe b f ( 0,9 a co 0 è u faore d moae per T 0,5. 7

18 Tasso d eresse e d scoo uaro Abbamo precsao che ass d eresse e d scoo ( e d e relav faor (m e v soo sempre relav a ua daa duraa d empo 0 (o, semplcemee,. Per, ( e d( soo de ass uar d capalzzazoe e d scoo Tass vald per operazo d duraa uara Talvola dca, per brevà, semplcemee come e v Esempo d esame Calcolare ass uar d eresse e d scoo assoca a segue faor d moae m( ( /0 m( ( 0,05 ( m( 0 d d( v( 7,8% 6,7% 0 ( m(,05 d d( v(,05 0,5% 9,3% 8

19 Esercz Calcolare ass uar d eresse e d scoo assoca a segue faor d moae m( 0,8 - m( l( m( 0, m( 0,9 Iesà d eresse e d scoo Sa M( ua legge d capalzzazoe valda Cosderamo due sa, e Rscrvamo d M cosegueza: C Faore d moae M ( m(, M ( Faore d scoo M ( v(, M ( M(. M( M( M(. empo 0 o 0 o ( veccha oazoe 9

20 Iesà d eresse e d scoo/ Rscrvamo d cosegueza ache: Ieresse I(, M ( M ( M ( Tasso d eresse M ( (, M ( M(. M( M( M(. Tasso d scoo M ( d(, M ( empo Iesà d eresse e d scoo/3 Defamo olre Iesà d eresse (, γ (, M ( M ( Iesà d scoo d(, η(, M ( M ( M(. M( M( M(. empo 0

21 Esempo d esame S sablsce coraualmee l equvaleza ra 96 euro dspobl dopo u ao e 00 euro dspobl dopo,5 a. Calcolare faore d moae e d scoo, eresse, asso ed esà d eresse e d scoo Iesà saaea d eresse Faccamo edere a zero la duraa Iesà saaea d eresse: lm 0 lm 0 γ (, M ( M ( M ( M ( M ( ( lm M 0 M ( Cm ( m ( M ( Cm( m( M(. M(.

22 e esà saaea d scoo Aalogamee, l esà saaea d scoo è: M ( M ( lmη(, lm 0 0 M ( M ( M ( M ( m ( M ( lm 0 M ( m( e cocde duque co quella d eresse. Erambe vegoo dcae co: m ( d l m( D l f ( x f ( x δ ( f ( x m( d [ ] e msurao l cremeo saaeo dell vesmeo, perceuale del moae corree Esempo d esame Calcolare l esà (o forza saaea d eresse assocaa a segue faor d moae m( ( /0 m( 0,8 -

23 Alr esercz Calcolare l esà (o forza saaea d eresse assocaa a segue faor d moae m( ( 0,05 m( l( m( 0, m( 0,9 Regm d eresse e d scoo Qualuque fuzoe possegga le re propreà da o esamae è u faore d moae o d scoo Nella praca, uava, s usao frequeemee alcue famgle d fuzo ( regm be precse Ad es. perché facl da calcolare o perché posseggoo parcolar propreà maemache Ne vedremo re: Regme leare, perbolco e espoezale Per og regme d eresse esse u regme d scoo assocao o cougao 3

24 Ieresse semplce o leare Il faore d moae assume la forma m( α co αr, e co 0. Quesa m( è u faore d moae valdo? C.E. : R m(0 m ( α, e α>0 per poes Il asso uaro d eresse rsula par a m( α - α Per queso, d ora po, scrveremo la legge come m( Ulzzo dell eresse semplce Moae M ( Cm( C( C C C M( C Ieresse I( M C C C C C Iesà saaea m ( δ ( m( I( C δ( 4

25 Alcue caraersche del regme Addvà degl eress M(0C M(CC M(CCCCC M(CCCC C Progressoe armeca d ragoe C C M( 3 Alcue caraersche del regme/ Ierruzoe e revesmeo M(C( M( C( [( - ] C[ ( - ( - ] C C( >C ( Scdere l operazoe d vesmeo dvea vaaggoso per l vesore e svaaggoso per l debore (ad es. la baca 5

26 Esempo d esame Ulzzado l regme d capalzzazoe semplce, calcolare moae e eresse de segue capal mpega alle codzo dcae: 500 per ao al asso del % auo:.00 per 8 mes al asso del % auo: 600 per 7 mes al asso del,5% rmesrale: Esempo d esame Calcolare quale capale mpegao al asso auo del 9%, regme d capalzzazoe semplce, dà 3 mes e 0 gor u eresse d 5. 6

27 Esempo d esame 3 Calcolare a quale asso d eresse auo è sao mpegao l capale d.500 che ha prodoo 8 mes l'eresse semplce d 75. Esempo d esame 4 I quao empo l capale d 00 mpegao al asso d eresse auo del 0,5% produce eresse semplce d 84? 7

28 Regm d eresse e d scoo: vo see qu! Ieresse m( Scoo v( m( Capalzzazoe semplce cougao Scoo razoale 3 Il faore d scoo è v( m( M M e l asso d scoo è: D( d( M Scoo razoale Il valore auale è M C Mv( Lo scoo è D( M C( M v( [ ] C( D( D( M M 8

29 Esempo d esame Ua cambale dal valore omale d 50 vee scoaa, regme d capalzzazoe semplce, 3 mes prma della scadeza, al asso del 8% auo. Calcolare l valore auale e lo scoo. Esercz d cosoldameo Ua persoa ha u debo d 40 che scade fra u cero empo ed u alro debo d 860 che scade dopo u empo rplo del prmo. Col pagameo d.00 salda deb acpaamee, fruedo d uo scoo razoale del 0% auo. Deermare le scadeze de deb. Il capale d.000 è sao deposao per u ao ed ha prodoo l moae, ad eresse semplce, d 57,5. Sapedo che l asso auo zalmee del % è sao aumeao el corso dell'operazoe al 3,5%, calcolare dopo quao empo dal momeo del deposo è avveuo l cambameo d asso. Calcolare olre quale asso d eresse auo ha fruao l'operazoe. 9

30 Regm d eresse e d scoo: vo see qu! Ieresse m( Scoo v( m( Capalzzazoe semplce cougao Scoo razoale Scoo commercale 3 Scoo commercale Il faore d scoo è v( d co d > 0 Faore d scoo valdo?. Defo uor, ma posvo? d > 0 < d Duque, valdo se < /d es., d5% > < 0 a abbamo coè T /d. v(0 3. v ( -d < 0 v( d /d 30

31 Scoo commercale: ulzzo C( Il valore auale è C( Mv( M M Md ( d M Md D( Lo scoo è D ( M C( Md e l asso d scoo è: D( d ( d M /d Esempo d esame/ Ua cambale d 880 è saa scoaa al asso d scoo commercale del 5% auo. Sapedo che la somma scoaa è d 85, deermare la scadeza. 3

