DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

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1 SPENSE MATEMATA FNANZAA NE egm Fazar.. osderazo roduve..2 egme fazaro dell eresse semplce..3 egme fazaro dello scoo commercale..4 egme fazaro dell eresse composo..5 Tass equvale..6 Scdblà de regm fazar. 2 Le rede. 2. ede ere. 2.2 ede frazoae. 2.3 ede o uare. 3 Pa d ammorameo. 3. osderazo geeral. 3.2 Ammorameo alao. 3.3 Ammorameo a rmborso uco. 3.4 Ammorameo fracese. 3.5 l preammorameo. 3.6 Ammorameo a ass varabl. 3.7 Valuazoe d u preso.

2 egm Fazar.. osderazo roduve. S defsce operazoe fazara u'operazoe ce produce ua varazoe d capale el empo. ; / ; ce prevede u'usca d all'epoca osderamo ad esempo lo scadezaro seguee ( ) ( ) zero e u'eraa d all'epoca. Possamo rferrc pù geerale allo scadezaro ( P; M) /( ; ). L'mporo P (l capale zale) vee camao valore auale mere l'mporo M vee camao moae. Se due dvdu s scambao capal P e M, ques due capal s drao fazaramee equvale. u'operazoe d'vesmeo avremo ce M > P percò la dffereza posva M P= è camaa eresse. Avremo olre: M = P+ M = P+ M = + P P P P ques'ulma relazoe, poamo M r P = e = cama faore d capalzzazoe (o d moae) e asso P d'eresse rspevamee. a u puo d vsa fazaro l faore d moae rappresea l moae oeuo vesedo u capale uaro, mere l asso d'eresse rappresea l'eresse oeuo vesedo u capale uaro. L'ulma relazoe s può ace rscrvere ella forma seguee: 2 [ ] r = + M = P r = P +. Possamo fe defre l'operazoe versa rspeo all'vesmeo, oa come operazoe d aualzzazoe (o acpazoe). queso caso, l capale M dspoble all'epoca vee aualzzao (rporao dero el empo) all'epoca. La dffereza posva M P= è camaa scoo. Avremo olre: P = M P = M P =. M M M M ques'ulma relazoe, poamo P v M = e = d cama faore d scoo (o d aualzzazoe) e asso d M scoo rspevamee. a u puo d vsa fazaro l faore d scoo rappresea l valore auale oeuo aualzzado u capale uaro, mere l asso d scoo rappresea lo scoo oeuo aualzzado u capale uaro. L'ulma relazoe s può ace rscrvere ella forma seguee: [ ] v= d P= M v= M d. Teedo coo della defzoe d faore d moae e faore d scoo possamo dedurre ce ques soo recproc: r = v Osservazoe. dceremo d'ora po l'epoca zale co e l'epoca fale co. Useremo percò le segue oazo: r(, ) = r = r( ) v(, ) = v = v( ) (, ) = = ( ) d(, ) = d = d( ) ( al caso rappresea la duraa dell'operazoe ce o dpede dall'epoca d'vesmeo x). cordamo ce alla luce d quese uove oazo () rappresea l'eresse geerao da u capale uaro veso per

3 u perodo, mere d () rappresea l coso ce devo soseere per acpare a ogg u mporo uaro ce sarebbe dspoble solo ra perod. Osservamo olre ce oe ua d quese quaro fuzo, è possble rcavare le alre re. cordamo le relazo segue: M = P r() P = M v() = P () = M d(). Nel caso cu = useremo le oazo r(,) = r; v(,) = v; (,) = e d(,) = d. educamo da quese le segue relazo: r = v = + = d v = d = r = + d = = r = v + r = r = d = v. d v Esemp. ) alcolare l asso d'eresse e d scoo e l faore d aualzzazoe corrspode a u faore d capalzzazoe r =, 25. Avremo = r =,25. olre v = = =,8. r, 25 fe d =,8=,2= v. 2) S debba corrspodere dopo u perodo l capale d. e l asso effevo d'eresse (uperodale) sa l 25%. alcolare la somma equvalee a pro e l asso effevo d scoo. Lo scadezaro dell'operazoe è ( P ;.) / (;). eermamo dapprma l faore d scoo v : v =,8. r = + =,25 =,25 Percò P=. v= 8. fe l asso d scoo è d = = =,2. +,25 3) ao lo scadezaro ( ;2) /(;), deermare ass d'eresse e d scoo, faor d'eresse e d scoo. da soo P =, M = 2, = 2. educamo = M P= 2 = 2. base alle oe relazo avremo: = = 2 =, 2 2% P r = M = + (,2) =,2 P (,2),2 d = = =,7355 = + (, 2), 2 M v= = =, = d r, 2 Possamo adesso defre u regme fazaro come u seme d "regole" ce cosee d effeuare operazo d capalzzazoe e d aualzzazoe. Possamo percò cofroare, cooscedo u parcolare regme fazaro, mpor dspobl a epoce dverse. Vedamo deaglo alcu ra pù mpora regm fazar..2 egme fazaro dell eresse semplce. Nel regme fazaro dell'eresse semplce (" FS "), s'pozza ce l'eresse s produce proporzoalmee 3

4 (ossa learmee) rspeo al empo. Avremo percò: = M = ( + ). olre l asso d'eresse el perodo è legao al asso auo dalla relazoe () = mere, l faore d moae è dao dalla relazoe r () = + (fgura ). Esemp. ) alcolare l'eresse e l moae prodo da u capale =. mpega: - al 3,75% per u ao; - al 7% per 5 mes. Sfruado la relazoe M = ( + ) e = avremo el prmo caso: e el secodo caso: M =. ( +, 375 ) =.37,5 =., 375 = 37,5 = M 5 ( ) M =. +, 7 =.87,5 2 =., 7 5 = 87,5 = M. 2 2) alcolare a quale asso u capale d 8 produce u moae M = 9 re a. alla relazoe 9 = 8 ( + 3) s deduce ce = 9 ( ) =, 47 = 4,7%. 8 3 cordado le relazo r () = v () e v () = r () avremo el FS le segue relazo: v () = = ( + ) + d () = v () =. + Noamo ce al crescere d l valore auale dmusce (fgura 2). 4

5 Applcazoe: l replogo eress bacar l calcolo degl eress maura su u coo corree bacaro vee radzoalmee rasmesso al corresa soo forma d abella replogava co dca sald, gor e umer. l calcolo vee fao sulla base del regme dell eresse semplce, co accredo (ormalmee) rmesrale degl eress. osderao ce, el regme dell eresse semplce, l valore degl eress è dao da =, la somma d pù eress maura allo sesso asso è daa da k = k k = k k k k k Se è espresso gor avremo: ( g ) k ( g ) k = k = k k k k k ( g ) Nel quale k k prede l ome d umer e d dvsore fsso k 36 l procedmeo è l seguee: ) s rlevao l saldo zale del coo, u movme ercors el perodo e l saldo fale; 2) a cascu movmeo vee assocaa la daa relava; 3) s calcolao sald, ovvero l valore dspoble sul coo dopo cascu movmeo; 4) s calcolao gor d permaeza d cascu saldo; 5) s calcola l prodoo d cascu saldo per relav gor, camao umer ; 6) s sommao umer 7) s calcolao gl eress molplcado umer per l dvsore fsso. ae Movme Sald Gor Numer eress -ge ge ge feb feb feb feb mar mar mar mar mar mar Toale % eress.7828