32 Esempo d esame/ Per l acquso d ua merce s devoo fare pagame: l prmo d 500 fra u cero empo ed l secodo d 400 ad u empo doppo del precedee. Co uo scoo commercale al asso del % auo, s può saldare uo ogg versado 86. Deermare le scadeze de pagame. Regm d eresse e d scoo: vo see qu! Ieresse m( Scoo v( m( Capalzzazoe semplce cougao Scoo razoale Ieresse acpao o perbolco cougao Scoo commercale 3 3

33 Ieresse acpao o perbolco Il faore d moae è m( v( d co d>0 e come sempre 0. E u perbole asoca agl ass e raslaa; m d d d d perbole el II e IV quadrae Traslazoe a desra dell asse y m( Noa: ache qu T /d /d Ieresse acpao o perbolco Il moae è C M ( Cm( d M( L eresse, calcolao sul capale zale, è C I( M ( C C C d d d C C C d d d C C C d /d 33

34 Ieresse acpao o perbolco L espressoe dell eresse I( come fuzoe d e C è complessa Rfera al moae e al asso d, vece, è semplcemee I ( M C M ( M Md Md Per queso è comodo pesare a I come a u eresse acpao, al asso d su M Ife, l esà saaea è m ( ( d ( d d δ ( m( d d δ( d /d Ierruzoe e revesmeo Operazoe o erroa: M ( Cm(0, C d Operazoe erroa: * M ( Cm(0, m(, C d d( Cofroamo deomaor: M M* C [ d( ] d( d dd ( > ( d d Qud: M* < M Scdere dvea svaaggoso per l vesore 34

35 Esempo d esame Il capale d 00 è mpegao el regme d capalzzazoe perbolca al asso del 4% rmesrale acpao per ao e 3 mes. Calcolare l moae prodoo e quale moae produrrebbe lo sesso capale mpegao allo sesso asso, per lo sesso empo, el regme d capalzzazoe semplce (poscpaa. Esempo d esame/ V è la possblà d corarre u preso d ammoare C, per u ao, pagado gl eress: poscpaamee al asso 3% acpaamee al asso d del %. Quale scela è pù vaaggosa? 35

36 Esempo d esame/ Nauralmee, l esborso sarebbe sao lo sesso se l prmo asso fosse sao 3,64% S raa dell equvaleza gà vsa roducedo la relazoe fodameale ra ass d eresse e d scoo: d d 0, 0,88 0,364 d % acpao è equvalee a 3,64% poscpao covee rvare l pù possble l pagameo degl eress, ache a coso d pagare u po' d pù. Il valore-sogla del asso fo al quale covee pagare eress poscpa è l 3,64% Regm d eresse e d scoo: vo see qu! Ieresse m( Scoo v( m( Capalzzazoe semplce cougao Scoo razoale 3 Ieresse acpao o perbolco Ieresse composo cougao Scoo commercale 36

37 Ieresse composo Suppoamo che C sa veso per,,3 perod, e che l eresse vega calcolao come ua perceuale fssa (α>0 del moae maurao alla fe del perodo precedee M(0C M(CαCC(α M(C(α αc(αc(α I geerale: M(C(α Coè, praca: m( (α E u faore d moae valdo? Esempo (C00, α4% M(000 M(00 (4%04 M(04 (4% ,6 M(308,6, ,49 Ieresse composo m( (α è u faore d moae valdo? Defa uo R, vso che α>0 m(0 (α 0 m ( (α l (α > 0, vso che α>0 Tasso d eresse uaro: (m(- (α α Per queso, d ora po, scrveremo la legge come m( ( 37

38 Ulzzo dell eresse composo Moae M ( Cm( C( Ieresse I( M C Cm( C C [( ] M( C I( Iesà saaea m ( ( l( δ ( l( δ m( ( Da e δ l( δ δ ( e segue che m( e No dpede da e Esempo d esame Deermare quao empo u capale mpegao ad eresse composo del 0% auo s raddoppa; e quao empo s rplca. 38

39 Ierruzoe e revesmeo M( Operazoe o erroa: M ( Cm(0, Ce δ Operazoe erroa: M * ( Cm(0, m(, δ δ ( δ Ce e Ce M ( C M*M L operazoe è scdble seza cosegueze per l vesore o l fazaore Regm d eresse e d scoo: vo see qu! Ieresse m( Scoo v( m( Capalzzazoe semplce cougao Scoo razoale Ieresse acpao cougao Scoo commercale o perbolco 3 Ieresse composo cougao Scoo composo 39

40 Scoo composo Il faore d scoo è v( ( C( m( ( Il valore auale è C Mv( M ( Me δ M Lo scoo è D( M C( M ( e l asso d scoo è: D( d( ( M [ ] Esempo d esame Scoamo ua cambale del valore d scadee fra 5 a co scoo composo al asso del % auo. Ivesamo subo la somma rscossa al asso del 6%. Quale guadago realzzeremo fra 5 a? 40

41 Capalzzazoe composa quado o è ero: opzo Se f, co ero e 0 < f < Es. C00, 0%,,5 (u ao e se mes: ;f0,5 Covezoe espoezale (c.c./c.e. Applco la formula d M( composo a queso o ero M(C( C( f M(,500 (0%,5 5,4 Covezoe leare (c.c./c.l., o msa Uso la capalzzazoe composa per la pare era, e quella semplce per la pare frazoara f M(C( (f M(,500 (0% (0,5 0% 5,5 Capalzzazoe composa covezoe leare (c.c./c.l. Possamo vederla come ua spezzaa che cocde co l espoezale del moae composo solo alle scadeze ere Poché è leare a ra, sa sopra l espoezale (covessa per u o er (v. esempo della paga precedee M( C,5 3 5,5 5,4 4

42 Esempo d esame Calcolare l moae d 50 c.c./c.l. o capalzzazoe msa, per l perodo dal 0 Novembre 00 al 5 Luglo 004, se l asso auo d eresse è 7,5%. 0//00 5/7/ gg. a 96 gg M Cm m( m ,5% ( 7,5% 7,5% ,0,6,04 55,37 Esercz d cosoldameo Il capale d 3000 è sao mpegao ad eresse composo per 0 a ed ha prodoo l moae d Il asso, zalmee del 9% auo, è sao, dopo u cero empo, rdoo all 8%. Deermare quado è avveuo l cambameo d asso ed a quale asso auo cosae s sarebbe dovuo mpegare l capale per oeere lo sesso moae. S hao due deb: l prmo d 3000 scadee fra 4 a ed l secodo d 000 scadee fra 8 a. Sapedo che l valore auale complessvo de due deb è d 850, deermare l asso auo composo. 4

43 Cofroo ra regm d eresse Capalzzazoe semplce Ieresse acpao o perbolco m s ( m a ( 3 Ieresse composo c ( m ( Dao u cero asso, quale regme è pù coveee per l debore o per l credore? Cofroo ra regm d eresse Tue e re le curve passao per pu (0, e (, Tuava, la dversa curvaura fa sì che m a (<m c (<m s ( se < m a (>m c (>m s ( se > m a m c m s Ad es., per durae feror a u perodo, u debore prefersce l eresse acpao 0 43