6 Noa: Ecooma Azedale spesso la formula per l calcolo delg eress vee dcaa co: r r gg = oppure, se l empo è espresso gor, = 365 Le due oazo soo dverse ma equvale, se s poe = P; r =, mere abbamo gà vso ce esprmere l empo gor e dvdere po per 365 (o 36 a secoda delle covezo adoae) equvale a dcare la frazoe d ao..3 egme fazaro dello scoo commercale. Nel regme fazaro dello scoo commercale (" FS ") s'pozza ce lo scoo è proporzoale al empo: = M d d() = d. Possamo olre dedurre le alre relazo: v () = d r () = = d v( ) () = r () = d. d a quese relazo dobbamo mporre ce (olre per = s aulla l valore auale). Olre queso d d lme, l FS perde d sgfcao. Se ad esempo d =,2 avremo ce < 8,33 (ossa oo a e quaro mes crca).,2 Esemp. ) alcolare l moae d u capale par a dopo re a co = %. Teedo coo della relazoe M = co d = d + s avrà: M = = 37,5., 3, 2) Ua soceà presea allo scoo ua cambale d.. scadee ove mes, la fazara applca u asso d scoo del 6% el FS. alcolare l'mporo accredao. Applcamo le oe relazo: P =.. 9 (,6 ) = =..,6 9 =.2. = M P. 2 Osservazoe. ofroamo due regm fazar vs fora. osderamo u capale =. e u asso auo = %. Per u empo par a se mes ( = /2) l moae el FS sarà M =. ( +, ) =.5 mere el FS avremo u moae par a 2 M..47, 6 2 =, = percò M > M 2 (l moae el FS prevale sullo scoo commercale per, 2 6

7 ua scadeza ferore a uo). Per scadeze maggor d uo, accade l coraro. predamo lo sesso esempo co = 2 : M =. ( +, 2) =.2, mere M =. =.22, 22 percò 2, M < M. 2 2,.4 egme fazaro dell eresse composo. l regme fazaro dell'eresse composo (" F ") è caraerzzao dal fao ce l'eresse s accumula sul capale e forma uov eress. a u puo d vsa fazaro s può mosrare ce al caso l faore d moae è dao da ua fuzoe espoezale: r () = ( + ) M () = ( + ). l faore d scoo sarà percò: v () = ( + ) =. ( + ) Abbamo olre: () = ( + ) ( + ) d () = v () = =. ( ) ( ) + + Esemp. ) alcolare l moae e l'eresse prodoo dall'vesmeo d u capale =. per re a e se mes al asso = 7,5%. Applcado le formule precede s oee: M = = = M = 288,4. 3,5. (,75).288,4 2) Scoo presso u suo bacaro ua cambale scadee ra ove mes l cu valore è 3... La baca m applca u asso = 3%. alcolare l asso d scoo, la somma acpaa e lo scoo. Applcamo le formule oe:,3 d = = =,5 d =,5% +,3 = M + = = = M = ,9. 9/2 ( ) 3.. (,3) , ofroamo ora l faore d moae e re regm fazar vs. S a: < < FS < F < FS > FS < F < FS. ossa l moae prodoo el F è sempre compreso ra quello relavo agl alr due regm fazar; per < < prevale l eresse semplce mere per > prevale lo scoo commercale (vedere fgura 3). 7

8 .5 Tass equvale. remo geerale ce due ass soo equvale, quado applca ad uo sesso capale per ua sessa duraa, forscoo lo sesso moae. Poamoc adesso ell'ambo del F e dcamo co /m l asso relavo a u m esmo d ao. Voglamo deermare l asso auo equvalee al asso /m. Per defzoe d ass equvale avremo ce l'vesmeo d u capale uaro per u ao pora alla relazoe: ( ) m / m + = ( + ) dalla quale possamo rcavare l legame cercao: m = + ( / m ) ( ) / / m = +. Osservamo ce el FS s a la relazoe / m = / m. Esemp. ) ao l asso auo = 2%, deermare l asso semesrale /2, l asso quadrmesrale /3, l asso rmesrale /4, l asso mesle /2 e l asso goralero /365 equvale. Ulzzado la relazoe su ass equvale (lavoreremo sempre el F se o dversamee specfcao) avremo: /2 /2 = (,2) =,95445 /3 /3 = (, 2) =, 6 /4 /4 = (,2) =,46635 /2 /2 (,2),5 m = = /365 /365 = (,2) =,496. 2) ao l asso rmesrale /4 =,5 calcolare l asso auale, semesrale e quadrmesrale equvale. alle relazo oe rcavamo: 4 = ( +,5) =,2556 /2 /2 = (,2556) =,25 /3 /3 = (,2556) =,67. 8

9 .6 Scdblà de regm fazar. U regme fazaro è scdble se l moae d u capale veso dall'epoca all'epoca è par a quello oeuo vesedo lo sesso capale dall'epoca a u'epoca ermeda s e po dall'epoca s all'epoca. Quesa defzoe s può esprmere araverso l faore d moae el modo seguee: r(, ) = r(, s) r( s, ) co < s <. Possamo esprmerla aalogamee facedo rcorso al faore d scoo: v(, ) = v(, s) v( s, ) co < s <. Esemp. ) l F è scdble. effe, essedo (, ) ( ) k rk = + s a: 9 r(, ) = r(, s) r( s, ) ( + ) = ( + ) ( + ) s s per ua semplce propreà delle poeze. 2) l FS o è scdble. effe, essedo rk (, ) = + ( k ) s a: 2 [ ] [ ] [ ] r(, s) r( s, ) = + s + ( s) = + ( s+ s) + s ( s) r(, ) = +. Vedamo u'applcazoe umerca el F co da segue: = ; = % ; s = 2 ; = 3. alcolamo l moae co e seza capalzzazoe ermeda: S oee come prevso lo sesso rsulao. 2 M = (,) (,) = 33, 3 M = (,) = 33,. Esercz d replogo. ) alcolare e M prodo da u capale =., mpega al asso auo e per l perodo dca (el FS ): a) al 3,75% per u ao; avremo: ( ) = =., 375 = 37,5 M = ( ) + = 37,5 +. =.37,5 b) al 7% per 5 mes; ( ) = =.,7 5 = 87,5 2 M = ( ) + = 87,5 +. =.87,5 c) al 9,25% per 2 gor; ( ) = =.,925 2 = 3,83 36 M = ( ) + = 3,83 +. =.3,83. 2) alcolare a quale asso auo d'eresse (el FS ): a) u capale d.25 produce u eresse = 84,375 u ao; ulzzamo la oa relazoe: () 84,375 ( ) = =,675 6,75% =.25 = =.