44 Cofroo ra regm d scoo Scoo razoale v ( s m ( s 3 Scoo commercale Scoo composo va ( d m ( a vc ( m ( c ( Dao u cero asso, quale regme è pù coveee per l debore o per l credore? Cofroo ra regm d scoo Rcordamo che, per regm couga v( /m( Rcordamo olre che a > b > 0 < a Ne cosegue che, se <: da m a (<m c (<m s ( segue che v a (>v c (>v s (. Aalogamee: v a (<v c (<v s ( se > b Ad es., per durae feror a u perodo covee subre uo scoo commercale perché l valore auale acpao è maggore 44

45 Capalzzazoe a ass varabl el empo: eresse semplce Nella praca, può succedere che l asso camb u sae (o j ermedo Nell eresse semplce s procede così M( CC C ( - E se l asso camba pù vole, assumedo a valor j a parre dall sae j- : M ( C j ( j j j C C* Esempo S calcol l moae d 00 capalzzazoe semplce dopo 3 a suppoedo che l asso auo sa: 0% per l prmo ao e % per gl alr due a M ( % 00 % (

46 Esempo d esame Dsega l grafco del faore d moae al varare del empo, per ua legge a asso varable c.s. co 0% per l prmo ao, 5% per l secodo ao e 3% per l erzo ao 0, 0 < m(, 0,5( <,5 0,3( < 3 m(,38,5,0 3 Capalzzazoe a ass varabl el empo: eresse composo Se l asso camba u solo sae ermedo s procede così: M ( C( ( Es. s calcol l moae d 00 dopo 3 a suppoedo che l asso sa 0% per l prmo ao e % per gl alr due M(3 00, (, 37,98 Se l asso camba pù vole, assumedo a valor j a parre dall sae j- : M ( C ( j j ( j j 46

47 Capalzzazoe a ass varabl el empo: eresse acpao Nel caso d u solo cambo : [ d d ( ] C( M ( 0, 0, M ( M ( ,66 d C d ( Se l asso camba pù vole: C M ( d ( j j j j Es. s calcol l moae d 00 dopo 3 a se d è 0% per l prmo ao e % per gl alr due Tass equvale Equvale sgfca che applca a uo sesso capale C, producoo uo sesso moae M. S può avere equvaleza ra Ua sequeza d ass ed u asso medo Tass relav a regm dvers Tass co perodcà dverse es. rmesral, mesl, aual 47

48 Tasso medo * Tasso (cosae * equvalee ad ua sequeza d ass,, j,, varabl el empo I capalzzazoe semplce: * C * [ ( ] C ( 0 j Capalzzazoe al asso * sull era duraa Rcavado * s oee: * j j, j j j Capalzzazoe a ass varabl vsa sopra ( ( j 0 j (meda de ass j pesaa per le durae Tasso medo * (segue I capalzzazoe acpaa Resa valda la formula per la capalzzazoe semplce I capalzzazoe composa: * * ( o j j C( C ( j j Capalzzazoe al asso * sull era duraa Rcavado * s oee: ( j ( j j * j Capalzzazoe a ass varabl vsa sopra o (meda geomerca pesaa de faor d moae j 48

49 Esemp d esame S cosder ua capalzzazoe composa della duraa d 3 a. Suppoedo che l asso auo sa 0% per l prmo ao e % per gl alr due a s calcol l asso medo equvalee. Tass equvale relav a regm dvers Equvaleza ra capalzzazoe semplce a asso s e composa a asso c : s e c producao lo sesso (faore d moae ( ( s c N.B.: l equvaleza dpede dal perodo! s c ( c Es. - Rcavare l asso composo equvalee ad u asso semplce s del 5% su u perodo d due a: s ( ( 5% c s 8,% 49

50 Tass equvale per perodcà dverse Il asso d eresse può essere rfero a a, ma ache a mes, semesr, be S raa d perodcà dverse Es. rovare l moae assocao ad u capale d 000 mpegao per 0 mes al asso d eresse semplce rmesrale del,5%,5%; 0/3 3,33 M 000( 000 (,5% 3,33 083,33 D ora po: m asso applcao a /m d ao (es. asso semesrale m empo espresso m-esm d ao (es. sgfca /, coè ao / Ao / Tass equvale per perodcà dverse: eresse semplce Voglamo che m m asso e empo asso e empo espress a rfer a m mm m m Esempo: Trovare l asso bmesrale 6 equvalee all auo 3% m m es. 4 N.B.: l equvaleza o dpede da! 0, ,0 50

51 Ieresse semplce: equvaleza ra sooperod dvers L ao può essere dvso due mod dvers, coè m oppure m par I eramb cas s può fssare u asso m o m relavo a ua duraa m o m L equvaleza dvea: m m m m m m m m /3 /3 /3 / 3 m 3 Ao m 0, 3 / Esempo: Trovare l asso quadrmesrale equvalee al semesrale % 3 0,08 Tass equvale per perodcà dverse: eresse acpao Voglamo che d d m m asso e empo espress a d d m m asso e empo rfer a m d m Aalogamee, da due ass perodal d m e d m, rfer eramb a perod dvers dall ao, sarà: d m d m m m regola per eresse semplce d m 5

52 Tass equvale per perodcà dverse: 3 eresse composo Voglamo che ( ( ( m m m m ( m m m m Esempo Il asso d eresse quadrmesrale 3 equvalee al asso auo del 6% è: Lo 3 3,6 0,0507 5,07% rpredamo ra poco Ieresse composo: equvaleza ra sooperod dvers Da due ass perodal m e m eramb rfer a perod dvers dall ao, voglamo che ( ( m m m m m ( ( ( m m m m m m m m ( m m m Esempo Il asso d eresse rmesrale 4 equvalee al asso mesle del,3% è: 4 3 4,03,03 0,0395 3,95% 5

53 Tasso auo omale coverble m vole l ao Vee spesso dcao e cora co perodcà ferore all ao. E dao da j m m m Nell esempo d prma: m 5,07%, m3, 6% duque: j m 3 5,07% 5,6% E dverso da, che d ora po chameremo asso auo effevo equvalee, e che vale m ( m j m m m S può dmosrare che j m è sempre <. Vee usao per mascherare ass pù al e pres. Esempo d esame Calcolare l asso auo d eresse effevo equvalee a quello omale del 4% coverble re vole l ao. 53

54 Perché asso coverble? (esempo per m 3 3 C j 3 Immagamo ua baca che, m vole l ao, coversse dearo gl eress maura dal clee ( m e glel lqudasse per coa. Il capale orerebbe ad essere C, e la vola dopo gl eress sarebbero d uovo m. I u ao l clee s vedrebbe lqudare eress per m m j m. E u asso fzo che somma eress lquda sa dvers. Il suo eresse fale sarebbe solo se poesse revesre subo gl eress lquda, oeedo d uovo u asso m (v. esempo. Esempo d esame Tzo vese 000 per u ao al asso auo omale del 0% coverble due vole l ao. Gl eress lquda possoo essere ves:. Alle sesse codzo a cu è regolaa l operazoe prcpale. Al,5% composo auo Calcolare l asso d eresse effevo guadagao da Tzo e due cas, cofroadolo co l asso auo effevo assocao al asso omale coverble del 0%. j 0% Tasso auo effevo: (, % 54