10 b) u capale d 8 produce u moae d 9 re a; ulzzamo la oa relazoe: M () M ( ) = ( + ) = 9 ( ),46 = =. 3 8 c) u capale geerco raddoppa due a; essedo M () = 2, s oee: 2 ( ) = (2 ),5 5% = 2 = =. 3) alcolare quao empo, al asso d'eresse del 7,5% auo (el FS ) a) u capale d 3.5 produce u eresse d 35 ; ulzzamo la relazoe: () = 35,3 = 3.5,75 = (u ao e 4 mes) b) u capale d 2.5 produce u moae d 3. ; ulzzamo la relazoe: M () = 3. ( ) 2,6 = =, ( 2 a e 8 mes). 4) alcolare l capale da vesre ogg al 9,5% auo per avere (el FS ): a) u moae par a. ra 4 mes; ulzzamo la relazoe: M() = =. = 9, , b) u eresse par a ra 6 mes; ulzzamo la relazoe: () = = = 2.5,263., ) Vee spulao u preso d 5. da resure dopo 9 mes co = 2% el FS. alcolare l valore auale dopo 6 mes della somma dovua usado l asso d'eresse del % auo. l moae è: M ( ) = ( + ) = 5. 9 ( +,2 ) = l valore auale rceso sarà allora (aualzzamo l moae precedee d re mes): P= M() v() = M() = 5.45 = 5.37,7. + +, 3 2 6) alcolare el FS scoo e valore auale per u capale a scadeza K =. co asso auo d scoo e ervallo d empo dca: a) d =, ; = ; abbamo le relazo:

11 b) d =,2 ; = 8/2 (oo mes); abbamo le relazo: = K d =., = P= K =. = 9. = K d =.,2 8 = 8 2 P= K =. 8 = 92. 7) alcolare el FS l asso auo d scoo base al quale: a). è l valore auale d.3 dspobl ra oo mes; ulzzamo la relazoe: P = K v() = K ( d ) d = P K d =. ( ) =, /2 ( ) b). è lo scoo ecessaro per acpare d u ao u capale d. ; ulzzamo la relazoe: = K d d =., K =. = d = %. c) l valore auale d u capale dspoble ra 8 mes è la meà d ; cosderamo la relazoe del puo a) P /2 ( ) ( ) d = = = 2 =,3. K 2 3 8) Ua baca cocede pres a breve erme al asso auo dell 8% d'eresse semplce acpao. alcolare la somma ce s rscuoe effe coraedo u preso d: a) 8. a re mes. Ulzzamo la relazoe P= K ( d ) = 8. 3 (, 8 ) = b) 2.5 a 45 gor. P= K ( d ) = (, 8 ) = ) alcolare a quale asso auo d'eresse semplce poscpao corrspode u eresse acpao d 6 ad u capale d 8. presao per re mes. Ulzzamo le oe formule: = K = 8. 6 = 7.84 = = 6 =, 86 = 8,6% ) alcolare segue ass equvale (el F ). =,2 deermare l asso mesle /2 /2 /2 = ( +,2) =,539 =,5 deermare l asso rmesrale /4

12 = + = /6 =,9 deermare l asso auo /4 /4 (,5), = ( +,9) =,677 ) alcolare el F l moae e l'eresse prodo da cascuo degl vesme ce seguoo. a) =.2 al 3% auo per re a e quaro mes: abbamo = = percò 2 3 M = M = 63, 47 /3 ( ) = ( + ) =.2 ( +,3) =.83,47 b) = 7.5 al asso saaeo del 7,5% per due a e se mes: δ,75 abbamo = e = e =,7788 percò M = M =.546, Possamo calcolare l moae el modo equvalee: 2,5 ( ) = ( + ) = 7.5 ( +,7788) = 9.46,727 M e e δ,75 2,5 ( ) = = 7.5 = 9.46,727 2) alcolare l empo ecessaro (el F ) per geerare u moae d 4. da u capale d 2.5 mpegao al 5% semesrale. eermamo l asso auo equvalee: 2 = ( +,5) =,25. alla relazoe M = ( + ) rcavamo log M / log 4. = = 2.5 = 4,87 log( + ) log,25 3) Se l asso d'eresse vgee è del 9,5% auo (el F ) covee: a) pagare 3. ogg oppure 3 ogg e 3. ra u ao? ofroamo valor aual delle due alerave. P = 3. P 2 = (,95) = 3.39,726. ovee la secoda alerava (v.a. more). b) pagare 2.5 ogg oppure.5 ra se mes e.5 ra u ao? ofroamo valor aual delle due alerave. P = 2.5 /2 P 2 =.5 (,95) +.5 (,95) = 2.83,32. ovee la prma alerava (v.a. more). 4) vese 2.5 euro per due a (el F ), al asso del 5% semesrale. Quale moae rcavae al erme se og dspoblà ulerore v rede l 3% quadrmesrale? ooscamo /2 =,5. Le quaro quoe eress varrao: 2

13 = /2 = 2.5,5 = 25 Quese rae soo revese al asso quadrmesrale foro. eermamo l asso auo equvalee: 3 = ( +,3) =,92727 Avremo perao:,5,5 = 25 (,92727) + 25 (,92727) + 25 (,92727) + 25 = 535,4 o l moae sarà qud: M = + o = 3.35,4. 5) U operaore oee a preso da ua baca ua somma e, olre, dopo cque a ua somma rpla della precedee. opo alr cque a, resusce a saldo del dovuo.5 euro. alcolare qual somme soo sae presae dalla baca, se = 2% (el F ). Abbamo lo scadezaro seguee: ( ;3 ;.5) / (;5;) percò dovremo rsolvere l'equazoe seguee ell'coga : da cu: = 5 ( ) 3 ( ).5 =.5 78,723 5 ( + ) + 3 ( + ) = 3 = 536, Le rede. 2. ede ere. Osservamo ce quado poamo l empo = (el F ) s a: r() = r = + v() = v= ( + ) = + () = d() = d mere se cosderamo u'epoca geerca avremo: v () = ( + ) = v r () = ( + ) = r. efamo adesso ua reda come ua successoe d pagame scadeza el empo. Og pagameo prede l ome d raa della reda. dceremo co la raa al empo ed maera geerca la raa al empo. ome caso parcolare possamo cosderare ua reda co rae cosa: e perodce: 3 = = = = = = 2 =

14 Nelle prossme formule ulzzeremo sempre ua raa cosae uara =. osderamo ua reda poscpaa (ossa og raa è posa al erme del perodo a cu s rfersce) co = 4. Lo scadezaro d quesa reda è (;;;) / (;2;3;4) mere l valore auale s oee aualzzado all'epoca zero ue le sue rae, percò: VA = = v + v + v + v ( + ) ( + ) ( + ) La reda appea vsa s cama reda mmedaa uara poscpaa. eplogamoe le caraersce: - mmedaa: l prmo pagameo s effeua al prmo ao (alrme s cama dffera); - uara: = ; - poscpaa: ossa og raa è posa al erme del perodo a cu s rfersce (alrme s cama acpaa). Nel caso cu l umero delle rae è par a, l suo valore auale sarà: 2 VA = v + v + + v Somma d erm progressoe geomerca, d prmo erme v e ragoe v. osderao ce la somma d erm progressoe geomerca co prmo erme uguale ad a e ragoe (rapporo ra due erm cosecuv) par a q è daa da: 2 q a+ aq+ aq + + aq = a q La loro somma sarà 2 v v v v ( + ) v+ v + + v = v = = = = = a v l smbolo a s legge " a fgurao al asso ". l moae della reda s oee capalzzado ue le rae all'epoca fale (oppure capalzzado dreamee l valore auale della reda fo all'epoca fale). smbol avremo: 2 ( ) M = r + r + + = + = s dove, maera aaloga, l smbolo s s legge " s fgurao al asso ". S avrà ovvamee: s = a ( + ). Esempo. osderamo ua reda uara mmedaa poscpaa co = 4 e = %. alcolamoe l valore auale e l moae. Lo scadezaro d quesa reda è: (;;;) / (;2;3;4). S a: 4 (,) a = + + 4, = = 3,7 4, (,) (,) (,), s (,) = = = =., (,) (,), 4, 64 a (,) 4, 4, Nel caso d ua reda mmedaa uara acpaa, la prma raa è pagaa all'epoca zero, mere l'ulma raa 4

15 è pagaa all'epoca. l valore auale e l moae soo deerma el modo seguee: 2 3 a = + v+ v + v + + v = v = a ( + ) d ( + ) s = d Nel caso d ua reda uara poscpaa dffera, c'è u perodo da a d dffermeo, ossa la prma raa è pagaa all'epoca, mere l'ulma è pagaa all'epoca +. Per calcolare l valore auale d ua ale reda, dovremo eer coo del perodo d dffermeo. formule avremo: ( ) a = v + v + + v = v v+ v + + v = v a Per calcolare l moae d ale reda possamo ulzzare semplcemee s, quao l perodo d dffermeo o cde sul calcolo del moae; alerava possamo rcavarlo dal valore auale, comuque rascurado l dffermeo quao: + + s = ( + ) a = ( + ) v a = ( + ) a. Osservamo ce valore auale e moae d ue le pologe d rede soo rcoducbl a u'espressoe coeee a. Ua reda perpeua mmedaa poscpaa possede vece fe rae. l valore auale s oee co u passaggo al lme: ( + ) a = lm lm a = = eedo coo ce > avremo lm ( + ) = lm = ( + ) 2.2 ede o uare. opo aver aalzzao le rede uare, possamo passare alle rede la cu raa cosae è par a. l valore auale e l moae d ua reda poscpaa co rae cosa valgoo: VA = a M = s. S procede maera aaloga per ue le alre pologe d rede o uare. geerale, le rede soo caraerzzae da quaro gradezze: VA (oppure equvaleemee M ), la raa, la duraa e l asso. Noe re d quese gradezze, s può sempre deermare la quara. 2.3 ede frazoae. Ua reda è frazoaa quado la raa o è pagaa al erme dell'ao o all'zo d esso, ma è frazoaa m esm d ao, ovvero pagame sarao rae d perodo dverso dall ao, ella praca prevale la 2 3 ( m ) m cadezaura mesle o rmesrale, pagae alle epoce,,,,,. m m m m m Per rsolvere queso po d problem occorre rporare u paramer (raa, umero d perod e asso) alla frazoe d ao dcaa e po prosegure come per le rede aual. Esempo. Se predamo = 3 e m = 2 abbamo ua reda reale frazoaa semesr 5

16 l valore auale della reda s oee sempre aualzzado ue le rae. Se la raa perodca è ( ) m / a = v + v + + v = v + v + + v = a ( m) / m 2/ m / m 2/ m m m m m m m avremo: Abbamo, effe, ua reda co m rae par a m og m esmo d ao. Avremo perao l umero d rae e l loro ammoare rfero a u m esmo d ao. Se, coereemee, appcamo l asso equvalee per lo sesso perodo varrà quao gà cosderao per le rede aual, co raa uguale a m, umero d rae m e asso /m Esemp. ) alcolare VA se = 35, = 5 e = 2%. Applcamo la formula oa: 5 (,2) VA = a = 35 a = 35 =.262 5,2,2 m 2) ome el problema precedee se le rae soo acpae. Applcamo la formula oa: 5 (,2) v VA = a = a = = 35 =.43 =.262,2. 5,2 d,2,2 3) Sao da = 35, = 5 e = 2%. alcolare l moae della reda. Applcamo la formula oa: M s s a,2 5 (,2) 5 = = 35 = 35 = = 35 (,2). 5,2 5,2 4) Sao da = 35, = 5 e = 2%. alcolare l moae della reda dffera co = 3. Lo scadezaro d quesa reda è: Applcamo la formula oa: (;;;35;35;35;35;35) / (;2;3;4;5;6;7;8). 3 VA = v a = 35,2 a = ,2 5) Sao da VA = 5, = 4 e = 2%. alcolare la raa della reda poscpaa. Applcamo la formula seguee: = VA = 5 = 5 = 65. a 4 a 4,2 (,2),2 6) Suppoamo ce l'coga sa la duraa. cavamo ua relazoe geerale ce cosee d deermare. Paramo dalla relazoe geerale: VA = a = v percò 6

17 Applcamo l logarmo a eramb membr: e fe: VA = v v = VA. ( v ) = v= VA ( ) log log log ( VA VA ) ( ) log log = = logv log( + ) Vedamo u'applcazoe umerca co VA =.262, = 2% e = 35. S a: log.262 (,2 35 ) = 5. log(,2) 7) Sao da VA =., = 5 e = 35. alcolare l asso. alla relazoe geerale ( + ) VA = a = s deduce: ( + ) =. VA a quesa relazoe vedamo ce o è possble (rae ce cas parcolar) esplcare rspeo alle alre varabl. obbamo ulzzare de meod d approssmazoe umerca per smare l valore d. llusramo l meodo dell'erazoe. Opero come segue: scelgo u asso arbraro, ad esempo l 27%, e lo sersco al secodo membro dell'ulma relazoe. l valore oeuo lo camo :. 5 (,27) = =, 245 2,857 Adesso poamo al secodo membro e camo l rsulao 2 : peamo quesa procedura: 5 (, 245) 2 = =, ,857 5 (, 2397) 3 = =, 235 2,857 4 =, =, 223 opo u cero umero d appe, osservo ce l asso oeuo s sablzza aoro ad u valore parcolare ce assumeremo come la osra soluzoe ( ass era covergoo asocamee verso l asso reale). l asso d pareza scelo ad arbro porà essere sa maggore sa more del asso reale. 7