55 Cofroo ra due cas Ieresse semesrale: I C 000 0% dspoble a fe ao mes 6 mes da revesre per resa 6 mes: cas Caso : revesmeo alle sesse codzo m 00 ( 00( 0% m 0 I 0 00 ( % Caso : revesmeo al,5% auo C 000 m m,5% 6,% Solo el caso s oee u asso effevo del % m 00 ( m 00( 6,% I 06, 00 ( 0,6% C , Tasso omale ed esà saaea d eresse Abbamo vso che è sempre possble rovare u j m equvalee a u dao effevo, per qualuque frequeza d capalzzazoe m: m j jm... m Che succede se la frequeza m dvea fa? Esse acora u j* equvalee a? Coè, esse j* ale che lm m j * m m? 55

56 Tasso omale ed esà saaea d eresse Rsolvamo l lme: m j * lm lm m m m m / j * Se lm m / j* m j / * m j* j* e j* * * e j j l( m j* j L eresse composo applcao ache a durae o ere può veders come ua capalzzazoe coua degl eress ed è deo eresse composo couamee bc b a ( a c * lm e x x co x j * m Iesà saaea d eresse assocaa al regme d eresse composo x Traslablà e scdblà Traslablà e scdblà soo propreà che u regme fazaro può possedere, oppure o. Ora le defremo, per vedere po se regm fazar da o suda le soddsfao 56

57 Traslablà,o uformà el empo Ua legge fazara è raslable se l faore d moae m( 0, ad essa assocao dpede ucamee dalla duraa dell operazoe ( - 0, e o dall sae d zo (e d fe. I smbol, è raslable se m( 0, m( 0 q, q q - 0 q può essere egavo, ma o può redere egavo l empo zale q - 0 q Comco l operazoe q a pù ard (o prma, ma dura uguale: l moae o camba Traslablà: osservazo Og legge fazara raslable s può scrvere come fuzoe della sola duraa: m( 0, m( - 0 m( Tu regm d capalzzazoe da o rodo soo raslabl fa l abbamo scr come m( 57

58 Scdblà Ua legge fazara è scdble se l rro e revesmeo del capale u epoca ermeda o modfca l (faore d moae fale. I smbol, è scdble se: m( 0, m( 0, m(, 0 che può scrvers ache (se la legge è raslable come: m( - 0 m( - 0 m( Lasco l capale veso Rro e reveso l capale Osservazoe mporae S può dmosrare che ua legge fazara è scdble se e solo se la sua esà d eresse o dpede da. Cò s verfca solo se l faore d moae è ua fuzoe espoezale del empo. L eresse composo couamee (capalzzazoe composa covezoe espoezale è duque l solo regme a o oo a godere d raslablà e scdblà Ieresse semplce e perbolco o soo scdbl. Per queso movo, el reso del corso ulzzeremo d orma queso regme per raare le operazo fazare (OF complesse. 58

59 Esempo d esame Dre se la legge fazara è raslable e/o scdble m( 0, e 0 Esempo d esame Dre se la legge fazara è raslable e/o scdble m( 0, e 0 59

60 Operazo fazare complesse Soo quelle che prevedoo lo scambo ra pù d due SFE (suazo fazare elemear Per raarle, c covee abuarc a rappreseare ua OF araverso due veor, eramb d eleme: x, veore degl mpor (egav o posv, veore de emp assoca agl mpor x x x M x ; M x Esempo d rappreseazoe d u OF araverso x e ; ro empo esbors 60

61 Operazo fazare equvale Due OF soo equvale se dfferscoo ucamee per mpor d eà ulla x 50 ; Equvale x 50 ; Valore d u OF complessa Daa u OF complessa rappreseaa da veor x [x x x x ] e [ ] co 0 Cosderamo ua fuzoe W W(x,;τ che rappresea l valore dell OF all sae τ (che può essere o o u elemeo d τ W(x,;τ? 6

62 Valore auale d u OF complessa Se poamo τ 0, W(x,;0 dvea l valore auale (ogg, ora della OF defcaa da x e Il prcpo d addvà de valor afferma che l valore (auale d u OF è par alla somma de valor (aual de sgol mpor Dobbamo duque: Calcolare valor aual de sgol mpor Per farlo, dobbamo adoare u regme d scoo Sommarl Valor aual d sgol mpor Cosderamo u OF co x[ ] e [0 5 6] Adoamo lo scoo composo Il faore d scoo sarà -δ v( ( e co δ l( ( Sceglamo u esà d eresse δ0% Calcolamo l valore auale del secodo mporo: -0,0 5 W ( x, ;0 xv( 00v(5 00e 60,65 0,0 [Noa: δ l( e e 0,5% ] 6

63 Valor aual d sgol mpor: ulzzo d alr regm d scoo Adoamo vece lo scoo razoale Il faore d scoo sarà v( Sceglamo u asso d eresse 0% Calcolamo uovamee l valore auale del secodo mporo della OF vsa precedeza: 00 W ( x, ;0 00v(5 0% 5 66,7 Valor aual d sgol mpor: ulzzo d alr regm d scoo Adoamo fe lo scoo commercale Il faore d scoo sarà v( d Sceglamo u asso d scoo d0% Calcolamo uovamee l valore auale del secodo mporo della OF vsa precedeza: W x, ;0 00v(5 00( 0% 5 50 ( N.B. Se o dversamee dcao, adoeremo sempre lo scoo composo (couamee, perché è l regme doao d mglor propreà (raslablà scdblà 63

64 Somma de valor aual de sgol mpor valore auale della OF Calcolamo ora l valore auale dell era OF co x[ ] e [0 5 6] W ( x, ;0 W ( x, 50e W ( x, ;0 ;0 0, 0 00e x v( Adoamo lo scoo composo e u esà δ0% 50 60,65 64,64 4,7 x v( 0, 5 x e 300e δ 0, 6 Moae d u OF Nel valore auale la valuazoe avvee all sae zero Se la valuazoe avvee all sae fale ( s parla d moae della OF: Ache queso caso, vale l prcpo d addvà de valor W ( x, ; W ( x, ; x m( W ( x, ; Faore d moae sul empo-a-scadeza d og flusso

65 Cosderamo la sola operazoe fazara co x[ ] e [0 5 6] Il moae calcolao co eresse composo e esà δ 0% è: Moae d u OF: esempo d calcolo W ( x, ; 50e 0, 6 x m( 00e 0, ,0 Esempo d esame Calcolare l moae, regme d eresse semplce co asso 0%, dell operazoe fazara co x[ ] e [0 5 6] 65

66 Valore d u OF u geerco sae τ>0 > τ τ τ τ τ τ v x m x x W W ( ( ;, ( ;, ( x τ Adoado l regme c.c./c.e.: < e x e x e x W ( ( ( ;, ( τ δ τ τ δ τ τ δ τ x Fluss da capalzzare Fluss da scoare 5 Scdblà, valore auale, valore τ, moae Poché la capalzzazoe composa è scdble, l valore d u OF el geerco τ può essere calcolao come l valore auale dell OF capalzzao fo a τ, coè: δτ τ e W W ;0, ( ;, ( x x ;0, ( ;, ( ( x x W e e x e e x W δτ δ δτ τ δ τ Ifa: Aalogamee, l valore d u OF el geerco τ può calcolars come l moae scoao fo τ