18 Predamo gl sess da e llusramo ora l meodo dell'erpolazoe leare. l asso esao dovrà soddsfare la relazoe:. = 35 a5 amo alcu valor arbrar a e deermamo l corrspodee valore ce assume l secodo membro. Abbamo la abella seguee: A 2,5%.246,2 5,%.73,3 7,5%.7, = 2, % A =.46, 7 = 22,5% A = 99, 7 Sccome l valore auale d ua reda è ua fuzoe decrescee del asso, l asso reale dovrà essere compreso ra l 2% e l 22,5% (per ques ass l valore auale della reda è rspevamee maggore e more del valore esao.. l meodo dell'erpolazoe leare pozza ce l asso reale s rov, co buoa approssmazoe, sul segmeo ce coguge pu d coordae ( ; A ) e ( ; A ) corrspodeza dell'ordaa A. Ovvamee l'approssmazoe sarà pù precsa se le due sogle soo molo vce al asso reale (vedere fgura 6). cordado l'equazoe d ua rea passae per due pu assega, l asso approssmao ı dovrà soddsfare la relazoe: ı = + ( A A). A A Nel osro caso avremo:,225,2 ı =, 2 + (..46, 7) =, , 7.46, 7 8) Sao da VA = 89,4, = e = 35. alcolare l asso. L'equazoe ce dovremo rsolvere è: 89,4 = 35 a. Procedamo co l meodo dell'erpolazoe leare. amo de valor arbrar a ce vsualzzamo ella abella seguee: 8

19 A 8% 963,8 9% 98, 7 % 876,8 = % A = 837,9 = 2% A = 8, 6 3% 767, 7 Vedamo subo ce le due sogle pù adae soo = % e = 2%. Applcamo percò la formula dell'erpolazoe co ques valor:,2, ı =, + (89, 4 837,9) =,59 8, 6 837,9 Esercz d replogo. ) alcolare quale versameo semesrale (poscpao) per cque a pora ad accumulare u capale d 8.5 euro, se l asso d'eresse è l 7,5% auo (el F ). Abbamo percò ua reda frazoaa poscpaa mmedaa l cu moae è oo. Sa la formula del moae: m ( + / m ) M = s = m / m / m co /2 = +,75 =,3682 percò sosuedo da: 52 ( +, 3682) 8.5 = =, 836, 3682 = 8.5 = 78, 479,836 2) A froe d u vesmeo s può coare su cque erae cosa poscpae d mporo par a 5. euro, la prma delle qual fra re a. alcolare l valore dell'vesmeo ulzzado u asso del 5% auo (el F ). Lo scadezaro dell'vesmeo è: (;;,,,, ) / (;2;3;4;5;6;7) ce possamo raare come reda poscpaa dffera co dffermeo = 2. l valore d ale reda sarà percò: (+,5) VA = a = a = + =, (,5) , ,5 3) Ua reda a duraa quadreale e rae cosa par a ; ulzzado l asso del 5% calcolare l'mporo della raa semesrale d ua reda frazoaa semesr d par duraa (quaro a) fazaramee equvalee alla precedee. eermamo l valore auale della prma reda: 9

20 4 (+,5) VA = a = = 354,595 4,5,5 Per quao rguarda la secoda reda, avremo: VA = a = a 2 m / m 8 /2 cavamo l asso semesrale equvalee: percò: /2 = +, 5 =, ( +, 24695) VA2 = = 7,79468., fe dalla relazoe VA = VA2 avremo: 354,595 = = 49, , ) Ua para d merce vee pagaa oo rae mesl d cu: - le prme due par al 2% del prezzo per coa, fssao.., corrspose va acpaa mmedaa; - le rmae cosa e versae regolarmee dal erme del erzo mese. alcolare le rae quesoe se l'operazoe vee effeuaa al asso del 5% auo (el F ). Lo scadezaro sarà: (2.;2.;; ; ; ; ; ; ) / ( ; ; 2 ; ; 4 ; ; ; ; ) Quesa reda è cosua da ua reda acpaa e da ua reda dffera co dffermeo par a due perod. eermamo l asso mesle equvalee: /2 /2 = (,5) =,75 mpoamo qud ce l valore auale d quesa reda sa par a.. : 2. a + a = /2 6 /2 Oeamo percò u'equazoe ell'coga. Esplcamo x :.. 2. a 2 /2.. 2.,9884 = = = 7.6 a 5, /2 3 Pa d ammorameo. 3. osderazo geeral. U pao d ammorameo cosse ella resuzoe d u mporo preso a preso medae l versameo d'mpor mor va va el empo. Vedamo qual soo gl eleme ce caraerzzao pa d'ammorameo. dcamo co l'mporo presao e co,, le quoe capale versae (dove rappresea la quoa 2

21 capale versaa al geerco perodo, mere rappresea l'ulmo perodo, ossa la duraa del pao d'ammorameo sesso). Vale la relazoe: 2 = = ossa la somma d ue le quoe capale deve rdare l'mporo presao. Ovvamee, l debore o dovrà resure solamee l'mporo presao ma ace gl eress maura a og perodo. U'alra caraersca de pa d'ammorameo sarà percò l asso d remuerazoe del preso (ce pozzeremo cosae per ua la duraa del pao). Le quoe eress, ce dceremo co (co =,, ), rappreseao u coso per l debore ma u guadago per l credore. Sarao calcolae a og perodo sulla base della pare d debo o acora rmborsaa: = S ( ) ( ) 2 = S = S = 3 2 l debo resduo all'epoca rappresea l'mporo da resure all'epoca (co =,, ). Possamo calcolarlo due maere: vsoe prospeva (come somma delle quoe capale acora da pagare): ( ) j= + = vsoe rerospeva (come somma delle quoe capale gà pagae, dedoe dal debo zale): S = eve valere olre l'ovva relazoe =. Possamo adesso defre uovamee le quoe eresse araverso l debo resduo el modo seguee: = A og perodo l debore dovrà versare ua quoa capale e ua quoa eresse: la somma algebrca d quese due quoe prede l ome d raa. Avremo percò: j= = + =,, Le rae dovrao soddsfare la seguee relazoe (c poamo sempre el F ): = ( + ) = ossa la somma de valor aual delle rae deve uguaglare l'mporo presao (l'mporo presao sarà qud l valore auale d ua reda avee per rae le rae del pao d'ammorameo). appreseeremo u pao d'ammorameo soo forma d ua abella ce avrà per coloe rspevamee l'epoca, la quoa capale, la quoa eresse, la raa e l debo resduo. Esempo. osderamo l seguee pao d'ammorameo (rmborso graduale) co S =., = 5, = %. j j

22 ome possamo osservare, ue le relazo elecae prma soo soddsfae. Ad esempo: = , (,) (,) (,) (,) Osservamo ce l debo resduo può essere deermao ace araverso le rae. Vsoe prospeva: Vsoe rerospeva: + j j= + = v+ + v = v j 2 j = ( + ) ( + ) 2 ( + ) = ( + ) j ( + ) j= S S Nel caso dell'esempo precedee avremo: 2 = = = = + + = ( + ) ( + ) Ulzzado la valuazoe rerospeva avremo lo sesso rsulao: 2 = S 2 =. 3 = = S ( + ) ( + ) =. (,) 4, 7 = Ammorameo alao. L'ammorameo alao è caraerzzao dal fao ce ue le quoe capale soo cosa, ossa percò: = = = = 2 = = Gl alr eleme del pao d'ammorameo assumoo ua forma semplfcaa. Ad esempo, per quao rguarda l debo resduo: vsoe prospeva: = ( ) vsoe rerospeva: = Per quao rguarda le quoe eress: 22