67 Valore τ come valore auale capalzzao: esempo Ulzzado la capalzzazoe composa al asso δ0%, calcolamo l valore al empo τ3 e τ 5 dell OF co x[ ] e [0 5 6] W ( x, ;3 50e Oppure: 0, (3 0 x e δ ( τ 00e W ( x, ;3 W ( x, ;0 e Aalogamee: W ( x, ;5 W ( x, ;0 e 0, (3 5 δτ δτ 300e 4,7e 4,7e 0, (3 6 (gà vso 0, 3 0, 5 33,34 33,34 40,73 Coroesempo co legge o scdble (eresse semplce Ulzzado la capalzzazoe semplce al asso 0%, calcolamo l valore al empo τ 5 dell OF co x[ ] e [0 5 6] W ( x, ;5 xm( τ xv( 5 > ( 0% %( ,7,7 τ W ( x, ;0 m(5 50 0% 5 0% 6 ( 0% 5 4,7,5 6,5, 7 67

68 Operazo fazare eque U OF è equa al empo τ se W(x,;τ0 I praca, τ, l valore degl esbors compesa esaamee quello degl ro Duque affché u OF sa equa, devoo esserc sa esbors che ro (almeo u mporo ha sego dverso dagl alr Esempo: acquso merce per 00 cocordado d pagare 60 ra ao e 60 ra a. Dopo u ao m vee l dubbo: l OF è equa? Lo verfco usado la capalzzazoe composa e 0% 00 x 60 ; 60 0 W ( x, ; 00( ( 60, 4,55 NO! Esempo d esame S cosder l operazoe fazara caraerzzaa da fluss x [ h 300] e dalle corrspode scadeze [ ]. S deerm l mporo h che rede equa l operazoe alla scadeza, lavorado regme d c.c. al asso auo del 3,5%. 68

69 Operazo fazare eque e regme d eresse composo Se adoamo l eresse composo, da δτ W ( x, ; τ W ( x, ;0 e segue che se l OF è equa per u dao τ, è equa ache al empo zero e a qualuque alra epoca >0 Scomposzoe d x y e z Da x e possamo scomporre x y e z, al che la loro somma dà acora x ma: y coee solo ro 00 z coee solo esbors ; x 00 0 Se l OF è equa τ 0 y 00 0 z W ( y, ; τ W ( z, ; τ 69

70 70 Esempo d esame Daa l OF co x[ ] e [ 3 4], valuare se è equa c.c al asso auo del 0%. Iolre scomporla el veore degl ro e degl esbors, e valuarl separaamee. Precsazoe: somma d due OF co scadezar dvers Dae due O.F. qualsas per sommarle s rdefsce lo scadezaro come uoe de due scadezar s allocao gl mpor d erambe su ale scadezaro 5 5 ; x 0 0 ; 0,5 0 x ; 0,5 0 x ; 0,5 0 x x x

71 Scomposzoe del valore W moae (M e valore resduo (V Rcordamo la defzoe d valore τ: τ W ( x, ; τ x m( τ x v( τ > τ M(x,;τ: moae della OF τ, o flusso lqudao V(x,;τ: valore resduo della OF τ Per u OF equa al empo τ: W ( x, ; τ M ( x, ; τ V ( x, ; τ 0 M ( x, ; τ V ( x, ; τ Esempo d esame Daa l OF co x[ ] e [0 0,5,5 ], calcolare moae e valore resduo al empo τ, e sablre se è equa. Operare capalzzazoe espoezale, ulzzado u esà d eresse aua δ del 0%. 7

72 I ses U OF co x e è equa al empo τ *se W ( x, ; τ 0 W ( y, ; τ W ( z, ; τ M ( x, ; τ V ( x, ; τ * Precsazoe o ecessara se operamo capalzzazoe composa Rede Ua reda è u OF cu gl mpor hao u sego uguale (posvo o egavo No può essere u OF equa! E defa da x e, ma spesso azché x s usa r [R R R R ] per dcare che s raa d rae Può essere Temporaea (umero fo d rae oppure perpeua A raa varable (ad esempo progressoe armeca o geomerca oppure a raa cosae (R R 7

73 Rede Ua reda può olre essere Aperodca oppure perodca (coè equervallaa: - Se perodca: Aua: u ao Frazoaa: /m d ao Poleale: p a Acpaa (la raa è pagaa a zo perodo oppure poscpaa (la raa è pagaa a fe perodo Immedaa oppure dffera (decorre a parre da u sae successvo ad ogg Aezoe: può avers ua reda mmedaa ma poscpaa R R R 3 0 W ( r, ; τ Valore d ua reda (solo capalzzazoe composa Come per qualuque OF (ma qu x R : Co τ R e δ ( τ W ( r, ;0 R e Valore auale δ Applcare quese formule può essere lugo e laboroso. Es. Calcolare, al 9% auo composo, l valore auale d ua reda formaa da 5 rae poscpae d 400 euro. > τ e R e δ ( τ W ( r, ; Moae fale R R e δ ( τ e δ ( W ( r, ;0 R ( 400( 9% 400( 9% ( 9% 5 73

74 74 Reda emporaea perodca poscpaa a raa cosae E ua reda co R R e scadeze [ ] Il valore auale dvea Coceramoc su quesa quaà a Valore auale d ua reda uara auale poscpaa mmedaa d a a fgurao co Ra R R V W 0 ( ( ;0, ( r a Valore auale d ua reda uara auale poscpaa mmedaa d a v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v a ( ( ( ( ( L L v R Ra V 0 *** (v. olre

75 Esempo d esame Calcolare l valore auale, al 9% composo, d ua reda aua poscpaa formaa da 5 rae d 400 Rede perpeue poscpae a raa cosae Se a v lm a lm Esempo d esame: Calcolare l valore auale d ua reda perpeua co raa d 0, e co pagameo della prma raa ra u ao, valuadola al asso auo composo del 8%. V R 0 8% Ra 50 75

76 76 Reda emporaea perodca acpaa a raa cosae E ua reda co R R e scadeze [0 -] Il valore auale dvea ä Valore auale d ua reda uara auale acpaa mmedaa d a D uovo, coceramoc su quesa quaà Ra R R V & & ( ( v v v a a v v v v v v v v v v v v v a ( ( ( ( 0 0 L L && v R Ra V ( 0 & & ä Valore auale d ua reda uara auale acpaa mmedaa d a a a ( && Noa: perché? Perché le rae soo ue acpae d u ao rspeo alla corrspodee raa d ua reda poscpaa (es. 0 azché, duque og raa vale ( vole la corrspodee raa della reda poscpaa (porebbe, ad es. essere vesa e produrre eress