23 = = ( + ) oppure equvaleemee: = ( ) fe le rae s esprmoo el modo seguee: = + = + ( + ) Esercz. ) Sedere l pao d u ammorameo alao co =., = 5 e = %. Avremo =. = 2, mere l pao compleo è: ) Sedere l pao d u ammorameo alao co = 4., = 8 e = 6,5%. eermare qud l debo resduo all'epoca 5. Avremo = 4. = 5. mere, l pao compleo è: l debo resduo 5 = 5. può essere oeuo come: 4. 5 = = + + = = = 8 oppure olgo le quoe capale gà pagae: (8 5) ( ) 5 = = = = 5.. Aalogamee ulzzado la somma aualzzaa delle rae rmae: 23

24 = + + = + + = ( + ) ( + ), 65, 65, Ammorameo a rmborso uco. L'ammorameo a rmborso uco prevede ce o s rmborsa ulla fo all'epoca. Le quoe capale valgoo percò: = 2 = = = = l valore del debo resduo sarà qud sempre uguale al debo zale, esclusa l ulma raa: = 2 = = = = e delle quoe eress: = 2 = = = S fe le rae valgoo: = 2 = = = S = S + S Esercz. ) Sedere l pao d u ammorameo a rmborso uco co =., = 5 e = %. Ulzzado le relazo precede s a: ) Sedere l pao d u ammorameo a rmborso uco co =, = 4 e = 5,625% e co rae semesral. Le quoe capale valgoo (dcamo emp semesr): dove Abbamo percò: 24 = = /2 2,5 /2 = + =, 25 /2 2,5 2,5 2,5 2,5 3/2 2,5 2,5

25 3.4 Ammorameo fracese. L'ammorameo fracese prevede delle rae ugual: 2 2,5 2,5 5/2 2,5 2,5 3 2,5 2,5 7/2 2,5 2,5 4 2,5 2,5 = = = = 2 Teedo coo della propreà geerale rguardae le rae d u pao d'ammorameo (ossa la somma de valor aual delle rae uguagla l'mporo del debo), avremo: = ( + ) = ( + ) = ( + ) = a = = = dalla quale poremo rcavare l valore della raa cosae: Per quao rguarda l debo resduo, avremo: = a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = = a Possamo percò dedurre l valore delle quoe eress: = = a + eermamo ora l valore delle quoe capale: ( ) ( ) = = a v = = + = ossa: 2 3 = v = v = v = v 2 Le quoe capale varao qud progressoe geomerca co prmo erme par a Eserczo. ) Sedere l pao d u ammorameo fracese co =., = 5 e = %. eermamo la raa cosae: v e ragoe + = v. 25

26 Per quao rguarda le quoe capale: = =. = 263,8 a a 5, = = = 263, 8 = 63, 8 2 = 63,8, = 8,8 3 = 8,8, = 98, 2 4 = 98, 2, = 28, 2 5 = 28, 2, = 239,82 S verfca ovvamee ce l pao compleo è: 5 =.. = ,8 263,8 836,2 2 8,8 83, ,8 656, ,2 65,6 263,8 457, , 2 45, ,8 239, ,82 23,98 263,8 Eserczo (replogo). U dvduo prede a preso u mporo d. e s'mpega a resure a al asso effevo auo del % versado rae d u ammorameo alao. opo cque a l'dvduo, a seguo d ua crs fazara, o può pù oorare suo mpeg e paga solo la quoa eresse per l seso e semo ao e ulla l'ao successvo. A queso puo s accorda co l fazaore per esguere l debo rmaee ero la scadeza prefssaa, sempre ammorameo alao al uovo asso del 5%. alcolare l asso d coso dell'operazoe per l debore e deermare la successoe delle rae effevamee pagae. da del problema soo =., = e = %. Le quoe capale cosa valgoo: = =. Le prme cque rae effevamee pagae valgoo: = + =. +. = 2. 2 = = = 9. 3 = = = 8. 4 = = = 7. 5 = = = 6. l debo resduo all'epoca cque vale: = ( ) =. ( 5) = 5. Al seso e semo ao, l debore paga solao gl eress, percò l debo resduo rmae mmuao e le rae

27 (par alla sola quoa eresse) valgoo: essedo 6 = 6 = 5 = 5. 7 = 7 = 6 = 5. 5 = 6 = 7 = 5. urae l'oavo ao l credore o paga ulla, percò l debo resduo s capalzza per u ao. Avremo all'epoca 8 : 8 = 8 = 7 ( + ) = 5., = 55.. Avremo percò u uovo pao d'ammorameo calcolao sul uovo valore del debo 8 : Abbamo qud deermao le ulme due rae del pao d'ammorameo. fe, l asso ero d coso ("T ") è defo come quel asso cosae rspeo al quale la somma de valor aual delle rae forsce l valore del debo. l T dovrà percò soddsfare la seguee equazoe d equlbro fazaro. = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Oeamo u equazoe algebrca d decmo grado ce rsolveremo co l meodo dell'erpolazoe leare. osderado da del problema, predamo come sogle l % e l %. S oee qud: =, A =.696 =, A = Applcamo fe la formula dell'erpolazoe co ques da:,, ı =, + (..696) =, l preammorameo. l preammorameo è ua suazoe cu o succede ulla per a cu s pagao solo gl eress e o le quoe capale. S raa qud d ua varae per qualsas pao d'ammorameo. Abbamo soo forma d abella: 2 3

28 Esempo. osderamo da segue: = 5.., = 5, = 8% e = 3 (perodo d preammorameo). Le quoe capale valgoo, dal perodo + al perodo + : = = all'epoca zero all'epoca le quoe eresse valgoo:.. = = 5..,8 = 9.. l pao compleo sarà percò (mpor mlo): ,2 7, , 4 5, ,6 3,6 8,8,8 Nel caso d u ammorameo d po fracese, l pao compleo è: ,99 9 5,99 43, 5 8,25 7,74 5,99 34,76 6 9,73 6,26 5,99 25,3 7,48 4,5 5,99 3,55 8 3,55 2,44 5,99 Aualzzamo le rae del preammorameo alao: 9, = 5 2 8,8,8, Ammorameo a ass varabl.

29 L'ammorameo a ass varabl è ua varae de pa d'ammorame geeral ce prevede l calcolo delle quoe eresse co ass dvers per cascu perodo. ass o soo fssa a pror ma ormalmee calcola sulla base d quell rleva sul mercao erbacaro. Per quao rguarda l ammorameo alao s raa semplcemee d calcolare per cascu perodo le quoae eress sulla base del debo resduo all ao precedee e del asso vgee el perodo. Se ad esempo paramo da u pao d'ammorameo alao co = 3, = 3 l cu scadezaro per le quoe capale è: Ed ass applca soo per l perodo l %, per l perodo 2 l 5% e per l perodo 3 l 2% avremo: Per quao rguarda l ammorameo fracese essoo (almeo) due vara ampamee dffuse sul mercao. La prma è basaa sulla sequeza delle quoe capal calcolaa al asso zale, co l rcalcalo delle quoe eresse perodo per perodo. Evdeemee le rae o sarao pù cosa, se o el caso d ass sabl el empo. Esempo. osderamo u pao d'ammorameo fracese a eress acpa co = 5.., = 8% e = 5. Le quoe capale valgoo: ,8 = v = = 6.99.,8,8 2 = ( + ) = = 2 ( + ) = ec. l pao d rmborso delle sole quoe capal è (mpor mlo): 5 6,99 43, 2 8,25 34,76 3 9,73 25,3 4,48 3,55 5 3,55 Le quoe eress possoo essere calcolae solo dopo la dcazoe del asso applcao per cascu perodo: se =8% 29

30 2 =2% 3 =7% 4 =8% 5 =5% le quoe eress sarao dae da: = =.8 5 = 9 2 = 2 = = 8.62 ec. Le rae s oegoo dalla somma della quoa capale pù la quoa eress. l pao compleo sarà qud: 5 6,99 9 5,99 43, 2 8,25 8,6 6,85 34,76 3 9,73 5,93 5,66 25,3 4,48 4,5 5,99 3,55 5 3,55 2, ome s può oare le rae relave a perod co ugual ass d eresse vge ( e 4) soo ugual. Soo vece dverse le rae relave a perod co ass d eresse dvers, maggore è l asso, maggore la raa. La secoda varae (rae cosa a ass varabl) ulzza come base d rfermeo la raa zale, e dopo aver calcolao la quoa eress refca la quoa capale modo da maeere cosae la raa. prededo l esempo precedee: = ,8,8 Per l prmo ao la quoa eress sarà daa da: = =.8 5 = 9 La quoa capale da: = = 5,99 9 = 6,99 E l debo resduo sarà: = = 5 6,99 = 43, Per l secodo ao: 2 = 2 =.2 43, = 8, 62 La quoa capale sarà: 2 = 2 2 = 5,99 8,62= 7,37 E l debo resduo sarà: 2 = 2 = 43, 7,37 = 35, 73 l pao compleo: 5, 6,99 9, 5,99 43, 8% 2 7,37 8,62 5,99 35,73 2% 3 9,92 6,7 5,99 25,8 7% 4,34 4,65 5,99 4,47 8% 5 3,82 2,7 5,99,65 5% 6,65,,75-6% 3

31 queso caso le varazo e ass ao reso ecessara ua ulerore raa, d mporo par al resduo capalzzao, per compleare l rmborso. Evdeemee ralz de ass geerao u allugameo e emp d rmborso, abbassame de ass coseoo maggor rmbors lea capale (la raa è cosae) e, qud, u rmborso pù rapdo. 3.7 Valuazoe d u preso. l valore d u preso all'epoca geerca al asso d valuazoe j (scelo arbraramee, da o cofodere co l asso d remuerazoe del pao d'ammorameo) è defo come la somma de valor aual calcola all'epoca d ue le rae successve all'epoca. smbol avremo: 3 V = ( + j) = + dove rappresea l'epoca fale. l valore d u preso può essere scsso ella somma d due compoe: la uda propreà (oeua aualzzado le quoe capale) e l'usufruo (oeuo aualzzado le quoe eresse): percò vale a og epoca : N = ( + j) = + U = ( + j) = + V = N + U. Esempo. osderamo l seguee pao d'ammorameo co =. ; = 5 e = % Voglamo calcolare uda propreà e usufruo all'epoca re al asso d valuazoe j = 5%. Ulzzado le defzo vse s oee: V = + = 463, 2,5,5 N 4 3 = + = 389,4 2,5,5 U = + = 73, 7. 2,5,5 Eserczo. U preso è resuo cque a medae l versameo d cque quoe capale progressoe armeca d ragoe e prmo erme e pagameo degl eress al % effevo auo. opo due a l credore cede fluss resdu a u erzo soggeo. osu paga u prezzo d'acquso ce gl cosee d realzzare u redmeo dall'operazoe par al 2% pur preseza d assazoe sulle quoe eresse base ad u'alquoa del 4%. Sedere l pao d ammorameo compleo e calcolare l prezzo pagao dal erzo soggeo per acqusare l debo resduo.

32 Ulzzado le oe relazo possamo scrvere l pao d'ammorameo: Mere le quoe capale 3, 4 e 5 soo acqusae dal erzo soggeo, sulle quoe eress c sarà da oglere l 4%. Sccome l redmeo è del 2%, l prezzo pagao sarà l valore auale d cò ce deve essere cassao, ossa: V2 = (, 4).7, ,2 + +,2,2,2 =.,2,2 Osservazoe. l asso ero d coso ("T ") d u preso è quel asso base al quale le rae pagae per la resuzoe d u debo aualzzae all'epoca zero soo ugual al valore zale del debo sesso. l T cosee qud d valuare la coveeza ra due alerave d fazameo, accogledo quella ce presea l T pù basso. ome verfca, possamo calcolare l asso ero d coso rsolvedo l'equazoe d equlbro fazaro: V( j) = (, 4) =.7, j ( j) ( j) j ( + j) ( + j) S rova propro j = 2%. Eserczo. U dvduo s accorda per resure u mporo d 8. euro medae l versameo d rae cosa semesral per dec a al asso effevo auo d'eresse del 5%. opo le prme oo rae semesral versae regolarmee l debore cora u perodo d dffcolà fazare el quale paga solo gl eress per due semesr e sospede compleamee l versameo delle rae per alr quaro semesr; a queso puo s accorda per resure l preso e emp prevs versado rae semesral d u uovo ammorameo fracese codoo sul uovo valore del debo al asso auo del 8%. alcolare: - l'mporo del debo resduo corrspodeza dell'ulma epoca cu pagame avvegoo regolarmee; - l asso d coso su base aua dell'operazoe complessva. eermamo dapprma l asso semesrale equvalee: /2 =, 5 =, La raa del pao d'ammorameo s deduce dalla formula vsa per l'ammorameo fracese (abbamo u oale d ve rae semesral): = S = 8. = 5.67,5494 a 5, /2 l debo resduo, eedo coo delle rae acora da versare, sarà: 32

33 = a /2 ossa: 2, = a = 5.67,5494 = , 23 2,2469, Alle epoce 9 e l debore paga solo gl eress: mere l debo resduo o camba: = 9 = = 8 /2 8 = 9 =. Per successv quaro semesr, l debore o paga ulla percò l debo resduo s capalzza per quaro semesr (o equvaleemee per due a). S avrà qud: = + = = ( ) ,46 Le ulme se rae del uovo ammorameo s rovao co la sola formula: dopo aver deermao l asso semesrale equvalee: ,46 = = =.35,98 a 5, j /2 j /2 =, 8 =, Per la rcerca del T scrvamo l'equazoe d equlbro fazaro: 8. = a + a ( + ) + + a ( + ) /2 /2 /2 2 /2 6 /2 solvamo per erpolazoe prededo come sogle ass semesral equvale al 5% e al 8% au. S a: =, A = , 47 =, 3923 A = 7.886, 462 Applcamo fe la formula dell'erpolazoe co ques da:, 3923, ı =, ( , 47), , , 47 fe l T su base aua sarà: 2 = ( +,2775) =,559. Esercz d replogo. ) U dvduo d 4 a d eà sooscrve u corao ce gl asscura ua reda perpeua dffera poscpaa aua dall'eà d 65 a. pozzado ce la raa della reda sa d 2. e ce l asso d rfermeo sa del 4%, calcolare quale sarà l'mporo complessvo ce l'dvduo dovrà versare ogg a froe della presazoe dcaa. L'operaore dspoe, olre, d ua secoda alerava: versare dec rae aue poscpae vece dell'uco mporo calcolao al puo precedee. eermare l'mporo delle rae quesoe. l valore auale della prma reda perpeua sarà: 33