77 Esempo d esame Calcolare l valore auale, al 7% composo, d ua reda mmedaa e acpaa composa da se aualà (rae aue ogua d 00 Rede perpeue acpae a raa cosae Se v a&& lm a& lm( a perché è come se cassass u euro e po ua reda perpeua poscpaa! Esempo d esame: Valore auale d ua reda perpeua acpaa co raa d 0, valuaa al asso auo composo del 8%. V0 Ra&& R ,08 77

78 Reda uara auale d a poscpaa e dffera d p a R R R 0 p Sraega: Calcolare l valore auale V 0 a come se fossmo gà all sae p (e s raasse qud d ua reda mmedaa Rcordarc che o samo p, besì 0, e rasformare queso pseudo-v 0 u vero valore auale, scoadolo co ( -p Duque: p / p a ( a da cu segue ache che: p / p a v ( v v Lv v p v p v a p Lv p a p a p Reda uara auale d a acpaa e dffera d p a R R R 0 p Sessa sraega: Calcolare l valore auale V 0 ä come se fossmo gà all sae p (e s raasse qud d ua reda acpaa mmedaa Rcordarc che o samo p, besì 0, e scoare co ( -p Duque: / p a ( p a& 78

79 Esempo d esame Calcolare l valore auale, al 6% composo, d ua reda aua perpeua, d raa par a 50, la cu prma raa decorre ra 0 a. 0 V 0 R p p 9 a 50( 6% I alerava, R( V 9 6% R R p a& a 493,5 6% R( p coduce allo sesso rsulao Rede frazoae L ervallo ra ua raa e la successva è cosae ( - e par a /m d ao Ivece d pagare R alla fe (zo d og ao, pago R/m alla fe (zo d og m-esmo d ao Le formule dae fora soo valde, ma l asso da usare è quello corrspodee al perodo d frazoameo ulzzao Es. valore auale della reda frazoaa acpaa m m R R ( m ( m V0 a R m m m m j m m 79

80 Esempo d esame/ Calcolare, al asso composo auo del 0%, l valore auale d ua reda poscpaa d duraa 4 a, co raa aua d 0 pagable semesralmee. Esempo d esame/ Calcolare, al 9% composo auo, l valore auale d ua reda poscpaa rmesrale co raa d 5 og re mes che dura a. 80

81 8 Quaà oa: (cfr. *** Moae d ua reda (uara aua acpaa mmedaa emporaea d duraa a R R R R - 0 Σ m m M co ( ( ( ( ( L m m m ( ( ( ( s& & Nel caso d reda o uara: ( ( ( ( R Rs R R M & & Moae d ua reda aua poscpaa mmedaa emporaea d duraa a R R R R - 0 Σ M 0 0 s ( ( ( ( ( ( ( ( ( L s& & Nel caso d reda o uara: ( R Rs M

82 Osservazoe a ( ( Duque: s a ( ( Coè: regme d eresse composo (scdble posso sempre rovare l moae capalzzado da 0 a l relavo valore auale s 0 - M V 0 Σ R R R R Valuazoe d rede co regm dvers dall eresse composo S procede come per qualuque OF Es.: Calcolare l V 0 d ua reda uara auale poscpaa mmedaa emporaea d a usado lo scoo razoale V 0 L 3 Es. : Calcolare l medesmo V 0 usado lo scoo commercale Sommaora de prm umer aural V0 ( d ( d ( d3 L ( d ( d d 8

83 Esercz d cosoldameo Daa ua reda d 0 rae aue, ogua d 400, calcolare l valore auale, al asso auo composo del 8,5%, ell poes che la prma raa scada. Tra u ao. Ogg 3. Tra 4 a 4. Tra 8 mes S soo versa per 0 a cosecuv 500 au poscpa. Il asso auo composo, zalmee del 8%, è sao porao, dopo l versameo della 4 a raa, al 0%. Calcolare l moae fale. Esercz d cosoldameo Ua reda è cosua da 0 rae aue poscpae, d cu le prme 8 d.300 e le successve d.600. Calcolare l valore auale della reda al asso auo del,5%. Per u acquso del valore d 4.500, paghamo subo l 30% e saldamo co 8 rae aue poscpae. Calcolare la raa, se l asso applcao è l 5% composo auo. 83

84 Esercz d cosoldameo U preso d 7 vee rmborsao co rae mesl poscpae d 0 l ua, al asso composo auo del 6,8%. Deermare. Trovare composo auo ale che l moae d ua reda cosua da 6 rae poscpae aue d 800 è uguale al moae d ua reda d rae aue poscpae d 300. Rede co raa o cosae besì progressoe geomerca R Rq Rq Rq - Rq - V 0 Rv Rqv Rv [ qv ( qv Rv 0 ( qv Rq v 3 ( qv ( qv Rv qv L Rq 3 L ( qv v Rq v ( qv ä, ma co qv al poso d v ] 84

85 Esempo d esame Usado u asso composo del 5%, calcolare l valore fale d ua reda aua co la prma raa, d 00, ra u ao, e le successve ove ogua par alla precedee pù l 0%. Cosuzoe d u capale M ad ua daa fuura T Per dsporre d M alla daa T c soo 3 mod. Versameo uco, al empo <T, d C C m(t- M. Versame perodc cosa, par a R, al che R& s M oppure Rs 3. Versame rregolar d mpor r [R R R ] a emp [ ], al che sa T W ( r, ; T R ( M M Vedamo ora re esemp 85

86 Esempo d esame/ Cosure, co u uco versameo daa odera, la somma M 000 ra ove a, ulzzado l asso composo del 0%. Deermare l valore del fodo d cosuzoe dopo cque a da ogg. Esempo d esame/ Deermare la raa ecessara per cosure u capale d 000, al asso composo del 7%, co 5 versame au poscpa. 86

87 Esempo d esame/3 Per cosure, al asso auo composo del 0%, la somma d ra 0 a vegoo programma segue versame R 800 al empo R al empo 5 Deermare l mporo del erzo e ulmo versameo, da effeuare 3 8. Ammorameo d u debo Specfcazoe d rae e emp ( value e qual s cocrezzao la resuzoe e la remuerazoe del debo Resuzoe e remuerazoe d u debo par a S Rae e emp vegoo specfca u pao (prospeo d ammorameo Uco pagameo fale: M S ( T, oppure M S (, ecc. Pù pagame (ammorameo: Ieress perodc su S e rmborso fale d S Rmborso graduale d S e pagameo graduale d eress Ammorameo vero e propro 87

88 7 caraersche d u pao d ammorameo. R C I Og raa s dvde quoa capale (rmborso e quoa eress (remuerazoe. S D E I qualuque momeo, l debo resduo D e quello gà eso E eguaglao l debo orgaro S 3. I parcolare, se 0 E 0 0 D 0 S E S D 0 4. D D - C E E - C 7 caraersche d u pao d ammorameo 5. I ( - - D - L eresse pagao all sae è coeggao sul perodo ra e -, e sul debo resduo el perodo precedee. Adoado ad esempo l eresse composo, quesa caraersca dvea: I [( ] D Se po l ammorameo è perodco auo, coè - (coè: - -, allora: I [( ] D D 88