34 A = = 2. = 5..,4 l valore auale d ale somma all'epoca zero (coè passado da 65 a 4 a) è: A 25 = 5. ( +,4) = 8.755,84. fe, l'mporo della raa della secoda reda s oee uguaglado valor aual delle due rede equvale: 8.755, , ,84 = a = = = 2.32, 425,4 a 8,9 2) U'operazoe fazara prevede fluss bmesral ce varao progressoe armeca d prmo erme 25. e ulmo erme 4. co duraa u ao. alcolare l moae d ale operazoe fazara al asso del 2% auo. calcolare l valore quesoe el caso cu la progressoe delle rae fosse d po geomerco. ooscamo la prma e l'ulma raa ma o la ragoe. geerale, abbamo la seguee relazoe ce lega la prma raa co la raa esma: = + ( ) Nel osro caso avremo percò: = = 3.. 5,4 La successoe delle rae sarà (dvdedo gl mpor per. ): (25;28;3;34;37;4) Per deermare l moae della reda, calcolamo l asso bmesrale equvalee: /6 /6 = (,2) =, 96 apalzzamo qud ue le rae fo al seso bmesre: M = , ,96 + 3, , , = 23,498 M = Se le rae varao progressoe geomerca d ragoe q, la relazoe ra la prma raa e l'ulma raa sarà: 5 6 q q l moae s rova sempre co lo sesso procedmeo: ( ) /5 = = 4. =, M 25, q, q, q, q, = 2,5478 M = = + + +

35 3) ao u ammorameo fracese per u mporo zale par a. euro, d duraa dec a, realzzao al asso del % auo d'eresse medae l versameo d rae rmesral, calcolare la raa e l debo resduo dopo re a e mezzo. alcolamo dapprma l asso rmesrale equvalee: /4 /4 = ( +,) =, 24. l osro pao d'ammorameo prevede 4 rae rmesral d mporo par a: =. = 3.924,39. a 4,24 l debo resduo dopo 4 rae s oee dalla formula: 3,5 = a 3.924,39 9, ,3 4 = =. 4,24 4) U preso d. è ammorzzao co oo rae aue poscpae. l asso effevo è del %. Le prme re rae soo ugual. ascua delle successve cque è par al doppo d quella zale. alcolare: - l'mporo della raa zale ; - l debo resduo all'epoca se, dopo aver corrsposo la raa. Lo scadezaro delle rae è l seguee: ( ; ; ;2 ;2 ;2 ;2 ;2 )/(;2;3;4;5;6;7;8) Osservamo ce o s raa d u ammorameo fracese: le rae o soo ue ugual. Possamo però calcolare l valore auale della reda scdedo le rae due blocc: ua reda mmedaa (le prme re rae) e ua reda dffera d re perod (le ulme cque). Abbamo percò: da cu rcavamo la raa:. = a + 2, a. 3 3, 5, =. = 2.22, 46. a + 2, a 3 3, 5, ocludamo co l debo resduo: 2, 6 = 2 a = , 46 = 42.48,. 2,, 5) U dvduo prede a preso 5. euro ce s'mpega a resure dec a medae l versameo d rae cosa quadrmesral al 9% auo d'eresse. opo se a za u perodo d dffcolà fazara ce lo coduce a pagare sol eress per l semo ao e ulla per l'oavo. A queso puo s accorda per esguere l preso e emp zalmee prevs medae l versameo d rae acora cosa e quadrmesral calcolae all % auo. alcolare: - la raa del prmo ammorameo; - l debo su cu vee rcalcolaa la uova raa all'epoca oo; - l asso d coso dell'operazoe complessva (ce è ecessaramee compreso ra ass d'ammorameo). eermamo dapprma l asso quadrmesrale equvalee: /3 /3 =,9 =,294 35

36 La raa del pao d'ammorameo s deduce dalla formula vsa per l'ammorameo fracese (abbamo u oale d rea rae quadrmesral): = S = 5. = 7.568, 7 a a 3 /3 3 /3 l debo resduo, eedo coo delle rae acora da versare, sarà: ossa: = a /3 6 = a = 7.568, 7, 53 = 75.72,8 2,294 All'epoca 7 l debore paga solo gl eress: = 6 /3 = 2.26,5 mere l debo resduo o camba: =. 7 6 All'epoca 8, l debore o paga ulla percò l debo resduo s capalzza per u ao. S avrà qud: 8 = 6 ( + ) = 75.72,8, 9 = , 7. Le ulme se rae del uovo ammorameo s rovao co la sola formula: = = a dopo aver deermao l asso quadrmesrale equvalee: ,7 6 j /3 /3 j /3 =, =,354. Per la rcerca del T scrvamo l'equazoe d equlbro fazaro: 5. = a + a ( + ) + + a ( + ) /3 /3 /3 3 /3 6 /3 solvamo per erpolazoe prededo come sogle ass quadrmesral equvale al 9% e all % au. S rova ı, fe l T su base aua sarà 9,3%. 6) U dvduo s accorda per resure u preso medae l versameo d cque quoe capale d cu la prma par a 5. euro e le alre cascua par alla precedee molplcaa per due; l asso è par al 7,5%. alcolare: - l debo resduo all'epoca re; - la uda propreà e l'usufruo all'epoca due ulzzado l asso del 9%. La successoe delle quoe capale è: l debo resduo è: 36 = 5. ; 2 =. ; 3 = 2. ; 4 = 4. ; 5 = 8..

37 3 = =.2.. Per quao rguarda uda propreà e usufruo, applcamo la defzoe: 2 3 P 2 2.,9 4.,9 8., ,2 = + + =. l debo resduo alle alre epoce è: 2 = =.4. 4 = 3 4 = 8.. Le quoe eresse ecessare per deermare l'usufruo soo: percò: 3 = 3 =.4., 75 = 5. 4 = 4 = 9. 5 = 5 = U 2 5.,9 9.,9 4., = + + =. 7) U'azeda s faza emeedo u preso obblgazoaro dell'mporo d 5.. euro ce s mpega a rmborsare medae u ammorameo a rmborso uco co raa auale al 4,5% 2 a. alcolare uda propreà e usufruo del preso all epoca re al asso d valuazoe del 7%. L'uca quoa capale o ulla è l'ulma: 2 = 5.. avremo percò 9 V 3 = 5..,7 = Le quoe eresse soo ue ugual e valgoo: e deducamo qud l'usufruo: = 5.., 45 = 27.5 U3 = a =.35.9, ,7 37