89 7 caraersche d u pao d ammorameo 6. C S codzoe d chusura elemeare 7. v ( R S codzoe d chusura fazara, o d equà Esempo d pao d ammorameo valdo Resuzoe d u preso d a, al asso composo del 0% I C R I C D E Noa bee: C S Verfcare olre che v ( R S 89

90 Esempo d esame Compleare l seguee pao d ammorameo al asso composo auo del 0% I C R I C D S I I Esempo d esame Compleare l seguee pao d ammorameo ulzzado l regme d capalzzazoe composo I C R I C D S

91 Meod d ammorameo Qualsas pao che rspe le see caraersche vse sopra è valdo Tuava, essoo alcu meod pù usa:. Rmborso dell ero capale a scadeza. Meodo alao (quoa capale cosae 3. Meodo fracese (raa cosae 4. Meodo amercao (o de due fod Vedamol N.B. Per semplcà raeremo scadeze aue ere. Se fossero frazoae m-esm d ao, bsogerebbe cosderare l umero d rae m e l asso equvalee m, ma le formule reserebbero valde.. Rmborso del capale a scadeza e pagameo perodco d sol eress Il debo resduo (su cu pago eress resa quello orgaro fo all ulma raa L ulma raa comprede eress e rmborso del capale S S D S,,,- I S C 0,,,- S R S,,,- ( S E 0,,,- S SS 9

92 Esempo d ammorameo co queso meodo Ammorzzare u preso d 00 3 a, al asso del 0% I C R D E % Noa bee: C S Verfcare olre che v ( R S. Meodo alao: quoe capal cosa C C, duque dalla codzoe d chusura elemeare: C S C C D cosegueza: E D C j S E C S S S S s 9

93 Meodo alao e progressoe armeca S dce che x vara progressoe armeca d ragoe r se x x - r Col meodo alao, D, E, I e R varao u progressoe armeca, fa: E S S E ( S I C D I D I S D D ( S S ( ( S S S Esempo Ammorzzare, co meodo alao, u preso d 80 4 a, al asso del 0% I C R D E % Noa bee: C S Verfcare olre che v ( R S 93

94 Esempo d esame U preso è ammorzzao co meodo alao 8 a. Le quoe eresse decrescoo og ao d 54, e la oa raa è d 990. Trovare S e 3. Meodo fracese: rae cosa I queso caso: R R, duque dalla codzoe d chusura fazara: v( R R v( S segue che: R S a S v Ra 94

95 Esempo co queso meodo Ammorzzare u preso d a, al asso del 5% R S v 0,05 000,05 3 I C 367, R D Σ , 367, 68,8 5% 34, 333, 367, 7,5 349,7 5% 5% 367, 349,7 0 Meodo fracese e progressoe geomerca I qualuque sae, l debo resduo cocde co l valore auale delle - rae acora da pagare: D Ma allora I Ra D R R Da cu: C v C Rv v ( C Rv C ( ( v ( v Rv R I R R C Progressoe geomerca d ragoe q 95

96 Meodo alao e fracese R R S S I C a I C Ialao: R e I decrescoo progressoe armeca Fracese: C aumea progressoe geomerca Esercz d cosoldameo U preso è rmborsable 5 a, co ammorameo fracese, al asso auo del 3,5%. Il debo eso subo dopo l versameo della 6 a raa è d Calcolare l mporo del preso e della raa. U preso è rmborsable a co ammorameo fracese. La quoa capale della quara raa è.74,3, mere la quoa eress è 394,655. Calcolare S e. 96

97 Noa al prmo eserczo: R I C D E Meodo amercao, o de due fod Per, paga eress I al asso Og raa è composa da due pagame che servoo a: pagare gl eress su S; almeare u fodo co cu rmborsarlo Debore Baca Per, cosusce u capale par a S versado rae Q calcolae al asso j Deposo I, resusce S Og raa è: R I Q Coè: co Q Q s R S S s j j S 97

98 Esempo d esame Redgere l pao d ammorameo a 5 a, co meodo amercao, d al asso 0%, ulzzado u asso j% per la cosuzoe del capale S. % 0% Osservazoe sull eserczo U ammorameo fracese al 0% avrebbe comporao u esborso auo par a S ,0 R > 574, 5 a a, 5 0% I queso esempo l meodo amercao è pù coveee perché la baca c rcoosce u j > che accelera la cosuzoe del fodo. Se fosse j <, allora sarebbe pù coveee l meodo fracese Il prossmo eserczo mosra u caso cu la scela appareemee - o è mmedaa 98

99 Esempo d esame Dao u debo d s scelga l pù coveee ra Ammorameo amercao 8 a co pagameo d eress al % e asso auo d cosuzoe del capale del 0% Ammorameo fracese 8 a al asso del,5% Valuazoe d u preso Compora l calcolo del valore auale delle rae o acora scadue u dao sae τ 0 < τ < S valua l veore r* {R > τ} co * { > τ} E smle al valore resduo d ua geerca OF La valuazoe avvee a u asso y deo asso ecco, geerale dverso dal asso orgaro ( τ W ( r*, *; τ V R ( y τ Se vece queso y cocde co l asso a cu era sao redao l pao d ammorameo, allora W ( r*, *; τ V D τ > τ τ (coè: l valore auale delle rae resdue cocde co l valore del debo resduo 99

100 Esempo d esame / U preso d.000 è ammorzzao 5 a al % rae cosa. Se e deerm l valore, al asso ecco del 0%, subo dopo l pagameo della erza raa. S 000 0, R ,4 5 a a, 50% V 3 77,4a 0% al 0%, 77,4 0, 48,45 Esempo d esame / Trovare V 3 al 0% se l precedee preso fosse sao ammorzzao a quoe capale cosa al asso del %. 00

101 Usufruo e uda propreà V soo cas cu l valore V τ del preso va scsso due compoe, ad esempo perché s cedoo le fuure quoe capale a qualcuo, e le fuure quoe eress a qualcu alro Usufruo: U Nuda propreà: τ > τ P τ I ( y > τ ( τ C ( y N.B. da R C I ( segue che V τ U τ P τ ( τ ( τ Esemp d esame. U preso d.000 è ammorzzao 5 a al % rae cosa. S deerm l valore, al asso ecco del 0%, d usufruo e uda propreà subo dopo l pagameo della erza raa.. Trovare U 3 e P 3 al 0% se l precedee preso fosse sao ammorzzao a quoe capale cosa al asso del %. 0

102 Valuazoe d proge Rede sego cosae OF Operazo fazare Proge U progeo è u OF, co fluss x a emp, ale che essoo almeo due fluss co sego dscorde:, h x < 0 sego che camba x h Alcue pologe d progeo Ivesmeo seso sreo: u gl esbors precedoo u gl ro Fazameo seso sreo: u gl ro precedoo u gl esbors Ivesmeo seso geerale: la scadeza meda poderaa (per gl mpor degl esbors è ferore a quella degl ro Fazameo seso geerale: la scadeza meda poderaa (per gl mpor degl ro è ferore a quella degl esbors 0

103 Cofroo ra proge Il cofroo ra pù proge è ammssble solo se ques godoo d 4 requs, e soo: Ammssbl compabl co la suazoe ecoomco-fazara del soggeo che l valua Idpede l auazoe d uo o flueza l auablà degl alr Alerav uo esclude l alro, per esempo perché l capale da vesre è lmao Cofroabl ( compleezza omogee per duraa e capale veso Redere cofroabl due proge Cosderamo due proge molo semplc: H e K No soo cofroabl, perché rchedoo vesme dvers Aggugamo K, regolao a ass d mercao Meo baca 500 euro avaza Ora H e K* (K K soo cofroabl! Se vece la duraa fosse dversa dovre prevedere u progeo d revesmeo, co duraa par alla duraa resdua del progeo pù lugo Progeo H Progeo K Ives al asso d mercao (0% Progeo K Progeo K* 03

104 Crer d valuazoe/selezoe. REA Redmeo Ecoomco Aualzzao Deo ache VAN (Valore Auale Neo o DCF (Dscoued Cash Flow. TIR Tasso Iero d Redmeo Deo ache IRR (Ieral Rae of Reur REA Redmeo Ecoomco Aualzzao No è alro che l valore auale del progeo, valuao ad u cero asso composo REA x ( I praca, esbors e ro vegoo:. Res omogee dal puo d vsa emporale, esprmedol u come valor al empo zero. Somma, per calcolare l saldo eo 04

105 Esempo d esame Dao l progeo A, descro da: x [ ] e [0 ] valuare l suo REA al asso del %. REA A x ( 00 60, Valuazoe: l l progeo A è coveee perché ha ha u u REA>0 progeo acceable 70, Noa: posso usare l REA come crero d 9,375 Selezoe: da due o pù proge alerav, scelgo quello co l l REA (posvo pù elevao Esempo d esame / Dao l progeo B, descro da: x [ ] e [0 ] dre se, al asso del %, è preferble a A base al crero del REA. REA B 00 0, 30,,5 Valuazoe: l l progeo B è è acceable Selezoe: l l progeo B èè preferble a a A 05

106 Osservazo sul REA REA (AB REA A REA B Il REA d u progeosomma è par alla somma de REA REA αa α REA A Se scalo (es. raddoppo fluss, scala ache l REA REA f( Il REA dpede da, è ua fuzoe d REA A ( % 9,375 REA A (5% 00 60,05 70,05 0,6 REA A (5% 00 60,5 70,5 REA A 0,6 9,37-7, 5% 7, REA f( % 5% REA P f(: cofroo ra proge Rpeamo l cofroo ra A e B: REA A REA B % 9,375 60% -35, -36,7 50% -8,9,5-8,9 meo peggo 06

107 REA f(: sudamola meglo Cosderamo u progeo d vesmeo seso sreo (prma gl esbors, po gl ro Il prmo flusso x ( 0 è u esborso (x <0 La somma de fluss o scoaa è posva: Σx > 0 E coua, >0 3 REA f ( x ( f(0 Σx > 0 (ha ercea posva lm x x x x lm L x < 0 0 ( ( ( ( ha u asoo orzzoale (egavo 0 REA f(: sudamola meglo REA f(0 Σx 4 E possble mosrare che se l progeo è d vesmeo seso sreo, REA( ha dervaa egava (decresce co 4 3 f( coua y x <0 07

108 REA P f(: cofroo ra proge REA REA K < REA K REA K > REA K REA K REA H E evdee che la scela d è crucale dev essere u asso d mercao, sgfcavo delle codzo a cu u azeda può debars o revesre prove del progeo La scela d u d mercao rede ule l aggua d proge egrav per redere cofroabl proge Proge cofroabl e scela d Progeo K Ives al asso d mercao (0% Progeo K Progeo H REA ( 0% H 90,9 REA K ( 0% Ifa: Ma ache: REA K REA Progeo K* * ( 0% K* REAK K REAK REAK REAK 36,4 36,4 0 perché regolaa a ass d mercao (equa 08

109 La scela del guso asso E rsecamee arbrara e dffcle: S suppoe lo sesso asso sa per sald passv (deb che av (revesmeo d prove S suppoe lo sesso asso per somme d dversa eà S suppoe lo sesso asso per ua la duraa dell operazoe Cresce allora l eresse per u crero d valuazoe / selezoe de proge dverso TIR, o asso ero d redmeo TIR Tasso Iero d Redmeo REA( REA(>0 0<<* * REA(<0 >* x TIR * REA( * 0 ( Esempo: Per og progeo d vesmeo seso sreo, esse u * ale che REA(* 0 Se <*, REA > 0 e vceversa Azché sceglere u d mercao e po calcolare l REA del progeo, possamo Trovare * che e aulla l REA ( asso ero d redmeo Verfcare che sa superore a possbl ass d mercao *3% Il progeo è 4-8% acceable 09

110 Perché Tasso Iero d Redmeo? Perché è assmlable al redmeo d u olo che pagasse ua cedola propro par a * Calcolamo ad esempo l TIR d u olo d Sao reale co cedola del 0% aua poscpaa rsula essere propro l 0% x x (0% , 8,3 8,6 REA(0% 0 E davvero erpreable come l redmeo fale? Solo se è possble revesre prove ermed al asso *, coè al TIR (ell esempo, al 0% -00 Se ad esempo s ha accesso solo a u %, l moae fale sarà: Mere se guadagassmo davvero l 0% avremmo oeuo: 00 (0% 3 33,>30,6 I effe l osro vero redmeo è: 00 ( 3 30,6 0 0(% 0(% 30,6 0 0 reves al % 0 30,6 3 9,3% 00 0

111 Due propreà del TIR REA TIR A TIR (-A Il TIR d u progeo d vesmeo A è uguale a quello del progeo (d fazameo che s oee cambado d sego u fluss TIR αa TIR A Molplcado u fluss per ua cosae, l TIR o camba * REA * REA A REA -A - REA A REA αa αrea A REA A Esempo d esame Dao l progeo A, descro da: x [ ] e [0 ] calcolare l suo TIR.

112 Ulzzo del Tr Il TIR può essere ulzzao come crero d Valuazoe (gà vso: l l progeo A è acceable se se ass d d mercao soo feror al al TIR Selezoe: da due o pù proge alerav, scelgo quello co l l TIR pù elevao* * Aezoe! Se l TIR è rrealscamee elevao, revesre prove a quel asso sarà mpossble e l vero redmeo del progeo porà essere molo pù basso. Il crero va duque usao co cauela. Possble o-ucà del TIR Σx REA * Aezoe! Se l progeo valuao o è u progeo d vesmeo seso sreo x <0 la mooocà della fuzoe REA( o è garaa Possoo avers pù TIR: U equazoe d grado può avere fo a radc real!

113 Esempo d o-ucà Dao l progeo C, descro da:x [ ] e [0 ] valuare l suo TIR. * v 30v 30v v, 49v ± 50 v v ± * 6 0% v 5 * 5 5% v 4 Meod Maemac per l Ecooma e la Faza Fe del erzo modulo: Eleme d Maemaca Fazara I bocca al lupo! 3